第08讲 角的比较与运算（4个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第08讲 角的比较与运算 课程标准 学习目标 ①角的大小比较 ②角的和与差 ③角的平分线 ④角度的加减乘除运算 1. 掌握角的大小比较的方法，并能够熟练的比较角的大小。 2. 掌握角的和与角的差，并能够结合图形熟练的进行角度的计算。 3. 掌握角平分线及其等分线概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 4. 掌握角度的加减乘除运算，并能够熟练的进行角度制的运算。 知识点01 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 顶点 和 其中一边 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练1】 1．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．不能确定 【分析】依据∠A＜45°，∠B＞45°，即可得出∠A与∠B的大小关系． 【解答】解：由图可得，∠A＜45°，∠B＞45°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 【即学即练2】 2．如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（　　） A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定 【分析】根据已知∠AOB＞∠COD两边都加上∠BOD，即可得出答案． 【解答】解：∵∠AOB＞∠COD， ∴∠AOB+∠BOD＞∠COD+∠BOD， 即∠AOD＞∠BOC， 故选：C． 知识点02 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 【即学即练1】 3．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB 【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【解答】解：A、∠AOB＝∠AOC+∠COB，故本选项正确，不符合题意； B、∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC，故本选项正确，不符合题意； C、∠AOC＝∠AOC+∠COB，故∠AOC＝∠BOC错误，符合题意； D、∠AOC＝∠BOA﹣∠COB，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【即学即练2】 4．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOD＝∠AOB+∠COD B．∠BOD＝∠DOC+∠COB C．∠AOB＝∠AOC﹣∠COB D．∠BOC＝∠BOD﹣∠COD 【分析】根据各角之间的和差关系进行判断得出正确选项． 【解答】解：A、∠AOD＝∠AOB+∠DOB，故∠AOD＝∠AOB+∠COD错误； B、∠BOD＝∠DOC+∠COB，故本选项正确； C、∠AOB＝∠AOC﹣∠COB，故本选项正确； D、∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，故本选项正确． 故选：A． 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 相等 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练1】 5．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】根据角平分线的定义得到∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，则∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠AOC﹣∠BOC）＝∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可． 【解答】解：∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， ∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC， ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC， ∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（∠AOB+∠BOC﹣∠BOC）＝∠AOB， ∵∠AOB＝90°， ∴∠MON＝×90°＝45°． 故选：B． 【即学即练2】 6．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．不能确定 【分析】由角平分线的定义得∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM，再利用和角关系即可求得结果． 【解答】解：∵OC平分∠AOM，OD平分∠BOM， ∴∠MOC＝∠AOM，∠MOD＝∠BOM， ∴∠COD＝∠MOC+∠MOD＝∠AOM+∠BOM＝（∠AOM+∠BOM）＝×180°＝90°． 故选：B． 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练1】 7．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 【分析】（1）根据度分秒的计算方法进行计算即可； （2）根据度分秒的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝130°55′45″ （2）58°38′27′+47°42′40″＝106°21′7″ 【即学即练2】 8．计算：13°16'×5﹣18°12'÷6． 【分析】度、分、秒相邻单位之间是60进制，由此即可计算． 【解答】解：原式＝66°20′﹣3°2′ ＝63°18′． 题型01 角的大小比较 【典例1】如图，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【分析】连接BD，判定四边形ACDB是平行四边形，推出AC∥BD，得到∠BDE＝∠1，而∠BDE＞∠2，即可得到答案． 【解答】解：连接BD， 由题意知AB＝CD，AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形， ∴AC∥BD， ∴∠BDE＝∠1， ∵∠BDE＞∠2， ∴∠1＞∠2， 故选：A． 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【分析】由图知∠A＜45°，∠B＞45°，故可比较大小． 【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴∠A＜45°，∠B＞45°， ∴∠A＜∠B． 故选：A． 【变式2】图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定 【分析】根据∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC及∠AOC＞∠BOD得∠AOB＞∠COD，由此可得出答案． 【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠BOD＝∠COD+∠BOC， 又∵∠AOC＞∠BOD， ∴∠AOB+∠BOC＞∠COD+∠BOC， ∴∠AOB＞∠COD， 故选：A． 题型02 角度制的运算 【典例1】列竖式计算： （1）80°35' 25″+79°24' 35″； （2）51°37'﹣32°55' 39″． 【分析】利用度分秒之间的进率计算即可． 【解答】解：（1）原式＝159°59′60″ ＝160°； （2）原式＝50°96′60″﹣32°55'39″ ＝18°41′21″． 【变式1】计算： （1）47°53′43″+53°47′42″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″． 【分析】（1）先度分秒分别相加，再根据满60进1的原则求出即可； （2）先进行单位的换算，再度分秒分别相减即可． 【解答】解：（1）47°53′43″+53°47′42″ ＝100°100′85″ ＝101°41′25″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″ ＝91°+115′+63″﹣46°﹣57′﹣54″ ＝45°+58′+9″ ＝45°58′9″． 【变式2】计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 【分析】①先计算乘法，再计算减法即可； ②先计算除法和括号内的减法，再计算减法即可． 【解答】解：①180°﹣18°15'×6 ＝180°﹣109°30' ＝70°30'； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4） ＝90°﹣（78°36'﹣3°17'30″） ＝90°﹣75°18'30″ ＝14°41'30″． 【变式3】计算： （1）23°53′×3+107°43′÷5； （2）61°39′﹣22°5′32″． 【分析】（1）先算乘除，再算加减即可； （2）根据1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″解答即可． 【解答】解：（1）23°53′×3+107°43′÷5 ＝71°39′+21°32′36″ ＝93°11′36″； （2）61°39′﹣22°5′32″ ＝61°38′60″﹣22°5′32″ ＝39°33′28″． 题型03 角的计算 【典例1】如图，已知∠ACB＝60°，CM平分∠ACB，则∠BCM＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．120° 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【解答】解：∵∠ACB＝60°，CM平分∠ACB， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOD的度数等于（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【分析】先由∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，得出∠COD＝3∠BOD＝60°，根据角的和差求出∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝40°，再利用角平分线定义得出∠AOB＝2∠BOC＝80°，于是根据∠AOD＝∠AOB+∠BOD即可求解． 【解答】解：∵∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°， ∴∠COD＝3∠BOD＝60°， ∴∠BOC＝∠COD﹣∠BOD＝40°， ∵OC是∠AOB的角平分线， ∴∠AOB＝2∠BOC＝80°， ∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝80°+20°＝100°． 故选：D． 【变式2】如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　） A．90° B．135° C．150° D．120° 【分析】根据平角和角平分线的定义求得． 【解答】解：∵∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°， ∴∠COD＝90°（互为补角） ∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线， ∴∠MOC+∠NOD＝（30°+60°）＝45°（角平分线定义） ∴∠MON＝90°+45°＝135°． 故选：B． 【变式3】如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线． （1）求∠MON的大小． （2）当∠AOC＝α时，∠MON等于多少度？ 【分析】（1）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COM、∠CON的度数，根据∠MON＝∠COM﹣∠CON即可求解； （2）方法同（1）． 【解答】解：（1）∵∠AOB是直角，∠AOC＝50°， ∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+50°＝140°， ∵ON 是∠AOC 的平分线，OM是∠BOC 的平分线， ∴，， ∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝70°﹣25°＝45°； （2）当∠AOC＝α时，∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+a， ∵ON是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线， ∴，， ∴． 【变式4】如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数． 【分析】（1）先求出∠AOD的度数，然后根据角平分线的定义求出∠AOB，于是得到结论； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x，根据角平分线的定义和角的倍分即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠AOD＝30°， ∴∠AOD＝∠COD+∠AOD＝20°+30°＝50°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOB＝2∠AOD＝100°； （2）设∠AOD＝x，则∠BOD＝2x， ∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠AOC＝AOB＝x， ∴x﹣x＝20°， 解得x＝40°， ∴∠AOB＝3x＝120°． 【变式5】将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数； （3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数． 【分析】（1）由已知条件：∠BON＝60°，根据邻补角的定义可得出∠AON的度数，根据角平分线定义可得∠CON的度数，由∠MON＝90°，即可得出答案； （2）设∠COM＝x°，用x表示出∠CON，再根据∠CON＝90°列出方程求得x，进而求得∠AON； （3）分两种情况：当ON在直线AB上方时，当ON在直线AB下方时，分别求出结果便可． 【解答】解：（1）∵∠BON＝60°，∠MON＝90°， ∴∠AOM＝180°﹣60°﹣90°＝30°， （2）∵OC平分∠AON， ∴∠AOC＝∠CON， 又∵∠AOM＝2∠COM， 设∠COM＝x， ∴∠AOM＝2x， ∴∠CON＝∠AOC＝3x， ∵∠COM+∠CON＝90°， ∴x+3x＝90°， 解得x＝22.5°， ∴∠AON＝6x＝135°； （3）当ON在直线AB上方时， ∵∠BON＝120°， ∴∠AON＝60°， ∵OC平分∠AON， ∴∠CON＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝60°， 当ON在直线AB下方时， ∵∠BON＝120°， ∴∠AON＝60°， ∵OC平分∠AON， ∴∠CON＝30°， ∵∠MON＝90°， ∴∠COM＝120°， 综上所述：∠COM的度数为60°或120°． 1．如图，方格纸中的∠1和∠2的大小关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180° 【分析】先观察图形可知：∠BAC＝∠DEF＝90°，AB＝DE，AC＝EF，利用全等三角形的判定定理证明△ABC≌△EDF，从而证明∠3＝∠4，再根据∠2＝90°+∠4，∠1+∠3＝90°，进行代换即可求出答案． 【解答】解：如图所示： 由题意可知：∠BAC＝∠DEF＝90°，AB＝DE，AC＝EF， ∴△ABC≌△EDF， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠3＝90°﹣∠1， ∵∠2＝90°+∠4， ∴∠2＝90°+∠3＝90°+90°﹣∠1＝180°﹣∠1， ∴∠1+∠2＝180°， 故选：D． 2．如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（　　） A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC 【分析】根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可． 【解答】解：∵OB平分∠AOC， ∴∠AOB＝∠BOC， ∴∠AOD﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB＝∠BOD， 故选：A． 3．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04° 【分析】根据1°＝60′，1′＝60″进行计算即可． 【解答】解：A、34.5°＝34°30′，原计算错误，故此选项不符合题意； B、90°﹣23°45′＝66°15′，原计算正确，故此选项符合题意； C、12°34′×2＝24°68′＝25°8′，原计算错误，故此选项不符合题意； D、24°24′＝24.4°，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 4．已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 【分析】根据度分秒的进制进行计算即可． 【解答】解：∵1°＝60′， ∴36′＝0.6°， ∴∠1＝38°36'＝38.6°， ∵∠3＝38.6°， ∴∠1＝∠3， 故选：B． 5．已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中能确定射线OC平分∠AOB的是（　　） A． B．∠AOB＝2∠AOC C．2∠AOC＝∠BOC D．∠AOB＝∠AOC+∠BOC 【分析】直接利用角平分线的性质分别分析得出答案． 【解答】解：A、∠BOC＝∠AOC，不能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意； B、∠AOB＝2∠AOC，能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意； C、2∠AOC＝∠BOC，不能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意； D、∠AOB＝∠AOC+∠BOC，不能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意． 故选：B． 6．如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．70° 【分析】因为等腰三角板中的锐角为45°，而直角三角板板中较大的锐角为60°，直接相减就可求得结果． 【解答】解：由图形可知，∠AOB＝60°﹣45°＝15°． 故选：A． 7．若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（　　） A．50° B．90° C．50°或90° D．25°或45° 【分析】分两种情况：①OC在∠AOB内部；②OC在∠AOB外部．分别用∠AOB的度数减去或加上∠BOC的度数，即可求出两种情况下∠AOC的度数． 【解答】解：①当OC在∠AOB内部时， ∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝70°﹣20°＝50°； ②当OC在∠AOB外部时， ∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝70°+20°＝90°． ∴∠AOC的度数为50°或90°， 故选：C． 8．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝22°36′，∠BOA度数是（　　） A．67°64′ B．57°64′ C．67°24′ D．68°24′ 【分析】先利用角平分线的定义求出∠DOC的度数，再利用角的和差及互余关系求出∠BOA度数． 【解答】解：∵OC平分∠DOB， ∴∠DOC＝∠BOC＝22°36′． ∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC ＝90°﹣22°36′ ＝67°24′． 故选：C． 9．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 【分析】根据β＝∠BOD﹣∠BOC，利用正方形的角都是直角，即可求得∠BOD和∠EOF的度数从而求解． 【解答】解：如图： ∵∠DOE＝90°﹣α， ∴∠BOD＝90°﹣∠DOE＝α， ∵∠BOC＝90°﹣γ， 又∵β＝∠BOD﹣∠BOC， ∴β＝α﹣（90°﹣γ）＝α﹣90°+γ， ∴α﹣β+γ＝90°， 故选：C． 10．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，有下列四个结论： ①∠AOD+∠BOE＝90°； ②若∠BOE＝58°，则∠COE＝61°； ③∠BOE＝2∠COD； ④OD平分∠COA． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【分析】①根据∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°，∠DOE＝90°可对结论①进行判断； ②根据∠BOE＝58°，∠AOD+∠BOE＝90°得∠AOD＝32°，则∠AOC＝32°+∠COD，∠COE＝90°﹣∠COD，再根据角平分线定义得32°+∠COD＝90°﹣∠COD，则∠COD＝29°，由此可得∠COE的度数，进而可对结论②进行判断； ③根据∠DOE＝90°得∠COE＝90°﹣∠COD，再根据角平分线定义得∠AOD+∠COD＝90°﹣∠COD，则∠AOD+2∠COD＝90°，然后根据∠AOD+∠BOE＝90°可对结论③进行判断； ④假设OD平分∠COA，则∠AOD＝∠COD，∠AOC＝2∠AOD，根据∠DOE＝90°得∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣∠AOD，再根据角平分线定义得2∠AOD＝90°﹣∠AOD，则∠AOD＝30°，即当∠AOD＝30°时，OD平分∠COA，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①∵O为直线AB上一点， ∴∠AOD+∠DOE+∠BOE＝180°， ∵∠DOE＝90°， ∴∠AOD+∠BOE＝90°， 故结论①正确； ②∵∠BOE＝58°，∠AOD+∠BOE＝90°， ∴∠AOD＝90°﹣∠BOE＝32°， ∴∠AOC＝∠AOD+∠COD＝32°+∠COD， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE， 即32°+∠COD＝90°﹣∠COD， ∴∠COD＝29°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣29°＝61°， 故结论②正确 ③∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE， ∴∠AOD+∠COD＝90°﹣∠COD， ∴∠AOD+2∠COD＝90°， ∵∠AOD+∠BOE＝90°， ∴∠BOE＝2∠COD， 故结论③正确； ④假设OD平分∠COA，则∠AOD＝∠COD， ∴∠AOC＝2∠AOD， ∵∠DOE＝90°， ∴∠COE＝90°﹣∠COD＝90°﹣∠AOD， ∵OC平分∠AOE， ∴∠AOC＝∠COE， ∴2∠AOD＝90°﹣∠AOD， ∴∠AOD＝30°， 即当∠AOD＝30°时，OD平分∠COA， 故结论④不正确， 综上所述：正确地结论是①②③． 故选：B． 11．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB 　＞　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】取格点E，使OB＝OE，作射线OE，则∠AOB＝∠COE，然后比较∠COE和∠COD的大小，根据等量代换，即可作答． 【解答】解：如图，取格点E，使OA＝OE，作射线OE， 则∠AOB＝∠DOE， ∵∠DOE＞∠COD， ∴∠AOB＞∠COD， 故答案为：＞． 12．如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线CO与地面AB形成了两个角，若∠BOC＝5∠AOC，则∠AOC的度数为 　30°　． 【分析】根据平角的定义进行求解即可． 【解答】解：∵∠BOC＝5∠AOC，∠BOC+∠AOC＝180°， ∴5∠AOC+∠AOC＝180°， ∴∠AOC＝30°， 故答案为：30°． 13．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：3，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，∠AOB＝　144°　． 【分析】利用角的和差，角的比例，角平分线的定义计算即可． 【解答】解：∵∠AOC：∠BOC＝1：3，OD平分∠AOB， ∴∠AOC＝∠AOB，∠AOD＝∠AOB， ∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝∠AOB﹣∠AOB＝∠AOB， ∵∠COD＝36°， ∴∠AOB＝4∠COD＝4×36°＝144°． 故答案为：144°． 14．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 　20°或30°或40°　． 【分析】分三种情况：①∠BOC＝2∠AOC；②∠AOB＝2∠AOC；③∠AOC＝2∠BOC；分别求解即可． 【解答】解：若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①∠BOC＝2∠AOC，此时∠AOC＝20°； ②∠AOB＝2∠AOC，此时∠AOC＝30°； ③∠AOC＝2∠BOC，此时∠AOC＝40°； 故答案为：20°或30°或40°． 15．如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，如图2，分别以BE、CE为折痕折叠并压平．若图2中∠A'ED'＝n°，则∠DCE的度数为 　　（用含n的代数式表示）． 【分析】先根据已知条件、直角三角形性质和折叠求出∠BEA＝∠BEA′＝60°，∠CED′＝∠CED，然后根据∠D′EC＝，求出∠DEC，从而求出∠DCE即可． 【解答】解：∵∠ABE＝30°， ∴∠BEA＝∠BEA′＝60°， ∴∠AEA′＝∠BAE+∠BEA′＝120°， ∵∠CED′＝∠CED， ∴∠DEC＝， ∴∠CED＝∠D′EC＝ ＝ ＝ ＝ ＝， ∴∠CDE＝90°﹣∠CED ＝ ＝ ＝ ＝， 故答案为：． 16．根据题意填空． 如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，请说明OE平分∠COB的理由． 解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝ 　180　°． ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠　COE　＝90°， ∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠　DOE　＝ 　90　°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD（ 　角平分线定义　）． ∴∠COE＝∠BOE（ 　等量代换　）． 【分析】根据角平分线定义、平角的定义求解即可． 【解答】解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝180°． ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠COE＝90°， ∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD（角平分线定义）． ∴∠COE＝∠BOE（等量代换）． 故答案为：180；COE；DOE；90；角平分线定义；等量代换． 17．如图，已知过∠AOB的内部任意一点C画射线OC，使∠AOC＝90°，∠BOC＝40°，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． 求：（1）∠AOB的度数； （2）求∠DOE的度数． 【分析】（1）直接根据∠AOB＝∠AOC+∠BOC计算即可； （2）根据题意，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，由角平分线定义得出，，由∠DOE＝∠COD+∠COE计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC ＝90°+40° ＝130°； （2）∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∠AOC＝90°，∠∠BOC＝40°， ∴，， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE ＝45°+20° ＝65°． 18．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？ （2）如果∠AOE＝120°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？ 【分析】（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）∵OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，∠AOB＝40°，∠DOE＝20°， ∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠DOE＝20°， ∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝60°． （2）∵OD是∠COE的平分线，∠COD＝20°， ∴∠COE＝2∠COD＝40°， ∵∠AOE＝120°， ∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝80° ∵OB是∠AOC的平分线， ∴． 19．已知O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）． （1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝　90°　． （2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值． 【分析】（1）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠COD、∠COE的度数，即可求出∠DOE的度数； （2）先求出∠BOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOD、∠BOE的度数，再求出∠BOD的度数，根据角平分线的定义即可求出∠BOF的度数，从而求出∠EOF的度数． 【解答】解：（1）∵∠AOC＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣72°＝108°， ∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠COD＝∠AOC＝36°，∠COE＝∠BOC＝54°， ∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝36°+54°＝90°， 故答案为：90°； （2）∵∠AOB＝180°，∠AOC＝72°， ∴∠COB＝108°， ∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC， ∴∠AOD＝∠AOC＝36°，∠BOE＝∠BOC＝54°， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝144°， ∵OF平分∠BOD， ∴∠BOF＝∠BOD＝72°， ∴∠EOF＝∠BOF﹣∠BOE＝72°﹣54°＝18°． 20．点O，E分别是长方形纸片ABCD边AB，AD上的点，沿OE，OC翻折，点A落在点A′处，点B落在点B′处． （1）如图1，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE的度数； （2）如图2，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，求∠A′OB′的度数； （3）当点A′，B′落在∠COE的内部时，若∠COE＝α，求∠A′OB′的度数（用含α的代数式表示）． 【分析】（1）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，根据∠AOE+∠A′OE+∠BOC+∠B′OC＝180°，∠COE＝∠A′OE+∠B′OC即可求解； （2）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，根据∠A′OE+∠B′OC＝∠AOE+∠BOC＝100°，∠COE＝180°﹣（∠AOE+∠BOC）＝80°，根据∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE即可求解； （3）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC，分当点B′在∠A′OE内部时，当点B′在∠A′OE外部时，两种情况得出结论． 【解答】解：（1）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC， ∴∠AOE+∠A′OE+∠BOC+∠B′OC＝180°， ∴∠A′OE+∠B′OC＝90° ∴∠COE＝∠A′OE+∠B′OC＝90°； （2）由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC， ∵∠AOE＝36°，∠BOC＝64°， ∴∠A′OE+∠B′OC＝∠AOE+∠BOC＝100°，∠COE＝180°﹣（∠AOE+∠BOC）＝80°， ∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE＝20°； （3）∵∠COE＝α， ∴∠AOE+∠BOC＝180°﹣∠COE＝180°﹣α， 由折叠的性质，得到∠AOE＝∠A′OE，∠BOC＝∠B′OC． ①如图2，当点B′在∠A′OE内部时， ∵∠A′OB′＝∠A′OE+∠B′OC﹣∠COE， ∴∠A′OB′＝（180°﹣α）﹣α＝180°﹣2α； ②如图3，当点B′在∠A′OE外部时， ∵∠A′OB′＝∠COE﹣（∠A′OE+∠B′OC）， ∴∠A′OB′＝α﹣（180﹣α）＝2α﹣180°． 综上，∠A′OB′的度数为180°﹣2α或2α﹣180°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 角的比较与运算 课程标准 学习目标 ①角的大小比较 ②角的和与差 ③角的平分线 ④角度的加减乘除运算 1. 掌握角的大小比较的方法，并能够熟练的比较角的大小。 2. 掌握角的和与角的差，并能够结合图形熟练的进行角度的计算。 3. 掌握角平分线及其等分线概念和意义，并能够在题目中熟练进行应用。 4. 掌握角度的加减乘除运算，并能够熟练的进行角度制的运算。 知识点01 角的大小比较 1. 角的大小比较 方法1：叠合法：把角的 和 重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。 方法2：度量法：直角用量角器度量比较。 注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。 【即学即练1】 1．如图，用三角板比较∠A与∠B的大小，其中正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．不能确定 【即学即练2】 2．如图，若∠AOB＞∠COD，则∠AOD与∠BOC的大小关系是（　　） A．∠AOD＝∠BOC B．∠AOD＜∠BOC C．∠AOD＞∠BOC D．不能确定 知识点02 角的和与差 1. 角的和与差： 角的和：∠AOB是∠AOC与∠BOC的和，记作∠AOB＝∠AOC＋∠BOC 角的差：∠AOC是∠AOB与∠BOC的差，记作∠AOC＝∠AOB－∠BOC ∠BOC是∠AOB与∠AOC的差，记作∠BOC＝∠AOB－∠AOC 【即学即练1】 3．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOB＝∠AOC+∠COB B．∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC C． D．∠AOC＝∠BOA﹣∠COB 【即学即练2】 4．根据如图所示，下列式子错误的是（　　） A．∠AOD＝∠AOB+∠COD B．∠BOD＝∠DOC+∠COB C．∠AOB＝∠AOC﹣∠COB D．∠BOC＝∠BOD﹣∠COD 知识点03 角的平分线 1. 角的平分线： 从角的顶点出发，把这个角分成 的两个角的射线叫做这个角的平分线。 如图：若∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB 则OC是角∠AOB的平分线。 反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝ ∠AOB。 2. 角的等分线： 角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。 【即学即练1】 5．如图所示，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【即学即练2】 6．如图，O是直线AB上一点，过O作任意射线OM，OC平分∠AOM，OD平分∠BOM，则∠COD的度数是（　　） A．80° B．90° C．100° D．不能确定 知识点04 角度的加减乘除运算 1. 角度的加减运算： 加法法则：度加度，分加分，秒加秒。满60秒向分进1，满60分向度进1。 减法法则：度减度，分减分，秒减秒。从低位算起，秒相减不够时向分借1分作60秒，分相减不够时向度借1度作60分。 2. 角度的乘除运算： 乘法法则：度、分、秒分别与倍数相乘，秒满60向分进1，分满60向度进1。 除法法则：度、分、秒分别与除数相除，从高位算起，度除不尽，向分转化，分除不尽，向秒转化。 【即学即练1】 7．计算： （1）131°28′﹣32′15″； （2）58°38′27″+47°42′40″． 【即学即练2】 8．计算：13°16'×5﹣18°12'÷6． 题型01 角的大小比较 【典例1】如图，在边长相等的正方形网格中，∠1与∠2的大小关系为（　　） A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定 【变式1】如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＜∠B B．∠A＞∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【变式2】图，若∠AOC＞∠BOD，则下列结论正确的是（　　） A．∠AOB＞∠COD B．∠AOB＝∠COD C．∠AOB＜∠COD D．∠AOB与∠COD的大小关系不确定 题型02 角度制的运算 【典例1】列竖式计算： （1）80°35' 25″+79°24' 35″； （2）51°37'﹣32°55' 39″． 【变式1】计算： （1）47°53′43″+53°47′42″； （2）92°56′3″﹣46°57′54″． 【变式2】计算： ①180°﹣18°15'×6； ②90°﹣（78°36'﹣13°10'÷4）． 【变式3】计算： （1）23°53′×3+107°43′÷5； （2）61°39′﹣22°5′32″． 题型03 角的计算 【典例1】如图，已知∠ACB＝60°，CM平分∠ACB，则∠BCM＝（　　） A．15° B．30° C．45° D．120° 【变式1】如图，OC是∠AOB的角平分线，∠BOD＝∠COD，∠BOD＝20°，则∠AOD的度数等于（　　） A．130° B．120° C．110° D．100° 【变式2】如图，∠AOB是平角，∠AOC＝30°，∠BOD＝60°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，∠MON等于（　　） A．90° B．135° C．150° D．120° 【变式3】如图，∠AOB是直角，∠AOC＝50°，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线． （1）求∠MON的大小． （2）当∠AOC＝α时，∠MON等于多少度？ 【变式4】如图，OC是∠AOB的平分线，∠COD＝20°． （1）若∠AOD＝30°，求∠AOB的度数． （2）若∠BOD＝2∠AOD，求∠AOB的度数． 【变式5】将直角三角板OMN的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON． （1）如图，若∠BON＝60°，求∠AOM的度数； （2）若∠AOM＝2∠COM，求∠AON的度数； （3）将直角三角板OMN绕顶点O按逆时针方向旋转，在旋转过程中：当∠BON＝120°时，求∠COM的度数． 1．如图，方格纸中的∠1和∠2的大小关系是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠2＝2∠1 C．∠2＝90°+∠1 D．∠1+∠2＝180° 2．如图，OB平分∠AOC，则∠AOD﹣∠BOC等于（　　） A．∠BOD B．∠DOC C．∠AOB D．∠AOC 3．下列运算正确的是（　　） A．34.5°＝34°5′ B．90°﹣23°45′＝66°15′ C．12°34′×2＝25°18′ D．24°24′＝24.04° 4．已知∠1＝38°36'，∠2＝38.36°，∠3＝38.6°，则下列说法正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠2＝∠3 D．∠1，∠2，∠3互不相等 5．已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中能确定射线OC平分∠AOB的是（　　） A． B．∠AOB＝2∠AOC C．2∠AOC＝∠BOC D．∠AOB＝∠AOC+∠BOC 6．如图，把一副三角板叠合在一起，则∠AOB的度数是（　　） A．15° B．20° C．30° D．70° 7．若∠AOB＝70°，∠BOC＝20°，则∠AOC的度数是（　　） A．50° B．90° C．50°或90° D．25°或45° 8．如图，∠AOC＝90°，OC平分∠DOB，且∠DOC＝22°36′，∠BOA度数是（　　） A．67°64′ B．57°64′ C．67°24′ D．68°24′ 9．如图所示，将三个大小相同的正方形的一个顶点重合放置，则α、β、γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90° C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90° 10．如图，O为直线AB上一点，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，有下列四个结论： ①∠AOD+∠BOE＝90°； ②若∠BOE＝58°，则∠COE＝61°； ③∠BOE＝2∠COD； ④OD平分∠COA． 其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 11．小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB 　 　∠COD（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12．如图，小明手持激光灯照向地面，激光灯发出的光线CO与地面AB形成了两个角，若∠BOC＝5∠AOC，则∠AOC的度数为 　 　． 13．如图，已知∠AOC：∠BOC＝1：3，OD平分∠AOB，且∠COD＝36°，∠AOB＝　 　． 14．如图，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“巧分线“．若∠AOB＝60°，且射线OC是∠AOB的“巧分线”，则∠AOC的度数为 　 　． 15．如图1，在长方形ABCD中，E点在AD上，并且∠ABE＝30°，如图2，分别以BE、CE为折痕折叠并压平．若图2中∠A'ED'＝n°，则∠DCE的度数为 　 　（用含n的代数式表示）． 16．根据题意填空． 如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC，∠DOE＝90°，请说明OE平分∠COB的理由． 解：∵点O在直线AB上， ∴∠AOB＝ 　 　°． ∵∠DOE＝90°， ∴∠COD+∠　 　＝90°， ∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠　 　＝ 　 　°， 又∵OD平分∠AOC， ∴∠AOD＝∠COD（ 　 　）． ∴∠COE＝∠BOE（ 　 　）． 17．如图，已知过∠AOB的内部任意一点C画射线OC，使∠AOC＝90°，∠BOC＝40°，若OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC． 求：（1）∠AOB的度数； （2）求∠DOE的度数． 18．如图，OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线． （1）如果∠AOB＝40°，∠DOE＝20°，那么∠BOD是多少度？ （2）如果∠AOE＝120°，∠COD＝20°，那么∠AOB是多少度？ 19．已知O是直线AB上的一点，∠AOC＝72°（本题中角的度数均为大于0°且小于等于180°）． （1）如图1，若OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝　 　． （2）在（1）的条件下，如图2，若OF平分∠BOD，求∠EOF的值． 20．点O，E分别是长方形纸片ABCD边AB，AD上的点，沿OE，OC翻折，点A落在点A′处，点B落在点B′处． （1）如图1，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE的度数； （2）如图2，当点B′落在∠EOA′的内部时，若∠AOE＝36°，∠BOC＝64°，求∠A′OB′的度数； （3）当点A′，B′落在∠COE的内部时，若∠COE＝α，求∠A′OB′的度数（用含α的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$