3.4.2 求距离（八大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）

3.4.2 求距离 题型1：空间两点的距离的向量求法 1．已知空间直角坐标系中点，则 . 2．已知，，且，则实数的值是 . 3．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ． 题型2：空间点到直线的距离的向量求法 4．已知空间向量  ，则 点到直线 的距离为 . 5．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 6．已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 7．已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是 ． 8．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .    9．如图，在长方体中，，，点、分别是、的中点，则点到直线的距离为 . 题型3：异面直线的距离的向量求法 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 12．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 13．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 题型4：点到平面的距离的向量求法 14．平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 15．如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为 . 16．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，Q为线段的中点，，，，则点P到平面的距离为 ． 17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点，则求点到平面的距离为 题型5：根据点到平面的距离求其他量 18．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时， ． 20．长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 题型6：平面到平面的距离的向量求法 21．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 22．两平行平面间的距离如图，，分别是平行平面，上的任意一点，设是平面，的一个法向量，则平面，之间的距离 ． 23．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 24．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 25．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 题型7：最值问题 26．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 27．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．    28．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 29．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 30．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 题型8：解答题 31．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线AE的距离； (2)求点C到平面的距离. 32．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 33．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 34．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 35．底面为矩形的长方体被截面所截得到的多面体如图所示，其中，，，，四边形为平行四边形． (1)求线段的长； (2)求点C到平面的距离． 36．如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 一、填空题 1．如图，在正四棱柱中，，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到平面的距离分别为、，则顶点到平面的距离为 . 2．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 3．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 二、单选题 4．已知是表面积为的球表面上的四点，球心为的内心，且到平面的距离之比为，则四面体的体积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 6．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积： (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4.2 求距离 题型1：空间两点的距离的向量求法 1．已知空间直角坐标系中点，则 . 【答案】 【分析】 根据空间中两点间距离公式直接求解. 【解析】 故答案为： 2．已知，，且，则实数的值是 . 【答案】或 【分析】根据空间两点间距离公式计算即可. 【解析】因为， 所以，解得或. 故答案为：或 3．正方形的边长为12，其内有两点P，Q，点P到边，的距离分别为3和1，点Q到边，AB的距离也分别为3和1．现将正方形卷成一个圆柱，使得AB和重合（如图），则此时P，Q两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】利用，两点所在截面的圆心，将P，Q两点间的距离转化为的模计算即可. 【解析】如图， 设过点且平行底面的截面圆心为， 过点且平行底面的截面圆心为， 设圆柱底面半径为，则，所以. ，因为, 所以 . 所以. 故答案为：. 题型2：空间点到直线的距离的向量求法 4．已知空间向量  ，则 点到直线 的距离为 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的空间向量距离公式求出答案. 【解析】，， 故在上的投影向量的模为， 故B点到直线的距离为. 故答案为：. 5．已知直线经过点，且是的方向向量，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可求得与直线所成的角的正弦值,则空间一点到直线的距离为，代入运算即可. 【解析】 ，故，， 设直线与直线所成的角为 ，则，故 ， 点到直线 的距离为. 故答案为：． 6．已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则 ． 【答案】或 【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解. 【解析】由题意得，又， 所以，， 所以点到直线的距离为， 解得或. 故选：或. 7．已知正方体的棱长为，点是的中点，则点A到直线的距离是 ． 【答案】/ 【分析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量公式可得. 【解析】以D为原点，以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 则， 所以， 记与同向的单位向量为，则， 所以，点A到直线BE的距离. 故答案为： 8．如图所示，四边形为正方形，为矩形，且它们所在的平面互相垂直，，为对角线上的一个定点，且，则到直线的距离为 .    【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【解析】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 因为，所以， 所以，， 令，， 所以，，则点到直线的距离为. 故答案为：    9．如图，在长方体中，，，点、分别是、的中点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，推导出，即可求得点到直线的距离. 【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 所以，，则， 故点到直线的距离为. 故答案为：. 题型3：异面直线的距离的向量求法 10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【解析】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 11．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【解析】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 12．在棱长是的正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离是 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用空间距离的向量求法，即可求得答案. 【解析】以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 则， 设与异面直线和都垂直的向量为， 则，令，则， 又，故异面直线和间的距离是， 故答案为： 13．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，P，Q分别为线段，上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，, 则， 设， 故， 由于直线，为异面直线，要使的最小，则是，的公垂线， 故解得， 所以 故， 故答案为：    题型4：点到平面的距离的向量求法 14．平面经过点，且的法向量，则到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】求出，则点到平面的距离. 【解析】因为平面经过点，所以， 又平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故答案为： 15．如图，在直三棱柱中，，，，点为的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立合适空间直角坐标系，求解出平面的一个法向量，根据求解出结果. 【解析】据题意，以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系， 由条件可知，，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 所以点到平面的距离为， 故答案为：. 16．如图，点为矩形所在平面外一点，平面，Q为线段的中点，，，，则点P到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】由已知，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，再利用点到平面的距离，由坐标运算即可得答案. 【解析】 点为矩形所在平面外一点，又平面， 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 因为Q为线段的中点，，，， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 由 ，得， 令，则，所以取， 所以点到平面的距离． 故答案为：. 17．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，且，，M是棱SB的中点，则求点到平面的距离为 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，得到所需各点的坐标，再利用空间向量求点面距离公式即可得解. 【解析】如图，因为平面，，且，所以， 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， ，， 于是有，取，则 所以点A到平面的距离为. 故答案为：. 题型5：根据点到平面的距离求其他量 18．在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【解析】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 19．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，平面为的中点，为平面内一点，当三棱锥体积达到最大，且点到平面的距离为时， ． 【答案】1 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求点面距，从而求得结论． 【解析】连接，且，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 底面是边长为2的菱形，则当为棱上一点时，面积最大，从而三棱锥的体积最大， 设，则， 设平面的法向量，则即 令， 点到平面的距离为， 化简得，解得或（舍去），则，故． 故答案为：1. 20．长方体中，，点是线段上异于的动点，记．当为钝角时，实数的取值范围是 ；当点到直线的距离为时，的值为 ． 【答案】 /0.25 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线表示出点的坐标，由为钝角建立不等式求解的范围；由空间点到直线距离公式计算的值. 【解析】在长方体中，建立如图所示的空间直线坐标系， 则，令， 则有，，， 由为钝角，得，解得， ，因此； 显然，点到直线的距离 ，整理得， 解得，所以. 故答案为：； 【点睛】思路点睛：求空间点的坐标，可以借助向量共线，结合向量的坐标运算求解. 题型6：平面到平面的距离的向量求法 21．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答. 【解析】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离， 而，所以平行平面、间的距离. 故答案为： 22．两平行平面间的距离如图，，分别是平行平面，上的任意一点，设是平面，的一个法向量，则平面，之间的距离 ． 【答案】 【分析】略 【解析】略 23．已知是棱长为1的正方体，则平面与平面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面平面，从而平面与平面的距离等于点到平面的距离．求得平面的法向量和，结合点到平面的距离的向量公式，即可得解． 【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可得， 因为，则， 所以， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离等于点到平面的距离， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又因为，所以． 所以平面与平面的距离为． 故答案为：． 24．正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解析】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B 25．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AMN的一个法向量，然后使用等价转化的思想，面面距转为点面距，最后计算即可. 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)， F(2，4，4)，N(4，2，4). ∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)， ∴， ∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1). 平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=. 故答案为： 【点睛】本题考查面面距，使用数形结合，形象直观，并采用向量的方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题. 题型7：最值问题 26．已知正方体的棱长为是棱的中点，若点在线段上运动，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，借助空间向量结合二次函数求解作答. 【解析】在棱长为2的正方体中，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则有，则， 设点， 则点到直线的距离 ， 当且仅当时取等号，则点到直线的距离的最小值为. 故选：D. 27．在长方体中，，，动点P在体对角线上（含端点），则点B到平面的最大距离为 ．    【答案】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点B到平面的距离，然后求其最值即可. 【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，    设， 则， 则，故， 则，， 设平面的法向量， 则，取可得， 则点B到平面的距离为， 当时，点B到平面的距离为， 当时，. 当且仅当时，等号成立， 所以点B到平面的最大距离为. 故答案为：. 28．已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析条件得四点共面，的最小值为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可得到结果. 【解析】由题意得，， ∴，即， 由共面向量定理得，四点共面，即点在平面上，的最小值为点到平面的距离. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ∴， 设平面的法向量为，则，取， 到平面的距离，即的最小值为. 故选：A. 29．已知正方体的棱长为1，M为棱的中点，G为侧面的中心，点P，Q分别为直线，上的动点，且，当取得最小值时，点Q到平面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设，，根据，得到，从而得到，再由向量模的坐标表示求出的最小值及此时、的值，最后利用空间向量法求出点到平面的距离. 【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，设，， 所以，， 因为，所以，即，所以， 又，所以，当且仅当时取等号，此时， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，取， 所以当取得最小值时，点Q到平面的距离. 故选：A    30．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 【答案】 【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面中心距离的最小值. 【解析】四棱锥的底面为边长为2的正方形，连接且相交于点，则点是底面中心，， 取的中点，连接，则， 又， 又， 面 又面， 面面 又，为面与面的交线，平面 面 又面，面， 以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，设平面的法向量为，设到平面的距离为， 则 令，则， 代入距离公式得， 故答案为：. 题型8：解答题 31．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段的中点. (1)求点到直线AE的距离； (2)求点C到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，利用点到直线的距离公式即可； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式即可. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体棱长为2，且为线段的中点，为线段的中点， 则，， ， 所以. 又， 所以点到直线的距离为. （2）由题意得， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则.所以，是平面的一个法向量. 所以到平面的距离为. 32．如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【解析】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 33．直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．      (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明. （2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案. 【解析】（1）法一:证明：连接分别为的中点， 分别是的中点， ，平面，平面， 平面，平行且等于， 是平行四边形，， 平面，平面，平面， ，平面平面； 法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，    则， ， ， ，，， 平面，平面，平面， 平面，平面，平面， 又，平面平面， （2）法一:平面与平面的距离到平面的距离． 中，，，， 由等体积可得，． 法二: 设平面的一个法向量为， 则，则可取， ， 平面与平面的距离为 34．如图，在棱长为的正方体中，点在棱上，且． (1)求四棱锥的表面积 (2)若点在棱上，且到平面的距离为，求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形以及梯形面积公式即可求解， （2）建立空间直角坐标系，利用空间距离的向量法求解即可. 【解析】（1）由，,所以, , 所以,, 故四棱锥的表面积为 （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,4,， ,4,，，其中， 则， 设平面的法向量为，则， 即令，则平面的法向量， 设到平面的距离为，， 由于，解得， 故， 点到直线的距离为． 35．底面为矩形的长方体被截面所截得到的多面体如图所示，其中，，，，四边形为平行四边形． (1)求线段的长； (2)求点C到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，由四边形为平行四边形，可得，利用坐标运算即可求得线段的长； （2）运用向量坐标运算即可计算点到平面的距离． 【解析】（1） 因为四边形为平行四边形，所以， 设，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，， 则，，，，， 所以，， 所以，则， 所以，所以． 所以， 即线段的长为． （2）由（1），，又，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离． 36．如图甲，在平面五边形中，∥，，，，为的中点，以为折痕将图甲中的△折起，使点到达如图乙中的点的位置，且. (1)证明：平面平面； (2)若过点作平面的垂线，垂足为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可. 【解析】（1）在平面五边形中，∥，， 所以四边形是直角梯形，且， 在直角中，，且，则， 可得，从而是等边三角形，平分. 因为为的中点，所以，所以， 又因为且平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）取的中点F，连接，过点S作垂直于点，连接，如图， 因为平面平面，平面∩平面， 所以平面，又平面，则 因为，F是的中点，所以， 又且平面，所以平面， 由平面，则； 又因为，所以，则点O是的中点， 又，所以，可得. 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴， 如图所示建立空间直角坐标系， 则， 可得. 设平面的一个法向量为， 由，令，则. 由于平面，设 可得， 所以； 由于点平面， 所以， 解得，即， 由（1）可知，平面， 所以点H到平面的距离为. 一、填空题 1．如图，在正四棱柱中，，顶点在平面内，其余顶点在的同侧，顶点到平面的距离分别为、，则顶点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用点到面的距离的向量求法列方程得到，然后再利用点到面的距离的向量求法求顶点到平面的距离即可. 【解析】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．所以，，． 设平面的一个法向量为， 由题意得，解得， 所以顶点到平面的距离是． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是建立空间直角坐标系，结合点到面的距离的向量求法即可求解. 2．在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可. 【解析】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过平面平面确定点的轨迹为线段，即当时取最小值，注重考查学生的数学运算和逻辑推理能力. 3．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 【答案】 【分析】由面到点的距离的最小值转化为点到面的距离的最小值，建立合适的空间直角坐标系，由点到面的距离即可求得平面上任意一点到底面中心距离的最小值. 【解析】四棱锥的底面为边长为2的正方形，连接且相交于点，则点是底面中心，， 取的中点，连接，则， 又， 又， 面 又面， 面面 又，为面与面的交线，平面 面 又面，面， 以点为原点，以分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，设平面的法向量为，设到平面的距离为， 则 令，则， 代入距离公式得， 故答案为：. 二、单选题 4．已知是表面积为的球表面上的四点，球心为的内心，且到平面的距离之比为，则四面体的体积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意分析可知是边长为的等边三角形，点在底面的投影在直线上，建系，设，，利用空间向量结合点到面的距离可得，进而可求体积. 【解析】由题意可知：球心既是的内心，也是的外心，则为等边三角形， 设球的半径为，则，解得， 由正弦定理可得，即的边长为， 分别取的中点，连接， 因为到平面的距离相等，由对称可知：点在底面的投影在直线上， 如图，以O为坐标原点，为x轴所在直线，为y轴所在直线，过作底面的垂线为z轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 不妨设平面的法向量依次为， 且， 则O到平面的距离依次为， 可得，整理得， 因为，设，， 则， 则，解得， 则，解得， 则，即点到底面的距离为， 所以四面体的体积为. 故选：A. 【点睛】关键点睛： 1.分析可知是边长为2的等边三角形，点在底面的投影在直线上； 2.巧妙设点或向量，方便分析计算. 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是等腰直角三角形，平面平面，当棱上一动点到直线的距离最小时，过作截面交于点，则四棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，由题意可得平面建立空间直角坐标系，利用空间向量中点到直线距离公式计算出到直线的距离最小时的具体坐标，再用空间向量的方法计算出点到直线的距离和点到平面的距离即可. 【解析】 取的中点，连接， 因为是等腰直角三角形且，所以，，， 因为平面平面平面平面平面 所以平面所以以为原点，分别以，，的方向为，，轴的 建立空间直角坐标系，则 所以，， 因为动点在棱上，所以设，则 所以，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以当时，点到直线的最小距离为，此时点是的中点即． 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，所以， 因为点是的中点，所以点是的中点，所以， ，， ，，，， 所以点到直线的距离为， 所以梯形的面积为， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 所以， 则点到平面的距离， 所以四棱锥的体积为． 故选：B 【点睛】方法点睛：针对于立体几何中角度范围和距离范围的题目，可以建立空间直角坐标系来进行求解，熟练各种距离、各种角度的计算方式． 三、解答题 6．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积： (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设，由正弦定理和三角形相似关系可证得，结合面面垂直的性质可证得平面，由此可得，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得，根据棱锥体积公式可求得结果； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，可确定当时，取得最大值，由此可确定，利用点到面的距离的向量求法可求得结果. 【解析】（1）设，连接，   为底面圆的内接正三角形，，为中点， 又，，； ，，，， ，∽，，； 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面，平面， 又平面，， 平面，平面，平面； 为中点，，即， 又平面，平面，，， ，平面，平面， ，，， 又，平面， . （2），为中点，又，为中点，， ，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， ，，，，， 设，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设直线与平面所成角为， ， 令，则，， ， ，当，即时，， ，此时， ， 点到平面的距离. 【点睛】关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量的函数的形式，通过函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位置. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$