精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市区五地2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题

2024-2025学年度齐齐哈尔市区初中五校 九年上11月联考数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 把方程化为一般形式，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（） A. B. C. D. 4. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 9. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 10. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 第II卷（非选择题） 二、填空题（21分） 11. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 12. 已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为______． 14. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则四边形的面积为________． 15. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 16. 如图，点A，B，C在上，若，，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点__________． 三、解答题（49分） 18. 解方程： （1）（用公式法）． （2）． 19. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 20. 2024年10月21日，红岭中学举行了第十三届运动会．本届赛事共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查共抽取了 名选手， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 21. 如图1，在中，，点D是边上一点，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求线段的长； （3）如图2，若，点M为中点，的延长线与交于点P，与交于点N，求线段的长． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度齐齐哈尔市区初中五校 九年上11月联考数学试卷 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（30分） 1. 把方程化为一般形式，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项是解题关键．直接去括号进而移项，得出答案． 【详解】解：， ， 故选：D． 2. 下列图片分别是东莞、深圳、广州、佛山四个城市的地铁标志．其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解定义，找准图形中的对称中心是解答的关键．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：B． 3. 将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．先根据二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后利用顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，把点先向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为，所以所得到的抛物线的解析式为． 故选：C． 4. 已知抛物线经过点、，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为y轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵抛物线经过点、，， ∴， 故选：C． 5. 如图，将绕点C顺时针方向旋转得，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，先利用旋转的性质得到，，则根据，利用互余可计算出，从而得到的度数． 【详解】解：绕点C顺时针方向旋转得， ，， ， ， 故选：C 6. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据增长率问题可直接列出方程． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 7. 点A、B、C在同一条直线上，点D在直线外，过A，B，C，D四个点中的任意3个点，能画出图形“圆”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查确定圆的条件和概率公式，先确定四点中，每三点一组，可分为4组，而能画出圆的有3组，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：四点中，每三点一组，共有；；；四种情况， 而能画出圆的是；；三种情况， ∴画出图形“圆”的概率是， 故选：B 8. 在平面直角坐标系中，若点关于原点对称的点的坐标是，则的值为（ ） A. B. 1 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了两个点关于原点对称的坐标特征，代数式求值，根据两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号相反，进而可得的值，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数． 【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标是， ∴，， ∴， 故选：D． 9. 如图，正六边形内接于，若的面积等于，则正六边形的边长为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形为圆、等边三角形的判定与性质，连接、，由题意得出的半径为，证明为等边三角形，得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接、，     ∵的面积等于， ∴设的半径为，则， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，即正六边形的边长为， 故选：B． 10. 二次函数的图象经过，对称轴是直线，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，根据图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，根据图象与轴的交点位置，可确定，根据图象与轴的交点个数可确定，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关性质、以及二次函数的图象的特点． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴ ， ∵抛物线对称轴， ∴， ∴，， ∵抛物线交轴正半轴， ∴， ∴，故正确； ∵当时，， ∴，故正确； ∵图象和轴交于两点， ∴，故正确； ∵对称轴是直线，且二次函数的图象经过， ∴二次函数的图象经过， ∴当时，，故正确； 所以正确的序号是，共5个． 故选：D 第II卷（非选择题） 二、填空题（21分） 11. 已知一条抛物线的形状与抛物线形状相同，与另一条抛物线的顶点坐标相同，这条抛物线的表达式为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据抛物线的图象与系数之间的关系得出，，，即可得出结果． 【详解】解：设这条抛物线的解析式为：， ∵这条抛物线与抛物线的顶点坐标相同， ∴，， 又∵这条抛物线与抛物线形状相同， ∴，即， ∴这条抛物线的解析式为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟记二次函数的性质是解题的关键． 12. 已知顶点坐标为的抛物线，过点，当时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题查了利用顶点式求抛物线解析式以及抛物线与x轴的交点，正确画出函数图象是解题关键．先利用顶点式求出二次函数解析式，然后求出图象与x轴交点，再利用抛物线图象得出当函数值时，自变量x的取值范围即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得，， ∴抛物线与x轴交于，， ∵， ∴抛物线开口向下， 如图， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系，根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点，即可得出关于的方程的解，据此结合图象进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴关于的方程的解为，， 根据函数图象可得关于的不等式的解集为 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，将矩形绕点A逆时针旋转，得到矩形，点B的对应点E落在上，且，则四边形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、矩形的性质、勾股定理，由旋转的性质得到，再由可知为等腰直角三角形，进而可求出的长，再利用面积的转化即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，AB是的直径，AC与相切，A为切点，连接BC交于点D．已知，则的度数为______． 【答案】##50度 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质以及圆周角定理推论．熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径，直径对的圆周角是直角，是解决问题的关键． 根据圆切线性质得到，得到，根据直径性质得到，得到． 【详解】解：∵与相切， ∴． 又∵， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． 故答案为：． 16. 如图，点A，B，C在上，若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积．熟练掌握圆周角定理，勾股定理，扇形面积是解题的关键． 由，可得，由勾股定理得，，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，正确理解题意，找出规律是解题的关键． 当第50次时，共计走了条边，由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A，故，因此第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F，故第50次走到顶点F． 【详解】解：第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走50条边长，故当第50次时，共计走了条边， 由题意得，从点A出发，走8条边即可回到点A， ∴， ∴第50次时，相当于绕八边形159圈后回到点A，再顺时针走3条边，即到达顶点F， ∴第50次走到顶点F， 故答案为：F． 三、解答题（49分） 18. 解方程： （1）（用公式法）． （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）先求得判别式的值，再利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， 或， 解得，． 19. 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． （1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 20. 2024年10月21日，红岭中学举行了第十三届运动会．本届赛事共设置跳高、跳远、铅球三个项目．赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查，整理后得到下列不完整的图表： 等级 A B C D 分数段 频数 440 280 m 40 请根据表中提供的信息，解答下列问题： （1）此次调查共抽取了 名选手， ， ； （2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是 度； （3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法，求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 【答案】（1）800，40，5 （2）126 （3） 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表，列表法或树状图法求概率： （1）先用A等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数乘以C等级所占的百分比得到m的值，然后D等级人数除以调查的总人数得到n的值； （2）用乘以B等级所占的百分比即可； （3）用A、B、C分别表示跳高、跳远、铅球三个项目．则通过画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出跳高和跳远冠军的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：此次调查共抽取的选手总人数为（名） 所以， 所以， 即， 故答案为：800，40，5； 【小问2详解】 解：扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数； 故答案为：126； 【小问3详解】 解：用A、B、C分别表示跳高、跳远、铅球三个项目． 画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中抽到跳高和跳远冠军的结果数为2种， 所以恰好抽到跳高和跳远冠军的概率． 21. 如图1，在中，，点D是边上一点，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）连接，若，求线段的长； （3）如图2，若，点M为中点，的延长线与交于点P，与交于点N，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵线段绕点C旋转得到， ∴，， ∵， ∴．即， ∴． 在与中， ， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得出，，根据等式的性质可得出，根据证明即可； （2）利用 求得BE的长，然后利用直角三角形的性质求得的长，最后利用勾股定理求得的长． （3）利用已知条件可证，结合已证结论可求得，然后推得是等腰直角三角形，则，从而在含角的直角中可求得的长，最后在分别含角的直角三角形与含角的直角三角形中求得之间的关系式，通过的长建立关系式，求得的长，则可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴，， 过点E作，垂足为点F．如下图，     则，． ∴，． ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：过点N作，垂足H．连接．如下图．     ∵， ∴． ∵，点M为CD中点， ∴， ∴，． ∴． ∴， ∴， 又， ∴ ∴为等腰直角三角形． 故也为等腰直角三角形． ∴． 在中，， ∴． ∴． 在与中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形内角和、含角的直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识点，解题的关键是正确作出辅助线． 22. 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线与x轴的另一交点为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是该抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交于点E，设点P的横坐标为． ①当时，求点P的坐标； ②求面积S与t的函数表达式，并求S的最大值； ③当为以为腰的等腰三角形时，直接写出满足条件的t的值． 【答案】（1） （2）①；② ，最大值6；③或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）设，将点代入即可求解； （2）①由，则，求出，，代入解答即可； ②再由即可求解； ③分两种情况讨论：当时，；当时，过点作交于，则为的中点，分别求出的值即可． 【小问1详解】 解：直线与轴，轴的交点坐标分别为、， 抛物线与轴的另一交点为， 设所求抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得， 所求抛物线的函数表达式为，即； 【小问2详解】 解：①，则， ，， 当时，， 解得：或（与重合，舍去）， 当时，， 故； ②，， ， ， ， 当时，有最大值6； ③，， 以为腰，分两种情况讨论： 当时，， 解得或（舍； 当时，过点作交于，则为的中点，如图1， ， 解得或（舍）； 综上所述：满足条件的的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $