精品解析：天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题

天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校 2024-2025学年度第一学期高二年级期中检测数学学科试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确；答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上，答在试卷上无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一．选择题：（每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. 12 B. 20 C. 28 D. 30 7. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 8. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 10. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（80分） 二．填空题：（每小题5分，共40分） 11. 过两条直线：，：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______ 12. 已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则___________． 13. 已知，，设，若，则________， ________. 14. 过点作圆的切线，切线方程为__________. 15. 在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________. 16. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为______. 17. 已知圆与圆外切，_______________；若点为圆上一点，则的最小值为_______________． 18. 已知双曲线，的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是_______________，双曲线的离心率是_______________． 三．解答题：本大题共3小题，共40分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 20. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 21. 设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校 2024-2025学年度第一学期高二年级期中检测数学学科试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确；答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上，答在试卷上无效． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共40分） 一．选择题：（每小题4分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】已知直线的斜率为，因此倾斜角为． 故选：C． 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可. 【详解】抛物线化为标准方程可得， 故，焦点坐标为. 故选：A. 3. 设，则“”是“直线直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】当时，，，此时. 所以“”是“”的充分条件. 当时，则有，解得或， 若，则；若，则. 所以“”推不出“”即“”是“”的不必要条件. 故“”是“直线直线平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，考虑两个条件之间的推出关系是基本方法，本题属于容易题. 4. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】解：因为，，， 所以， ， 所以， 故选：C 5. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程得到，从而根据焦距得到方程，求出，求出答案. 【详解】双曲线中，， 又焦距为4，故，解得，故，解得， 所以的渐近线方程为. 故选：B 6. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，，则（ ） A. 12 B. 20 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系求得，进而可得答案. 【详解】由已知得 ， ， ， ， 故选：B. 7. 若两平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行求得的值，再根据两平行直线的距离公式计算求得的值即得. 【详解】因直线与直线平行，则，即 又因直线与直线的距离为， 则有，即解得或（舍去）， 故. 故选：D 8. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】椭圆的焦点在轴上，长半轴为， 由于椭圆的离心率为，所以椭圆的半焦距为，焦距为， 由于曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，， 所以曲线的轨迹是双曲线，且实轴长为，半实轴长为， 所以虚半轴长为， 所以曲线的标准方程为. 故选：C 9. 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得. 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 10. 若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可. 【详解】直线即，恒过定点， 曲线即表示以点为圆心，半径为1， 且位于直线上方的半圆（包括点，）， 当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为； 当与半圆相切时，由，得，切线记为， 分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是. 故选：B. 第Ⅱ卷 非选择题（80分） 二．填空题：（每小题5分，共40分） 11. 过两条直线：，：的交点，且与直线垂直的直线的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】求出直线与的交点坐标为，利用垂直关系求得斜率为，再由直线的点斜式方程可得结果. 【详解】联立两条直线方程，解得， 即交点坐标为； 易知直线的斜率为，可得所求直线的斜率为； 由直线的点斜式方程可得，即. 故答案为：. 12. 已知，，，成等差数列，且，为方程的两根，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用韦达定理求出，再根据下标和性质计算可得. 【详解】因为，为方程的两根， 所以， 又，，，成等差数列， 所以. 故答案为： 13. 已知，，设，若，则________， ________. 【答案】 ①. ②. ##-0.5 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可求解. 【详解】， 若，则存在实数，使得，所以， 故， 故答案为：， 14. 过点作圆的切线，切线方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】由，可得圆的圆心，半径为， 当过的直线斜率不存在时，直线方程为，易得直线与圆相切， 当过的切线斜率存在时，设切线方程为，即， 由，解得，切线方程为， 所以切线方程为或． 故答案为：或． 15. 在空间直角坐标系中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出和的夹角的余弦值，再求出异面直线OA与BC所成角的余弦值. 【详解】解：由，，， 则,, 则向量与所成角的余弦值为, 则异面直线与所成角的余弦值为, 故答案为：. 16. 在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则春分的日影长为______. 【答案】12.5尺 【解析】 【分析】由等差数列相关运算得到公差，进而求出春分的日影长. 【详解】由题意得：为等差数列，公差为，则， 则，故春分的日影长为尺. 故答案为：尺 17. 已知圆与圆外切，_______________；若点为圆上一点，则的最小值为_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出圆与圆的圆心坐标、半径，根据圆与圆外切求解即可；的几何意义是圆上点到原点的距离，由此结合图形求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ∵圆与圆外切，所以，即， 解得. 所以 因为点为圆上一点， 则表示圆上一点到原点的距离. 结合图形可得：， 所以的最小值为. 故答案为：；. 18. 已知双曲线，的左右焦点分别为，过的直线与圆相切，与双曲线在第一象限交于一点，且有轴，则直线的斜率是_______________，双曲线的离心率是_______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设直线与圆相切于点，利用可得点坐标，即可求出直线的斜率，将点的坐标代入双曲线方程再求出离心率即可. 【详解】不妨设直线与圆C相切于点A，如图所示， 则，，， ，，， ，， 在第一象限，， 所以直线的斜率， 将的坐标代入，可得， ，， 离心率. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 三．解答题：本大题共3小题，共40分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求： （1）求圆心为的圆的标准方程； （2）设点在圆上，点在直线上，求的最小值； （3）若过点的直线被圆所截得弦长为，求该直线的方程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】(1)设圆的标准方程为，利用圆经过的两个点，且圆心在直线上，建立方程组就可以求得. (2)求出圆心到直线的距离，即可求出最小值. (3)根据直线被圆截得的弦长为8，求出圆心到直线的距离，用点到直线的距离公式建立方程，求出得值，即可写出直线方程. 【小问1详解】 设圆的标准方程为，因为圆经过和点，且圆心在直线上， 所以 解得： 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为圆到直线的距离为 ， 所以直线与圆相离， 所以的最小值为. 【小问3详解】 当斜率存在时，由条件可知，圆心到直线的距离为 根据点到直线的距离公式得：，解得. 当斜率不存在时，直线方程为，符合截圆所得的弦长为8 所以直线方程为或. 20. 如图，在直三棱柱中，为的中点，点分别在棱和棱上，且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：取的中点，连接，则， 且，∴且， 则四边形为平行四边形，． 又平面平面， 平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证明即可； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值； （3）向量法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：直三棱柱中，． 以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，则 即令，则，得到平面的一个法向量． 易知平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 解：，， 点到平面的距离． 21. 设椭圆的上顶点为，左焦点为，已知椭圆的离心率，． （1）求椭圆方程； （2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），与直线交于点，点关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据，，由，可求得的值，从而得到椭圆方程： （2）设，与椭圆方程联立可得点的坐标，进而可得点的坐标，求出点的坐标，由点的坐标求出直线的方程，求出点的坐标，由可构造方程求得的值，由此可得直线方程. 【小问1详解】 由可得：，，， 又，，， 椭圆方程为：. 【小问2详解】 由（1）知：，设直线， 由得：，则， ，即，， 即，； 在直线的方程中，令可得，， ，则直线， 令可得：，， ， 即，整理可得：，解得：， 直线或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $