第07讲 角（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第07讲 角 课程标准 学习目标 ①角的认识 ②角度制及换算 ③方向角 ④钟面角 1. 掌握角的定义及其表示方法，能熟练的判断角和表示角。 2. 掌握角度制及其换算，能够熟练的对角度进行换算。 3. 掌握方向角定义，能够快速的判断方向角。 4. 掌握钟面上大格和小格之间的度数，并能够快速的求出钟面角的度数。 知识点01 角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有 端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的 ，这两条射线叫做角的 。 动态定义：把一条射线绕着它的 旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的 叫做角的顶点。 角的边：组成角的 是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 。 （方法2与方法3适用于任意角） 【即学即练1】 1．下列图形中能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是（　　） A． B． C． D． 知识点02 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有 ； ； 。 把周角360份等分，平均一份就是 度，记作： ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 ，记作： ，把1′角按60份等分，其中一份就是 ，记作： 。 2. 角的单位换算： 1周角＝ ＝ 平角，1平角＝ ＝ 直角，1直角＝ 。1°＝ ， 1′＝ 。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 的部分化成分，在把不足 的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 【即学即练1】 2．1.16°＝　 　° 　 ′　 　″；45°57′18″＝　 　° 知识点03 方向角 1. 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用 多少度， 多少度， 多少度， 多少度来表示。 【即学即练1】 3．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　） A．点A在点O的北偏东30°方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东60°方向上 D．点D在点O的南偏东45°方向上 知识点04 钟面角 1. 钟面角的计算： 钟面上一大格表示 ，一小格表示 。 【即学即练1】 4．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 题型01 角的表示 【典例1】下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【变式3】如图，下列表示角的方法，错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 题型02 射线条数确定角的个数 【典例1】如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 题型3 角度制的换算 【典例1】把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 【变式1】用度来表示78°29′24″＝ 　． 【变式2】比较15.30°，15°30′，15.03°大小，正确的是（　　） A．15.30°＞15°30′＞15.03° B．15°30′＞15.30°＞15.03° C．15.30°＞15.03°＞15°30′ D．无法比较 【变式3】计算： （1）44°49′+37°28′； （2）24°14′24″+55.48°． 【变式4】计算： （1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）．（2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）． 题型04 判断及计算方向角 【典例1】如图，点A位于点O的（　　） A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上 C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上 【变式1】已知轮船A在码头的北偏东30°方向上，则码头在轮船A的（　　） A．北偏东60°方向上 B．南偏西30°方向上 C．南偏西60°方向上 D．南偏东30°方向上 【变式2】如图，下列说法中正确的是（　　） A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西75° C．OC方向是南偏西75° D．OD方向是东南方向 【变式3】如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60° 题型05 求钟面上时针和分针的夹角 【典例1】钟表在8：25时，时针与分针的夹角是（　　）度． A．101.5° B．102.5° C．120° D．125° 【变式1】12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（　　） A．90° B．67.5° C．82.5° D．60° 【变式2】如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是　 　． 【变式3】当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（　　） A．9点钟 B．10点钟 C．4点钟或8点钟 D．2点钟或10点钟 1．下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 2．下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 3．已知，学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的（　　）方向上． A．北偏西40° B．北偏西50° C．东偏南40° D．东偏南50° 4．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　） A．110° B．75° C．105° D．90° 5．图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（　　） A．东偏南30°方向500米处 B．南偏东60°方向500米处 C．北偏西30°方向500米处 D．西偏北30°方向500米处 6．经过28分钟，时针旋转了（　　）度． A．7 B．14 C．21 D．28 7．将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（　　） A．20° B．2° C．200° D．无法判断 8．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°30' B．98°45'+2°35'＝100°80' C．108°18'﹣52°28'＝55°80' D．24°24'＝24.04° 9．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是（　　） A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C 10．如图，C、D在线段BE上，下列说法： ①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条： ②以A为顶点的角的个数有6个； ③若BC＝2，CD＝DE＝4，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．如果∠A是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下∠A是 　 　度． 12．如图，若以运输船A为观测点，救生船B在运输船A的北偏东15°方向上，距运输船A约50海里处．若以救生船B为观测点，则运输船A在救生船B的 　 　方向上，距救生船B约 　 　海里处． 13．比较大小：20°15' 30″　 　20.25°．（填“＞”“＜”或“＝”） 14．从8：10到8：30，时钟的分针转过的角度为 　 　°． 15．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 　 　个． 16．计算下列各题： （1）18°50′32″+30°15′42″； （2）； （3）． 17．如图，点O表示小明家，A，B，C，D，E分别表示学校，高铁站，博物馆，影院，公园，且2OB＝3OC＝6OA＝6km，E是OC的中点，BD＝2OD． （1）判断到点O的距离相等的地方有哪些？ （2）以小明家为参照点，请用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置． 18．（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表： ∠AOB 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 　 　 　 　 　 　 　 （2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 19．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间． （1）时针每分钟转动的角度为 　 　°，分针每分钟转动的角度为 　 　°； （2）8点整，钟面角∠AOB＝　 　°，钟面角与此相等的整点还有：　 　点； （3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数． 20．综合与实践 如图是某街区的平面示意图． （1）老顶山在广场的 　 　方向大约 　 　千米处． （2）八一路小学位于广场南偏东30°方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． （3）李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表： 里程 收费 2km以下（含2km） 6.00元 2km以上每增加1km（不足1km按1km算） 1.30元 （注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 角 课程标准 学习目标 ①角的认识 ②角度制及换算 ③方向角 ④钟面角 1. 掌握角的定义及其表示方法，能熟练的判断角和表示角。 2. 掌握角度制及其换算，能够熟练的对角度进行换算。 3. 掌握方向角定义，能够快速的判断方向角。 4. 掌握钟面上大格和小格之间的度数，并能够快速的求出钟面角的度数。 知识点01 角的认识 1. 角的定义： 静态定义：有 公共 端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的 顶点 ，这两条射线叫做角的 边 。 动态定义：把一条射线绕着它的 端点 旋转而形成的图形。 2. 角的图示与组成： 角的顶点：两条射线的 交点 叫做角的顶点。 角的边：组成角的 两条射线 是角的边。 3. 角的表示方法： 图1 图2 角的符号：∠ 表示方法1：如图1：用表示顶点的大写字母表示。即表示为 ∠O 。（此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况） 表示方法2：如图1,：用三个大写字母表示。即表示为 ∠BOC 。 表示方法3：如图2：用希腊字母或阿拉伯数字表示。即表示为 ∠1或∠β 。 （方法2与方法3适用于任意角） 【即学即练1】 1．下列图形中能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角且角表示正确的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【解答】解：A．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意； B．该图可用∠1、∠AOB、∠O表示，故此选项正确，符合题意； C．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意； D．该图可用∠1、∠AOB表示，不能用∠O表示，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 知识点02 角度制及换算 1. 角的单位： 角的单位有 度“°” ； 分“′” ； 秒“″” 。 把周角360份等分，平均一份就是 1 度，记作： 1° ，把1°的角进行60份等分，其中一份就是 1分 ，记作： 1′ ，把1′角按60份等分，其中一份就是 1秒 ，记作： 1″ 。 2. 角的单位换算： 1周角＝ 360° ＝ 2 平角，1平角＝ 180° ＝ 2 直角，1直角＝ 90° 。1°＝ 60′ ， 1′＝ 60″ 。 若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足 1° 的部分化成分，在把不足 1′ 的部分化成秒。 若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。 【即学即练1】 2．1.16°＝　1　° 　9　′　36　″；45°57′18″＝　45.955　° 【分析】度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 【解答】解：①∵0.16°＝0.16×60′＝9.6′，0.6′＝0.6×60″＝36″， ∴1.16°＝1°9′36″； ②∵18″＝18÷60＝0.3′，57.3′＝57.3÷60＝0.955°， ∴45°57′18″＝45.955°； 故答案为：1，9，36；45.955． 知识点03 方向角 1. 方向角的定义： 从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用 南偏东 多少度， 南偏西 多少度， 北偏西 多少度， 北偏东 多少度来表示。 【即学即练1】 3．如图，从点O处观测点A，点D的方向，下列说法中错误的是（　　） A．点A在点O的北偏东30°方向上 B．点D在点O的东南方向上 C．点A在点O的北偏东60°方向上 D．点D在点O的南偏东45°方向上 【分析】根据方向角的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、点A在点O的北偏东60°方向上，故A符合题意； B、点D在点O的东南方向上，故B不符合题意； C、点A在点O的北偏东60°方向上，故C不符合题意； D、点D在点O的南偏东45°方向上，故D不符合题意； 故选：A． 知识点04 钟面角 1. 钟面角的计算： 钟面上一大格表示 30° ，一小格表示 12° 。 【即学即练1】 4．如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（　　） A．20° B．40° C．60° D．80° 【分析】由于钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，根据钟面被分成12大格，每大格为30度得到此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°． 【解答】解：钟表的指针恰好是2点整，时针指向2，分针指向12，所以此时钟表上时针与分针所夹的锐角的度数＝2×30°＝60°． 故选：C． 题型01 角的表示 【典例1】下列图中的∠1也可以用∠O表示的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据顶点只有一个角时可用一个大写字母表示角，所以可判定答案． 【解答】解：选项A：∠1的顶点处只有一个角（小于平角），可用∠O表示，符合题意； 选项B：∠1顶点处有三个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意； 选项C：∠1顶点处有2个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意； 选项D：∠1顶点处有4个角（小于平角），不能用∠O表示，不符合题意． 故选：A． 【变式1】如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法，结合图形判断即可． 【解答】解：A．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意； B．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意； C．∠1、∠ABC、∠B表示的是同一个角，正确，故本选项符合题意； D．∠1、∠ABC、∠B表示的不一定是同一个角，错误，∵以∠B为顶点的有多个角，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法正确的是（　　） A．∠AOC可以用∠O表示 B．这条射线记作射线BO C．∠2与∠COB是同一个角 D．∠AOC＝∠1+∠AOB 【分析】根据射线和角的表示方法即可判断求解． 【解答】解：A．∠AOC不可以用∠O表示，原说法错误，不符合题意； B．这条射线记作射线OB，原说法错误，不符合题意； C．∠2与∠COB是同一个角，说法正确，符合题意； D．∠AOC＝∠AOB+∠2，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】如图，下列表示角的方法，错误的是（　　） A．∠1与∠AOB表示同一个角 B．∠AOC也可用∠O来表示 C．图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC D．∠β表示的是∠BOC 【分析】A：根据角的表示方法判断即可． B：只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，所以∠AOC不能∠O来表示，据此判断即可． C：根据角的概念，判断出图中一共有多少个角即可． D：根据角的表示方法判断即可． 【解答】解：∵∠1与∠AOB表示同一个角， ∴选项A正确． ∵只有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角， ∴∠AOC不能∠O来表示， ∴选项B错误． ∵图中共有三个角：∠AOB、∠AOC、∠BOC， ∴选项C正确． ∵∠β表示的是∠BOC， ∴选项D正确． 故选：B． 题型02 射线条数确定角的个数 【典例1】如图，从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【分析】根据角的概念，每一条射线都分别与其它的射线组成一个角，所以从点O出发的n条射线，可以组成角的个数为，据此求出从点O出发的四条射线．可以组成角的个数为多少即可． 【解答】解：从点O出发的四条射线，可以组成角的个数为： ＝＝＝6． 故选：B． 【变式1】如图，从点O出发的5条射线，可以组成的锐角的个数是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】在5条射线中，选取任意一条射线，它和剩余的4条射线都可以组成锐角，所以由它组成的锐角有5﹣1＝4（个），每条射线都可以组成4个锐角，共组成5×4＝20（个）锐角，但是这20个角每个角都计算了2遍，所以再除以2，得到总的锐角的个数为10． 【解答】解：∵组成一个角需要2条射线， ∴选取任意一条射线，由它组成的锐角有5﹣1＝4（个）， 则5条射线可以组成的锐角共＝＝10（个）． 故选：C． 【变式2】如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】画1条、2条、3条射线时可以数出角的个数分别有3个、6个、10个角，当画n条时，由规律得到角的个数的表达式． 【解答】解：画n条射线所得的角的个数为： 1+2+3+…+（n+1）＝． 故选：D． 题型3 角度制的换算 【典例1】把2.36°用度、分、秒表示，正确的是（　　） A．2°21′36″ B．2°18′36″ C．2°30′60″ D．2°3′6″ 【分析】根据大单位化小单位除以进率，可得答案． 【解答】解：2.36°＝2°+0.36×60′＝2°21′+0.6×60″＝2°21′36″， 故选：A． 【变式1】用度来表示78°29′24″＝　78.49°　． 【分析】先将24″化成0.4′，再将29.4′化成“度”即可． 【解答】解：∵24″＝（）′＝0.4′，29.4′＝（）°＝0.49°， ∴78°29'24''＝78.49°． 故答案为：78.49°． 【变式2】比较15.30°，15°30′，15.03°大小，正确的是（　　） A．15.30°＞15°30′＞15.03° B．15°30′＞15.30°＞15.03° C．15.30°＞15.03°＞15°30′ D．无法比较 【分析】把30′化成度，分析比较即可判断． 【解答】解：∵30′＝0.5°， ∴15°30′＝15.5°， ∴15.03°＜15.30°＜15.5°． 故选：B． 【变式3】计算： （1）44°49′+37°28′； （2）24°14′24″+55.48°． 【分析】根据度分秒的换算分别计算（1）（2）即可． 【解答】解：（1）44°49′+37°28′＝82°17′； （2）24°14′24″+55.48°＝24°14′24″+55°28′48″＝79°43′12″． 【变式4】计算： （1）89°35'+20°25'（结果用度、分、秒表示）． （2）123°24'﹣60°36'（结果用度表示）． 【分析】（1）根据度分秒的进制进行计算，即可解答； （2）根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）89°35'+20°25' ＝109°60′ ＝110°； （2）123°24'﹣60°36' ＝123.4°﹣60.6° ＝62.8°． 题型04 判断及计算方向角 【典例1】如图，点A位于点O的（　　） A．南偏东35°方向上 B．北偏西65°方向上 C．南偏东65°方向上 D．南偏西65°方向上 【分析】根据方位角的概念，结合上北下南左西右东的规定进行判断． 【解答】解：由图可得，点A位于点O的北偏西65°的方向上． 故选：B． 【变式1】已知轮船A在码头的北偏东30°方向上，则码头在轮船A的（　　） A．北偏东60°方向上 B．南偏西30°方向上 C．南偏西60°方向上 D．南偏东30°方向上 【分析】轮船A在码头的北偏东30°方向上这是以轮船A为基准的方位图，而要求码头在轮船A的方位则是以码头为基准． 【解答】解：如图所示： 码头在轮船A的南偏西30°方向上． 故选：B． 【变式2】如图，下列说法中正确的是（　　） A．OA方向是北偏东30° B．OB方向是北偏西75° C．OC方向是南偏西75° D．OD方向是东南方向 【分析】根据方向角的概念解答即可． 【解答】解：A、OA方向是北偏东60°，错误； B、OB方向是北偏西15°，错误； C、OC方向是南偏西25°，错误； D、正确． 故选：D． 【变式3】如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠AOB＝90°，则OB的方向角是（　　） A．北偏西30° B．北偏西60° C．东偏北30° D．东偏北60° 【分析】利用已知得出∠1的度数，进而得出OB的方向角． 【解答】解：如图所示：∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°， ∴∠1＝90°﹣30°＝60°， ∴OB的方向角是北偏西60°． 故选：B． 题型05 求钟面上时针和分针的夹角 【典例1】钟表在8：25时，时针与分针的夹角是（　　）度． A．101.5° B．102.5° C．120° D．125° 【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可． 【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°， ∴钟表上8：25时，时针与分针的夹角可以看成时针转过8时0.5°×25＝12.5°，分针在数字5上． ∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴8：25时分针与时针的夹角3×30°+12.5°＝102.5°． 故选：B． 【变式1】12点15分，钟表上时针与分针所成的夹角的度数为（　　） A．90° B．67.5° C．82.5° D．60° 【分析】时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，所以钟表上12小时15分，求出时针与分针的夹角即可． 【解答】解：12点15分时，时钟的时针与分针的夹角是6°×15﹣0.25×30°＝82.5度． 故选：C． 【变式2】如图，上午6：30时，时针和分针所夹锐角的度数是　15°　． 【分析】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． 【解答】解：∵时针12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°， ∴时针1小时转动30°， ∴6：30时，分针指向刻度6，时针和分针所夹锐角的度数是30°×＝15°． 故答案为：15°． 【变式3】当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角，此时是（　　） A．9点钟 B．10点钟 C．4点钟或8点钟 D．2点钟或10点钟 【分析】根据钟表上每一个大格之间的夹角是30°，当分针指向12，时针这时恰好与分针成120°的角，应该得出，时针距分针应该是4个格，应考虑两种情况． 【解答】解：∵钟表上每一个大格之间的夹角是30°， ∴当分针指向12，时针这时恰好与分针成60°的角时，距分针成60°的角时针应该有两种情况，即距时针2个格， ∴只有2点钟或10点钟时符合要求． 故选：D． 1．下列图形中能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【解答】解：A、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故A选项错误； B、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项错误； D、不能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故D选项错误； 故选：B． 2．下列叙述正确的是（　　） A．角的两边越长，角度越大 B．连结两点间的线段叫做这两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．到线段两端点距离相等的点是线段的中点 【分析】根据角的概念，线段的性质，两点间的距离，线段垂直平分线的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．角的大小与角的两边的长短无关，与两条边叉开的大小有关，故A错误； B．连结两点间的线段的长度叫做这两点间的距离，故B错误； C．两点之间，线段最短，故C正确； D．到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D错误； 故选：C． 3．已知，学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的（　　）方向上． A．北偏西40° B．北偏西50° C．东偏南40° D．东偏南50° 【分析】根据题目的已知条件画出图形，即可解答． 【解答】解：如图： ∴学校在小明家的西偏北40°方向上，则小明家在学校的东偏南40°方向上， 故选：C． 4．钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为（　　） A．110° B．75° C．105° D．90° 【分析】根据时钟上一大格是30°进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： 2×30°+×30° ＝60°+15° ＝75°， ∴钟表8时30分时，时针与分针所成的角的度数为75°． 故选：B． 5．图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的（　　） A．东偏南30°方向500米处 B．南偏东60°方向500米处 C．北偏西30°方向500米处 D．西偏北30°方向500米处 【分析】根据方向角的定义，即可解答． 【解答】解：图书馆在剧院的东偏南30°方向500米处，那么剧院在图书馆的西偏北30° 方向500米处， 故选：D． 6．经过28分钟，时针旋转了（　　）度． A．7 B．14 C．21 D．28 【分析】根据时针1分钟转0.5°进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：28×0.5°＝14°， ∴经过28分钟，时针旋转了14度， 故选：B． 7．将一个20°的角放在10倍的放大镜下看，其度数是（　　） A．20° B．2° C．200° D．无法判断 【分析】因为角是从同一点引出的两条射线组成的图形，它的大小与图形的大小无关，只与两条射线形成的夹角有关系． 【解答】解：由分析可知：一个角度数为20度，在10倍的放大镜下观察，这个角的度数为20度， 故选：A． 8．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°30' B．98°45'+2°35'＝100°80' C．108°18'﹣52°28'＝55°80' D．24°24'＝24.04° 【分析】利用度分秒之间的进率计算各式即可． 【解答】解：34.5°＝34°30'，则A符合题意； 98°45'+2°35'＝101°20'，则B不符合题意； 108°18'﹣52°28'＝55°50'，则C不符合题意； 24°24'＝24.4°，则D不符合题意； 故选：A． 9．杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A说：“我是30°15′，我应该最大！”∠B说：“我是30.3°，我应该最大！”．∠C也不甘示弱：“我是30.15°，我应该和∠A一样大！”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判！”，杨老师评判的结果是（　　） A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C 【分析】根据度、分、秒的换算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．将30°15′，30.3°，30.15°的单位统一，再进行大小的比较． 【解答】解：∵∠A＝30°15′＝30°+（）°＝30.25°，∠B＝30.3°，∠C＝30.15°， ∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大， 故选：B． 10．如图，C、D在线段BE上，下列说法： ①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条： ②以A为顶点的角的个数有6个； ③若BC＝2，CD＝DE＝4，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小值为14，其中说法正确的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据图形数一数在直线CD上以B、C、D、E为端点的线段的条数即可对①进行判断； ②根据图形数一数以A为顶点的角的个数即可对②进行判断； ③根据两点间的距离最短可知：当点F在线段CD上时，点F到点B、C、D、E的距离之和最小值，此时FB+FC+FD+FE＝BC+2CD+DE＝14，据此可对③进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①在直线CD上以B、C、D、E为端点的线段有BC，BD，BE，CD，CE，DE，共6条， 故①正确； ②以A为顶点的角有∠BAC，∠BAD，∠BAE，∠CAD，∠CAE，∠DAE，共6个， 故②正确； ③根据两点间的距离最短可知：当点F在线段CD上时，点F到点B、C、D、E的距离之和最小值， 此时FB+FC+FD+FE＝BC+FC+FC+FD+FD+DE＝BC+2（FC+FD）+DE＝BC+2CD+DE， ∵BC＝2，CD＝DE＝4， ∴FB+FC+FD+FE＝2+2×4+4＝14， 故③正确． 综上所述：正确的答案为①②③． 故选：D． 11．如果∠A是一个18度的角，那么在10倍的放大镜下∠A是 　18　度． 【分析】放大镜只能改变线段的大小，无法改变角的大小，计算即可． 【解答】解：在10倍的放大镜下∠A是18度， 故答案为：18． 12．如图，若以运输船A为观测点，救生船B在运输船A的北偏东15°方向上，距运输船A约50海里处．若以救生船B为观测点，则运输船A在救生船B的 　南偏西15°　方向上，距救生船B约 　50　海里处． 【分析】此题观测点是相反的，所以观察到的方向角也是相反的． 【解答】解：如图： 则运输船A在救生船B的南偏西15°方向上，距离A处50海里处． 故答案为：南偏西15°，50． 13．比较大小：20°15'30″　＞　20.25°．（填“＞”“＜”或“＝”） 【分析】将20.25°化为度分秒的形式，与20°15'30''比较即可． 【解答】解：∵20.25°＝20°15'，20°15'30''＞20°15'， ∴20°15'30″＞20.25°． 故答案为：＞． 14．从8：10到8：30，时钟的分针转过的角度为 　120　°． 【分析】由题意可得时钟一共走了20分钟，然后乘以6°求解即可． 【解答】解：∵从8：10到8：30， ∴时钟一共走了20分钟， ∵360°÷60＝6°， ∴时钟的分针一分钟走6°， ∴20×6°＝120°． 故答案为：120． 15．如图，在已知一个角内部画射线，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；求画10条射线得的角共有 　66　个． 【分析】根据画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角，可以得出规律是画n条射线，图中共有 （n+1）（n+2）个角，把n＝9代入计算即． 