第03讲 分式和二次根式（讲练）（思维导图+4考点+2命题点11种题型（含10种解题技巧））-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（安徽专用）

第一章 数与式 第03讲 分式和二次根式（8~13分） （思维导图+4考点+2命题点11种题型（含10种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与性质 考点二 分式的运算 考点三 二次根式的概念与性质 考点四 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一分式、二次根式的概念与性质 ►题型01 分式有无意义的条件 ►题型02 分式的值为0的条件 ►题型03 分式的值为正、负或整数时的参数问题 ►题型04 分式的约分 ►题型05 分式的通分 ►题型06 二次根式有意义的条件 ►题型07 利用二次根式的性质进行化简 命题点二 分式、二次根式的运算 ►题型01 分式的乘除法 ►题型02 分式的加减法 ►题型03 二次根式的乘除法 ►题型04 二次根式的加减运算 ►题型05 二次根式混合运算与化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的概念与性质 理解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分与通分。 10年3考 分式与二次根式这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考中，分式的概念与性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；分式的运算则多以填空题、化简求值或规律探究形式考查；二次根式的概念与性质常以选择题或填空题形式出现；二次根式的运算的考查多数以填空填空题、计算题形式出现。 对于分式、二次根式的复习，需要学生熟练掌握分式与二次根式的相关概念、性质和运算法则. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 10年7考 二次根式的概念与性质 了解二次根式、最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 10年2考 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与性质 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 2.对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 3.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 4.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 6.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 7.约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 8.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 9.确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 10.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 11.分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 系数取各系数的最大公约数；相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 。 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 考点二 分式的运算 1.分式的加减法： （1）同分母分式：分母不变，分子相加减，即； （2）异分母分式：先通分，化为同分母的分式，再加减。即 2.分式的乘除法： （1）分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 （2）分式的除法：把除式的分子分母颠倒位置，再与被除式相乘。即 （3）分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方，即 （4）分式的混合运算：运算顺序：先算乘方。再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 考点三 二次根式的概念与性质 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质： 5.二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6.化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、、、等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根。 6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 考点四 二次根式的运算 1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式、二次根式的概念与性质 ☛题型01 分式有无意义的条件 例1．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：分式有意义的条件是分母不能等于， ． 故答案为：． 1.分式有意义的条件是分母不为0； 2.当分母为二次根式时同时考虑被开方数大于0的情况； 3.当分母为含参数的方程时，即为方程无解。 1．（2023·安徽合肥·三模）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵不论x取任何数分式总有意义， ∴， ∴方程无解， ∴，解得：， 故选：B． 2．（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵无意义， ∴， ∴． 故选：A 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 4．（2023·广东肇庆·一模）当 时，分式无意义． 【答案】 【解析】解：∵分式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． ☛题型02 分式的值为0的条件 例2．（2023·安徽蚌埠·三模）化简：，并给出的值，使得该式的值为0． 【答案】； 【解析】解：原式＝ ∵， ∴当时，原式 分式的值为0，要注意只是分子等于0，切记不可遗忘分母不为零；不能与分式有意义的条件混淆。 1．（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由分式值为0，得 且． 解得， 故选：B． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 3．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ． 【答案】 【解析】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：． 故答案为： 4．（2024·湖南·模拟预测）当时，分式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【解析】解：当时，若分式的值为0， 则有，， 解得． 故答案为：3． ☛题型03 分式的值为正、负或整数时的参数问题 例3．（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【解析】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 1.分式的值为正则要求分子、分母同号，将分式转化为整式列出不等式，可求解参数的取值范围，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除； 2.分式的值为负则要求分子、分母异号，将分式转化为整式列出不等式，可求解参数的取值范围，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除； 3.分式的值为整数则要求分子时分母的整数倍，需要对分子分母因式分解或者化简到最简分式，根据倍数关系列出参数可取的值，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除。 1．（2023·贵州六盘水·一模）若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 【答案】D 【解析】解：∵分式的值为整数，且x为整数， ∴， ∴整数x的值为1或3， 故选：D 2．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【答案】B 【解析】解： ， 要使分式值为整数，且x为整数， ， 又， ，， 整数的的个数有1，，，共3个， 故选：B． 3．（2022·福建泉州·模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴分式的值为负数，即分母且，解得：． 故答案为：． 4．（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． 【答案】，1，2，4，5，7 【解析】解：， ∵分式的值为整数， ∴或或， 解得：，，，，，， 故答案为，1，2，4，5，7． ☛题型04 分式的约分 例4．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】解： ， 当时， ∴原式=． 先将分式的分子和分母进行因式分解，在利用分式的基本性质，将分式的分子和分母的公因式约去，将分式化成最简分式的形式； 1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴括号内应填． 故选D． 2．（2024·安徽合肥·一模）化简： ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 3．（2023·安徽芜湖·二模）化简：＝ ． 【答案】 【解析】解：原式 ， 故答案为：． 4．（2024·山西晋中·二模）化简的结果是 ． 【答案】 【解析】解：； 故答案为：． ☛题型05 分式的通分 例5．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 【答案】 【解析】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． 异分母分式通分的步骤： 1.找分式分母的最简公分母，（最简公分母各分式分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数、取公因式的最高次幂作为最简公分母的因式，对于只在一个分母中存在的因式，连同指数一起作为最简公分母的一个因式）； 2.找出各分母在化成最简公分母时所乘的因式； 3.利用分式的基本性质将各分母化成最简公分母； 1．（2021·河北唐山·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数， ∵系数2与1的公倍数是2，与的最高次幂是，与的最高次幂是，对于只在一个单项式中出现的字母c直接作公分母中的因式， ∴公分母为： ． 故选择：A． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 【答案】 【解析】解：，， 分式和的最简公分母为， 去分母时，需方程两边都乘以最简公分母． 故答案为：． 3．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 【答案】 【解析】解： ， ，解得， 故答案为：． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． 【答案】 【解析】解：， ， ． 故答案为． ☛题型06 二次根式有意义的条件 例6．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【解析】解：根据二次根式的性质可得：中， 解得， 函数中自变量的取值范围是． 故答案为：． 1.二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0； 2.当被开方数中含有分母或二次根式位于分母的位置时，要注意分母不为零； 1．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A． ，可取正数，0，负数，所以取值范围是全体实数，符合题意； B． 中解得，不符合题意； C． 中分母不能为0，所以，不符合题意； D． 中分母不能为0，所以，解得：，不符合题意； 故选：A． 2．（2024·安徽宿州·一模）在数轴上表示函数的自变量的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：， 在数轴上表示为： 故选：A． 3．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 4．（2024·安徽合肥·二模）要使有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【解析】解：∵要使有意义， ∴， ∴， 故答案为：． ☛题型07 利用二次根式的性质进行化简 例7．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】D 【解析】解：对于正整数，有 ， ∴， ∴ ， ， ∴不超过的最大整数为2024． 故选：D． 1.要注意二次根式是一个非负数，即二次根式不可能等于一个负数，即； 2.； 1．（2024·安徽阜阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A、，选项计算错误； B、，选项计算正确； C、，选项计算错误； D、，选项计算错误； 故选B． 2．（2024·安徽滁州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，故错误，不合题意； B、，故错误，不合题意； C、，故错误，不合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】解：；故选C． 4．（2024·湖北·模拟预测）在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A.，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 命题点二 分式、二次根式的运算 ☛题型01 分式的乘除法 例8．（2024·浙江嘉兴·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【解析】解：原式 ， 当时，原式． 1.分式乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即； 2.分式除法法则：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数，即； 1.在进行除法运算时，要注意将除式的分子与分母颠倒之后再相乘； 2.在进行乘除法混合运算时，要注意运算顺序，不可以先乘除后加减，在没有括号的前提下要按照从左到右的顺序进行运算。 3.化简求值时，要先进行化简，再代入求值，不可直接带入。 4.分式的分子和分母如果时多项式，要先进行因式分解，在进行约分，运算的结果一定要化成最简分式。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解： ， 故选D． 2．（2024·安徽合肥·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： 故选：B． 3．（2024·内蒙古包头·三模）计算的结果为 ． 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． 4．（2024·湖北恩施·三模）计算的结果是 ． 【答案】 【解析】解： 故答案为：． ☛题型02 分式的加减法 例9．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解析】（1）解：∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式为：，即； （2）解：由（1）可得：； 证明：左边， 右边， 左边右边，即成立． 1.同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减； 2.异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式后，在按照同分母分式进行加减运算； 1.分式加减运算时要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号时要先算括号里的运算；只含有 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 1．（2024·安徽淮北·三模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解： ， 故选：A． 2．（2024·安徽宿州·三模）化简的结果正确的是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：． 故选：B． 3．（2024·湖北襄阳·一模）计算： ． 【答案】 【解析】解：原式 ． 故答案为：． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）化简分式 的结果是 . 【答案】 【解析】解： ． 故答案为：． ☛题型03 二次根式的乘除法 例10．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）计算： ． 【答案】1 【解析】， 故答案为：1． 1.； 2.； 。 在进行二次根式乘除法运算时，要注意运算结果要化成最简二次根式，即被开方数中不含能开得尽方的因式，被开方数中不含有分母； 1．（2023·安徽安庆·一模）计算： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 2．（2022·安徽合肥·一模）计算的结果是 ． 【答案】2 【解析】 故答案为： 3．（2024·安徽合肥·一模）计算： 【答案】6 【解析】解： ． 4．（2023·安徽合肥·一模）计算：． 【答案】0 【解析】 ☛题型04 二次根式的加减运算 例11．（2024·陕西西安·模拟预测）计算： ． 【答案】 【解析】解：原式．故答案为：． 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【解析】 故答案为：． 2．（2024·贵州遵义·二模）计算的结果为 ． 【答案】 【解析】解：． 故答案为：． 3．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】解： ， 当时，原式 4．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】．解：原式 当时， 原式 ☛题型05 二次根式混合运算与化简求值 例12．（2024·安徽·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】解：原式 ． 当时，原式． 1．（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 【答案】 【解析】解：， 故答案为：． 2．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 【答案】 【解析】解：原式． 3．（2024·安徽阜阳·三模）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 4．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】解： 当时，原式 基础巩固 一、单选题 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【解析】解：由题意得：且， 解得：且，故选：B． 2．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A. ，正确，符合题意；     B. ，错误，不符合题意； C. 无法计算，错误，不符合题意；     D. ，错误，不符合题意； 故选A． 3．（2024·安徽·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解： ； 故选B 4．（2024·重庆大渡口·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【解析】解：， ∵， ∴， ∴； 故选D． 5．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 【答案】A 【解析】解：根据题意可得：甲和乙都对，故选：A． 二、填空题 6．（2021·安徽·中考真题）计算： ． 【答案】3 【解析】解：，故答案为3． 7．（2024·安徽合肥·三模）计算： ． 【答案】 【解析】解：，故答案为：． 8．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是 ． 【答案】 【解析】解：．故答案为：3． 9．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 【答案】2024 【解析】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．（2024·安徽宣城·三模）计算：． 【答案】 【解析】解： ． 11．（2024·安徽淮北·三模）计算：． 【答案】 【解析】解：原式 12．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1） ； （2） ． 13．（2024·安徽·模拟预测）先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 【答案】，当时，原式 【解析】解： ， 当时，原式． 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 【答案】(1)，当时， (2)画图见详解；是 【解析】（1）解： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，； （2）解：令，则，令，则，令，则，令，则， 令，则，故图象经过和， ∵且， ∴点不在图象上， 故的图象如图： 根据图象可得，的图象经过第二象限． 15．（2024·安徽宣城·三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式， … (1)写出第5个等式：______； (2)猜想并写出第n个等式，并证明它的正确性． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【解析】（1）由题意可知，第5个等式为：， 故答案为：， （2）由题意可得，第个等式为， 证明：左侧右侧， 成立． 16．（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)，5 (2)①直角三角形，见解析；② 【解析】（1）解：，， ， ． 故答案为：，5； （2）解：①是直角三角形． 理由：， ， 是直角三角形； ②， ． 能力提升 17．（2024·江西宜春·模拟预测）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，若，都有，则称是增函数；若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵，∴，．∴．即． ∴．∴函数（）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 (1)计算：__________，__________； (2)猜想：函数是__________函数（填“增”或“减”）； (3)请仿照例题证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)增； (3)见解析． 【解析】（1）解：由题意得，； ； （2）解：∵，， ∴可以猜想函数是增函数； （3）证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是增函数． 18．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． 【答案】（1），2；（2）当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；（3）四边形面积的最小值为 【解析】解：（1）∵，且， ∴； 当时，， 故答案为：，2； （2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米， 则， ， 这个篱笆长米， 根据材料可得，，当时，的值最小， 或（舍弃）， ， ∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米． （3）设，已知，， 则由等高三角形可知：， ， ， 四边形面积 当且仅当，即时，取等号， 四边形面积的最小值为． $$第一章 数与式 第03讲 分式和二次根式（8~13分） （思维导图+4考点+2命题点11种题型（含10种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与性质 考点二 分式的运算 考点三 二次根式的概念与性质 考点四 二次根式的运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一分式、二次根式的概念与性质 ►题型01 分式有无意义的条件 ►题型02 分式的值为0的条件 ►题型03 分式的值为正、负或整数时的参数问题 ►题型04 分式的约分 ►题型05 分式的通分 ►题型06 二次根式有意义的条件 ►题型07 利用二次根式的性质进行化简 命题点二 分式、二次根式的运算 ►题型01 分式的乘除法 ►题型02 分式的加减法 ►题型03 二次根式的乘除法 ►题型04 二次根式的加减运算 ►题型05 二次根式混合运算与化简求值 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 分式的概念与性质 理解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分与通分。 10年3考 分式与二次根式这一考点在安徽中考数学中属于较为简单的一类考点，在中考中，分式的概念与性质主要以选择题或填空题形式考查，比较简单；分式的运算则多以填空题、化简求值或规律探究形式考查；二次根式的概念与性质常以选择题或填空题形式出现；二次根式的运算的考查多数以填空填空题、计算题形式出现。 对于分式、二次根式的复习，需要学生熟练掌握分式与二次根式的相关概念、性质和运算法则. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 10年7考 二次根式的概念与性质 了解二次根式、最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化简 10年2考 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 10年3考 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的概念与性质 1.正负数的概念：大于0的数叫做正数.正数前面加上符号“-”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能省 1.分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 2.对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 3.约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 4.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 5.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 6.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 7.约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 8.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 9.确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 10.分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 11.分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式.确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 系数取各系数的最大公约数；相同字母取字母的最低次幂. 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 。 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 考点二 分式的运算 1.分式的加减法： （1）同分母分式：分母不变，分子相加减，即； （2）异分母分式：先通分，化为同分母的分式，再加减。即 2.分式的乘除法： （1）分式的乘法：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 （2）分式的除法：把除式的分子分母颠倒位置，再与被除式相乘。即 （3）分式的乘方：把分式的分子和分母分别乘方，即 （4）分式的混合运算：运算顺序：先算乘方。再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式。 1.异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2.整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式． 3.分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘. 4.当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变. 5.乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方. 6.分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负. 7.分式乘方时,分式的分子或分母是多项式时,应把分子、分母分别看作一个整体. 如： 8.分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 点三 二次根式的概念与性质 1.二次根式的概念：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数． 2.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质： 5.二次根式的化简方法： （1）利用二次根式的基本性质进行化简； （2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． =• ， = 6.化简二次根式的步骤： （1）把被开方数分解因式； （2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积； （3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 1.二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如： - 都是二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义. 3.在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0）等有意义的综合运用． 4.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1. [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、、、等. 5.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根。 6.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数. 7. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 8. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 考点四 二次根式的运算 1.乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： =• . 2.除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即（a≥0，b＞0）. 3.加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并. 【口诀】一化、二找、三合并. 4.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程. 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即： 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分. 即：； 5.混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 3.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变． 4.二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式. 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式、二次根式的概念与性质 ☛题型01 分式有无意义的条件 例1．（2024·安徽·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 1.分式有意义的条件是分母不为0； 2.当分母为二次根式时同时考虑被开方数大于0的情况； 3.当分母为含参数的方程时，即为方程无解。 1．（2023·安徽合肥·三模）若分式不论x取任何数总有意义，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·贵州遵义·一模）要使无意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·二模）当时，分式无意义，则的值为 ． 4．（2023·广东肇庆·一模）当 时，分式无意义． ☛题型02 分式的值为0的条件 例2．（2023·安徽蚌埠·三模）化简：，并给出的值，使得该式的值为0． 分式的值为0，要注意只是分子等于0，切记不可遗忘分母不为零；不能与分式有意义的条件混淆。 1．（2024·贵州黔东南·一模）若分式值为0，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东汕头·二模）已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（2023·四川南充·中考真题）若分式的值为0，则 ． 4．（2024·湖南·模拟预测）当时，分式的值为0，则的值为 ． ☛题型03 分式的值为正、负或整数时的参数问题 例3．（2024·江苏扬州·三模）能使分式值为整数的整数有 个． 1.分式的值为正则要求分子、分母同号，将分式转化为整式列出不等式，可求解参数的取值范围，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除； 2.分式的值为负则要求分子、分母异号，将分式转化为整式列出不等式，可求解参数的取值范围，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除； 3.分式的值为整数则要求分子时分母的整数倍，需要对分子分母因式分解或者化简到最简分式，根据倍数关系列出参数可取的值，要注意分母不为0，并将能够使分母为零的参数的值排除。 1．（2023·贵州六盘水·一模）若分式的值为整数，则整数的值为（   ） A．1 B． C．3 D．1或3 2．（2024·河北邯郸·二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 3．（2022·福建泉州·模拟预测）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ． 4．（2023·广东广州·二模）已知：分式的值为整数，则整数a有 ． ☛题型04 分式的约分 例4．（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 先将分式的分子和分母进行因式分解，在利用分式的基本性质，将分式的分子和分母的公因式约去，将分式化成最简分式的形式； 1．（2024·河南商丘·模拟预测）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·一模）化简： ． 3．（2023·安徽芜湖·二模）化简：＝ ． 4．（2024·山西晋中·二模）化简的结果是 ． ☛题型05 分式的通分 例5．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是 ． 异分母分式通分的步骤： 1.找分式分母的最简公分母，（最简公分母各分式分母的系数的最小公倍数作为最简公分母的系数、取公因式的最高次幂作为最简公分母的因式，对于只在一个分母中存在的因式，连同指数一起作为最简公分母的一个因式）； 2.找出各分母在化成最简公分母时所乘的因式； 3.利用分式的基本性质将各分母化成最简公分母； 1．（2021·河北唐山·一模）要把分式与通分，分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁盘锦·三模）在解分式方程：的过程中，去分母时，需方程两边都乘以最简公分母 ． 3．（2023·辽宁朝阳·二模）对于任意的值都有，则值为 ． 4．（2024·广东深圳·模拟预测）如果，则＝ ． ☛题型06 二次根式有意义的条件 例6．（2024·安徽·三模）函数的自变量的取值范围是 ． 1.二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0； 2.当被开方数中含有分母或二次根式位于分母的位置时，要注意分母不为零； 1．（2024·安徽蚌埠·三模）下列四个函数中，自变量x的取值范围是全体实数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽宿州·一模）在数轴上表示函数的自变量的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽阜阳·三模）若式子有意义，则x的取值范围为 ． 4．（2024·安徽合肥·二模）要使有意义，则x的取值范围为 ． ☛题型07 利用二次根式的性质进行化简 例7．（2024·湖南·模拟预测）设，则不超过的最大整数为（ ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 1.要注意二次根式是一个非负数，即二次根式不可能等于一个负数，即； 2.； 1．（2024·安徽阜阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽滁州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 4．（2024·湖北·模拟预测）在下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 命题点二 分式、二次根式的运算 ☛题型01 分式的乘除法 例8．（2024·浙江嘉兴·三模）先化简，再求值：，其中． 1.分式乘法法则：分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即； 2.分式除法法则：除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数，即； 1.在进行除法运算时，要注意将除式的分子与分母颠倒之后再相乘； 2.在进行乘除法混合运算时，要注意运算顺序，不可以先乘除后加减，在没有括号的前提下要按照从左到右的顺序进行运算。 3.化简求值时，要先进行化简，再代入求值，不可直接带入。 4.分式的分子和分母如果时多项式，要先进行因式分解，在进行约分，运算的结果一定要化成最简分式。 1．（2024·安徽合肥·模拟预测）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·二模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古包头·三模）计算的结果为 ． 4．（2024·湖北恩施·三模）计算的结果是 ． ☛题型02 分式的加减法 例9．（2024·安徽六安·模拟预测）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式：________（用含n的等式表示），并证明． 1.同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减； 2.异分母分式相加减，先通分，化成同分母分式后，在按照同分母分式进行加减运算； 1.分式加减运算时要注意运算顺序，先乘除后加减，有括号时要先算括号里的运算；只含有 2.列代数式时，题目条件中如果有单位，所列代数式必须要带单位； 3.所列代数式如果是多项式，在带单位时必须加上括号。 1．（2024·安徽淮北·三模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽宿州·三模）化简的结果正确的是（    ） A．2 B． C． D． 3．（2024·湖北襄阳·一模）计算： ． 4．（2024·湖北黄冈·模拟预测）化简分式 的结果是 . ☛题型03 二次根式的乘除法 例10．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）计算： ． 1.； 2.； 。 在进行二次根式乘除法运算时，要注意运算结果要化成最简二次根式，即被开方数中不含能开得尽方的因式，被开方数中不含有分母； 1．（2023·安徽安庆·一模）计算： ． 2．（2022·安徽合肥·一模）计算的结果是 ． 3．（2024·安徽合肥·一模）计算： 4．（2023·安徽合肥·一模）计算：． ☛题型04 二次根式的加减运算 例11．（2024·陕西西安·模拟预测）计算： ． 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合并.另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算. 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）计算的结果是 ． 2．（2024·贵州遵义·二模）计算的结果为 ． 3．（2024·安徽淮北·一模）先化简，再求值：，其中 4．（2024·安徽淮北·三模）先化简，再求值：，其中． ☛题型05 二次根式混合运算与化简求值 例12．（2024·安徽·二模）先化简，再求值：，其中． 1．（2024·安徽合肥·二模）计算： ． 2．（2024·安徽合肥·三模）计算：． 3．（2024·安徽阜阳·三模）计算：． 4．（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：，其中． 基础巩固 一、单选题 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 2．（2023·安徽蚌埠·三模）下列运算正确的是（       ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·三模）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·重庆大渡口·一模）估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 5．（2024·河北·模拟预测）老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 二、填空题 6．（2021·安徽·中考真题）计算： ． 7．（2024·安徽合肥·三模）计算： ． 8．（2024·广东·模拟预测）计算的结果是 ． 9．（22-23八年级下·四川广安·期末）若，则 ． 三、解答题 10．（2024·安徽宣城·三模）计算：． 11．（2024·安徽淮北·三模）计算：． 12．（2024·广东·模拟预测）（1）化简：； （2）计算：． 13．（2024·安徽·模拟预测）先化简，再选一个你喜欢的的值，求的值． 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 15．（2024·安徽宣城·三模）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式， … (1)写出第5个等式：______； (2)猜想并写出第n个等式，并证明它的正确性． 16．（2024·湖南益阳·模拟预测）小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误： 小智与小慧分别从不同的角度帮助小静加深对这一错误的认识： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵_______，_____， ∴，∴． (2)如图，以，，为三边构造， ①请判断是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 能力提升 17．（2024·江西宜春·模拟预测）阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，，若，都有，则称是增函数；若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵，∴，．∴．即． ∴．∴函数（）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数 (1)计算：__________，__________； (2)猜想：函数是__________函数（填“增”或“减”）； (3)请仿照例题证明你的猜想． 18．（2024·广东肇庆·一模）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式： ，当且仅当时取到等号． 【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】例如：已知，求式子的最小值． 解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________； 【能力提升】 （2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值． $$