专题05 三角函数（考点串讲）(考点聚焦+题型突破+易错剖析+猜题押题）（期末复习课件）高一数学上学期湘教版

高一湘教版（24-25学年）数学必修1期末考点大串讲 串讲05 三角函数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点、明确复习目标 十四大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 精选期末真题对应考点练 01考点透视 02题型剖析 题型一　角α/n所在象限的研究 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型二　区域角的表示 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型三　 扇形中的最值问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型四　已知tanα的值，求关于sinα、cosα的齐次式的值问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型五　sinα+cosα,sinα-cosα与sinα·cosα关系的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型六　诱导公式的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型七　解三角不等式问题 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型八　正余弦函数的周期、奇偶、对称单调问题 技巧点拨 技巧点拨 举一反三 题型九 根据正余弦函数单调性求参数的范围问题 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十　正切函数的周期、奇偶、对称单调问题 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型十一　给角求值、给值求值、给值求角问题 题型剖析 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十二　辅助角公式的应用 技巧点拨 举一反三 题型剖析 题型十三　根据三角函数图象求解析式 技巧点拨 举一反三 题型十四　三角函数图象的变换 题型剖析 技巧点拨 举一反三 03易错易混 易错点1　忽略象限角正负导致错误 03易错易混 易错点2　诱导公式变形中确定象限所选取的角不明确导致错误 针对训练 03易错易混 易错点3　忽略三角函数变换同名与异名的区别导致错误 04押题预测 C A B C BC 谢谢观看！ 【解析】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 【解析】由题意知，，， 则，所以，． 当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角． 所以是第二或第四象限角. 故选：D. 【解析】令，得，则B选项中的阴影部分区域符合题意. 故选：B． 区域角的写法可 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式】集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（   ） A． B． C． D． 【解析】当k＝2n，n∈Z时,n360°＋45°≤α≤n360°＋90°，n∈Z； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n360°＋225°≤α≤n360°＋270°，n∈Z. 故选：C 例3、已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为． (1)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角； (2)若扇形周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【解析】（1）由题意得，解得(舍去)，． 所以扇形圆心角． （2）由已知得，． 所以， 所以当时，取得最大值25， ,解得. 当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大为25. 角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 弧长公式：（是圆心角的弧度数）， 扇形面积公式：． 【变式】已知扇形的半径为，弧长为，圆心角为. (1)若扇形的面积为定值，求扇形周长的最小值及对应的圆心角的值； (2)若扇形的周长为定值，求扇形面积的最大值及对应的圆心角的值. 【解析】(1)由题设，，又且， ∴，当且仅当时等号成立， ∴时的最小值为. (2)由（1）知：，， 当且仅当时，的最大值为. 例4、已知，则（    ） A． B． C． D． 【解析】， 故选：C． ①减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及、的齐次分式问题，常采用分子分母同除以（），这样可以将被求式化为关于的式子，从而完成被求式的求值； ②在求形如的值，注意将分母的1化为代入，转化为关于的表达式后再求值． 【变式】若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为， 所以 . 故选：A 例5、已知，，则______． 【解析】，解得. 因为，，所以. 所以， 又 ，所以． 故答案为： 三角函数求值中常见的变形公式 （1），，三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们的关系是：；. （2）求或的值，要根据的范围注意判断它们的符号． 【变式】已知，则______． 【解析】因为，平方得，所以， 所以． 故答案为： 例6、______． 【解析】 . 故答案为: . 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为 到 间的角． （3）“小化锐”：用公式二或四将大于 的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【变式】______． 【解析】 . 故答案为：. 例7、不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 如图所示： ，所以不等式的解集为. 故选：B 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式】不等式的解集是________. 【解析】在内,直线,与函数的图像的交点的横坐标分别为,,,, 所以满足不等式的解集为.或 故答案为：或 例8、下列四个函数中，在区间上单调递增，且最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【解析】的最小正周期是，的最小正周期是，排除， BC两个函数的最小正周期是， 时，单调递增，单调递减． 故选：B． 正弦型函数的性质． 函数与函数可看作是由正弦函数，余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数，余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． （4）奇偶性：正弦型函数不一定具备奇偶性．对于函数，当时为奇函数，当时为偶函数． 余弦型函数的性质． 函数可看作是由余弦函数复合而成的复合函数，因此它们的性质可由余弦函数类似地得到： （1）定义域： （2）值域： （3）单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． （4）奇偶性：余弦型函数不一定具备奇偶性，对于函数，当时为偶函数，当时为奇函数． （5）周期：函数的周期与解析式中自变量的系数有关，其周期为． （6）对称轴和对称中心 与正弦函数比较可知，当时，函数取得最大值（或最小值），因此函数的对称轴由解出，其对称中心的横坐标，即对称中心为．同理，的对称轴由解出，对称中心的横坐标由解出． 【变式】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为，所以， 因为，所， ，得，而，所以， 因为的最小正周期大于，所以有， 因为，所以，即，而， 所以，即， 故选：A 例9、已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A．B．C． D． 【解析】令， 因为，故， 因为在为增函数，故在上为增函数， 故即， 故选：A. 单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，分别与正弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由解出的范围所得区间即为增区间，由解出的范围，所得区间即为减区间． 单调区间：求形如的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把视为一个“整体”，余弦函数的单调递增（减）区间对应解出，即为所求的单调递增（减）区间． 【变式】已知函数,若使得在区间上为增函数的整数有且仅有一个,则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【解析】,使得在区间上为增函数 可得 当时，满足整数至少有,舍去当时，， 要使整数有且仅有一个,须,解得:实数的取值范围是.故选:A． 例10、下列关于函数的说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．图像关于点成中心对称 C．在区间上单调递增 D．图像关于直线成轴对称 【解析】函数， 当时，，所以图象关于点成中心对称，选项B正确； 函数的最小正周期为，所以A错误； 当时，，所以函数在上单调递减，所以C错误； 正切函数不是轴对称函数，所以D错误． 故选：B． 1、定义域： 2、值域： 由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线，为正切函数的渐进线． 3、周期性：周期函数，最小正周期是 4、奇偶性：奇函数，即． 5、单调性：在开区间，内，函数单调递增 【变式】函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【解析】由，得， 所以的对称中心为，取时，得. 故选：A 例11、的值为（    ） A．0 B． C． D． 【解析】① ② 得： ． 故选：D 给值求值的解题策略 （1）已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，适当地拆角与凑角． （2）由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有： ①；②；③；④． （1）给值求角问题的步骤． ①求所求角的某个三角函数值． ②确定所求角的范围（范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解），根据范围找出角． 【变式】、（    ） A． B． C． D． 【解析】 ． 故选：C． 例12、若函数的图像关于直线对称，则___________. 【解析】因为函数的图像关于直线对称， 所以函数在时取得最值， 所以，结合辅助角公式得：，即， 整理得：，解得. 故答案为： 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【变式】当函数取得最大值时，____________． 【解析】，且， ∴， ∴当，即时，函数取最大值2． 故答案为： 例13、若的图像如下图所示，且和是最小的两个正零点，若，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，，得， 所以，由图可知，在取得最大值，所以，得， 又和是最小的两个正零点，故，所以，又， 所以的解析式为.故选：B 确定函数（）的解析式的步骤 （1）求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则，． （2）求，确定函数的周期，则． （3）求，常用方法有 ①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上）或把图象的最高点或最低点代入． ②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口． 【变式】已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为（    ） A．y＝2sin B．y＝C．y＝2sin D．y＝2sin 【解析】由图象可知A＝2，因为－＝＝，所以T＝，ω＝2.当x＝－时，2sin＝2，即sin＝1，又|φ|<，解得φ＝.故函数的解析式为y＝2sin. 故选：C 例14、要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移3个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移3个单位长度 D．向右平移个单位长度 【解析】因为，所以要得到函数的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度． 对照四个选项，选B. 故选：B 对，，的三点说明 （1）越大，函数图象的最大值越大，最大值与是正比例关系． （2）越大，函数图象的周期越小，越小，周期越大，周期与为反比例关系． （3）大于0时，函数图象向左平移，小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”． 【变式】要得到函数的图像，只需把函数的图像（    ） A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【解析】把函数的图象向右平移个单位得到 把函数的图象向左平移个单位得到 把函数的图象向右平移个单位得到， 把函数的图象向左平移个单位得到， 故C正确； 故选：C 1．下列说法正确的是（    ） A．终边相同的角相等 B．相等的角终边相同 C．小于 的角是锐角 D．第一象限的角是正角 【解析】终边相同的角相差周角的整数倍，A不正确；相等的角终边一定相同；所以B正确；小于 的角是锐角可以是负角，C错；第一象限的角是正角，也可以是负角，D错误． 故选：B. 2．若 且 是第二象限角，则 （    ） A． B． C． D． 【解析】由 ，得 ， 又由 为第二象限角， 所以 ． 故选：B. 1．设 ，若 则 （    ） A． B． C． D． 【解析】因为 ， ， 所以 . 故选：C. 3.把函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 可以是（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数 的图象，将该图象向左平移 个单位长度， 得到 的图象，所以 ，对于A中，当 时， ，故A错误； 对于B中，当 时， ，故B错误；对于C中，当 时， ，故C错误； 对于D中，当 时， ，故D正确．故选：D． 1．（23-24高一上·吉林长春·期末）“点是第二象限的点”是“的终边位于第二象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）若扇形的面积为、半径为1，则扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知函数在上有且仅有2个零点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏常州·期末）若函数的定义域为，值域为，则的值可能为（   ） A． B． C． D． $$