函数的应用 知识总结-2024-2025学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

【知识总结】函数的应用(上海沪教版) 1. 函数的零点 对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点. 温馨提示:零点不是点,而是一个数值 2.方程的根与函数的零点间的关系 函数的零点就是方程的实数根,也就是函数的图像与轴交点的横坐标.所以方程有实数根函数的图像与轴有交点函数有零点. 3.零点存在定理 如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根. 温馨提示:零点存在定理只能确定零点存在,不能确定存在几个零点. 4.二分法的概念 对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 5.用二分法求函数零点近似值的步骤 (1)确定区间,验证,给定精确度. (2)求区间的中点. (3)计算.若,则就是函数的零点;若,则令(此时零点);若,则令(此时零点). (4)判断是否达到精确度:即若,则得到零点近似值(或);否则重复(2)~(4). 6.已知函数或方程的表达式,求解零点个数、交点个数、方程根的个数等问题. (1)判断函数零点个数时,可先尝试求解方程的根或判断方程根的个数,根的个数即为零点的个数. (2)若无法直接判断方程根的个数,可根据函数的单调性奇偶性,结合零点存在定理确定零点个数. (3)当函数较为复杂,不易确定单调性和图像时,通常可将函数拆解为两个简单函数的形式,进行交点的转化来判断交点个数. 温馨提示:运用零点存在定理判断函数的零点个数,首先应确定所有的单调区间,然后在每一个单调区间上验证零点是否存在.由于每个单调区间上至多有一个零点,所以零点的个数不超过单调区间的个数. 7.已知零点个数求参数取值范围的题型和方法: (1)直接法 直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围. (2)分离参数法 先将参数分离,然后转化成函数图像与水平直线的交点个数加以解决. (3)数形结合法 先对解析式变形,将零点转化为交点,然后在同一平面直角坐标系中,画出两个函数的图像,分析图像的动态变化,从而找到参数满足的条件. 8. 给出实际问题背景中的函数模型,利用模型中的相关量进行运算求值,进而对于实际问题的某些现象进行预测和估算,应用所给函数模型解决实际问题的步骤: (1)审清题意:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,理解所给的函数模型. (2)联系模型:将文字语言转化为数学语言,将所求解的问题与数学模型建立联系. (3)求解模型:求解数学模型,得出数学结论. (4)结论还原:将数学结论还原到实际问题中. 9.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令,如果有解,则有几个解就有几个零点. (2)利用零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数图像在上的图像是连续不断的曲线,且,还必须结合函数的图像和性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个相应函数图像的交点的个数问题,有几个交点就有几个所求零点. 温馨提示:讨论关于的方程根的个数时,往往运用数形结合和分类讨论的方法首先求出方程的所有解,再分别求出方程的所有解,汇总即可得到方程根的个数. 10.恒成立与存在性问题常见表达形式 (1)恒成立的常见表达形式如下: (2)存在性的常见表达形式如下: (3)双变量恒成立与存在性问题的最值转化 温馨提示:在恒成立与存在性问题中求参数的取值范围,一般原理是利用转化与化归思想将其转化为函数的最值或值域问题加以求解,可采用“整体分析法”或“分离参数法”构造适当的函数,然后根据函数的图像与性质进行解决问题,在这一过程中,往往利用数形结合的思想方法,结合函数的图像解决问题. 11.函数的新定义问题本质就是函数的应用问题. 利用函数的图像和性质求函数最值、研究函数的零点、证明不等式;利用分类讨论思想、等价转化思想等解决函数问题。函数的新定义问题从表象上看背景是新的,但透过现象看本质其核心知识点一定是旧的,无非还是函数图像、性质或相关问题的衍生,此外自定义的信息题还具备题干较繁长,描述较新颖等特点.所以考生在处理时,首先要静下心,仔细、耐心地审题,尽量和我们已学过的知识去比对、去关联,揭开面纱,我们会发现其本质内容,往往是我们经常练习、考查的知识、方法,所以问题并没有想象的那么难. 第 24 页(共 24 页) 学科网(北京)股份有限公司 $$