微专题一 规律探究（讲练）（思维导图+7种题型（含7种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第一章 数与式 第01讲 实数微专题一 规律探究（8-10分） （思维导图+7种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 裂项相消型求和 ►题型02 倒序相加法求和问题 ►题型03 第n个式子的规律探究问题 ►题型04 与分式有关的规律探究 ►题型05 与方程有关的规律探究问题 ►题型06 与二次根式有关的规律探究问题 ►题型07 杨辉三角问题 ►题型08 用代数式表示式的规律 ►题型09 用代数式表示图形的规律 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 裂项相消型求和问题 例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 常用公式： 1.； 2.； 3.； 4. 1．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 2．（2024·安徽·一模）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：；…… 根据发现的规律，解答下列各题； 【填空】直接写出第5个等式：________； 【猜想】请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； 【应用】计算：． 3．（2023·安徽宿州·模拟预测）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律写出第5个等式：____________________； (2)计算：． ☛题型02 倒序相加法求和问题 例2．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 常用公式： 1.； 2. 1．（2024·安徽滁州·三模）探索规律 (1)观察下面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是____________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算： ． 2．（2021·安徽合肥·一模）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： ；；；； (1)规律观察：　　； (2)推算概括：用含n的式子表示出的值； (3)拓展应用：求的值． 3．（2023·安徽·模拟预测）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 4．（2024·安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． ☛题型03 第n个式子的规律探究问题 例3．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 常用公式： 一列数，满足，则第n个数的通用公式为： 1．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 2．（2024·安徽·一模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：，… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 3．（2024·安徽阜阳·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 4．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． ☛题型04 与分式有关的规律探究问题 例4．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 2．（2024·安徽滁州·二模）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明． 3．（2024·安徽六安·一模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 4．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． ☛题型05 与方程有关的规律探究问题 例5．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 1.列出第n个代数式或用n表示出第1个数到第n个式子的和； 2.根据题目要求列出方程； 3.解方程。 1．（2024·安徽·三模）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 2．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 3．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 4．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黑色方块的个数为__________． （2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________． 【规律应用】 （3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． ☛题型06 与二次根式有关的规律探究问题 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 1．（2024·安徽亳州·二模）观察下列各式：；；． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明． 2．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 3．（2021·安徽黄山·一模）观察下列各式： ①；②；③；④． 根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题： （1）写出第⑤个式子：____________； （2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明． 4．观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． ☛题型07 杨辉三角问题 例7．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 1．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律． (1) ； (2)求：的值． 2．（2023·安徽合肥·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 3．（2024·河北邯郸·三模）一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． (1)求x的值； (2)若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 4．（2023·广东东莞·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据图中规律，写出的展开式； (2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数； (3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值 ☛题型08 用代数式表示式的规律 例8．（2024·安徽池州·二模）观察下列式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第4个等式：______； (2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明． 1．（2023·安徽安庆·二模）设一个两位数可表示为，当取不同的值时，的平方如下： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请写出第4个等式：___________； (2)根据上述规律，请写出的平方的一般性规律，并予以证明． 2．（2023·安徽淮南·二模）已知是方程的一根，且ω满足：；；；；；…… (1)依此规律，请你写出关于x的一次表达式； (2)若，请用关于x的一次式表示（含a，b），并证明你的结论． 3．（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） 4．（2022·安徽合肥·二模）观察下列等式： ；；；… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”． (1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”： 52×______=______×25；______×187=781×______． (2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）． ☛题型09 用代数式表示图形的规律 例9．（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 1.图形规律多以数量问题为主，一般是先算出前三个图形的数量； 2.寻找每个图形要素的数量与序数n之间的关系； 3.列出第n个数的代数式。 1．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 3．（2024·安徽合肥·三模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点，其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的，如图①． 如图②是一层墙体，当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为　　　　（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为　　　　． 【规律应用】 （3）已知横放的方砖长为，竖放方砖的宽为，需要砌一段长为的一层墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 4．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 2．（2023·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示），并证明． 3．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________________； (2)猜想第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明． 4．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 5．（2024·安徽合肥·一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； (2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 6．（2024·安徽亳州·二模）合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 7．（2024·安徽合肥·一模）将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，其中第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母；……根据此规律解答下面的问题： (1)第个图形中有______个字母，有______个字母； (2)第个图形中有______个字母，有______个字母（用含的式子表示）； (3)第个图形中有______个字母，有______个字母． 8．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……． 根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 9．（2023·安徽·模拟预测）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第⑤层需要花卉 盆，五层共需要花卉 盆； (2)第n层需要花卉 盆；（用含n的代数式表示） (3)若将按此规律排列的图案中的4条射线，，，上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？ 10．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 11．（2023·安徽合肥·模拟预测）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题． ① ② ③ (1)______； (2)______； (3)______． 能力提升 12．（2024·安徽·二模）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 13．（2023·安徽·模拟预测）某市迎宾大道两侧按五角星型整齐地摆放着鲜花（每个点代表一盆鲜花）喜迎国庆佳节，图1用盆鲜花摆放成一个五角星图案，图2用盆鲜花摆放成两个叠放的五角星图案，图3摆放成三个叠放的五角星图案……依此规律摆放下去，观察图案并解答下面问题： (1)图3有鲜花_______盆． (2)图n有鲜花_______盆．（用含n的代数式表示） (3)是否存在某个图案恰好用了盆鲜花？如果存在，求出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 14．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． $$第一章 数与式 第01讲 实数微专题一 规律探究（8-10分） （思维导图+7种题型（含7种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01知识导图·思维引航 02题型精研·考向洞悉 ►题型01 裂项相消型求和 ►题型02 倒序相加法求和问题 ►题型03 第n个式子的规律探究问题 ►题型04 与分式有关的规律探究 ►题型05 与方程有关的规律探究问题 ►题型06 与二次根式有关的规律探究问题 ►题型07 杨辉三角问题 ►题型08 用代数式表示式的规律 ►题型09 用代数式表示图形的规律 03分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 02知识导图·思维引航 04题型精研·考向洞悉 ☛题型01 裂项相消型求和问题 例1．（2024·安徽合肥·三模）如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2，(2) 【解析】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 常用公式： 1.； 2.； 3.； 4. 1．（2024·安徽·三模）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第4个等式：_____________________________； (2)写出第个等式：______________________________（用含的等式表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）观察规律，可得：， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）原式 2．（2024·安徽·一模）观察下列等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：；…… 根据发现的规律，解答下列各题； 【填空】直接写出第5个等式：________； 【猜想】请写出第个等式（用含的式子表示），并证明； 【应用】计算：． 【答案】填空：；猜想：，证明见解析；应用：． 【解析】解：填空：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； 猜想： ， 证明： ∵， ∴； 应用：根据题意，得 ， ， ． 3．（2023·安徽宿州·模拟预测）观察下列各式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律写出第5个等式：____________________； (2)计算：． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）； （2）原式 ． ☛题型02 倒序相加法求和问题 例2．（2024·安徽·模拟预测）观察下列图形，并根据图形规律解决问题 观察图②，我们把第1、第2、第3,、……、第个图形中反“L”型阴影部分面积分别记为、、、…、，可得：；；；…， (1)由图①直接写出___________，由图②直接写出___________； (2)通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式：_____________________； (3)根据以上结论计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【解析】（1）由图①可得， ， ； ； ； …… ， 故答案为：， （2）通过图②可以发现： 第1个图形可得等式：； 第2个图形可得等式：； 第3个图形可得等式：； … 第个图形可得等式： 故答案为： （3） 常用公式： 1.； 2. 1．（2024·安徽滁州·三模）探索规律 (1)观察下面的图，发现： 图①空白部分小正方形的个数是 图②空白部分小正方形的个数是 图③空白部分小正方形的个数是____________． (2)像这样继续排列下去，你会发现一些有趣的规律，请你再写出一道算式：______． (3)运用规律计算： ． 【答案】(1)5，4； (2)； (3)2027． 【解析】（1）解：图③空白部分小正方形的个数是； 故答案为：； （2）由：，，， ，可得： ， 则：再写出一道算式可以为：；（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）； （3） ． 2．（2021·安徽合肥·一模）观察与思考：我们知道，那么结果等于多少呢？请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系，解决下列问题： ；；；； (1)规律观察：　　； (2)推算概括：用含n的式子表示出的值； (3)拓展应用：求的值． 【答案】(1)15 (2) (3)5050 【解析】（1）解：，，，， ； 故答案为：15； （2）由（1）得： ； （3） ． 3．（2023·安徽·模拟预测）如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 4．（2024·安徽宿州·三模）观察下列图形与等式的关系： 第1个图 第2个图 第3个图 第4个图 …… 根据图形及等式的关系，解决下列问题： (1)第5个图中空白部分小正方形的个数是______，第6个图中空白部分小正方形的个数满足的算式：______； (2)用含的等式表示第个图中空白部分小正方形的个数反映的规律：______； (3)运用上述规律计算：． 【答案】(1)11， (2) (3)2025 【解析】（1）解：由图知：第5个空白小正方形的个数为，第6个空白小正方形的个数算式应为：， 故答案为：11，； （2）解：由题图知， 图①空白部分小正方形的个数是； 图②空白部分小正方形的个数是； 图③空白部分小正方形的个数是； …， 所以图n空白部分小正方形的个数是：， 故答案为：； （3）解：由（2）问规律可计算得， ． ☛题型03 第n个式子的规律探究问题 例3．（2022·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律．解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 证明如下： 等式左边：， 等式右边： ， 故等式成立． 常用公式： 一列数，满足，则第n个数的通用公式为： 1．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；……； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【解析】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ……； 第n个等式为； 所以，第5个等式为， 故答案为：； （2）由（1）知：第n个等式为： 证明：左边 ； 右边； ∴左边=右边， ∴ 2．（2024·安徽·一模）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：， 第3个等式：，第4个等式：，… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式：，见解析 【解析】（1）解：； （2）解：第n个等式：， 证明：左边， 右边， 左边=右边， 等式成立． 3．（2024·安徽阜阳·二模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式： ； 第 3个等式： ； 第4个等式： ； …. 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)直接写出你猜想的第n个等式，并证明该等式．（用含字母n的式子表示） 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：第6个等式为：， 故答案为： （2）解：第n等式个为：， 证明如下： 左边 ， 右边 ， 左边=右边， 则等式成立 4．（2024·安徽池州·三模）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【答案】(1) (2) (3)不属于，理由见解析 【解析】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， 故答案为： （2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是， 故答案为： （3）解：令，则， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 ☛题型04 与分式有关的规律探究问题 例4．（2020·安徽·中考真题）观察以下等式： 第1个等式： 第个等式： 第3个等式： 第个等式： 第5个等式： ······ 按照以上规律．