4.1指数与指数函数练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4.1指数与指数函数练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册 一、单选题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．设，则的分数指数幂形式为（   ） A． B． C． D． 3．将化成分数指数幂的形式是（   ） A． B． C． D． 4．函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   5．函数函数的图像必过点（     ） A．(1，3) B．(2，5) C．(1，4) D．(4，1) 6．已知函数（且），若函数的值域为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，为正数满足，则 D．若，为正数，则 8．函数是指数函数，则的值不可以是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 三、填空题 9．计算 ． 10．已知函数，则 ． 11．已知（且），则 ； . 12．，分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 四、解答题 13．已知函数为指数函数，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)设函数满足，若不等式恒成立，求实数的最大值. 14．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业10天（含10天）内，每天打卡人数与第天近似地满足函数（万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人. (1)求k的值； (2)求第10天的打卡人数 15．已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 16．已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C C B BCD ACD 1．B 【分析】借助指数幂的运算法则计算即可得. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D错误. 故选：B. 2．D 【分析】根据根式和指数幂的转化即可得到答案. 【详解】. 故选：D. 3．D 【分析】由根式与分数指数幂的转换即可求解. 【详解】， 故选：D 4．C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 5．C 【分析】根据指数型函数过定点即可求解. 【详解】令，可得，所以， 故函数的图象经过定点(1，4). 故选：C. 6．B 【分析】分析可知当时，，由题意可知当时，则的值域包含，分和两种情况，结合指数函数性质分析求解. 【详解】当时，则， 且，所以， 若函数的值域为，可知当时，则的值域包含， 若，则在内单调递减， 可得，不合题意； 若，则在内单调递增， 可得，则，解得； 综上所述：实数a的取值范围是. 故选：B. 7．BCD 【分析】结合不等式的性质依次判断即可. 【详解】解：，，则，A错. ，∴，B对. ，则，，，C对. ，，，D对. 故选：BCD. 8．ACD 【分析】根据指数函数的定义，列出方程，得出的值. 【详解】由指数函数的定义知且，解得. 故选：ACD. 9． 【分析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值. 【详解】 故答案为：. 10．/-0.5 【分析】先计算内层函数的值，再将其作为自变量代入函数计算外层函数的值. 【详解】因为，所以将代入中，可得 因为，所以将代入中，可得. 故答案为:. 11． 【分析】根据函数的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， . 故答案为：； 12．4 【分析】根据题意结合二次函数求得，再结合指数函数性质运算求解. 【详解】因为 因为，，所以. 故答案为：4. 13．(1)， (2)8 【分析】（1）根据指数函数解析式即可求得，再利用奇函数的定义求出即可； （2）由（1）求出，不等式恒成立，令，可得在时恒成立，利用基本不等式可得答案. 【详解】（1）因为为指数函数， 所以，解得（舍去）或， 所以， 所以， 因为为奇函数，所以，即， 得到，解得，可得， 且，为奇函数 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以， 不等式恒成立，即恒成立， 令，则， 由，可得在时恒成立， 因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的最大值为8. 14．(1)8 (2)12万人 【分析】（1）根据题意，由即可求解得； （2）根据（1）中解析式直接计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以，即， 解得. （2）由（1）知，， 所以， 即第10天的打卡人数约为12万人. 15．(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2）证明：由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3）为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 所以k的取值范围为 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以的值域为； （2）令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$