精品解析：山东省滨州市无棣县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（A）

2024—2025学年第一学期期中学业检测 九年级数学试题（A卷） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 3. 如图，正五边形内接于⊙ ， 为上的一点（点 不与点 重合），则 的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ，， ，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，，将 绕着点 顺时针旋转后，得到，且点在 上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点 的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点 的个数为0； 乙：若，则点 的个数为1； 丙：若，则点 的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 7. 如图， ， 分别是 的切线， ， 为切点， 是 的直径，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 11 D. 13 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 10. 二次函数的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为_______________． 11. 将二次函数y=x2﹣2x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为y=______________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为___________． 13. 将抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____． 14. 如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=____． 15. 在二次函数（）中， 与 的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 2 m n 0 … 则 ， 的大小关系为 ______n．（填“”“ ”或“ ”） 16. 二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，下列结论：①ab＜0；②；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是_____． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）画出 关于原点对称的； （2）将 绕点C顺时针旋转 得到 ，画出旋转后的 ． 18. 如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 ,,连接. 求证：⑴； ⑵ . 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 20. 为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率． 21. 超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量 （瓶）与每瓶售价 （元）之间满足一次函数关系（其中，且 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 22. 已知，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，在 上取一点 ，使得， （1）求证： 是 的切线． （2）当，时，求 的半径． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且，点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点 的坐标； （3）连接 ，求面积的最大值及此时点 的坐标． 24. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，，连接 ，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合， ， ，即点 ， ， 共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形 中， ，，点 ， 分别在边 ， 上，，连接 ．若 ，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在 中， ， ，点 ， 均在边 上，且．猜想 ， ， 满足的等量关系，并写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学业检测 九年级数学试题（A卷） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共24分） 一、选择题（本题共8个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题3分，满分24分） 1. 下列关于数字变换的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对每一个选项进行判断即可． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 2. 下列说法错误的是（　　） A. 必然事件发生的概率是1 B. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率 C. 概率很小的事件不可能发生 D. 投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得 【答案】C 【解析】 【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1 【详解】A、必然事件发生的概率是1，正确； B、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，正确； C、概率很小的事件也有可能发生，故错误； D、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，正确， 故选C． 【点睛】本题考查了概率的意义，概率的意义反映的只是这一事件发生的可能性的大小，概率取值范围：0≤p≤1，其中必然发生的事件的概率P(A)＝1；不可能发生事件的概率P(A)＝0；随机事件，发生的概率大于0并且小于1.事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0. 3. 如图，正五边形内接于⊙ ， 为上的一点（点 不与点 重合），则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角的性质即可求解. 【详解】连接CO、DO，正五边形内心与相邻两点的夹角为72°，即∠COD=72°， 同一圆中，同弧或同弦所对应的圆周角为圆心角的一半， 故∠CPD=, 故选B. 【点睛】此题主要考查圆内接多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理的应用. 4. 如图，的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ，连接 ，， ，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、 、 ， ，设 半径为 ，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、 、 ， ，设 半径为 ， ，，， ， 的内切圆 与 ， ， 分别相切于点 ， ， ， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 5. 如图，在中，，将绕着点 顺时针旋转后，得到，且点在 上，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握旋转的性质．根据旋转的性质，可以得到，，再根据等腰三角形性质得出，然后由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕着点 顺时针旋转后，得到， ∴，， ， ． 故选：C． 6. 如图，现要在抛物线上找点，针对 的不同取值，所找点 的个数，三人的说法如下， 甲：若，则点 的个数为0； 乙：若，则点 的个数为1； 丙：若，则点 的个数为1. 下列判断正确的是（ ） A. 乙错，丙对 B. 甲和乙都错 C. 乙对，丙错 D. 甲错，丙对 【答案】C 【解析】 【分析】分别令x（4－x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数． 【详解】当b＝5时，令x（4－x）＝5，整理得：x2－4x＋5＝0，△＝（－4）2－4×5＝－6＜0，因此点P的个数为0，甲的说法正确； 当b＝4时，令x（4－x）＝4，整理得：x2－4x＋4＝0，△＝（－4）2－4×4＝0，因此点P有1个，乙的说法正确； 当b＝3时，令x（4－x）＝3，整理得：x2－4x＋3＝0，△＝（－4）2－4×3＝4＞0，因此点P有2个，丙的说法不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式． 7. 如图， ， 分别是 的切线， ， 为切点， 是 的直径，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查切线的性质、四边形的内角和等于、圆周角定理等知识，推导出是解题的关键．由 ， 分别与 相切点 ，点 ，得，则，所以． 【详解】解：， 分别与 相切点 ，点 ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 8. 已知抛物线 具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线 上一动点，则△PMF周长的最小值是（ ） A. 5 B. 9 C. 11 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 已知点P（2，﹣3）与点Q（a，b）关于原点对称，则a+b＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，横纵坐标分别互为相反数计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴a=-2，b= 3， ∴a+b=-2+3=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了坐标系中两点关于原点对称的计算，代数式的值，熟练掌握两点关于原点对称时坐标之间的关系是解题的关键． 10. 二次函数的图像与x轴只有一个公共点，则m的值为_______________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】利用根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ∴， 解得 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 11. 将二次函数y=x2﹣2x﹣5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为y=______________． 【答案】（x﹣1）2﹣6 【解析】 【详解】y=x2﹣2x﹣5=x2-2x+1-1-5=(x-1)2-6. 故答案为(x-1)2-6. 点睛：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a（x-h）2+k（顶点式）的形式，配方过程为y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=a(x2+x+)+c-=a(x+)2+，其中h=-，k=. 12. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心，把点顺时针旋转 得到点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质，旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，旋转后如图所示， ∵四边形是由四边形绕O旋转 得到， ∴四边形≌四边形， ∴，， ∴ ，， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查旋转的性质：旋转后图形大小形状未发生改变，只是位置发生改变． 13. 将抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为，令，求其解即可得抛物线与x轴的交点坐标，进而可得答案． 【详解】解：将抛物线向下平移8个单位长度后其解析式为， 当时， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点为，， ∴抛物线向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减． 14. 如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=____． 【答案】4 【解析】 【详解】解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R， ∵∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∵CD⊥AB， ∴DE=CE， 在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R， ∵cos∠EOD=cos60°=， ∴=，解得R=4， ∴OE=4﹣2=2， ∴DE=OE=2， ∴CD=2DE=4 故答案为4． 考点：垂径定理、解直角三角形 15. 在二次函数（）中， 与 的部分对应值如表： x … -1 0 1 2 3 … y … 0 2 m n 0 … 则 ， 的大小关系为 ______n．（填“”“ ”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据表格的 、 的值找出函数的对称轴，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：由表格知：图象对称轴为：直线，当时，, ∴当时， 随 的增大而增大，当时， 随 的增大而减小， ∵ ， 分别为点，和，的纵坐标， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能根据表中点的坐标特点找出对称轴是解此题的关键． 16. 二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1，下列结论：①ab＜0；②；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是_____． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a>0，对称轴是直线 x=1得到，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y<0和c<0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到，加上时，y>0，即a-b+c>0，则可对④进行判断． 【详解】详解：∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ab<0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，所以②正确； ∵x=1时，y<0， ∴a+b+c<0， 而c<0， ∴a+b+2c<0，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 而时，y>0，即a−b+c>0， ∴3a+c>0，所以④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 在平面直角坐标系中的位置如图所示： （1）画出关于原点对称的； （2）将绕点C顺时针旋转 得到 ，画出旋转后的 ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）把关于原点的对称点标出来，连接对称点即可． （2）找出顺时针旋转 的点，顺次连接即可． 【小问1详解】 如图所示，即为所求， 【小问2详解】 如图所示，即为所求， 【点睛】此题考查了图形的旋转和关于原点对称图形，解题的关键根据题目要求作图． 18. 如图，⊙ 中，弦 与 相交于点 ,,连接. 求证：⑴； ⑵ . 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）由AB=CD知，即，据此可得答案； （2）由知AD=BC，结合∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案． 【详解】证明（1）∵AB=CD， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴AD=BC， 又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE， ∴△ADE≌△CBE（ASA）， ∴AE=CE． 【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等． 19. 已知二次函数的图象如图所示． （1）求这个二次函数的解析式； （2）根据图象直接回答：当x为何值时，． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）把函数解析式设为顶点式，然后代入点进行求解即可； （2）根据当时，二次函数图象在x轴下方进行求解即可． 【小问1详解】 解：设这个二次函数解析式为， 把点代入中得：， ∴ ， ∴这个二次函数的解析式为 【小问2详解】 解；由题意得，当或 时，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，图象法解不等式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 20. 为落实立德树人的根本任务，加强思政、历史学科教师的专业化队伍建设．某校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率． 【答案】（1）；（2）恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为． 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D，画树状图可知：共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个，即可得出结果． 【详解】（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是； 故答案为； （2）设思政专业的一名研究生为A、一名本科生为B，历史专业的一名研究生为C、一名本科生为D， 画树状图如图： 共有12个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有2个， ∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为． 故答案为 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关键． 21. 超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元．在销售过程中发现，每天销售量 （瓶）与每瓶售价 （元）之间满足一次函数关系（其中，且 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶． （1）求 与 之间的函数关系式； （2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）（10≤x≤15，且x为整数）；（2）当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“毛利润=每瓶毛利润×销售量”列出函数解析式，将其配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得． 【详解】解：（1）设 与 之间的函数关系式为 （），根据题意，得： ， 解得， ∴ 与 之间的函数关系式为（10≤x≤15，且x为整数）； （2）根据题意，得： ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下， 有最大值， ∴当时， 随 的增大而增大， ∵，且 为整数， ∴当时， 有最大值， 即， 答：当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗于液每天销售利润最大，最大利润是375元． 【点睛】本题主要了考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据总利润的相等关系列出函数解析式、利用二次函数的性质求最值问题． 22. 已知，在 中， ，以 为直径的 与 相交于点 ，在 上取一点 ，使得， （1）求证： 是 的切线． （2）当，时，求 的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接 、 ，证明，则，可证 是 的切线； （2）由，可得，由，可得，由，，可得，则，由，可得，由勾股定理得，，进而可求 的半径． 【小问1详解】 证明：如图，连接 、 ， 在 和中， ∵， ∴， ∴， ∴ 是 的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴ 的半径为3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，切线的判定，等边对等角，平行线的判定，中位线，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，且，点 是第三象限内抛物线上的一动点． （1）求此抛物线的表达式； （2）若，求点 的坐标； （3）连接 ，求面积的最大值及此时点 的坐标． 【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点 的坐标为（，）． 【解析】 【分析】（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A、点B的坐标，再求出解析式即可； （2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标； （3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（ ，），则点D为（ ，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可． 【详解】解：（1）在抛物线中， 令 ，则 ， ∴点C的坐标为（0，）， ∴OC=2， ∵， ∴，， ∴点A为（，0），点B为（，0）， 则把点A、B代入解析式，得 ，解得：， ∴； （2）由题意，∵，点C为（0，）， ∴点P的纵坐标为， 令 ，则， 解得：， ， ∴点P的坐标为（，）； （3）设直线AC的解析式为，则 把点A、C代入，得 ，解得：， ∴直线AC的解析式为； 过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图： 设点P 为（ ，），则点D为（ ，）， ∴， ∵OA=4， ∴， ∴， ∴当 时，取最大值8； ∴， ∴点P的坐标为（，）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题． 24. 综合与探究 数学课上，老师布置了这么一道题目：如图1，点 ， 分别在正方形 的边 ， 上，，连接 ，求证：． 思路梳理： （1）“勤奋”小组的同学给出了如下的思路分析过程，请你补充完整； ， 将 绕点 逆时针旋转 至 ，可使 与 重合， ， ，即点 ， ， 共线． 根据___________，易证___________，即可证得． 类比引申： （2）“智慧”小组的同学在“勤奋”小组同学的基础上，改变了条件：如图2，在四边形 中， ，，点 ， 分别在边 ， 上，，连接 ．若 ，都不是直角，且，则（1）中的结论是否还成立？并说明理由； 联想拓展： （3）“创新”小组的同学提出了下面的问题：如图3，在中， ， ，点 ， 均在边 上，且．猜想 ， ， 满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】（1） ； ； （2）（1）中的结论还成立． 理由如下： ∵ ， ∴把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在 和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）猜想：．理由如下： 把绕点A逆时针旋转 到的位置，连接 ，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，直角三角形的性质、勾股定理等知识；能正确作出辅助线得出全等三角形是解题的关键． （1）把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把绕点A逆时针旋转 到的位置，连接 ，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】解：（1）∵ ， ∴把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为： ， ； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $