山东省泰安市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

试卷类型：A 高二年级考试 数学试题 2024.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线在轴上的截距是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程所表示的直线中，倾斜角为的是（ ） A． B． C． D． 3．已知点沿着向量的方向移动到点，且，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．已知圆，则过点的圆的切线方程为（ ） A． B．或 C． D．或 5．已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 7．已知点在直线上，若以为圆心，以3为半径的圆与圆有公共点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左，右焦点分别为上两动点均位于轴上方，且，若与的交点在轴上，且纵坐标为，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，直线，若或，则的值可能为（ ） A．4 B． C． D．1 10．已知圆，则（ ） A．点在圆内 B．若点在圆上，则的最大值为 C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为 D．若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为 11．在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，且满足，若点满足，其中，则下列说法正确的是（ ） A．当时，三棱锥的体积为定值 B．当时，的面积的最大值为 C．当时，有且仅有一个点，使得 D．当时，有且仅有一个点，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．定义，若向量，向量的模为2，向量与向量的夹角为，则______． 13．已知，点满足，则点的轨迹方程为______． 14．“若点为椭圆上的一点，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆，点是椭圆上的点，在点处的切线为直线，过左焦点作的垂线，垂足为M，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知点，点关于直线的对称点为． （1）求的外接圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆截得的弦长为2，求直线的方程． 16．（15分） 如图，在三棱锥中，在线段上，且为的中点． （1）证明：； （2）求异面直线所成角的余弦值． 17．（15分） 已知椭圆的上顶点为，离心率为，左焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 18．（17分） 如图，在四面体中，平面分别是线段的中点，点在线段上，且． （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点的位置． 19．（17分）定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作，已知四点，中恰有三点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）证明：有两个点满足“共轭点对”，并求点的坐标； （3）设（2）中的两个点分别为，设为坐标原点，点在椭圆上，满足且点在直线两侧，求四边形的面积的最大值． 试卷类型：A 高二年级考试 数学试题参考答案及评分标准 2024.11 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C D A B B B 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 BC BCD AC 三、填空题： 12．6 13． 14． 四、解答题： 15．（13分） 解：（1）设点 点与点关于直线对称 解得 的中点为 的中垂线方程 的中点，且直线的斜率不存在 的中垂线方程为： 圆心满足 圆的标准方程为． （2）直线被圆截得的弦长为2 圆心到直线的距离当直线斜率存在时，设的方程为 即 解得 此时的方程为 当直线斜率不存在时，方程为，满足题意 因此，所求直线的方程为或 16．（15分） 证明：（1）设 与均为正三角形 ． （2）为的中点，为线段靠近的三等分点， 中， 异面直线所成角的余弦值为 17．（15分） 解：（1）由题意可知 解得． 椭圆的方程为 （2）设直线的方程为 由得 恒成立 设 整理得 解得或（舍去） 直线的方程为或 18．（17分） （1）证明：取中点，连接 是的中点 ，且 在线段上取点，使 连接 且 ∴ 四边形为平行四边形 又平面平面 平面 （2） 取中点，则，又平面， 平面 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得 设平面的法向量为则． 设平面的法向量为 则即 令，解得 设平面与平面的夹角为 则 （3）由（2）知为中点，为中点，连接 点为内动点且平面 平面 平面平面 即点在上 设 设 即 设平面的法向量为，则 设与平面所成角为最大即最大 当，即点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，与平面所成角最大 19．（17分） 解：（1）由于两点关于轴对称，故由题意知椭圆经过两点， 显然不经过点，所以点在上，且的焦点在轴上 设的标准方程为 因此解得 椭圆的标准方程为 （2）设“共轭点对”中点的坐标为 根据“共轭点对”定义 点的坐标满足 所以或 于是有两个点满足“共轭点对”，且点的坐标为 （3）设，则所在的直线的方程为 法一： 设点，则 两式相减得 又 于是，则 所以线段的中点在直线上，即线段被直线平分 设点到直线的距离为 则四边形的面积 又 则有 设过点且与直线平行的直线的方程为 则当与相切时取最大值 由消得 令得 四边形的面积的最大值为4．法二： 设直线的方程为： 设与直线交于点 设直线与所成的锐角为 则四边形的面积 为定值 当最大时，四边形的面积最大 由消得 设，则 当，即直线过原点时，有最大值 不妨设在第一象限，则点与点重合 此时到直线的距离 四边形的面积的最大值为4． 学科网（北京）股份有限公司 $$