精品解析：四川省绵阳市绵阳中学2025届高三上学期12月综合测试数学试题

四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的值域可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的值域是指函数值组成的集合，即可判断. 【详解】因函数的值域是指函数值组成的集合， 故对于函数，其值域可表示为：. 故选：B. 2. 若“”是“”的充分条件，则是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的正切值与正弦值的正负判断象限即可. 【详解】由题可知，，则是第三象限角或第四象限角；又要得到，故是第三象限角. 故选：B 3. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对于选项A:利用指数函数的值域即可判断；对于选项B:利用对数函数的单调性求出值域即可判断；对于选项C:采用特殊值法，令即可判断; 对于选项D: 令，结合三角函数的值域求解验证即可. 【详解】对于选项A:因为指数函数的值域为，故，，故选项A错误； 对于选项B: 因为对数函数在上单调递增，所以当时，，故选项B错误； 对于选项C:令,则，，显然，故，使得成立，故选项C正确; 对于选项D:结合题意可得：令，因为，所以，所以， 因为，故不存在，使得,故选项D错误. 故选：C. 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定函数的奇偶性，排除两选项，再根据特殊点的函数值的正负，选出正确答案. 【详解】函数是偶函数，图象关于轴对称，排出选项A、B；再取特殊值和，可得函数的大致图象为C， 故选：C. 5. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量夹角的计算公式计算即可. 【详解】由题可知， ， 所以 故向量与的夹角为 故选:A 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定两个角的关系，然后利用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】由题可知，， ， 所以有. 故选：C 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】我们观察形式，显然分式的分子和分母同时有变量，所以令代入化简，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】 当且仅当，，即时等号成立； 故选：A 8. 在中，内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角的三角函数关系结合两角和的正弦公式化简可得，利用正余弦定理角化边可得，即可得答案. 【详解】在中，，可得， 即，故， 即，所以， 所以，即，所以 故. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 的最小正周期为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A:利用换元，再结合指数函数的单调性即可求出值域；对于选项B:利用奇偶性的定义说明即可；对于选项C: 结合复合函数的单调性即可判断；对于选项D:借助三角函数的周期，以及周期函数的定义即可判断. 【详解】对于选项A:由，令，则，， 因为在上单调递增，所以，故选项A正确； 对于选项B: 由可知，对任意的， 因为，而，易验证故不是奇函数， 故选项B错误； 对于选项C:结合选项A可知在单调递减，而在定义域上单调递增， 由复合函数的单调性可得在单调递减，故选项C错误； 对于选项D:因为的最小正周期为， 所以，所以的最小正周期为，故选项D正确. 故选：AD. 10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ） A. 当时，应进甲商场购物 B. 当时，应进乙商场购物 C. 当时，应进乙商场购物 D. 当时，应进甲商场购物 【答案】AC 【解析】 【分析】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【详解】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC 11. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 【答案】BD 【解析】 【分析】构造函数，通过求导分析单调性可得选项A错误；根据两函数互为反函数，结合函数图象特征可得选项B正确；设图象上任意一点坐标，利用点到原点的距离公式结合基本不等式可得选项C错误；通过求导分析单调性可得选项D正确. 【详解】对于A：设，则， 由得，由得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，即恒成立，选项A错误. 对于B：由得，即， 所以函数与函数互为反函数，图象关于直线对称， 结合图象可得函数与的图象都过原点，直线为函数与唯一的公切线，选项B正确. 对于C：设点为函数图象上任意一点，则，当且仅当时等号成立，选项C错误. 对于D：令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，选项D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解切线. 【详解】由题可知，，， 所以切线斜率， 故切线方程为. 故答案为： 13. 已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，求得，，再结合余弦函数的零点，列出不等式，即可求解. 【详解】为偶函数， 所以，，得，， 当时，，在区间内仅有两个零点， 所以，解得：，所以. 故答案为：2 14. 若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理等知识进行分析，先求得，进而求得，也即是. 【详解】，所以为锐角，为锐角， 所以. 由于，所以，设，则， ， 为锐角，则. 由于， 所以，所以①， 在中，由正弦定理得， 所以，所以， 即，由正弦定理得， 即，解得，则为锐角， 由解得， 在三角形中，由余弦定理得， 所以， 在三角形中，由正弦定理得， 所以，解得. 故答案为： 【点睛】易错点睛：锐角与边长关系的判断：在判断三角形的角是否为锐角时，容易出现符号错误或判断失误.因此，在涉及角度大小的判断时，需特别注意各个角的定义和所使用定理的适用范围.正弦定理和余弦定理的符号处理：在使用正弦定理和余弦定理时，符号的处理必须谨慎，特别是在涉及平方根和正负符号的时候，需确保没有遗漏或误用. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 附：，，（其中） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 【答案】（1）； （2）没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关 【解析】 【分析】（1）根据表格数据计算出所需数据后，根据最小二乘法计算可得回归直线方程，代入即可求得所求预测值； （2）利用表中数据计算，结合临界值表可得结论. 【小问1详解】 由表中数据可得，， 所以，， 所以所求的回归直线方程为； 令，则， 即该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次预测为人次. 【小问2详解】 零假设：礼让行人行为与驾龄无关， 由表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分理由认为零假设不成立，即没有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关. 16. 记为数列的前项和， （1）求，并证明 （2）若，求数列的前项和 【答案】（1） 令，， ∴，因为， 所以，① 所以，② ②－①得，③ 所以，④ ③－④得， 所以． （2） 【解析】 【分析】（1），代入即可求得依题意得，，，两式作差即得答案； （2）对化简，利用裂项相消法求和即可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以数列是等差数列， 又，所以的公差， 所以， 所以， 所以. 17. 已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上． （1）求a，b，的值； （2）若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）由得，利用向量数量积计算公式和辅助角公式化简得，根据题设条件列出三角方程组，结合图象即可求出a，b，的值； （2）由题意中点的变换求得，利用正弦函数的图象特点即可求得在上的单调递减区间. 【小问1详解】 因，，由，可得， 由 ，其中， 因点和在函数的图象上，则有，， 结合图象，由① 可得， 将其代入② 式，可得，即，（*） 由图知，该函数的周期满足，即又，则有， 由（*）可得，故. 由解得，， 故，，； 【小问2详解】 不妨记，则， 因是图象上的一点，即得，即， 又因是函数图象上的相应的点，故有. 由，可得， 因，故得. 在上的单调递减区间为. 18. 已知函数，m，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，证明：，． 【答案】（1）0 （2） 当时，在上为增函数； 当时，在和上单调递增, 在上单调递减. （3） 当时，, 要证，，只需证， 即证在上恒成立. 设，依题意，只需证在时，. 因，，由，可得，由，可得， 故在上单调递减，在上单调递增, 则在时取得极小值也是最小值，为； 因，，由，可得， 由，可得，由，可得， 故在上单调递增，在上单调递减， 则在时取得极大值也是最大值，为. 因，即在上成立，故得证. 即，． 【解析】 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，即得函数的极小值即最小值； （2）利用求导，就导函数中的参数进行分类，分别讨论导函数的符号，即得函数的单调性；（3）将待证不等式等价转化为，设，依题意，只需证在时，成立，分别求即可得证. 【小问1详解】 当时，，， 由，可得或，由，可得， 即在和上单调递增；在上单调递减， 时，，时，， 故时，取得极小值也即最小值，为. 【小问2详解】 当时，，函数的定义域为，， 当时，恒成立，故在上为增函数； 当时，由，可得， 故当或时，； 即在和上单调递增； 当时，， 即在上单调递减. 综上，当时，在上为增函数； 当时，在和上单调递增, 在上单调递减. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值、证明不等式恒成立等知识点，属于较难题. 证明不等式型如的恒成立问题，一般方法有： （1）构造函数法：即直接构造，证明； （2）比较最值法：即证明即可； （3）等价转化法：即将待证不等式左右两边同除以一个式子，使得左右函数的最值可比较. 19. 已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：． （1）证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之； （2）如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：； （3）如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值． 【答案】（1） 设（分别为轴正方向逆时针到所成的角，且）， 则， ， 于是， 即，轴正方向逆时针到所成的角为. 故：是这样一个向量：把的模变为原来的倍，并按逆时针方向旋转角（为轴正方向逆时针到所成的角，且）. 例如，，则，，与轴正方向的夹角为，与轴正方向的夹角为，将的模变为原来的2倍，并按逆时针旋转，即可得. （2） 记， 根据新定义，可得， 同理， 所以， 而， 所以， 故：. （3）5. 【解析】 【分析】（1）根据圆的参数方程设定的坐标，再依据题意证明即可； （2）依据新定义把的坐标表示出来再运算证明即可； （3）掌握平面向量的模的运算和三角函数的最值求法即可解答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则， ， 所以， 所以 . 设，则， 当，即时，. 【点睛】此题考查了圆的参数方程；平面向量数量积的性质，以及三角函数最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳中学2024-2025学年高三上学期12月综合测试数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的值域可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若“”是“”的充分条件，则是（ ） A. 第四象限角 B. 第三象限角 C. 第二象限角 D. 第一象限角 3. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 8. 在中，内角的对边分别为，已知，则（ ） A. 4049 B. 4048 C. 4047 D. 4046 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的值域为 B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 的最小正周期为 10. 国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（ ） A. 当时，应进甲商场购物 B. 当时，应进乙商场购物 C. 当时，应进乙商场购物 D. 当时，应进甲商场购物 11. 设，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 函数图象与函数的图象有且仅有一条公共的切线 C. 函数图象上的点与原点距离的最小值为 D. 函数的极小值点为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为______． 13. 已知函数，若为偶函数，且在区间内仅有两个零点，则的值是__________． 14. 若内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图，在中，，，若P为的布洛卡点，且，则BC的长为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称"礼让行人”.下表是某市一主干道路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶人次 125 105 100 90 80 附：，，（其中） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 （1）由表中看出，可用线性回归模型拟合违章人次与月份之间的关系，求关于的回归方程，并预测该路口7月份不“礼让行人”违规驾驶人次； （2）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查90人，调查驾驶员“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表： 不礼让行人 礼让行人 驾龄不超过2年 24 16 驾龄2年以上 26 24 能否据此判断有90%的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关? 16. 记为数列的前项和， （1）求，并证明 （2）若，求数列的前项和 17. 已知平面向量，，且，其中，．设点和在函数的图象（的部分图象如图所示）上． （1）求a，b，的值； （2）若是图象上的一点，则是函数图象上的相应的点，求在上的单调递减区间． 18. 已知函数，m，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，讨论的单调性； （3）当时，证明：，． 19. 已知非零向量，，，均用有向线段表示，现定义一个新的向量以及向量间的一种运算“”：． （1）证明：是这样一个向量：其模是的模的倍，方向为将绕起点逆时针方向旋转角（为轴正方向沿逆时针方向旋转到所成的角，且），并举一个具体的例子说明之； （2）如图1，分别以的边AB，AC为一边向外作和，使，．设线段DE的中点为G，证明：； （3）如图2，设，圆，B是圆O上一动点，以AB为边作等边（A，B，C三点按逆时针排列），求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $