第01讲 方程（4个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（人教版2024）

第01讲 方程 课程标准 学习目标 ①方程的概念 ②根据实际问题列方程 ③方程的解 ④一元一次方程 1. 掌握方程与一元一次方程的概念，能够熟练的判断方程和一元一次方程，并能够根据一元一次方程的定义求未知字母的值。 2. 掌握根据实际问题立方程的步骤，能够熟练的从实际问题中抽象出方程。 3. 掌握方程的解的概念，并能够熟练的运用其解决相关题目。 知识点01 方程的概念 1. 方程的概念： 含有 的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 【即学即练1】 1．下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④；⑤3x﹣2；⑥x﹣y＝0；是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 知识点02 根据实际问题列方程 1．根据实际问题列方程的步骤： ①审题，找出题目中已知量，未知量以及等量关系 ②设字母表示未知量 ③把等量关系中的量用含有未知数的式子表示出来，根据等量关系建立方程。 2. 找等量关系的常见方法： （1） 利用公式。如图形的面积公式，体积公式等。 （2） 题目中不变量的寻找。 （3） 题目中的关键词：和，差，倍，分等，通常表达为“比......多（少）”“是......的几倍” 【即学即练1】 2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有5人无法安排；若每室住10人，则空出5个床位，求有多少间宿舍？设有x间宿舍，根据题意可列出关于x的方程为　 　． 【即学即练2】 3．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则可列方程　 　． 知识点03 方程的解 1．方程的解的概念： 使方程中等号左右两边 的 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。 【即学即练1】 4．下列各项中是方程1﹣x＝0的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2 【即学即练2】 5．若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 知识点04 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念： 只含有 个未知数且未知数的次数是 的 方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的一般形式： 一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。 【即学即练1】 6．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+＝2 B．x+2y＝8 C．3+5＝8 D．2x﹣1＝3x+5 【即学即练2】 7．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3或1 B．1 C．3 D．0 题型01 判断方程与一元一次方程 【典例1】下列各式中，属于方程的是（　　） A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5 【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】下列各式中①m＝1，②x+3x＝4，③6x﹣7＞0，④2x+y，⑤，⑥x3y+2x＝6．其中是方程的有（　　） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【典例2】下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A．2+3＝3+2 B．8y﹣9＝9﹣y C．x2+2x+1＝4 D．x﹣y＝0 【变式1】已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2】下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④；⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据一元一次方程的概念求值 【典例1】若（m+1）x|m|﹣1+4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．任何实数 【变式1】已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+6＝3k是一元一次方程，则k＝（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1 【变式2】若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 【变式3】若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 题型03 判断方程的解 【典例1】如果x＝3，则下列等式中不正确的是（　　） A．x+2＝3+2 B． C．x﹣1＝3+1 D．﹣x＝﹣3 【变式1】下列方程中，解为x＝1的是（　　） A．x﹣1＝﹣1 B．﹣2x＝ C．x＝﹣2 D．2x﹣1＝1 【变式2】下列方程中，解是x＝﹣1的是（　　） A．﹣2（x﹣2）＝12 B．﹣2（x﹣1）＝4 C．11x+1＝5（2x+1） D．2﹣（1﹣x）＝﹣2 题型04 根据方程的解的概念求值 【典例1】已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【变式1】如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　） A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2 【变式2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3】已知y＝4是方程的解，则（3m+1）2的值为（　　） A． B．8 C．289 D．225 【变式4】嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有一个方程“2y﹣＝y+■”中的■没印清晰，嘉琪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”嘉琪很快补上了这个有理数．你认为嘉琪补的这个有理数是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 题型05 由实际问题抽象出方程 【典例1】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（　　） A． B． C． D． 【变式1】《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D．＝ 【变式2】某超市纪念品A的单价比纪念品B的单价多20元，小王购买8个A纪念品的金额比购买5个B纪念品的金额多310元．如果设纪念品B的单价为x元，根据题意，可列方程正确的是（　　） A．8（x+20）﹣5x＝310 B．8（x﹣20）﹣5x＝310 C．8（x+20）＝310﹣5x D．8（x﹣20）+5x＝310 【变式3】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，可列方程（　　） A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【变式4】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 1．下列各式是方程的有（　　） （1）2x﹣3＝7；（2）8+5＝13；（3）2m﹣3n＝0；（4）2+5x；（5）x+2＞3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列式子中，是一元一次方程的有（　　） ①5x﹣2；②3+5＝﹣1+9；③5﹣x＝2x﹣8；④x＝0；⑤x+2y＝9． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．用方程表示“一个数比它的多3”，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若是方程ax2+y＝1的解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3 5．已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（　　） A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝1 6．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．16 D．14 8．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．若设这个班有x名学生，则依题意所列方程正确的是（　　） A．3x﹣20＝4x﹣25 B．3x+20＝4x+25 C．3x﹣20＝4x+25 D．3x+20＝4x﹣25 9．如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（　　） A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b 10．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（　　） A．0 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．无法确定 11．写出一个解为x＝﹣2，且未知数的系数为2的一元一次方程 　 　． 12．x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，则列方程为：　 　． 13．若a是方程的解x2﹣2x﹣1＝0，则代数式a2﹣2a+2022的值为 　 　． 14．已知：方程x3+x＝5+53的解是x＝5；方程x3+x＝﹣3+（﹣3）3的解是x＝﹣3；方程（x+4）3+x+4＝3+33的解是x＝﹣1（由x+4＝3得出）．则方程（x﹣1）3+x＝11的解是 　． 15．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 　 　． 16．已知是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式axny3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同，求代数式m2﹣an的值． 17．已知方程（m﹣1）x|m|﹣4m＝﹣2是关于x的一元一次方程． （1）求m和x的值； （2）若n满足关系式|m+n|＝2，求n的值． 18．已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+18＝0是一元一次方程，求： （1）m的值是多少？ （2）2（5m+2）﹣3（2m﹣1）的值． 19．已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）当（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 20．知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像（1）|a|＝5，（2）|a﹣3|＝5，（3）|a+2|＝6都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）|a|＝|a﹣0|＝5表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，a﹣0＝5或a﹣0＝﹣5，对应的数有两个，分别是5和﹣5． 解：因为|a|＝5，所以，a＝5或a＝﹣5． （2）|a﹣3|＝5表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，对应的数有两个，分别是8和﹣2． 解：因为|a﹣3|＝5，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，解得：a＝8或a＝﹣2． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ①|a﹣6|＝2； ②|a+7|＝3． （2）知识探究： 直接写出|a﹣3|+|a﹣5|的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 方程 课程标准 学习目标 ①方程的概念 ②根据实际问题列方程 ③方程的解 ④一元一次方程 1. 掌握方程与一元一次方程的概念，能够熟练的判断方程和一元一次方程，并能够根据一元一次方程的定义求未知字母的值。 2. 掌握根据实际问题立方程的步骤，能够熟练的从实际问题中抽象出方程。 3. 掌握方程的解的概念，并能够熟练的运用其解决相关题目。 知识点01 方程的概念 1. 方程的概念： 含有 未知数 的等式叫做方程。 特别说明：两个条件必须满足：①是等式；②等式中含有未知数。 【即学即练1】 1．下列各式中：①x＝0；②2x＞3；③x2+x﹣2＝0；④；⑤3x﹣2；⑥x﹣y＝0；是方程的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案． 【解答】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②2x＞3是不等式，⑤3x﹣2，不是等式，不是方程， 故方程有4个， 故选：B． 知识点02 根据实际问题列方程 1．根据实际问题列方程的步骤： ①审题，找出题目中已知量，未知量以及等量关系 ②设字母表示未知量 ③把等量关系中的量用含有未知数的式子表示出来，根据等量关系建立方程。 2. 找等量关系的常见方法： （1） 利用公式。如图形的面积公式，体积公式等。 （2） 题目中不变量的寻找。 （3） 题目中的关键词：和，差，倍，分等，通常表达为“比......多（少）”“是......的几倍” 【即学即练1】 2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有5人无法安排；若每室住10人，则空出5个床位，求有多少间宿舍？设有x间宿舍，根据题意可列出关于x的方程为　8x+5＝10x﹣5　． 【分析】根据人数相等得出关于x的一元一次方程求解即可． 【解答】解：根据两种情况的人数相等，得8x+5＝10x﹣5， 故答案为：8x+5＝10x﹣5． 【即学即练2】 3．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则可列方程　x（x﹣1）+x＝2304　． 【分析】设班级有x名学生，根据题意列出方程x（x﹣1）+x＝2304即可． 【解答】解：∵每位同学间也互赠了一张签名卡， ∴同学间互赠了x（x﹣1）张签名卡， ∵王老师向每位同学赠送了一张签名卡， ∴x（x﹣1）+x＝2304， 故答案为：x（x﹣1）+x＝2304． 知识点03 方程的解 1．方程的解的概念： 使方程中等号左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解。方程有可能不止一个解，也有可能无解。 【即学即练1】 4．下列各项中是方程1﹣x＝0的解是（　　） A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝0 D．x＝2 【分析】首先解方程，即可作出判断． 【解答】解：移项，得：1＝x， 即x＝1． 故选：A． 【即学即练2】 5．若方程2x﹣kx+1＝5x﹣2的解为﹣1，则k的值为（　　） A．10 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】把x＝﹣1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值． 【解答】解：依题意，得 2×（﹣1）﹣（﹣1）•k+1＝5×（﹣1）﹣2，即﹣1+k＝﹣7， 解得，k＝﹣6． 故选：C． 知识点04 一元一次方程 1. 一元一次方程的概念： 只含有 1 个未知数且未知数的次数是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程。 2. 一元一次方程的一般形式： 一元一次方程的一般形式为 或 。由一般形式可知，含未知数的项的系数不能等于 0 。在判断方程是否为一元一次方程时，先化其形式，在进行判断。 【即学即练1】 6．下列方程是一元一次方程的是（　　） A．x+＝2 B．x+2y＝8 C．3+5＝8 D．2x﹣1＝3x+5 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的整式方程叫一元一次方程． 【解答】解：A．该方程不是整式方程，故本选项不合题意； B．该方程中含有2个未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； C．该方程不含未知数，不是一元一次方程，故本选项不合题意； D、该方程符合一元一次方程的定义，故本选项符合题意． 故选：D． 【即学即练2】 7．已知（a﹣3）x|a﹣2|﹣5＝8是关于x的一元一次方程，则a＝（　　） A．3或1 B．1 C．3 D．0 【分析】根据一元一次方程的定义，得到|a﹣2|＝1和a﹣3≠0，解之即可得到答案． 【解答】解：根据题意得： |a﹣2|＝1， 解得a＝3或a＝1， 因为a﹣3≠0， 所以a≠3， 综上可知：a＝1． 故选：B． 题型01 判断方程与一元一次方程 【典例1】下列各式中，属于方程的是（　　） A．6+（﹣2）＝4 B． C．7x＞5 D．2x﹣1＝5 【分析】根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：A、6+（﹣2）＝4不含未知数，不是方程，不符合题意； B、x﹣2不是等式，故不是方程，不符合题意； C、7x＞5不是等式，故不是方程，不符合题意； D、2x﹣1＝5是含有未知数的等式，是方程，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列式子中，方程的个数是（　　） ①3×3+1＝5×2；②（y﹣2）2≥0；③3x+1＝5y；④；⑤x+y+z； A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据方程的定义：含有未知数的等式叫方程可得答案． 【解答】解：①3×3+1＝5×2中不含有未知数，不是方程； ②（y﹣2）2≥0不是等式，不是方程； ③3x+1＝5y、④符合方程的定义； ⑤x+y+z是代数式，不是等式，不是方程． 故选：A． 【变式2】下列各式中①m＝1，②x+3x＝4，③6x﹣7＞0，④2x+y，⑤，⑥x3y+2x＝6．其中是方程的有（　　） A．①②④⑤ B．②③⑤⑥ C．②④⑤⑥ D．①②⑤⑥ 【分析】根据方程的定义即可得出答案． 【解答】解：方程有①②⑤⑥，共4个， 故选：D． 【典例2】下列各式中，是一元一次方程的是（　　） A．2+3＝3+2 B．8y﹣9＝9﹣y C．x2+2x+1＝4 D．x﹣y＝0 【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案． 【解答】解：A、2+3＝3+2不是方程，不是一元一次方程，所以本选项错误，不符合题意； B、8y﹣9＝9﹣y是一元一次方程，所以本选项正确，符合题意； C、x2+2x+1＝4未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，所以本选项错误，不符合题意； D、x﹣y＝0有两个未知数，不是一元一次方程，所以本选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】已知下列方程：①；②0.3x＝1；③；④x2﹣4x＝3；⑤x＝6；⑥x+2y＝0．其中一元一次方程的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程． 【解答】解：①是分式方程，故①不符合题意； ②0.3x＝1，即0.3x﹣1＝0，符合一元一次方程的定义．故②符合题意； ③，即9x+2＝0，符合一元一次方程的定义．故③符合题意； ④x2﹣4x＝3的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程．故④不符合题意； ⑤x＝6，即x﹣6＝0，符合一元一次方程的定义．故⑤符合题意； ⑥x+2y＝0中含有2个未知数，属于二元一次方程．故⑥不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：B． 【变式2】下列各式：①3+7＝10；②3x﹣5＝x2+3x；③2x+1＝1；④；⑤3x+2．其中是一元一次方程的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 【解答】解：①3+7＝10，不含未知数，不是方程，不符合题意； ②3x﹣5＝x2+3x，未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，不符合题意； ③2x+1＝1，符合一元一次方程的定义，符合题意； ④，不是整式方程，不符合题意； ⑤3x+2，不是方程，不符合题意． 故选：A． 题型02 根据一元一次方程的概念求值 【典例1】若（m+1）x|m|﹣1+4＝0是关于x的一元一次方程，则m的值为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．任何实数 【分析】根据一元一次方程的定义可得到|m|＝1且m+1≠0，即可求出m的值． 【解答】解：（m+1）x|m|﹣1+4＝0是关于x的一元一次方程， 根据题意得：|m|＝1且m+1≠0， 解得：m＝1， 故选：B． 【变式1】已知关于x的方程（k﹣2）x|k|﹣1+6＝3k是一元一次方程，则k＝（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．±1 【分析】根据等式两边只有一个未知数且未知数的最高指数为1的方程是一元一次方程列式求解即可得到答案． 【解答】解：∵方程（k﹣2）x|k|﹣1+6＝3k是一元一次方程， ∴|k|﹣1＝1且k﹣2≠0， 解得k＝﹣2， 故选：C． 【变式2】若（m﹣2）x|2m﹣3|＝6是一元一次方程，则m等于（　　） A．1 B．2 C．1或2 D．任何数 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．据此列出关于m的等式，继而求出m的值． 【解答】解：根据一元一次方程的特点可得， 解得m＝1． 故选：A． 【变式3】若方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程，则k的值为（　　） A．0 B．﹣1 C． D． 【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数，且未知数的次数为1的方程是一元一次方程”，即可解答． 【解答】解：∵方程（2k+1）x2﹣（2k﹣1）x+5＝0是关于x的一元一次方程， ∴2k+1＝0，﹣（2k﹣1）≠0， 解得：， 故选：C． 题型03 判断方程的解 【典例1】如果x＝3，则下列等式中不正确的是（　　） A．x+2＝3+2 B． C．x﹣1＝3+1 D．﹣x＝﹣3 【分析】把x＝3分别代入每个方程进行判断即可． 【解答】解：当x＝3时，方程x+2＝3+2的左边＝3+2＝5＝右边，故A正确，不符合题意； 当x＝3时，方程的左边＝＝右边，故B正确，不符合题意； 当x＝3时，方程x﹣1＝3+1的左边＝2≠右边，故C错误，符合题意； 当x＝3时，方程﹣x＝﹣3的左边＝﹣3＝右边，故D正确，不符合题意． 故答案为：C． 【变式1】下列方程中，解为x＝1的是（　　） A．x﹣1＝﹣1 B．﹣2x＝ C．x＝﹣2 D．2x﹣1＝1 【分析】各项中方程计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、方程解得：x＝0，不符合题意； B、方程系数化为1，得x＝﹣，不符合题意； C、方程系数化为1，得x＝﹣4，不符合题意； D、方程移项合并得：2x＝2，解得：x＝1，符合题意， 故选：D． 【变式2】下列方程中，解是x＝﹣1的是（　　） A．﹣2（x﹣2）＝12 B．﹣2（x﹣1）＝4 C．11x+1＝5（2x+1） D．2﹣（1﹣x）＝﹣2 【分析】将x＝﹣1代入，找出能满足左边＝右边的方程． 【解答】解：∵﹣2（﹣1﹣1）＝4， ∴x＝﹣1是方程﹣2（x﹣1）＝4的解． 故选：B． 题型04 根据方程的解的概念求值 【典例1】已知x＝2是关于x的方程3x+a＝0的一个解，则a的值是（　　） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等． 【解答】解：把x＝2代入方程得：6+a＝0， 解得：a＝﹣6． 故选：A． 【变式1】如果关于x的方程2x+k﹣4＝0的解x＝﹣3，那么k的值是（　　） A．﹣10 B．10 C．2 D．﹣2 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替方程中的未知数，所得到的式子左右两边相等． 【解答】解：把x＝﹣3代入方程2x+k﹣4＝0， 得：﹣6+k﹣4＝0 解得：k＝10． 故选：B． 【变式2】小丽同学在做作业时，不小心将方程2（x﹣3）﹣■＝x+1中的一个常数污染了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数■是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据方程的解是x＝9，把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，解出方程即可． 【解答】解：把x＝9代入2（x﹣3）﹣■＝x+1，得 2×（9﹣3）﹣■＝9+1， 解得■＝2； 故选：C． 【变式3】已知y＝4是方程的解，则（3m+1）2的值为（　　） A． B．8 C．289 D．225 【分析】方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．把y＝4代入方程，得到关于m的方程，就可求出m的值． 【解答】解：把y＝4代入方程的得到：﹣m＝5（4﹣2）， 解得：m＝﹣； ∴（3m+1）2＝（﹣15）2＝225． 故选：D． 【变式4】嘉琪在进行解方程的思维训练，其中有一个方程“2y﹣＝y+■”中的■没印清晰，嘉琪问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4的值相同．”嘉琪很快补上了这个有理数．你认为嘉琪补的这个有理数是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】先去括号，再合并同类项，得到化简后的结果，再把a＝1，b＝﹣2代入化简后的代数式进行计算即可． 【解答】解：当x＝2时代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）﹣4 ＝5x﹣5﹣2x+4﹣4 ＝3x﹣5 ＝3×2﹣5 ＝1， 即y＝1， 代入方程中得到：， 解得． 即这个常数是1． 故选：A． 题型05 由实际问题抽象出方程 【典例1】我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹，每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿，每人分6竿，多14竿；每人分8竿，恰好用完，设共有x根竹竿，根据题意，列方程得（　　） A． B． C． D． 【分析】设共有x根竹竿，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完”列一元一次方程即可求解． 【解答】解：设共有x根竹竿，根据题意得，． 故选：B． 【变式1】《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是x元，则可列方程为（　　） A．8x+3＝7x+4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D．＝ 【分析】根据“（物品价格+多余的3元）÷每人出钱数＝（物品价格﹣少的钱数）÷每人出钱数”可列方程． 【解答】解：设这个物品的价格是x元， 则可列方程为：＝， 故选：D． 【变式2】某超市纪念品A的单价比纪念品B的单价多20元，小王购买8个A纪念品的金额比购买5个B纪念品的金额多310元．如果设纪念品B的单价为x元，根据题意，可列方程正确的是（　　） A．8（x+20）﹣5x＝310 B．8（x﹣20）﹣5x＝310 C．8（x+20）＝310﹣5x D．8（x﹣20）+5x＝310 【分析】如果设纪念品B的单价为x元，则纪念品A的单价为（x+20）元，结合购买8个A纪念品的金额比购买5个B纪念品的金额多310元，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【解答】解：如果设纪念品B的单价为x元，则纪念品A的单价为（x+20）元， 依题意得：8（x+20）﹣5x＝310． 故选：A． 【变式3】我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书，有一道题目是：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何日追及之．”译文是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可追上慢马，可列方程（　　） A．150x＝240（x+12） B．240x＝150（x﹣12） C．240x＝150（x+12） D．150x＝240（x﹣12） 【分析】设快马x天可追上慢马，根据“路程＝速度×时间”关系，即可列出关于x的一元一次方程 【解答】解：设快马x天可追上慢马，由题意得， 240x＝150（x+12）， 故选：C 【变式4】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分）．若长方形的周长为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（　　） A．x+（x+2）＝26 B．2x+2（x+2）＝26 C．x+（x﹣2）＝26 D．2x+2（x﹣2）＝26 【分析】根据题意可得长方形的宽为（x﹣2）cm，然后利用长方形的周长为26cm列方程即可． 【解答】解：设正方形的边长为xcm，由题意得： 2x+2（x﹣2）＝26， 故选：D． 1．下列各式是方程的有（　　） （1）2x﹣3＝7；（2）8+5＝13；（3）2m﹣3n＝0；（4）2+5x；（5）x+2＞3． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【解答】解：（1）2x﹣3＝7、（3）2m﹣3n＝0是含有未知数的等式，属于方程； （2）8+5＝13中不含有未知数，不是方程； （4）2+5x不是等式，不是方程； （5）x+2＞3不是等式，不是方程． 故选：C． 2．下列式子中，是一元一次方程的有（　　） ①5x﹣2；②3+5＝﹣1+9；③5﹣x＝2x﹣8；④x＝0；⑤x+2y＝9． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：①5x﹣2，不是等式，所以不是一元一次方程； ②3+5＝﹣1+9，没有未知数，所以不是一元一次方程； ⑤x+2y＝9，有两个未知数，所以不是一元一次方程； 而③④符合一元一次方程的定义，是一元一次方程． 所以一元一次方程有③④，共2个， 故选：B． 3．用方程表示“一个数比它的多3”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设该数为x，等量关系为：一个数﹣它的＝3． 【解答】解：由题意得：x﹣x＝3． 故选：B． 4．若是方程ax2+y＝1的解，则a的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣3 D．3 【分析】根据方程的解满足方程，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案． 【解答】解：把代入方程ax2+y＝1，得： a﹣2＝1， 解得a＝3， 故选：D． 5．已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程，则（　　） A．m＝2 B．m＝﹣3 C．m＝±3 D．m＝1 【分析】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．所以m﹣3≠0，|m|﹣2＝1，解方程和不等式即可． 【解答】解：已知（m﹣3）x|m|﹣2＝18是关于x的一元一次方程， 则|m|﹣2＝1， 解得：m＝±3， 又∵系数不为0， ∴m≠3，则m＝﹣3． 故选：B． 6．方程﹣3（★﹣9）＝5x﹣1，★处被盖住了一个数字，已知方程的解是x＝5，那么★处的数字是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】把x＝5代入已知方程，可以列出关于★的方程，通过解该方程可以求得★处的数字． 【解答】解：将x＝5代入方程，得：﹣3（★﹣9）＝25﹣1， 解得：★＝1， 即★处的数字是1， 故选：A． 7．已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．16 D．14 【分析】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数式进行求值． 【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解， ∴3﹣2+1﹣4+a＝0， 解得，a＝2， ∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14． 故选：D． 8．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．若设这个班有x名学生，则依题意所列方程正确的是（　　） A．3x﹣20＝4x﹣25 B．3x+20＝4x+25 C．3x﹣20＝4x+25 D．3x+20＝4x﹣25 【分析】设这个班有学生x人，等量关系为图书的数量是定值，据此列方程． 【解答】解：设这个班有学生x人， 由题意得，3x+20＝4x﹣25． 故选：D． 9．如果方程（a﹣b）x＝|a﹣b|的解是x＝﹣1，那么（　　） A．a＝b B．a＞b C．a≠b D．a＜b 【分析】把x＝﹣1代入方程（a﹣b）x＝|a﹣b|，然后来比较a与b的大小． 【解答】解：依题意，得 ﹣（a﹣b）＝|a﹣b|， 则a﹣b＜0， 所以a＜b． 故选：D． 10．关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，则方程的根是（　　） A．0 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．无法确定 【分析】根据关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0，即可确定方程的根． 【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，若a，b，c满足4a+2b+c＝0和4a﹣2b+c＝0， ∴方程的根为x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 11．写出一个解为x＝﹣2，且未知数的系数为2的一元一次方程 　2x+4＝0 （答案不唯一）　． 【分析】根据一元一次方程的定义，只要含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次），且系数是2，还要满足方程的解是2，这样的方程即可，答案不唯一，只要符合以上条件即可．此题要求的是满足条件的一元一次方程，形如2x+a＝2×2+a都是正确的答案． 【解答】解：此题答案不唯一， 如：2x+4＝0，2x+4＝4+4都是正确的． 故答案为：2x+4＝0 （答案不唯一）． 12．x的5倍与2的和等于x的3倍与4的差，则列方程为：　5x+2＝3x﹣4　． 【分析】等量关系：x的5倍+2＝x的3倍﹣4． 【解答】解：根据题意，知5x+2＝3x﹣4． 故答案为：5x+2＝3x﹣4． 13．若a是方程的解x2﹣2x﹣1＝0，则代数式a2﹣2a+2022的值为 　2023　． 【分析】a是方程的解x2﹣2x﹣1＝0，则a2﹣2a﹣1＝0，可得a2﹣2a＝1，整体代入即可解决． 【解答】解：∵a是方程的解x2﹣2x﹣1＝0， ∴a2﹣2a﹣1＝0即a2﹣2a＝1， ∴a2﹣2a+2022 ＝1+2022 ＝2023， 故答案为：2023． 14．已知：方程x3+x＝5+53的解是x＝5；方程x3+x＝﹣3+（﹣3）3的解是x＝﹣3；方程（x+4）3+x+4＝3+33的解是x＝﹣1（由x+4＝3得出）．则方程（x﹣1）3+x＝11的解是 　x＝3　． 【分析】参照已知方程的形式，将方程变形为（x﹣1）3+x﹣1＝23+2，由此即可得． 【解答】解：（x﹣1）3+x＝11，（x﹣1）3+x﹣1＝10，（x﹣1）3+x﹣1＝23+2， 由题意可知，方程（x﹣1）3+x﹣1＝23+2的解是x＝3（由x﹣1＝2得出）， 即方程（x﹣1）3+x＝11的解是x＝3， 故答案为：x＝3． 15．幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，则m的值为 　16　． 【分析】设左下角方格中的数是x，由每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等，得到23+x＝20+22，求出x＝19，于是得到23+m＝20+19，即可求出m＝16． 【解答】解：设左下角方格中的数是x， ∵每一行、每一列及各条对角线上的三个数之和均相等， ∴23+x＝20+22， ∴x＝19， ∴23+m＝20+19， ∴m＝16． 故答案为：16． 16．已知是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式axny3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同，求代数式m2﹣an的值． 【分析】利用一元一次方程的定义、最大负整数以及单项式的次数，可列出关于m，a，n的方程及不等式，解之可得出a，m，n的值，再将其代入m2﹣an中，即可求出结论． 【解答】解：∵是关于x的一元一次方程，关于x，y的单项式axny3的系数是最大的负整数，且次数与单项式2x2y4的次数相同， ∴， 解得：， ∴m2﹣an＝（﹣2）2﹣（﹣1）×3＝7． 17．已知方程（m﹣1）x|m|﹣4m＝﹣2是关于x的一元一次方程． （1）求m和x的值； （2）若n满足关系式|m+n|＝2，求n的值． 【分析】（1）根据一元一次方程的定义求出m的值，把m的值代入一元一次方程，解一元一次方程即可求出x的值． （2）由（1）m＝﹣1代入绝对值，根据绝对值得意义即可求出n的值． 【解答】解：（1）∵（m﹣1）x|m|﹣4m＝﹣2是关于 x 的一元一次方程， ∴m﹣1≠0且|m|＝1， 解得：m＝﹣1， 把m＝﹣1代入（m﹣1）x|m|﹣4m＝﹣2， 得：﹣2x﹣4×（﹣1）＝﹣2， 整理得：﹣2x＝﹣6， 解得：x＝3． （2）由（1）m＝﹣1， ∵|m+n|＝2， ∴|﹣1+n|＝2， ∴﹣1+n＝2或﹣1+n＝﹣2， 解得：n＝3或n＝﹣1． 18．已知关于x的方程（m﹣2）x|m﹣1|+18＝0是一元一次方程，求： （1）m的值是多少？ （2）2（5m+2）﹣3（2m﹣1）的值． 【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解； （2）先去括号，合并同类项，再将m的值代入求解． 【解答】解：（1）由已知，得|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解得m＝0； （2）原式＝10m+4﹣6m+3 ＝4m+7， 当m＝0时， 原式＝0+7＝7． 19．已知关于x、y的代数式：A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，且代数式M＝2A﹣3B． （1）若a＝﹣3，b＝1时，化简代数式M； （2）若代数式M是关于x、y的一次多项式，求ab的值； （3）当（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程时，求代数式M的值． 【分析】（1）先化简代数式M，再把a＝﹣3，b＝1代入即可； （2）依据一次多项式指的是最高次为一次的多项式求解可得a，b值，代入ab即可即可； （3）依据一元一次方程是只含一个未知数并且未知数的次数为1的方程可得a，b值代入M即可． 【解答】解：（1）∵A＝ax2﹣3xy+9x，B＝﹣2x2﹣bxy+4，M＝2A﹣3B， ∴M＝2A﹣3B ＝2（ax2﹣3xy+9x）﹣3（﹣2x2﹣bxy+4） ＝2ax2﹣6xy+18x﹣（﹣6x2﹣3bxy+12） ＝2ax2﹣6xy+18x+6x2+3bxy﹣12 ＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12 把a＝﹣3，b＝1代入上式得： （2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12 ＝（﹣6+6）x2+（3﹣6）xy+18x﹣12 ＝﹣3xy+18x﹣12． 故答案为：﹣3xy+18x﹣12． （2）由（1）可知：M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12， 由题意M是关于x、y的一次多项式得：2a+6＝0，3b﹣6＝0， 解得：a＝﹣3，b＝2，将a＝﹣3，b＝2代入ab＝（﹣3）2＝9， 故答案为：9； （3）∵（a﹣1）x2+xb﹣1+2＝0是关于x的一元一次方程， ∴a﹣1＝0，b﹣1＝1， 解得：a＝1，b＝2，x＝﹣2， 将a＝1，b＝2代入M＝（2a+6）x2+（3b﹣6）xy+18x﹣12＝8x2+18x﹣12， 把x＝﹣2代入M＝8x2+18x﹣12＝8×（﹣2）2+18×（﹣2）﹣12＝32﹣36﹣12＝﹣16． 故答案为：﹣16． 20．知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像（1）|a|＝5，（2）|a﹣3|＝5，（3）|a+2|＝6都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）|a|＝|a﹣0|＝5表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，a﹣0＝5或a﹣0＝﹣5，对应的数有两个，分别是5和﹣5． 解：因为|a|＝5，所以，a＝5或a＝﹣5． （2）|a﹣3|＝5表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，对应的数有两个，分别是8和﹣2． 解：因为|a﹣3|＝5，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，解得：a＝8或a＝﹣2． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ①|a﹣6|＝2； ②|a+7|＝3． （2）知识探究： 直接写出|a﹣3|+|a﹣5|的最小值． 【分析】（1）①|a﹣6|＝2表示在数轴上，数a与数6的距离为2个单位长度，所以，a﹣6＝2或a﹣6＝﹣2，对应的数有两个，分别是8和4； ②|a+7|＝3表示在数轴上，数a与数﹣7的距离为3个单位长度，所以，a+7＝3或a+7＝﹣3，对应的数有两个，分别是﹣4和﹣10． （2）根据|a﹣3|+|a﹣5|表示数a与表示数3和5的点之间的距离之和，当表示数a的点处于表示3和5的点之间时，距离最小，可得答案． 【解答】解：（1）①因为|a﹣6|＝2， 所以a﹣6＝2或a﹣6＝﹣2， 解得：a＝8或a＝4； ②因为|a+7|＝3， 所以a+7＝3或a+7＝﹣3， 解得：a＝﹣4或a＝﹣10； （2）∵|a﹣3|+|a﹣5|表示数a与表示数3和5的点之间的距离之和， ∴|a﹣3|+|a﹣5|的最小值是2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$