【解答】解：∵在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角，3＝（1+1）（1+2）； 画2条射线，图中共有6个角，6＝（2+1）（2+2）； 画3条射线，图中共有10个角，10＝（3+1）（3+2）； …， ∴画n条射线，图中共有（n+1）（n+2）个角， ∴画10条射线所得的角的个数是（10+1）（10+2）＝66（个）， 故答案为：66． 16．计算下列各题： （1）18°50′32″+30°15′42″； （2）； （3）． 【分析】（1）根据度、分、秒的运算计算即可； （2）先根据绝对值进行化简，然后再根据有理数的四则运算法则计算即可； （3）根据有理数的混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【解答】解：（1）18°50′32″+30°15′42″ ＝48°65′74″ ＝48°66′14″ ＝49°6′14″； （2）原式＝3+3﹣4 ＝6﹣4 ＝2； （3）原式＝﹣1+ ＝﹣1﹣1﹣2× ＝﹣2 ＝ ＝． 17．如图，点O表示小明家，A，B，C，D，E分别表示学校，高铁站，博物馆，影院，公园，且2OB＝3OC＝6OA＝6km，E是OC的中点，BD＝2OD． （1）判断到点O的距离相等的地方有哪些？ （2）以小明家为参照点，请用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置． 【分析】（1）结合图象利用各方向角以及线段之间的和差关系可得答案； （2）结合图象及位置特点，用方位角和实际距离分别表示学校，公园，博物馆，影院，高铁站的位置，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵BD＝2OD， ∴OB＝3OD， ∵2OB＝3OC＝6OA＝6km， ∴OB＝3OA＝3km，OC＝2km， ∵E是OC的中点， ∴OA＝OD＝OE＝1km， ∴到点O距离相等的地方有影院，公园与学校，均为1km； （2）学校在小明家东北方向上，且到小明家的距离为1km； 公园在小明家南偏东50°的方向上，且到小明家的距离为1km； 博物馆在小明家南偏东50°的方向上，且到小明家的距离为2km； 影院在小明家南偏西65°的方向上，且到小明家的距离为1km； 高铁站在小明家南偏西65°的方向上，且到小明家的距离为3km． 18．（1）如图，在∠AOB中，以O为顶点引射线，填表： ∠AOB 内射线的条数 1 2 3 4 角的总个数 　3　 　6　 　10　 　15　 （2）若∠AOB内射线的条数是n，请用关于n的式子表示出上面的结论． 【分析】（1）对∠AOB内射线的条数为1，2，3，4时，角的总个数分别统计出填表即可； （2）根据表格数据变化规律，写出∠AOB内射线的条数是n时，角的总个数即可． 【解答】解：（1）∠AOB内射线的条数为1条时，角的总个数为：2+1＝3（条）， ∠AOB内射线的条数为2条时，角的总个数为：3+2+1＝6（条）， ∠AOB内射线的条数为3条时，角的总个数为：4+3+2+1＝10（条）， ∠AOB内射线的条数为4条时，角的总个数为：5+4+3+2+1＝15（条）， 故答案为：3，6，10，15； （2）由（1）中几个数据规律可知：若∠AOB内射线的条数是n，角的总个数为：（n+1）+n+...+3+2+1＝（个）， 答：若∠AOB内射线的条数是n，用含n的式子表示角的总个数为个． 19．钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图，在钟面上，点O为钟面的圆心，图中的圆我们称之为钟面圆．为便于研究，我们规定：钟面圆的半径OA表示时针，半径OB表示分针，它们所成的钟面角为∠AOB；本题中所提到的角都不小于0°，且不大于180°；本题中所指的时刻都介于0点整到12点整之间． （1）时针每分钟转动的角度为 　0.5　°，分针每分钟转动的角度为 　6　°； （2）8点整，钟面角∠AOB＝　120　°，钟面角与此相等的整点还有：　4　点； （3）如图，设半径OC指向12点方向，在图中画出6点15分时半径OA、OB的大概位置，并求出此时∠AOB的度数． 【分析】（1）根据时针旋转一周12小时，可得时针旋转的速度，根据分针旋转一周60分钟，可得分针旋转的速度； （2）根据时针与分针相距的份数乘每份的度数，可得答案； （3）根据时针旋转的角度减去分针旋转的角度，可得答案． 【解答】解：（1）时针每分钟转动的角度为0.5°，分针每分钟转动的角度为6°； 故答案为：0.5，6； （2）0.5×60×4＝120°，4点时0.5×60×4＝120°， 故答案为：120，4； （3）如图， ∠AOB＝6×30+15×0.5﹣15×6＝97.5°． 20．综合与实践 如图是某街区的平面示意图． （1）老顶山在广场的 　正东　方向大约 　3　千米处． （2）八一路小学位于广场南偏东30°方向2千米处，请在图中画出八一路小学的大概位置． （3）李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付多少元车费？出租车收费标准如下表： 里程 收费 2km以下（含2km） 6.00元 2km以上每增加1km（不足1km按1km算） 1.30元 （注：本题中不考虑出租车等候时间费用） 【分析】（1）根据方向角的定义即可得到结论； （2）根据方向角的定义即可得到结论； （3）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）老顶山在广场的正东方向大约3千米处， 故答案为：正东，3； （2）如图所示； （3）6+3×1.3＝9.9（元）， 答：李叔叔乘出租车从英雄台经广场去老顶山，要付费9.9元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$