解决下列问题： 写出第个等式____________； 写出你猜想的第个等式： (用含的等式表示)，并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析． 【解析】（1）由前五个式子可推出第6个等式为：； （2）， 证明：∵左边==右边， ∴等式成立． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 根据以上规律，解决下列问题． (1)直接写出第5个等式：________________； (2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则第5个等式为 故答案为： （2），证明如下： ∵左边， 右边， ∴左边=右边． 故原等式成立． 2．（2024·安徽滁州·二模）观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式(用含n的等式表示)，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）由题给出的等式可得第5个等式为：， 故答案为：； （2）猜想：第n个等式为：， 证明：等式左边右边， 故猜想成立． 第n个等式为：． 3．（2024·安徽六安·一模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式：…… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立； 故答案为：． 4．（2024·安徽合肥·一模）观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第5个等式：；…； 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ； (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【解析】（1）解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第5个等式：． 第六个等式为：， 故答案为：； （2）解：猜想第个等式为：． 证明：左边， 右边， 左边右边， 猜想成立； 故答案为：． ☛题型05 与方程有关的规律探究问题 例5．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】 【规律发现】 请用含的式子填空： (1)第个图案中“”的个数为 ； (2)第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，第个图案中“★”的个数可表示为，……，第个图案中“★”的个数可表示为______________． 【规律应用】 (3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“”的个数的倍． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） 解：第1个图案中有个， 第2个图案中有个， 第3个图案中有个， 第4个图案中有个， …… ∴第个图案中有个， 故答案为：． （2）第1个图案中“★”的个数可表示为， 第2个图案中“★”的个数可表示为， 第3个图案中“★”的个数可表示为， 第4个图案中“★”的个数可表示为，……， 第n个图案中“★”的个数可表示为， （3）解：依题意，， 第个图案中有个， ∴， 解得：（舍去）或． 1.列出第n个代数式或用n表示出第1个数到第n个式子的和； 2.根据题目要求列出方程； 3.解方程。 1．（2024·安徽·三模）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中，“”的个数为 ，“△”的个数可表示为 ． 【规律应用】 （2）按上述规律，问第几个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 【答案】（1） （2）17 【解析】解：（1）第1个图案中有“”个，“△”个； 第2个图案中有“”个，“△”个； 第3个图案中有“”个，“△”个； 第4个图案中有“”个，“△”个； ∴第n个图案中有“”个，“△”个； 故答案为：． （2）解：依题意设第x个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍， ∴， 解得：（舍去）或． 故第17个图案中，“△”的个数是“”的个数的3倍． 2．（2024·安徽合肥·二模）【观察思考】如图，春节期间，广场上用盆景（☆）和花卉（□）组成菱形图案． 【规律发现】 请用含n的式子填空： （1）第n个图案中盆景的盆数为_________； （2）第1个图案中花卉的盆数可表示为，第2个图案中花卉的盆数可表示为，第3个图案中花卉的盆数可表示为，第4个图案中花卉的盆数可表示为，…，第n个图案中花卉的盆数可表示为__________； 【规律应用】 （3）若按上述规律组成的图案中花卉和盆景共100盆，求该图案中盆景和花卉的盆数． 【答案】（1）（2）（3）该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆 【解析】解：（1）由所给图案可知， 第1个图案中盆景的盆数为：； 第2个图案中盆景的盆数为：； 第3个图案中盆景的盆数为：4=3+1； …， 所以第n个图案中盆景的盆数为盆． 故答案为：； （2）因为第1个图案中花卉的盆数可表示为， 第2个图案中花卉的盆数可表示为， 第3个图案中花卉的盆数可表示为， 第4个图案中花卉的盆数可表示为， …， 所以第n个图案中花卉的盆数可表示为盆． 故答案为：； （3）由题意得，， 解得或（不合题意，舍去）， 则，， 答：该图案中盆景和花卉的盆数分别为10盆，90盆. 3．（2024·安徽安庆·三模）【观察思考】 【规律发现】 请用含n的式子填空：． （1）第n个图案中，“▲”的个数为______； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为，第2个图案中，“★”的个数可表示为，第3个图案中，“★”的个数可表示为，…，第n个图案中，“★”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4． 【答案】（1）；（2）；（3）n的值为2或7 【解析】解：（1）观察图形，得出 第1个图案中，“▲”的个数为； 第2个图案中，“▲”的个数为； 第3个图案中，“▲”的个数为； 第4个图案中，“▲”的个数为； 以此类推，得出第n个图案中，“▲”的个数为； （2）第1个图案中，“★”的个数可表示为， 第2个图案中，“★”的个数可表示为， 第3个图案中，“★”的个数可表示为， …， 第n个图案中，“★”的个数可表示为； （3）∵“▲”的个数的2倍比“★”的个数多4 ∴ ∴ 解得 ∴n的值为2或7 4．（2024·安徽淮南·模拟预测）【观察思考】 【规律发现】请用含n的式子填空： （1）第n个图案中黑色方块的个数为__________． （2）第n个图案中黑、白两种方块的总个数为__________． 【规律应用】 （3）白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能，理由见解析 【解析】解：（1）（2）由所给图形可知。 第1个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：； 第2个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： 第3个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： ….. ∴第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为：； （2）由（1）得：第n个图案中黑色方块的个数为：，黑、白两种方块的总个数为： 如果白色方块的个数能比黑色方块的个数多2024 则 解得： 因为n为正整数， 所以白色方块的个数不能比黑色方块的个数多2024 ☛题型06 与二次根式有关的规律探究问题 例6．（2024·安徽池州·模拟预测）观察下列等式： ①； ②； ③； …… 请你根据以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： ；第n个等式： ； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解： （2）原式 ． 1．（2024·安徽亳州·二模）观察下列各式：；；． (1)请你根据上面三个等式提供的信息，计算：______； (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式，并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【解析】（1）解：， 故答案为：； （2）， 验证：左边， ， ， ， ， 左边右边． 2．（2022·安徽淮南·二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①；②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： __________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【解析】解：（1）10； （2）； （3）①原式 ； ②原式 ． 3．（2021·安徽黄山·一模）观察下列各式： ①；②；③；④． 根据上面三个式子所呈现的规律，完成下列各题： （1）写出第⑤个式子：____________； （2）写出第个式子（，且为整数），并给出证明． 【答案】（1）；（2），见解析 【解析】（1）∵右边根式前面的整数等于序号+1，分数的分母等于这个整数的平方减去1， ∴第⑤个式子：， 故答案为：； （2）第个式子：. 证明如下： = = =. 4．观察下列各式及验证过程：， 验证；， 验证， 验证 (1)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想的变形结果并进行验证． (2)针对上述各式反映的规律，写出用为任意的自然数，且表示的等式，并给出证明． 【答案】(1)，验证见解析 (2)，验证见解析 【解析】（1） 验证： ； （2）． 验证： ． ☛题型07 杨辉三角问题 例7．（2024·安徽六安·三模）如图被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第3行起，每行两端的数都是“1”， 其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，……， 我们把第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第n个数记为． (1)根据这列数的规律， ， (2)这列数中有66这个数吗？如果有，求n；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)45， (2)有66这个数，是第11个数，理由见解析． 【解析】（1）解：由题意可得，， ， ， ， ， …， ∴， ∴当时，， 故答案为：45；； （2）解：当时，即：， 整理得， 解得，（舍去） 所以，这列数中有66这个数，此时． 1．（2024·安徽安庆·二模）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”． 观察“杨辉三角”与右侧的等式图，记第一个展开式中各项系数的和为，第二个展开式 中各项系数的和为，第三个展开式中各项系数的和为，第四个展开式中各项系数的和为，… 第n个展开式中各项系数的和为，根据图中各式的规律． (1) ； (2)求：的值． 【答案】(1) (2)2 【解析】（1）解：根据“杨辉三角”可知各项系数为， 即， 故答案为：； （2）解：根据前几项得规律：，则，， ∴． 2．（2023·安徽合肥·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】(1)11；； (2)①；② 【解析】（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 3．（2024·河北邯郸·三模）一列数字按照一定规律排列在如图所示的数字塔中，除第一行以外的数都等于它上一行中上方两个数的和，如：第二行第3个数：； 第三行第3个数：． (1)求x的值； (2)若一个数位于第n行的第2个数． ①用含n的代数式表示这个数：__________； ②若这个数等于，求出该数所在的行数n． 【答案】(1) (2)①；②所在的行数为第12行 【解析】（1）解：根据题意可得：每一个数都等于上一行中与其相邻的两个数的和， ∴， ∴． （2）解：①第2行的第2个数为：； 第3行的第2个数为：； 第4行的第2个数为：； 第5行的第2个数为：； ， 第n行的第2个数为：； 故答案为：； ②， 解得． ∴所在的行数为第12行． 4．（2023·广东东莞·一模）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式： 例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数， (1)根据图中规律，写出的展开式； (2)根据图中规律，多项式的展开式第三项的系数是1，第三项的系数； (3)认真观察规律，猜想多项式（n取正整数）的展开式的各项系数之和（结果用含字母n的代数式表示）； (4)若的展开式第三项的系数是210，求你n的值 【答案】(1) (2)15 (3) (4) 【解析】（1）解：由图可得， ； （2）解：由图可知， 多项式的展开式是一个n次项式， ∵的第三项系数为； 的第三项系数为； 的第三项系数为； ∴的第三项系数为； （3）解：∵的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， 的展开式的各项系数之和， …， ∴（n取正整数）的展开式的各项系数之和是； （4）解：的第三项系数为 ， 解得（负值已舍）． ☛题型08 用代数式表示式的规律 例8．（2024·安徽池州·二模）观察下列式子： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)请写出第4个等式：______； (2)设一个两位数表示为，根据上述规律，请写出的一般性规律，并予以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：根据题意可得第4个等式为：； 故答案为：； （2）解：规律：． 证明：左边， 右边， 左边右边，即. 1．（2023·安徽安庆·二模）设一个两位数可表示为，当取不同的值时，的平方如下： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请写出第4个等式：___________； (2)根据上述规律，请写出的平方的一般性规律，并予以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：第4个等式：； 故答案为：； （2）解：的平方的一般性规律为； ∵右边，左边， ∴成立． 2．（2023·安徽淮南·二模）已知是方程的一根，且ω满足：；；；；；…… (1)依此规律，请你写出关于x的一次表达式； (2)若，请用关于x的一次式表示（含a，b），并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：观察，，，，， 由每项的系数变化可知：一次项系数为上一个式子的一次项系数与常数项之和，常数项为上一个式子的一次项系数， ； （2）解：，证明如下： ， ， 又， ， ． 3．（2022·安徽合肥·二模）观察下列关于自然数的等式： ，① ，② ，③ … 根据上述规律解决下列问题： (1)完成第四个等式：　 　； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性； (3)根据你发现的规律，可知　 　．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)第n个等式为：，验证见解析 (3) 【解析】（1）解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字， 所以第四个式子右边应该是：； 故答案为：； （2）由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为3，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加1， 再由（1）可知，第n个式子应该就是：； 等式右边左边， 所以猜想正确； （3） ， 故答案为：． 4．（2022·安徽合肥·二模）观察下列等式： ；；；… 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数和三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称式”． (1)根据上述规律填空，使式子成为“数字对称式”： 52×______=______×25；______×187=781×______． (2)设“数字对称式”左边两位数的十位上数字为a，个位上数字为b，且，请用a、b表示“数字对称式”（只写出等式，不需证明）． 【答案】(1)275，572；71，17 (2) 【解析】（1）根据题意：52×275=572×25；71×187=781×17； 故答案为：275，572，71，17； （2）“数字对称等式”一般规律的式子为： （10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）. 证明如下： ∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b， ∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a， 右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b， ∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a） =（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a）， 右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a） =（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a）， ∴左边=右边. ∴“数字对称等式”一般规律的式子为： （10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）. ☛题型09 用代数式表示图形的规律 例9．（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，正方形的个数为8，周长为18． (1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________； (2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）． 【答案】(1)23，48 (2)， 【解析】（1）解：（1）因为时，正方形有8个，即，周长是18，即， 时，正方形有13个，即，周长是28，即， 时，正方形有18个，即，周长是38，即， 时，正方形有23个，即，周长是48，即． （2）解：由（1）可知，时，正方形有个，周长是． 1.图形规律多以数量问题为主，一般是先算出前三个图形的数量； 2.寻找每个图形要素的数量与序数n之间的关系； 3.列出第n个数的代数式。 1．（2024·安徽合肥·二模）若干个“△”和“★”按照一定规律排列成下列图形． (1)按照上图所示规律，图4中有______个“△”，图5中有______个“★”； (2)设图中有个“△”，个“★”，试求与之间的数量关系． 【答案】(1)10，27 (2) 【解析】（1）解：由图可得： 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， 图中“△”的个数为，“★”的个数为， …， ∴图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∴图4中有个“△”，图5中有个“★”； （2）解：由（1）得：图中“△”的个数为，“★”的个数为， ∵设图中有个“△”，个“★”， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图是正方形、正五边形、正六边形． (1)观察上图各正多边形相邻两对角线相交所形成的较大的角，则______，______，______． (2)按此规律，记正边形相邻两对角线相交所形成的较大的角为，请用含的式子表示______（其中为不小于4的整数）． (3)若，求相应的正多边形的边数． 【答案】(1)，， (2) (3) 【解析】（1）由正方形， 可得：， ； 由正五边形，可得：，， ， ； 由正六边形，可得：，， ， ； 故答案为：，，； （2）根据（1）中的结果发现等于正边形一个内角的度数， ∴， 故答案为：； （3）∵， ∴， 解得． 3．（2024·安徽合肥·三模）【观察思考】 一人巷是位于合肥市国家级景区三河古镇风景区的一个著名景点，其墙体是由方砖按照一定规律组合砌成的，如图①． 如图②是一层墙体，当中竖放一块方砖，就横放6块方砖（如图③）；当中竖放2块方砖，就横放9块方砖（如图④）；以此类推． 【规律发现】 若一段墙一共竖放的方砖有n（n为正整数）块，则 （1）横放方砖的块数为　　　　（用含n的代数式表示）； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为；当竖放的方砖为2时，墙体的长度为；当竖放的方砖为3时，墙体的长度为；……；当竖放的方砖为n时，墙体的长度为　　　　． 【规律应用】 （3）已知横放的方砖长为，竖放方砖的宽为，需要砌一段长为的一层墙体，若按照图中规律需要方砖多少块？ 【答案】（1）；（2）；（3）需要方砖423块 【解析】解：（1）当竖放一块方砖，就横放块方砖； 当竖放2块方砖，就横放块方砖； 当竖放3块方砖，就横放块方砖； 当竖放4块方砖，就横放块方砖； ……， 以此类推，当竖放n块方砖，就横放块方砖； 故答案为：； （2）当竖放的方砖为1时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为2时，墙体的长度为； 当竖放的方砖为3时，墙体的长度为； ……； 以此类推，当竖放的方砖为n时，墙体的长度为； 故答案为： （3）当时， 解得， 竖放的方砖总数为105，横放的方砖总数为， 方砖的总数为块， 答：需要方砖423块． 4．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】 如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】 依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______； 【规律应用】 （3）已知一个物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第次测量时移动的距离多米，那么该物体在第次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35；（2）；（3）该物体在第次测量时移动了195米 【解析】解：（1）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图⑤中共有个小正方形． 故答案为：35； （2）图①中共有3个小正方形， 图②中共有个小正方形， 图③中共有个小正方形， 图④中共有个小正方形， 图n中共有个小正方形． 故答案为：； （3）由题意得， 整理得，， 解得（舍去）， ． 答：该物体在第次测量时移动了195米． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 1．（2024·安徽六安·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：________________． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见详解 【解析】（1）解：依题意，第4个等式； （2）解：由第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式： 第4个等式： …… 第个等式： 证明如下： 等式左边为 等式右边为 左边等于右边，即 2．（2023·安徽池州·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：；…… 按照以上规律，解答下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【解析】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； ……， ∴第6个等式：； 故答案为：； （2）解：由（1）归纳规律：， 左边 右边， ∴左边=右边 ∴等式成立． 3．（2022·安徽·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________________________； (2)猜想第n个等式：________________________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：根据题意得，第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为：，理由如下， 证明：左边右边， ∴等式成立， 故答案为：． 4．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，若干个等边三角形按一定规律摆放，观察图形，回答下面问题． (1)填表： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 _______ … _______ (2)若第个图形中有2024个等边三角形，求的值． 【答案】(1)12， (2)1011 【解析】（1）解：由图可得： 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， 第个图形有个等边三角形， …， 第个图形有个等边三角形，第个图形有个等边三角形， 故填表为： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ … 等边三角形的个数 4 6 8 10 12 … （2）解：由题意得：， 解得 答：的值为1011． 5．（2024·安徽合肥·一模）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： (1)第5个图案有___________颗黑色棋子，第n个图案中黑色棋子的颗数为___________； (2)据此规律用2024颗黑色棋子，是否能摆放成一个图案，如果能，是第几个图案？如果不能，请说明理由． 【答案】(1)34； (2)不能，理由见解析 【解析】（1）解：由图可得，第一个图形有个黑色棋子； 第二个图形有个黑色棋子； 第三个图形有个黑色棋子； 第四个图形有个黑色棋子； ⋯， 由此可得，第五个图形有个黑色棋子， 第n个图形有个黑色棋子； 故答案为：34；； （2）解：不能；理由如下： 设第n个图形有2024颗黑色棋子， 由（1）可得，， 解得，， ∴用2024颗黑色棋子不能摆放成一个图案． 6．（2024·安徽亳州·二模）合肥骆岗中央公园中的一条小路使用六边形、正方形、三角形三种地砖按照如图方式铺设．已知图1中有1块六边形地砖，6块正方形地砖，6块三角形地砖；图2中有2块六边形地砖，11块正方形地砖，10块三角形地砖；…． (1)按照以上规律可知，图4中有______块正方形地砖； (2)若铺设这条小路共用去n块六边形地砖，分别用含n的代数式表示用去的正方形地砖、三角形地砖的数量； (3)若，求此时三角形地砖的数量． 【答案】(1)21 (2)用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． (3)此时三角形地砖的数量为202块． 【解析】（1）由图形可知，图1中六边形地砖块数为1，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图2中六边形地砖块数为2，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为； 图3中六边形地砖块数为3，正方形地砖块数为，三角形地砖块数为；…， 由此可见，每增加1块六边形地砖，正方形地砖会增加5块，三角形地砖会增加4块， ∴图4中正方形地砖块数为21块． （2）由（1）发现的规律可知， 当铺设这条小路共用去n块六边形地砖时， 用去的正方形地砖的块数为块，三角形地砖的块数为块． （3）当时，三角形地砖的块数为（块）． 答：此时三角形地砖的数量为202块． 7．（2024·安徽合肥·一模）将字母“”，“”按照如图所示的规律摆放，其中第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母；……根据此规律解答下面的问题： (1)第个图形中有______个字母，有______个字母； (2)第个图形中有______个字母，有______个字母（用含的式子表示）； (3)第个图形中有______个字母，有______个字母． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【解析】（1）第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母；第个图形中有个字母，有个字母，依此类推，第个图形中有个字母，有个字母 （2）观察规律：第个图形中有个字母，第个图形中有个字母，第个图形中有个字母…… 因为字母的数量等于 所以第个图形中有个字母 同理观察规律：第个图形中有个字母，第个图形中有个字母；第个图形中有个字母…… 因为字母的个数是字母的个数的2倍多2，字母的数量等于 则字母的个数是 即第个图形中有个字母 （3）根据第（2）问，将数字代入即可 因为字母的数量等于 所以第个图形中有个字母 因为字母的个数是 所以第个图形中有个字母 8．（2024·安徽亳州·三模）图1有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图2，有个三角形，记作；再分别连接图2中间的小三角形三边中点得到图3，有个三角形，记作；……． 根据上述规律，解答下面的问题： (1)图4中有______个三角形，记作______． (2)猜想图中有______个三角形，记作______；（用含的代数式表示） (3)求的值．（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)13，13 (2)， (3) 【解析】（1）∵第一个图中1个三角形， 第二个图中5个三角形， 第三个图中9个三角形， ∴图4中有13个三角形，记作 （2）由（1）可得， 图中有个三角形，记作； （3） ． 9．（2023·安徽·模拟预测）春节期间，某单位在小广场上展出一批花卉，如图所示是这些花卉的排列图案，其中小黑点表示花卉．第①层需要1盆；第②层需要4盆；第③层需要7盆；第④层需要10盆；以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第⑤层需要花卉 盆，五层共需要花卉 盆； (2)第n层需要花卉 盆；（用含n的代数式表示） (3)若将按此规律排列的图案中的4条射线，，，上的花卉全部换成盆景，当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有多少盆花卉？ 【答案】(1)13；35 (2) (3)当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉 【解析】（1）解：第①层需要1盆； 第②层需要盆； 第③层需要盆； 第④层需要盆； 第⑤层需要花卉盆， 五层共需要花卉（盆）； 故答案为：13；35． （2）解：第①层需要1盆； 第②层需要盆； 第③层需要盆； 第④层需要盆； 第⑤层需要花卉盆， … 第n层需要花卉盆． 故答案为：． （3）解：设当盆景共用去205盆时，该图案共有x层，此时共需盆景（盆）， 由题意得：， 解得：． ∴当盆景共用去205盆时，该图案共有52层，（盆）， 答：当盆景共用去205盆时，该图案的最外一层除盆景外还有150盆花卉． 10．（2024·安徽合肥·一模）某班数学小组在研究个位数字为5的两位数的平方的规律时，得到了下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 按照以上规律，解决下列问题： (1)填空：______=______； (2)已知且n为整数，猜想第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1)， (2)，详见解析 【解析】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … ； 故答案为：，； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 猜想第n个等式（用含n的等式表示）为：，，且为整数） 证明： ； ∴左边右边， ∴等式成立． 11．（2023·安徽合肥·模拟预测）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题． ① ② ③ (1)______； (2)______； (3)______． 【答案】(1)20 (2) (3) 【解析】（1）解： 故答案为：20 （2）解： ； 故答案为： （3）解： 故答案为： 能力提升 12．（2024·安徽·二模）【观察思考】 如图，第1个图案是由边长为1的两个等边三角形组成的1个菱形（包含两条对角线），第2个图案由2个相同的菱形组成，第3个图案由3个相同的菱形组成，以此类推．．． 【规律发现】 第1个图案中含有长为1的线段条数是5，含有三角形个数是8；第2个图案中含有长为1的线段条数是9，含有三角形个数是18；第3个图案中含有长为1的线段条数是13，含有三角形个数是28；…… （1）第n个图案中含有长为1的线段条数是__________，含有三角形个数是__________．（用含n的式子表示） 【规律应用】 （2）结合图案中长为1的线段条数和三角形个数的规律，每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多吗？请说明理由． 【答案】（1）；；（2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多，理由见解析 【解析】解：（1）第1个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第2个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 第3个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； …… 第n个图案中含有长为1的线段条数是，含有三角形个数是； 故答案为：；． （2）每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 理由：第个图案中三角形个数与长为1的线段条数之差为． 为正整数， ， 每个图案中三角形个数都比长为1的线段条数多． 13．（2023·安徽·模拟预测）某市迎宾大道两侧按五角星型整齐地摆放着鲜花（每个点代表一盆鲜花）喜迎国庆佳节，图1用盆鲜花摆放成一个五角星图案，图2用盆鲜花摆放成两个叠放的五角星图案，图3摆放成三个叠放的五角星图案……依此规律摆放下去，观察图案并解答下面问题： (1)图3有鲜花_______盆． (2)图n有鲜花_______盆．（用含n的代数式表示） (3)是否存在某个图案恰好用了盆鲜花？如果存在，求出是第几个图案；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】（1）解：图1用盆鲜花摆放成一个五角星图案， 图2用盆鲜花摆放成两个叠放的五角星图案， 图3用盆鲜花摆放成两个叠放的五角星图案， 故答案为：； （2）解：设图n中菱形的个数为an（n为正整数）， 图n用盆鲜花摆放成两个叠放的五角星图案， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： ， 解得， ∵n为正整数， ∴不符合题意， 答：不存在某个图案恰好用了盆鲜花． 14．（2024·安徽合肥·二模）高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和彩色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题： (1)图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：…； 图n的彩色正方形有： (2)图1中，白色正方形比彩色正方形多1个；图2中，白色正方形比彩色正方形多2个：图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； …；图n 的白色正方形有 个． (3)若图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图n 中白色正方形的个数． 【答案】(1) (2) (3)图n中有66个白色正方形 【解析】（1）解：图1的彩色正方形有：； 图2的彩色正方形有：； 图3的彩色正方形有：； 图4的彩色正方形有：， ……， 以此类推可知，图n的彩色正方形有， 故答案为：； （2）解：图1中，白色正方形比彩色正方形多1个； 图2中，白色正方形比彩色正方形多2个： 图3 中，白色正方形比彩色正方形多3个； ……， 以此类推可知，图n 的白色正方形比彩色正方形多n个， ∴图n 的白色正方形有个， 故答案为：； （3）解：图1中，等边三角形的个数为2个； 图2中，等边三角形的个数为3个： 图3 中，等边三角形的个数为4个； 图4中，等边三角形的个数为5个； ……， 以此类推可知，图n 中等边三角形的个数为个， ∵图n 中彩色正方形的个数比等边三角形的个数多45个， ∴， 解得或舍， 当时，， ∴图n 中白色正方形的个数为66个． $$