精品解析：辽宁省大连市中山区第三十九中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

学校九年级数学随堂检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转180°后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，当时，，再根据一元二次方程根的判别式即可求解，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程解的问题． 【详解】解：由函数得， 当时，， 则， ∴一元二次方程无实数根， ∴函数的图象与轴无交点， 故选：． 3. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 【答案】C 【解析】 【分析】利用车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳进行判断． 【详解】因为圆上各点到圆心的距离相等，所以车轮中心与地面的距离保持不变，坐车的人感到非常平稳，所以自行车车轮要做成圆形． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据题意得出，代入计算即可得解，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选C． 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的性质计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，得出关于的一元二次方程，从而得到答案． 【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7. 已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出值，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， ∵当时，， ， 解得， ， 则当时，， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键． 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题关键，根据锐角的正弦函数的定义即可求解 【详解】解：由题意得： ∴千米 故选：A 10. 如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（ ）秒． A. 4 B. 或4 C. 或8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理，矩形的性质，利用勾股定理，找出等量关系是解题的关键． 利用时间=路程÷速度，可求出点P运动到点B所需时间，过点Q作于点E，则四边形是矩形，当运动时间为t秒时，，，结合，可得出，根据，可列出关于t一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（秒）． 过点Q作于点E，则四边形是矩形，如图所示． ， 当运动时间为t秒时，，， ∴． 根据题意得：， 即， 整理得：， 解得： ，， ∴当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了或4秒． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于 x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 12. 如图，已知是直径，点是的中点，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得，再由计算的度数即可． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能得出是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， ∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为． ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，直角三角形两锐角互补及圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补求出，再结合直径所对圆周角是直角即可得到答案； 详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ． 15. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，利用待定系数法求出，，从而可得设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为，代入计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 当喷头高时，水柱落点距O点时，可设， 将代入解析式可得：， ∴， 联立①②可得：，， 设喷头高时，水柱落点距O点，此时的解析式为， 将代入可得：， 解得：， ∴当喷头高时，水柱落点距O点， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算和解方程 （1） （2） 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程： （1）先计算算术平方根、零次幂、特殊角三角函数值、负整数次幂，再进行加减运算； （2）利用公式法解一元二次方程． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， ，． 17. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 【答案】每件衬衫应降价20元 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用衬衣平均每天售出的件数每件盈利每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元． 根据题意，得 整理，得 解得． 扩大销售量，减少库存， 应舍去， ． 答：每件衬衫应降价20元 18. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段是渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求降消毒阶段中与之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 【答案】（1）段的函数解析式为，段的函数解析式为 （2）本次消毒有效 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）设段的函数解析式为，把代入求得段的函数解析式为； （2）求出段的函数解析式；设段的函数解析式为，把和代入得求得段的函数解析式为；把分别代入和得到和，于是得到结论． 【小问1详解】 解：设段的函数解析式为， 把代入， ∴， ∴段的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 把和代入，得： ， 解得， ∴段的函数解析式为； 把分别代入和得， 和， ∵， ∴本次消毒有效． 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】（1） （2）球不能射进球门 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用； （1）由题意可得抛物线过，顶点坐标为，据此用待定系数法即可求解； （2）求出当时，的值，再与比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵（米）， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴球不能射进球门． 20. 图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离； （2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 【答案】（1） （2）72.8cm 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键书作辅助线． （1）连接，并向两边延长，分别交，于点M， N，由两圆弧翼成轴对称可得，在中，，，进行解答即可． （2）过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H，在中， ，，即可求出距离． 【小问1详解】 如图, 连接，并向两边延长，分别交，于点M， N， 由题意点A与点D在同一水平线上，，垂直于地面，可得，， ∴的长度就是与之间的距离， 由两圆弧翼成轴对称可得， 在中，，，， ， ∴， ∴， ∴与之间的距离约为． 【小问2详解】 如图，过点A作垂直于地面于点G，过点B作交于点H， ∴可得， 在中，，，， ， ∴， ∵点B，E到地面的距离均为20cm， ∴， ∴． 答: 点A到地面的距离约为 72.8cm． 21. 如图，为的直径，点为上的两个点，延长至，使,与相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，点为弧的中点，，求的长． 【答案】（1）购买解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）由为的直径，得到，根据圆周角定理得到，得到，于是得到结论； （2）根据圆周角定理得到，得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵点E为弧的中点， ∴， ∵半径为5， ∴， 在中，， ， ∴． 22. 在等腰中，，点是边上一点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连接，则 ； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①在图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且．试探究、、之间满足的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析②，证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）可证明是等边三角形，得的度数，再由轴对称的性质可得，据此利用三角形内角和定理即可得到答案； （2）①根据题意补全图形即可；②可证明是等边三角形，得的度数，再证明，即可得； （3）连接，根据已知可证，得，，从而可证明，得到，即可得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵点D关于直线的对称点为点E， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①补全图形如下： ②，证明如下： ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵线段绕点A顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，证明如下： 连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 【点睛】本题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校九年级数学随堂检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．） 1. 数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ） A. 三叶玫瑰线 B. 四叶玫瑰线 C. 心形线 D. 笛卡尔叶形线 2. 函数的图象与轴的交点的情况是（ ） A. 有两个交点 B. 有一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断 3. 自行车车轮要做成圆形，主要是根据圆的以下哪个特征(　　) A. 圆是轴对称图形 B. 圆是中心对称图形 C. 圆上各点到圆心的距离相等 D. 直径是圆中最长的弦 4. 如图，，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 5. 如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 9. 2024年5月29日16时12分，“长春净月一号”卫星搭乘谷神星一号火箭在黄海海域成功发射．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（　　） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 10. 如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（ ）秒． A. 4 B. 或4 C. 或8 D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 关于 x 一元二次方程有一根为，则 n 的值为____________． 12. 如图，已知是的直径，点是的中点，，则的度数为______． 13. 四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为________． 14. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 15. 如图，在水池中心点处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形的水柱，当喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试时发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点，那么喷头高______时，水柱落点距O点． 三、解答题（共7小题，共75分） 16. 计算和解方程 （1） （2） 17. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价为多少元？ 18. 某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果（单位：效力）与时间（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中段是渐消毒阶段，段为深消毒阶段，段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）求降消毒阶段中与之间的函数关系式； （2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？ 19. 一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知球门高为，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 20. 图①是常见的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和扇形是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面， ，半径，点A与点D 在同一水平线上， 且它们之间的距离为． （1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离； （2）若点B、E到地面的距离均为20cm，求A到地面的距离．(参考数据： ，，，结果精确到0.1cm) 21. 如图，为直径，点为上的两个点，延长至，使,与相交于点． （1）求证：； （2）若的半径为5，点为弧的中点，，求的长． 22. 在等腰中，，点是边上一点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，若，点关于直线的对称点为点，连接，则 ； （2）若，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①图2中补全图形； ②探究与的数量关系，并证明； （3）如图3，若，且．试探究、、之间满足数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $