精品解析：江苏省镇江市2024-—2025学年上学期期中考试九年级数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，配方后得到方程是(　　) A. B. C. D. 3. 已知的半径为，点在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，是的弦，于交于点，则下列说法错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 8. 一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图．将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内、使D、C，B在一张直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ） A. B. C. D. 10. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（ ）的解． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 12. 已知整数，使方程无实数根，则的值可以是______． 13. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 14. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为______ 15. 如图四边形内接于，是直径，．若，则____________°． 16. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，格点的连线交于点，则的长为______．（结果保留） 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 19. 如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ． （1）求证：CD=CE． （2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式． 20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 21. 如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：． （2）若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 22. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； （1）在图①中画的一个内接正六边形． （2）在图②中画的一个内接正八边形． （3）图②中正八边形的面积为______． 23. 如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． （1）证明： （2）当点不与重合时，求的度数． （3）当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 24. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （本试卷共6页，共24题；全卷满分120分，考试时间100分钟） 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共计30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1. 下列选项中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义，即可求解． 【详解】解：A． ，是二元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；        B． ，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意；        C． ，是代数式不是方程，故该选项不正确，不符合题意； D． ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；        故选：D． 2. 用配方法解方程时，配方后得到方程是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤求解即可． 【详解】解：用配方法解方程时， 移项可得：， 配方，得， 即为． 故选：A． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法求解的步骤和方法是关键． 3. 已知的半径为，点在内，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点A在内， 当时，点A在内； ， 故选：A． 4. 下列事件是随机事件的是（ ） A. 三角形有且只有一个外接圆 B. 方程是一元二次方程 C. 直径是圆中最长的弦 D. 同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，一元二次方程的定义，弦的定义，圆周角定理，随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件为随机事件，三角形的外接圆的圆心是垂直平分线的交点，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三角形有且只有一个外接圆，是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； B、方程是一元二次方程，故原说法是随机事件，故该选项符合题意； C、直径是圆中最长的弦是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是必然事件，不是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，将直角三角板角的顶点放在圆心上，斜边和一直角边分别与相交于、两点，是优弧上任意一点（与、不重合），则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，由题意得，再由圆周角定理求得的度数即可．掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：B． 6. 如图，是的弦，于交于点，则下列说法错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理和垂径定理，由垂径定理和圆周角定理可证，，，=，而点不一定是的中点，即可求解． 【详解】解：， 由垂径定理知，点是的中点， ，， 是等腰三角形，是的平分线， =， 由圆周角定理知，=， =，故A、 B、D正确，而点不一定是的中点，故C错误． 故选．C 7. 已知是方程的两根，则的值为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，方程根的定义，利用一元二次方程根与系数的关系得到，再根据一元二次方程根的定义得到，最后整体代入即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两根， ∴，，即， ∴ ． 故选：D． 8. 一个正方形、一个正五边形和一个正六边形组成了如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的特点、多边形内角和公式、等腰三角形的性质，根据正多边形特点算出正六边形和正五边形的一个内角，推出，再利用等腰三角形的性质，即可得出． 【详解】解：由题知，， ， 由多边形内角和公式可知正六边形的一个内角为， 正五边形的一个内角为， ， ． 故选：D． 9. 如图．将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内、使D、C，B在一张直线上，且，过点A作量角器圆弧所在圆的切线，切点为E，则点E在量角器上所对应的锐角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先设半圆的圆心为O，连接OE，OA，由题意易得AC是线段OB的垂直平分线，即可求得∠AOC=∠ABC=60°，又由AE是切线，易证得Rt△AOE≌Rt△AOC，继而求得∠AOE的度数，则可求得答案． 【详解】解：设半圆的圆心为O，连接， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ∵是切线， ∴， ∴， 在Rt△AOE和Rt△AOC中， ， ∴， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了切线的性质、全等三角形的判定与性质以及垂直平分线的性质．此题难度适中，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解方法：先构造边长为的正方形，再分别以，为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列一元二次方程（ ）的解． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可． 【详解】解：∵四边形AIFH是面积为64的正方形， ∴（x+5）2=64， 整理得：x2+10x=39， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共计18分） 11. 若是一元二次方程的一个根，则m的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 12. 已知整数，使方程无实数根，则的值可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，解之即可求出的值． 【详解】解：，． ， ． 则c的值可以是2． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π． 故答案为15π． 14. 如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心和外心的概念，圆周角定理，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 连接，根据点是内心得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义以及三角形内角和定理进行计算，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是的外接圆的圆心， ∴， ∵， 故答案为： ． 15. 如图四边形内接于，是直径，．若，则____________°． 【答案】68 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质．根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， ， ， ， ∵， ， 故答案为：68． 16. 如图，在每个小正方形的边长均为1的网格图中，一段圆弧经过格点，格点的连线交于点，则的长为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，求弧长，勾股定理逆定理的应用，连接，，，再证明出的长为以为直径的圆周长的即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，， ， 为半圆的直径， ， 根据网格图形可知： ，， ， 是等腰直角三角形， ，， 所对的圆周角为， 所对的圆心角为， 的长为以为直径的圆周长的， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，再利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再根据配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根． （2）若的两边、的长是已知方程的两个实数根．当为何值时，是菱形？求此菱形的边长． 【答案】（1） 证明： ， ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的情况，平行四边形的性质和菱形的判定和性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式，菱形的性质是解题的关键． （1）利用根的判别式即可得出答案； （2）当，是菱形，即可求出m的值，然后代入原方程，解方程即可得出菱形的边长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是菱形， ∴， 的两边、的长是已知方程的两个实数根． ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 当时，原方程为：， 解得：， 此时菱形的边长为． 19. 如图，D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ． （1）求证：CD=CE． （2）若∠AOB=120°，OA=x，四边形ODCE的面积为y，求y与x的函数关系式． 【答案】 （1）证明：连接OC， ∵， ∴∠COA=∠COB， ∵D、E分别是⊙O两条半径OA、OB的中点， ∴OD=OE， 在△COD和△COE中， ， ∴△COD≌△COE（SAS） ∴CD=CE； （2）y=x2． 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB，证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质证明； （2）连接AC，根据全等三角形的判定定理得到△AOC为等边三角形，根据正切的定义求出CD，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）连接AC， ∵∠AOB=120°， ∴∠AOC=60°，又OA=OC， ∴△AOC为等边三角形， ∵点D是OA的中点， ∴CD⊥OA，OD=OA=x， 在Rt△COD中，CD=OD•tan∠COD=， ∴四边形ODCE的面积为y=×OD×CD×2=x2． 【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键． 20. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 21. 如图，四边形是正方形，边长为6，以边为直径作，点在边上，连结交于点，连结并延长交于点． （1）求证：． （2）若，求中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积．（结果保留） 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵是的直径， ∴， ， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）证即可； （2）连接，过点O作交于点，根据等腰三角形的性质和三角形内角和得出，直角三角形的性质得出，垂径定理算出，再根据中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过点O作交于点，如图所示： ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴中弦与它所对劣弧围成的封闭图形的面积． 【点睛】本题考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的性质、解直角三角形、扇形面积公式等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． 22. 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； （1）在图①中画的一个内接正六边形． （2）在图②中画的一个内接正八边形． （3）图②中正八边形的面积为______． 【答案】（1） 解：如图①，正六边形即为所求； （2） 如图②，正八边形即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 23. 如图，已知，以点为圆心，为半径作，与轴的另一个交点为，点是上的一个动点，连接，点是的中点，连接． （1）证明： （2）当点不与重合时，求的度数． （3）当点在优弧上运动时，求点的运动路径长． 【答案】（1） 证明：∵点D是的中点，点O是的中点， ∴， （2）或； （3） 【解析】 【分析】本题考查了周角角定理，三角形的中位线定理，求弧长； （1）由三角形中位线定理可得，； （2）由圆周角定理得，由平行线的性质可得或； （3）先确定点的运动轨迹，作的外接圆，并从中确定的运动轨迹是圆上的一条弧，根据弧长公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当在劣弧上时，则， 同理可得 综上所述或； 【小问3详解】 如图3，作的外接圆，连接， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∵当点C在上运动时， ∴点D在上运动， ∴点D的运动路径长， 24. 如图1，在矩形中，边长，，其中分别是方程的两个根，连接．点从点出发，沿向点运动（到达点停止运动），速度为1个单位每秒，设运动时间为秒． （1）______． （2）如图2，在运动过程中，以为圆心，的长为半径作半圆，交射线于点，当为______时，点运动到的角平分线上，此时，半圆与有怎样的位置关系，并加以说明． （3）如图3，在运动过程中，连接，将沿折叠，得到，连接，当取最小值时，为______，此时，的值为______． （4）如图4，当半圆与的边有两个交点时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）5 （2） （3）， （4）或 【解析】 【分析】（1）先解一元二次方程，得到，根据矩形的性质，得到，利用勾股定理即可求解； （2）运用角一部分线性质定理得，可得是圆的切线，根据面积可求出，即可得到的值； （3）由折叠的性质得到，即，，当点O在运动过程中，的长度和的长度是固定不变的，由此可以得到当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，求出，，再利用勾股定理即可求的值； （4）根据题意，分为当半圆O与有2个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；当点半圆O与有1个交点，与有1个交点；三种情况讨论，分别求出半径的范围，即可得到t的取值范围． 【小问1详解】 解：，即， 解得：， ∵边长，，其中分别是方程的两个根， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴, 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图，过点作垂足为点, ∵是的平分线， 又在矩形中， ， ∴ ∴ ∴是的切线，即与相切； 又， ∴， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由折叠的性质得：， ∴， 点O在运动过程中， ∵的长度和的长度是固定不变的，如图， ∵， ∴当点B、P、D三点共线时，的长度最短，即有最小值，最小值为，此时，， 过点P作垂足为F点，于点T，如图， 所以，四边形是矩形， ∴ 由（1）知， 由（2）知， ∴， ∴，， 又 ∴ ∴, ∴； 在中，， ∴， 在中，． 故答案为：，； 【小问4详解】 解：如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有1个交点，即为切点，设切点为H，连接，   由（2）知，； 如图，当点Q与点B重合时，此时半圆O与的边有2个交点， 此时，为半圆O的直径， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有2个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，此时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 如图，当半圆O与相切时，此时半圆O与的边有3个交点，设与半圆O的切点为M，连接， ∵， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 如图，当半圆O与经过点A时，此时半圆O与的边有3个交点；连接， 设，由勾股定理得： ， 解得：， ∴， ∴， 如图，当点O与点B重合时，此时点O停止运动， ∴， ∴， ∴当时，半圆O与有1个交点，与有1个交点， 即半圆O与的边有2个交点； 综上，半圆O与的边有两个交点时，或． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，切线的判定，矩形判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $