精品解析：上海市徐汇中学2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试卷

初三数学 满分150分 考试时间100分钟 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝ 2. 一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（   ） A. 6000米 B. 1000 米 C. 2000 米 D. 3000 米 3. 抛物线上有两点，下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列判断错误的是（ ）． A. 若或，则 B. 若m为实数，则 C. 若，则 D. 在平行四边形中， 5. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　） A. 7.2 cm B. 5.4 cm C. 3.6 cm D. 0.6 cm 6. 下列图象中，有一个可能是函数的图象，它是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约________． 8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 9. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴为直线x＝3，如果点A（0，4）为此抛物线上的一点，那么当x＝6时，y＝__． 10. 在中，，，和分别在边、上，，，那么的长为________． 11. 如图，在坡度为1：3山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）． 12. 如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么________． 13. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 14. 如图，在边长为1正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则________． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 16. 如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是________． 17. 以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____． 18. 如图，有一菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点恰好与中点重合，折痕为，点、分别在边、上，联结，那么的值为___________. 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，． （1）直接写出的长； （2）设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示． （3）________（用向量、表示）． 21. 如图，已知在中，，，延长边至点，使，联结．取边的中点，联结并延长交边于点，补画完整图形并求的值． 22. 某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） 23. 如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AE⊥BD，垂足为E，联结CE，作EF⊥CE，交边AB于点F． （1）求证：△AEF∽△BEC； （2）若AB＝BC，求证：AF＝AD． 24. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ． （1）求抛物线表达式； （2）连接OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ长度； （3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 25. 已知，矩形的边在射线上，，，，垂足为点F． （1）如图（1），作，垂足为点E． 当时，求线段的长度； （2）如图（2），连接，当，且平分时，求的正弦值； （3）如图（3），当与相似时，求m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学 满分150分 考试时间100分钟 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ） A. sinA＝ B. cosA＝ C. tanA＝ D. cotA＝ 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可． 【详解】解：，，， ， A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项正确，符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，解题的关键是熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边． 2. 一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（   ） A. 6000米 B. 1000 米 C. 2000 米 D. 3000 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解． 【详解】如图所示： 由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米， 在Rt△ABC中，∵sin∠A=， ∴AC=米． 故选C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形． 3. 抛物线上有两点，下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的性质，增减性，根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小，判断即可． 【详解】∵抛物线， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴距离对称轴越远，函数值越小， A. 若，无法计算与对称轴的距离，故无法比较大小，不符合题意； B. 若，无法计算与对称轴的距离，故无法比较大小，不符合题意； C. 若，则，符合题意； D. 若，则，不符合题意； 故选C． 4. 下列判断错误的是（ ）． A. 若或，则 B. 若m为实数，则 C. 若，则 D. 在平行四边形中， 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义，性质和运算法则计算判断即可． 【详解】因为或，则， 故A正确，不符合题意； 因为m为实数，则， 故B正确，不符合题意； 因为，则或， 故C错误，符合题意； 在平行四边形中，则， 所以， 故D正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了向量的定义，性质和运算法则，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 5. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　） A 7.2 cm B. 5.4 cm C. 3.6 cm D. 0.6 cm 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由已知可证△ABO∽CDO,故 ,即. 【详解】由已知可得，△ABO∽CDO, 所以， , 所以，， 所以，AB=5.4 故选B 【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 6. 下列图象中，有一个可能是函数的图象，它是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答问题． 根据函数，对、的正负进行分类讨论，只要把选项中一定错误的说出原因即可解答本题． 【详解】解：在函数中， 当，时，则该函数开口向下，，则顶点在轴左侧，一定经过点，点一定在轴的负半轴，故选项A、B错误； 当，时，若函数过点，则，得与互为相反数，则，当，则，则该函数与轴的两个交点是或，故选项D错误； 当，时，若函数过点，则，只要、满足和为1即可，故选项C正确； 故选：C． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约________． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【详解】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：40． 8. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_________． AI 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，设，则，由黄金分割的定义可得，解方程即可． 【详解】解：设，则， 为黄金分割点（）， ， ， ， 解得，（不舍题意舍去）， 的长度为． 故答案为：． 9. 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴为直线x＝3，如果点A（0，4）为此抛物线上的一点，那么当x＝6时，y＝__． 【答案】4 【解析】 【分析】首先根据对称轴方程确定点A和点（6，a）关于对称轴对称，然后求得其纵坐标的值即可． 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c对称轴为直线x＝3，如果点A（0，4）为此抛物线上的一点， ∴点A（0，4）和点（6，a）关于对称轴对称， ∴a＝4， ∴当x＝6时，y＝4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定两点关于对称轴对称，难度不大． 10. 在中，，，和分别在边、上，，，那么的长为________． 【答案】####3.75 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据两组对角相等证明，再根据对应边长度成比例列式求解即可． 【详解】解：如图， ，， ， ，即， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在坡度为1：3的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米（结果保留根号）． 【答案】2. 【解析】 【详解】试题分析：如图， Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，AC=6， ∴BC=AC•tanA=6×=2． 根据勾股定理，得：AB=． 即斜坡上相邻两树间的坡面距离是2米． 故答案为：2． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 12. 如图，在中，如果，边、上的中线、相交于点，如果，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】根据、上的中线、相交于点得到点是的重心，进而求出的长度，再利用等腰三角形的三线合一得到，结合求出的长度，进而求得，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：边、上的中线、相交于点，， 点是的重心， ， ． 在中，如果，是边上的中线, ， ， , ， , ． 故答案为：． 【点晴】本题考查了等腰三角形的性质，三线合一，重心的性质，锐角三角函数值的求法，三角形面积公式，利用重心求出是解答关键． 13. 如图，点是的角平分线的中点，点、分别在、边上，线段过点，且，那么和的面积比是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先证，推出，再证，则． 【详解】解：点是的中点， ， 是角平分线， ， 又，即， ， ； ，， ， ， 和的面积比是， 故答案为：． 14. 如图，在边长为1的正方形中，，是对角线上的两点，且，连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是熟知全等三角形的判定和性质相似三角形的判定与性质等知识．首先根据全等三角形的判定定理证出≌，得出，再证出≌，得出，再根据证出，并得出，由此即可得出的值． 【详解】四边形是正方形， ， ， , 在和中， ， ≌， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，网格中每个小正方形的边长均相等，点、、都在格点上，则的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行线的性质，矩形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，正面，得出，求出，根据勾股定理得出即可． 【详解】解：过点B作于点E，延长交最上面的平行线于点F，如图所示： 则，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17. 以一个等腰直角三角形的腰为边分别向形外作等边三角形，我们把这两个等边三角形重心之间的距离称作这个等腰直角三角形的“肩心距”，如果一个等腰直角三角形的腰长为2，那么它的“肩心距”_____． 【答案】 【解析】 【分析】延长DF交边BC于点F，根据等腰直角三角形的腰长为2，和是等边三角形，可以求得，并且可证MN∥，利用平行线之间的线段对应成比例即可求解. 【详解】解：如图示： 等腰直角三角形的腰长为2， 即： ， ∵和是等边三角形，等腰直角三角形 ∴BC=2，DM=EN= 延长DF交边BC于点F ∵ 分别是等边△ABD和等边△ACE的重心 ∴DM垂直且平分AB，EN垂直且平分AC， 又∵∠BAC=90° ∴AC∥DF ∴点F是BC的中点 同理可得EN的延长线也交BC于点F ∴ ∵， ∴ ∴MN∥ ∴，即 ，解得 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，重心的性质和平行线的性质，熟悉相关性质定理，灵活运用是解题的关键. 18. 如图，有一菱形纸片，，将该菱形纸片折叠，使点恰好与的中点重合，折痕为，点、分别在边、上，联结，那么的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】画图，由菱形∠A=∠60°，得到∠ABE=90°，根据勾股定理得出BF和EF的关系，然后在RT⊿BFE中求出cos∠EFB的值 【详解】解：联结BE ∵∠A=60° 且E为中点 ∴∠ABE=90° 在RT⊿BCE中：sin60°= ∴BE= ∵∆AGF翻折得∆EFG ∴EF=AF=AB-BF 在RT⊿BFE中：EF2=BE2+BF2 (AB-BF)2=()2+ BF2 ∵菱形ABCD ∴AB=BC ∴(BC-BF)2=()2+ BF2 BC2-2BC×BF+BF2=BC2+BF2 2BC×BF=BC2 BF=BC ∴EF=AF=BC 在RT⊿BFE中: cos∠EFB= 故答案为： 【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考察了菱形的性质.锐角三角函数的定义 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将特殊锐角三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在梯形中，点、分别在边、上，，与交于点，，，． （1）直接写出的长； （2）设，，在图中画出在和方向上的分向量，并直接用和的线性组合表示． （3）________（用向量、表示）． 【答案】（1）7 （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，向量的线性运算： （1）根据平行线分线段成比例定理，由，可得，再证，，根据对应边成比例，可得，，代入数值计算可得答案； （2）利用平行四边形法法则画分向量； （3）先根据用向量、表示出，再结合表示出． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ， ，，，， ，， ，， ，， ，， ，， ； 【小问2详解】 解：作交于点H，在和方向上的分向量如下图所示： ，， 四边形是平行四边形， ， ， ； 【小问3详解】 解：， 又， ， ． 21. 如图，已知在中，，，延长边至点，使，联结．取边的中点，联结并延长交边于点，补画完整图形并求的值． 【答案】，图见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．过点C作，交的延长线于点H，由，可设，则，，，先证，推出，再证明，可得．通过作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点H，补画完整图形如下： 中，，， 设，则，， ， ， ，， 又的中点是， ， ， ， ， ，， ， ． 22. 某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼顶M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449） 【答案】楼MF的高56.1米． 【解析】 【分析】设MC=x，利用求得AC=x，再根据∠MBC＝45°得BC=MC=x，然后由AC-BC=40列出方程并解解方程，求得MC=x，再加上测角仪的高度即可求解． 【详解】解：设MC＝x， ∵∠MAC＝30°， ∴在Rt△MAC中，AC＝＝x， ∵∠MBC＝45°， ∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x， 又∵AB＝DE＝40， ∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40， 解得：x＝20+20≈54.6， ∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米）， 答：楼MF的高56.1米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的意义，熟练运用锐角的三角函数解直角三角形是解答的关键． 23. 如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AE⊥BD，垂足为E，联结CE，作EF⊥CE，交边AB于点F． （1）求证：△AEF∽△BEC； （2）若AB＝BC，求证：AF＝AD． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据垂直证明∠EAF＝∠CBE，再根据同角的余角相等得到∠AEF＝∠BEC，即可得证； （2）根据平行线的性质得到∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°，在根据垂直的性质得到∠AEB＝90°＝∠BAD，得到△ABE∽△DBA，即可得解； 【详解】解：（1）证明：∵AE⊥BD，EF⊥CE， ∴∠AEB＝∠CEF＝∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EAF＝∠ABE+∠CBE＝90°， ∴∠EAF＝∠CBE， ∵∠AEF+∠BEF＝∠BEC+∠BEF＝90°， ∴∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF∽△BEC； （2）证明：∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∵AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°＝∠BAD， ∵∠ABE＝∠DBA， ∴△ABE∽△DBA， ∴， ∵△AEF∽△BEC， ∴， ∴， ∵AB＝BC， ∴AF＝AD． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确证明是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3, 0)、点B(0, 3)．点M(m, 0)在线段OA上（与点A、O不重合），过点M作x轴的垂线与线段AB交于点P，与抛物线交于点Q，联结BQ． （1）求抛物线表达式； （2）连接OP，当∠BOP＝∠PBQ时，求PQ的长度； （3）当△PBQ为等腰三角形时，求m的值． 【答案】(1) y＝x2＋2x＋3；(2) ；(3) m的值为2、或1. 【解析】 【分析】（1）将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c，化简求出b，c的值即可； （2）根据∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB，可证△OBP ∽△BPQ，可设Q（x，x2＋2x＋3），求出直线AB的解析式，则可得P 的坐标为(x，3－x)，可得BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x，利用相似三角形的对应边成立比例即可求解； （3）分三种情况讨论：①当BQ＝PQ时，②当BP＝PQ时，③当BP＝BQ时，然后分别求解即可 【详解】（1）∵将点A (3, 0)、点B (0, 3) 分别代入抛物线解析式y＝x2＋bx＋c得 ，解之得： ∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x＋3 （2） ∵∠BOP ＝∠PBQ且MQ∥OB ∴∠OBP ＝∠BPQ ∴△OBP ∽△BPQ 设Q（x，x2＋2x＋3） ∵P点在直线AB上，并A (3, 0)、B (0, 3)， 则直线AB的解析式为： ∴ P (x，3－x) ∴BP＝x，OB＝3，PQ＝x2＋3x ∴ 即 ∴（0舍去） ∴ （3）∵M（m，0），P（m，3－m），Q（m，m2＋2m＋3） ∴BP＝m，PQ＝m2＋3m且∠BPQ＝45° ∴当△BPQ为等腰三角形时，存在如下情况： ①如图1，当BQ＝PQ时，即∠PBQ＝∠BPQ＝45° ∴△BPQ为等腰直角三角形 ∴m2＋2m＋3＝3 ∴m＝2 ②当BP＝PQ时,即m＝m2＋3m，即（0舍去） ③如图2，当BP＝BQ时，∠BQP＝∠BPQ＝45° 根据，，可得 则有 ， ∴m＝1 综上所述，m的值为2、或1. 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形结合，三角形的相似，特殊角使用，以及等线段的关系转化问题，懂得综合讨论是解题的关键． 25. 已知，矩形的边在射线上，，，，垂足为点F． （1）如图（1），作，垂足为点E． 当时，求线段的长度； （2）如图（2），连接，当，且平分时，求的正弦值； （3）如图（3），当与相似时，求m的值． 【答案】（1）； （2）； （3）1或2或． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质． （1）如图1，延长交于点G，证，在中，设，可求得，，的长，则； （2）如图2，延长交于点，作，垂足为点E，设，同（1）得，，推出，在中，由勾股定理求出a的值，得出的长，可求出的值，进一步推出的值； （3）需分情况讨论：当D在内部时，时，此时，；当时，延长交于点Q，过F作于P，可利用三角函数求出m的值；当D在外部时，可利用相似的性质求出m的值． 【小问1详解】 解：如图1， 延长交于点， ，， ， 则， ，， 在中， 设，由， 可得 可得，则，， ； 【小问2详解】 解：如图2，延长交于点，作，垂足为点E，设，同（1）得，，； 平分， ， ， ，， ， ， 在中，由， 得， 解得（舍去），， ， ， ； 【小问3详解】 解：当在内部时， ①当时，如图， 此时， ； ②当时，如图， 延长交于点，过作于， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当在外部时，，， ， ，， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ， ， 、重合， 延长交于， ，，， ； 当时，如图， 设， 延长交于，过作于S， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ， ，，，，， ∵， ， ， ， ， 解得，，（舍去）， ，矛盾， 综上所述：或，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $