专题2-1轴对称图形（考点清单，知识导图+5个考点梳理+17种题型解读+3种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

考点清单2-1 轴对称图形 （5个考点梳理+17种题型解读+3种方法解读） 【清单01】轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2)如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来,如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是对折重合的折痕线. 【清单02】垂直平分线性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质： 1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 【清单03】角平分线性质与判定 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 【清单04】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【清单05】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点题型一】轴对称图形的识别 解题方法：沿着某直线翻折，翻折后，两边图形重合，那就是轴对称图形. 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（    ） A．醉 B．美 C．东 D．国 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A．清华大学B．北京大学C．中国人民大学D．浙江大学 【考点题型二】根据成轴对称的特征进行判断 4．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图1，有一张长、宽分别为12和8的长方形纸片，将它对折后再对折，得到图2，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形（图3）可以是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．  B．  C．   D．   6．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 7．（17-18八年级上·安徽·单元测试）与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（     A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不在上 【考点题型三】根据成轴对称的特征进行求解 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 10．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．    11．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ． 【考点题型四】画对称轴 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，和关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴，并写出做法步骤． 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 【考点题型五】镜面对称 17．（22-23八年级下·江西新余·期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是 ． 18．（21-22七年级下·山东青岛·期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ． 19．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    20．（23-24七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 【考点题型六】画轴对称图形 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短； (3)求的面积． 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． (1)作线段，使与关于直线对称； (2)在直线找一点，使的周长最小． 23．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 【考点题型七】设计轴对称图形 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，请你用两种不同的方法分别在图1、图2中将四个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 27．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【考点题型八】与角度有关的折叠问题 28．（22-23七年级下·江苏·期中）如图，长方形中，，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交 于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 29．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图，将四边形沿折叠，点与点重合，若，，求的度数． 30．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】《九章算术》记载，淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也．在我们的数学中也经常体现平分思想． 例如：如图1，点 C是线段中点，则； 【尝试】已知三角形纸片的面积为6． （1）如图2， 若是边上的中线， 则的面积等于 ； （2）如图3，将三角形纸片的折叠，使得点A落在边上的点的位置，折痕与、分别交于点E、F，若的面积等于四边形面积的一半，则的面积等于 ； 【探究】在 中， ． （3）如图4， 的内角 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，求 的度数； （4）如图5， 的外角 和 的角平分线交于点Q，求 的度数； 【应用】如图6，两条平行公路， 上分别有点A、D与B、C， 连接、，测量得到 ，，计划在点P处建一个加油站，满足直线与所形成的锐角为 ．请利用量角器和直尺画出一个符合题意的加油站（用点 P表示）的位置，并说明理由． 31．（23-24七年级下·江苏南京·期末）折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 32．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在中，，点D，E分别在边上，将沿翻折． (1)如图1，点A的对应点为，若，求的度数． (2)如图2，点B，C的对应点分别为，，若，求的度数（用含的式子表示）． 【考点题型九】折叠问题与全等综合 33．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)如果，求的度数； (2)判断和是否全等吗？请说明理由． 34．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 35．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 36．（24-25八年级上·广西南宁·期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【考点题型十】角平分线的性质与判定 37．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（　　） A．12 B．15 C．30 D．无法确定 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为 ． 40．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 41．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 【考点题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，则的长为多少？ 43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 44．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 【考点题型十二】作角平分线/垂线 45．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 46．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【考点题型十三】等腰三角形的定义 解题方法：等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 48．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 49．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是和，则其周长为 ． 50．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰，若它的一个外角等于，则它的顶角度数为 ． 51．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为 ． 52．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知等腰三角形周长为20，则腰长的取值范围是 ． 【考点题型十四】等腰三角形的性质与判定 53．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知、相交于点，，，、、分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，_____． 54．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 55．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 56．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【考点题型十五】等边三角形的性质与判定 57．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是斜边的中点，作，垂足为． (1)求证：E是的中点； (2)将直角边沿点、确定的直线翻折，得到对应线段．当时，判断的形状，并说明理由． 58．（23-24八年级上·江苏南通·期末）（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 59．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长．（用含有m的代数式表示） 60．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【考点题型十六】作等腰三角形 61．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，已知．用三种不同的方法作等于．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法． 62．（20-21八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 63．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【考点题型十七】求与已知图形两点构成等腰三角形的点 64．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 65．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 66．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点清单2-1 轴对称图形 （5个考点梳理+17种题型解读+3种方法解读） 【清单01】轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1)定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2)如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来,如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线. 3）如果图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是对折重合的折痕线. 【清单02】垂直平分线性质与判定 定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）.. 性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三角形垂直平分线的性质： 1）三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等. 2）三角形三边的垂直平分线的交点又称三角形的外心. 【清单03】角平分线性质与判定 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【补充】性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 【清单04】等腰三角形 定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 【注意】等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴， ①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴， ②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴. 2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）. 3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）. 等腰三角形的判定： 1）定义法：两边相等的三角形是等腰三角形； 2）定理法：有两个角相等的三角形是等腰三角形，即这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【清单05】等边三角形 定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形. 等边三角形的性质： 1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴； 2）等边三角形的三条边相等； 3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°. 等边三角形的判定： 1）定义法：三边相等的三角形是等边三角形； 2）三个角都相等的三角形是等边三角形. 3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点题型一】轴对称图形的识别 解题方法：沿着某直线翻折，翻折后，两边图形重合，那就是轴对称图形. 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）汉字是世界上最古老的文字之一，它是中华文明的符号与象征，许多中国汉字的形体和结构充满着“对称美”，用心欣赏下列汉字，其中是轴对称图形的是（    ） A．醉 B．美 C．东 D．国 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴）进行逐一判断即可． 【详解】解：A、“醉”不是轴对称图形，不符合题意； B、“美”是轴对称图形，符合题意； C、“东”不是轴对称图形，不符合题意； D、“国”不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）下列四个图形中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故ABD不符合题意； C、图形是轴对称图形．故C符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（    ） A．清华大学 B．北京大学 C．中国人民大学 D．浙江大学 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形逐一判断即可． 【详解】解：A．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，符合题意； C．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； D．该图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】根据成轴对称的特征进行判断 4．（20-21八年级上·江苏镇江·期末）如图1，有一张长、宽分别为12和8的长方形纸片，将它对折后再对折，得到图2，然后沿图2中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形（图3）可以是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由剪去的三角形与展开后的平面图形中的三角形是全等三角形，观察形成的图案是否符合要求判断即可． 【详解】解：图3中，图③不符合题意，图③中的4个三角形与图2中剪去的三角形不全等． 故①②④符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的性质，动手实践是解此类题的关键. 5．（23-24八年级上·河北唐山·期末）下列图形中，与成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据成轴对称的性质对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不成轴对称，故本选项错误； B、成轴对称，故本选项正确； C、不成轴对称，故本选项错误； D、不成轴对称，故本选项错误． 故选：B． 6．（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 7．（17-18八年级上·安徽·单元测试）与关于直线对称，在上，下列结论中错误的是（    ）    A．是等腰三角形 B．垂直平分， C．与面积相等 D．直线，的交点不在上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，轴对称图形对应的角、线段都相等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，据此解答即可． 【详解】解：A、∵与关于直线对称，在上，∴是的垂直平分线，∴，∴是等腰三角形，故该选项正确； B、∵与关于直线对称，∴，是对应点连线，∴垂直平分，，故该选项正确； C、∵与关于直线对称，∴与面积相等，故该选项正确； D、∵直线，关于直线对称，∴直线，的交点在上，故该选项错误； 故选：D． 【考点题型三】根据成轴对称的特征进行求解 8．（23-24八年级上·江苏南京·期末）已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于轴对称点的性质，利用关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， 则． 故答案为：． 9．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图，是轴对称图形，且直线是的对称轴，点E，F是线段上的任意两点，若的面积为，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】9 【分析】根据轴对称的性质可得：阴影部分的面积等于面积的一半，即可解答． 【详解】解：∵是轴对称图形，且直线是对称轴， ∴ ，， ∴阴影部分的面积等于面积的一半， ∴（）． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，得出阴影部分的面积等于面积的一半是解题的关键． 10．（21-22八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图的三角形纸片中，AB＝7，AC＝5，BC＝6，沿过点C的直线折叠这个三角形，使点A落在BC边上的点E处，折痕为CD，则△BED的周长为 ．    【答案】8 【分析】由折叠可得：再求解 利用从而可得答案. 【详解】解：由折叠可得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，掌握“成轴对称的两个图形的对应边相等”是解本题的关键. 11．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，以所在直线为对称轴作，，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了轴对称性质．根据轴对称性质，对应的角相等，． 【详解】解：与关于所在直线为对称， ，， 又， ， ． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，中，点在上，将点分别以、为对称轴，画出对称点、，并连接、．根据图中标示的角度，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】此题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求得，进而根据轴对称的性质可得，即可求解． 【详解】解∶连接， 点分别以、为对称轴，画出对称点、， ，， ，， ， ， 故答案为： 【考点题型四】画对称轴 13．（23-24八年级上·全国·课后作业）用刻度尺分别画下列图形的对称轴，可以不用刻度尺上的刻度画的是（    ）    A．①②③④ B．②③ C．③④ D．①② 【答案】A 【分析】①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴，方法如图所示． 【详解】解：①②③④均可以不用刻度尺上的刻度画对称轴．    故选：A． 【点睛】本题考查的是作简单平面图形轴对称后的图形，其依据是轴对称的性质． 14．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 15．（24-25八年级上·全国·期中）如图所示，和关于某条直线成轴对称，请画出它们的对称轴，并写出做法步骤． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图形的对称轴，找到对应点，作对应点连线的垂直平分线，即可解答，熟知对称轴的作法是解题的关键． 【详解】解：如图，和关于直线对称， ， 作法：连接， 以点为圆心，大于的长度为半径画弧， 以点为圆心，相同的长度为半径画弧， 连接两弧的交点，即可得到和的对称轴． 16．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，和关于直线l对称，请仅用无刻度的直尺在图①和图②中，分别作出直线l． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，熟记对应边所在直线的交点一定在对称轴上是解题的关键．根据轴对称的性质，对应边所在直线的交点一定在对称轴上，图①过、的交点M和与的交点N作直线即为对称轴l；图②中，延长两组对应边得到两个交点M、N，然后过这两点作直线即为对称轴直线l． 【详解】解：图①过、的交点M和与的交点N作直线即为对称轴l；图②中，延长两组对应边得到两个交点M、N，然后过这两点作直线即为对称轴直线l．如图所示： 【考点题型五】镜面对称 17．（22-23八年级下·江西新余·期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了镜面反射的性质，解决本题的关键是得到对称轴，进而得到相应数字． 18．（21-22七年级下·山东青岛·期末）墙上有一个数字式电子钟，在对面墙上的镜子里看到该电子钟显示的时间如图所示，那么它的实际时间是 ． 【答案】12：51 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与12：51成轴对称，所以此时实际时刻为12：51． 故答案为：12：51． 【点睛】本题考查镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 19．（22-23八年级上·辽宁铁岭·期末）如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 20．（23-24七年级上·吉林长春·期末）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 【考点题型六】画轴对称图形 21．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于直线的对称点即可； （2）连或交直线于，则利用两点之间线段最短可判断点满足条件． （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求： （3）的面积为. 22．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，均为格点（网格线的交点）． (1)作线段，使与关于直线对称； (2)在直线找一点，使的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题； （1）根据轴对称的性质找到的对称点，连接，即可求解； （2）连接交于点，则点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求 23．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）作图题 (1)作出 关于直线l对称的． (2)如图:在网格中，已知线段、，以格点为端点画一条线段，使它与、组成轴对称图形．（画出所有可能） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是作图轴对称变换． （1）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）根据轴对称的性质画出线段即可． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求； （2）解：如图（2），线段、即为所求（两种情形）． 【考点题型七】设计轴对称图形 24．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，请你用两种不同的方法分别在图1、图2中将四个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】此题考查了轴对称图形和轴对称的作图方法，根据轴对称图形的概念作图．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴，以16个相同的小正方形构成的大正方形的对称轴作出图形即可． 【详解】解：作图如下： 25．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】如图所示： 26．（2024八年级上·江苏·专题练习）某班围棋兴趣小组的同学在一次活动时，他们用25粒围棋摆成了如图1所示的图案．甲、乙两人发现了该图案的具有以下性质： 甲：这是一个轴对称图形，且有4条对称轴； 乙：这是一个轴对称图形，且每条对称轴都经过5粒棋子． (1)请在图2中去掉4个棋子，使所得图形仅保留甲所发现的性质． (2)请在图3中去掉4个棋子，使所得图形仅保留乙所发现的性质． (3)在图4中，请去掉若干个棋子（大于0且小于10），使所得图形仍具有甲、乙两人所发现的所有性质．（图中用“×”表示去掉的棋子） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称图形的性质得出是解题关键． （1）根据图形是一个轴对称图形，且有4条对称轴，进而得出结合轴对称图形的性质得出； （2）去掉一行上的左右两粒棋子即可符合要求的答案； （3）根据题意可以去掉8个棋子，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图2所示： （2）解：如图3所示： （3）解：如图4所示： 27．（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴；②4 (2)见解析 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力． （1）观察图形即可得出答案． （2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形． 【详解】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴． ②∵每个小正方形的边长都是1， ∴图甲中阴影部分的面积． （2）所设计图形如下所示：（答案不唯一） 【考点题型八】与角度有关的折叠问题 28．（22-23七年级下·江苏·期中）如图，长方形中，，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点与点重合，平分交于点，过点作交 于点． (1)请判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)． 【分析】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1），理由如下： ∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 29．（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四边形中，，． (1)求证：； (2)如图，将四边形沿折叠，点与点重合，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，折叠的性质，三角形外角的性质； （1）由平行线的性质推出，得到，即可证明． （2）由折叠的性质得到，，因此，由平行线的性质推出，求出，由三角形外角的性质求出，即可得到的度数． 【详解】（1）∵， ， ， ∴， ∴． （2）由折叠的性质得到：，， ， ∵， ，     ， ， ∴， ． 30．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【阅读】《九章算术》记载，淳风等按：平分知，诸分参差，欲令齐等，减彼之多，增此之少，故曰平分也．在我们的数学中也经常体现平分思想． 例如：如图1，点 C是线段中点，则； 【尝试】已知三角形纸片的面积为6． （1）如图2， 若是边上的中线， 则的面积等于 ； （2）如图3，将三角形纸片的折叠，使得点A落在边上的点的位置，折痕与、分别交于点E、F，若的面积等于四边形面积的一半，则的面积等于 ； 【探究】在 中， ． （3）如图4， 的内角 的角平分线与 的外角 的角平分线交于点P，求 的度数； （4）如图5， 的外角 和 的角平分线交于点Q，求 的度数； 【应用】如图6，两条平行公路， 上分别有点A、D与B、C， 连接、，测量得到 ，，计划在点P处建一个加油站，满足直线与所形成的锐角为 ．请利用量角器和直尺画出一个符合题意的加油站（用点 P表示）的位置，并说明理由． 【答案】尝试：（1）3；（2）2；探究：（3）；（4）；应用：作图见解析；说明理由见解析 【分析】尝试：（1）根据三角形中线求出三角形的面积即可； （2）根据折叠，结合的面积等于四边形面积的一半，求出结果即可； 探究：（3）根据角平分线的定义得出，，根据三角形外角的性质得出，，求出； （4）根据三角形内角和定理得出，求出，根据角平分线定义求出 ，得出，最后根据三角形内角和定理求出结果即可； 应用：延长，作和的平分线交于点P，则点P即为所求作的点，根据角平分线定义和平行线性质，结合三角形外角性质进行证明即可． 【详解】解：尝试：（1）∵三角形纸片的面积为6．是边上的中线， ∴； （2）∵将三角形纸片的折叠，使得点A落在边上的点的位置， ∴， ∵的面积等于四边形面积的一半， ∴的面积等于四边形面积的一半， ∴， ∴； 探究：（3）∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）∵ ， ∴， ∴ ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴； 应用：延长，作和的平分线交于点P，则点P即为所求作的点，如图所示： ∵，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，三角形外角的定义和性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 31．（23-24七年级下·江苏南京·期末）折纸实验如图，长方形纸带，E、F分别是边、上一点，（且），将纸带沿折叠成图1，再沿折叠成图2． (1)当时，则____________；____________； (2)两次折叠后，求的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质： （1）由折叠的性质得到，由长方形的对边是平行的，得到，，由对顶角的性质得到，即可得到； （2）由折叠可得，，由长方形的对边是平行的，得，可得，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：由折叠可得， ∴， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由折叠可得，， ∵长方形的对边是平行的， ∴，， ∴， ∴， ∴； 32．（23-24七年级下·江苏南通·期末）在中，，点D，E分别在边上，将沿翻折． (1)如图1，点A的对应点为，若，求的度数． (2)如图2，点B，C的对应点分别为，，若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由翻折得，，由，则，由三角形内角和定理求得，则，故； （2）由翻折得：，可求，在四边形中，由四边形内角和等于可求，由圆周角等于，可求． 【详解】（1）解：如图， 由翻折得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由翻折得：， ∵， ∴， 在四边形中，由，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折的性质，平角的定义，圆周角的定义，四边形内角和，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点题型九】折叠问题与全等综合 33．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)如果，求的度数； (2)判断和是否全等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）首先根据“两直线平行，同旁内角互补”可解得，再根据折叠的性质可得，进而可得的值，然后根据“直角三角形两锐角互余”求解即可； （2）由折叠知，，，进而证明，，利用“”证明结论即可． 【详解】（1）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下： 由折叠知：，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 34．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）四边形中，∠C=∠D=90°，，，M为的中点，将沿翻折，点D恰好落在上的N处， (1)证明平分； (2)求长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）根据折叠可得，，根据中点可得，根据全等三角形的判定和性质可证，即可证得结果； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 翻折， ， ，， ， ， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知，， ， ， ． 35．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图1，在中，，为边上一动点，为外一点，且，在线段所在直线的两侧，，． (1)如图2，当时，在线段上取一点，使． ①求证：； ②若的面积是，，求的长； (2)若点与点关于所在直线成轴对称，且与其中的一条直角边垂直，求的度数． 【答案】(1)①见详解；② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的判定与性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等知识，灵活运用这些知识是解题的关键． （1）①利用余角的性质可得出，然后利用证明，再利用全等三角形的性质即可得证； ②利用三角形面积公式求出的面积，然后利用全等三角形的性质求解即可； （2）分、两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：证明：①，， ， 又， ， ，， ， ， ② 的面积是， 则的面积是， ， 解得：， （2）解：点与点关于线段成轴对称， ，， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， ， 当时，则， ， ， ， ， 综上，的度数为或； 36．（24-25八年级上·广西南宁·期中）长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等的特征．如图，把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 【分析】（1）根据长方形的性质可得，可求出的度数，根据折叠可得，由此可得，在中，运用三角形内角和定理即可求解； （2）根据长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等，可得，，再根据折叠的性质可得，，结合全等三角形的判定方法即可求证． 【详解】（1）解：∵长方形具有四个内角均为直角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵把一张长方形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为； （2）证明：∵长方形具有四个内角均为直角，并且两组对边分别相等， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题主要考查长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定，掌握长方形，折叠，平行线的性质，三角形内角和定理的运用，全等三角形的判定是解题的关键． 【考点题型十】角平分线的性质与判定 37．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，则的面积是（　　） A．12 B．15 C．30 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵，是的角平分线， ， ∴， ∴的面积， 故选：B． 38．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，和的外角平分线、交于点，于点．若，，，则的周长为(    ) A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质、连接，过点作于，，交的延长线于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式分别求出、，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点作于，，交的延长线于， 和的外角平分线、交于点，，于，， ， ， ， 解得：， ， ， ， 的周长， 故选：D． 39．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线性质；由为角平分线，利用角平分线定理得到，再由，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得出，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，由，即可求解． 【详解】解：是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ， ； 在和中， ， ， ， ， 故答案：． 40．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 41．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）综合与实践 【情境再现】 如图，的平分线与的外角的平分线相交于点． 【提出问题】 试说明与满足怎样的数量关系，请写出证明过程． 【数学感悟】 如图，在中，，是上一点，将沿翻折得到，与相交于点．延长交于点，若平分，平分，求的度数． 【学以致用】 如图，在四边形中，平分，，若，则的度数为______． 【答案】 ；；． 【分析】根据三角形外角的性质可得、，根据角平分线的定义可得、，所以可得，从而可得； 延长到，根据角平分线的定义可得，从而可得平分、平分，构造出中的模型，由中的结论可知； 过点作、、，根据、，可得平分，构造出中的模型，由中的结论可知． 【详解】解：， 理由如下： 如下图所示， 是的外角， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， ； 解：如下图所示，延长到点， ， ， 又平分， ， 平分， 又平分， 由可知， 根据折叠可知 ， ， ， 解得：， ； 解：如下图所示，过点 作垂足为点， 垂足为点，垂足为点， ，， ， 平分， 平分，， 由（1）知 ， 平分， 平分， ， ， 平分， ， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理及判定定理，角平分线的定义，三角形的外角性质，邻补角性质，解决本题的关键是根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和、角平分线把一个角分成两个相等的角，找到角之间的关系；另外还要作辅助线构造出中的模型． 【考点题型十一】线段垂直平分线的性质与判定 42．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴，     ∵， ∴，     ∴； （2）∵的周长为， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴． 43．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，在中，是边上的高，的垂直平分线交于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可． 本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． ． 44．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，的周长为 ． (1)求的长； (2)分别连接，，，若的周长为 ，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键 （1）由垂直平分线的性质可得，，，根据，计算求解即可； （2）由垂直平分线的性质可得，，由的周长为 ，，可得，可求，进而可得的长． 【详解】（1）解：垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴的长为 ； （2）解：如图， ∵垂直平分，垂直平分， ∴， 又∵的周长为 ，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为7． 【考点题型十二】作角平分线/垂线 45．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线和的平分线，它们的交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 46．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）已知，按下列要求画图：（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (1)作的角平分线，交于点； (2)若的高线为，当，，时，的面积是_____， 与的面积比是______． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）以点为圆心画弧分别交、于点、，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧交于点，最后连接，交于点，即为所求； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而求出与的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）如图，过点作于点， 是的高， ， 是的角平分线，， ， ，， ，， 故答案为：，． 47．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知点为内一点，用两种不同方法利用直尺和圆规确定一条过点的直线，分别交于点，使得．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】见解析 【分析】本题考查基本作图，解题的关键是理解题意，灵活应用基本作图解决问题，属于中考常考题型． 方法一，①截取，②过P作的平行线，分别交于点，直线即为所求； 方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交于点，即可． 【详解】解：方法一，①在上截取，连接，， ②过P作的平行线，分别交于点． 如图，直线即为所求． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 方法二，如图，直线即为所求． ∵，，， ∴， ∴． 【考点题型十三】等腰三角形的定义 解题方法：等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是顶角还是底角，需要分类讨论. 48．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）等腰三角形的两边分别长和，则它的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：①当三边的长为，，， ∵， ∴不能构成三角形； ②当三边的长为，，， ∵， ∴能构成三角形， ∴周长为， 故答案为：． 49．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个等腰三角形的两条边长分别是和，则其周长为 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，掌握“任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边”成为解题的关键． 分为腰和为腰两种情况，分别求得三边并运用三角形三边关系判断是否构成三角形，最后求周长即可． 【详解】解：当为腰的时，为底，此时三条边的长分别为：、、，由，不符合三角形三边的关系，因此舍去； 当为腰的时，为底，此时三条边的长分别为：、、，符合三角形三边关系，周长为：． 故答案为：25． 50．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知等腰，若它的一个外角等于，则它的顶角度数为 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内外角的关系及三角形内角和；由外角的度数求得与它相邻的内角为，根据三角形内角和知，它就是顶角． 【详解】解：与外角相邻的内角为， 由等腰三角形性质及三角形内角和知，等腰三角形的底角是锐角， 所以等腰三角形的顶角为顶角； 故答案为：． 51．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的分类讨论问题，解题的关键是能够画出图形，根据数形结合的思想求出答案．根据题意可知等腰三角形需要分类讨论，分为锐角三角形和钝角三角形，画出图形解答即可． 【详解】解：①如图所示，当等腰三角形是锐角三角形时，根据题意，， 又∵是边上的高， ∴， ∴， ②如图，当等腰三角形是钝角三角形时，根据题意，， ∵是边上的高 ∴， ∴， ∴ 故顶角为：或． 52．（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知等腰三角形周长为20，则腰长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形性质，一元一次不等式，三角形三边关系的应用等．根据题意用含的代数式表示底边长，继而利用三角形三边关系列出一元一次不等式即可得到本题答案． 【详解】解：∵等腰三角形周长为20，腰长为， ∴底边为：， ∵，解得：， ，即：， ∴腰长的取值范围：， 故答案为：． 【考点题型十四】等腰三角形的性质与判定 53．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知、相交于点，，，、、分别是、、的中点， (1)求证：； (2)若，_____． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，．根据等腰三角形的三线合一得到，．，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，同理，则．进而根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， ，，、分别是、的中点， ，． 在直角三角形中， 是斜边中点， ． 同理得， ． （2）， ； 是的外角， ； 同理，， ． 又， =， =)， =， =， 而根据平角的定义可得：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了 等腰三角形的性质， 直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理的应用；解题的关键是熟练的掌握 等腰三角形的性质， 直角三角形斜边上的中线的性质． 54．（24-25八年级上·江苏盐城·期中）阅读与思考 小明周末去图书馆学习，偶然间发现一本《几何原本》，阅读第一卷，就对其中的一个命题很感兴趣，于是将这段抄录在笔记本上，并完成了证明．下面是小明的笔记内容，请仔细阅读并完成相应任务． 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义，公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义，公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角”． 下面是上述命题的证明． 已知：如图1，在中，． 求证：． 证明：如图2，由于，故在边上截取，连接． ，，（依据1） 是的外角，，（依据2） ，． ，，． 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：__________；依据2是指：__________． (2)如图3，在四边形中，，．请猜想和的关系，并证明你的结论． (3)如图4，在四边形中，，连接、相交于点，且，点在边上，．求证：． 【答案】(1)等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2) ，证明过程见详解； (3)证明过程见详解． 【分析】（1）根据证明过程写这两步的依据即可； （2）连接，由，得，在边上截取，连接，方法同（1），即可证明结论； （3）过A作，交的延长线于N，得，，，进而得出为中点， ， ，由，即可得结论． 【详解】（1）解：如图2，由于，故在边上截取，连接． ， ，（等边对等角） 是的外角， ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和） ， ． ， ， ． 故答案为：等边对等角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； （2）证明：如图，连接， ， ， 由于， 在边上截取，连接． ， 是的外角， ， ， ． ， ， ． （3）证明：过A作，交的延长线于N， ， 四边形是平行是边形，， ，， ， ， 为中点， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、平行线间的平行线段相等、三角形外角的性质、平行线的性质等，熟知相关性质定理并正确作出辅助线是解题的关键． 55．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）在中，，和是高，它们所在的直线相交于点H．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，（1）中的结论是否依然成立？请在图②中画出图形并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质与判定；证明两个三角形全等是解答本题的关键． （1）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，证明即可． （2）已知，由等腰三角形的性质得，继而推出，再由及是高，可得，进而有，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴； （2）解：仍有； 证明如下： ∵， ∴； ∵和是高， ∴； ∵， ∴； ∵，是高， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ∴；    56．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）【背景呈现】数学兴趣小组发现以下图形折叠方式：如图①，在中，点是边上任意一点，作射线，点、分别在线段、上．将折叠，使点落在点处，点落在点处，点、均在射线上，折痕分别为和．设，． 【问题探究】当点、均在线段上时，试求、与之间的数量关系．（不必作答） 【问题解决】 （1）经过讨论．小组同学想利用“从特殊到一般”的思想方法解决问题，某同学做如下尝试：如图②，令，若点恰好与点重合，此时________，若点在线段上，当时，________． （2）合作交流后，该小组同学认为可以利用三角形和轴对称图形的知识解决该问题，如图①．当点，均在线段上时，试证明：． 【迁移应用】 （3）在背景呈现的条件下，解答下列问题： ①如图③，当点、均在线段的延长线上时，试求、与之间的数量关系； ②若，点，在射线上，且位于点异侧，当时，________． 【答案】（1）45，40；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）利用三角形外角，等腰三角形的判定与性质进行计算即可； （2）利用三角形和轴对称图形的知识进行证明即可； （3）①由三角形外角得，，故，即，再换算即可． ②由三角形外角得，，故，又，再换算即可． 【详解】解：问题解决（1），若点恰好与点重合， 为等腰直角三角形， ； ， ， ， 故答案为：45，40； （2）， ． 是的外角， ， ． 又由折叠可知，， ． 同理：． ． ， 即． 迁移应用（3）①， 理由： ，， ， ， 即， ， ． ②如图： ，， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），轴对称图形，三角形外角性质，三角形内角和，等腰三角形的判定与性质，利用对称是解答关键． 【考点题型十五】等边三角形的性质与判定 57．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图，在中，，是斜边的中点，作，垂足为． (1)求证：E是的中点； (2)将直角边沿点、确定的直线翻折，得到对应线段．当时，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定，熟练掌握翻折的性质、直角三角形斜边上的中线、等边三角形的判定是解答本题的关键． （1）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，则为等腰三角形，再结合等腰三角形的性质可得结论． （2）设交于点，根据翻折的性质以及等腰三角形的性质可得，则，可得，进而可得，结合等边三角形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：连接． ，是斜边的中点， ． 为等腰三角形． ， 是的中点． （2）是等边三角形． 理由：设交于点， 由翻折可得． ， ． ． ， ， ， ， ． ． ， 是等边三角形． 58．（23-24八年级上·江苏南通·期末）（1）定理证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在中，，，求证．（请用两种不同的方法证明．） （2）方法迁移：如图，在边上作点P，在边上作点Q，使得最小．（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法．） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，轴对称尺规作图，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和判定． （1）方法1，延长到D使，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； 方法2，取中点M，连接，根据直角三角形的性质得到，然后证明出是等边三角形，进而求解即可； （2）作点B关于的对称点，然后过点作的垂线交于点Q，交于点P，即可求解． 【详解】（1）证明： 方法1，如图，延长到D使，连接，则， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法2，如图，取中点M，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）如图：此时最小． 59．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点．    (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长．（用含有m的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解答的关键． （1）先利用直角三角形斜边上的中线性质得到，进而利用等角对等边可证得结论； （2）先根据三角形的内角和定理得到，进而求得，利用等边三角形的判定与性质证明是等边三角形得到即可求解． 【详解】（1）证明：∵、分别是、边上的高，F是的中点， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 60．（23-24八年级上·江苏南通·期末）某兴趣小组在学习了三角形相关知识后，对等边三角形进行了再探究． 如图，在等边三角形中，过点作射线，在射线上取一点（不与点，重合），作，的边交射线于点． (1)【动手操作】 如图1，若点在线段上，图中与相等的角为________； (2)【问题探究】 在（1）的基础上，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 当点在射线上移动时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质及三角形外角的性质进行推理即可解答； （2）如图：延长至H，使，连接，然后证明是等边三角形，，再运用“”可证可得； (3) 当点P在上和延长线上两种，分别运用“”可证，可得，然后根据线段的和差和等量代换即可解答． 【详解】（1）解：∵等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：如图：延长至H，使，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴.， ∴． ∴． （3）解：当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，，理由如下： 当点P在上时，由（2）可知： ， ∴， ∴； 如图2：当点P在线段的延长线上时，在上截取，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴°， ∴， ∴， ∴． 综上，当点P在上时，，当点P在线段的延长线上时，． 【考点题型十六】作等腰三角形 61．（21-22八年级上·江苏南京·期末）如图，已知．用三种不同的方法作等于．要求：尺规作图；保留作图痕迹，不写作法． 【答案】见解析 【分析】可根据五种基本尺规作图-作角、也可根据等腰三角形的等边对等角或线段垂直平分线的性质作等腰三角形即可． 【详解】解：如图①、②、③，即为所求． ， 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角、作垂线、作等腰三角形，涉及等腰三角形的等边对等角、线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本尺规作图和基本几何图形的性质是解答的关键． 62．（20-21八年级上·江苏南京·期末）已知：如图，线段和射线有公共端点． 求作：点，使点在射线上，且为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可． 【详解】如图所示，点、、即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意是等腰三角形的三种情况，避免漏答案． 63．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 【考点题型十七】求与已知图形两点构成等腰三角形的点 64．（22-23八年级上·湖北鄂州·期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 65．（21-22八年级上·浙江·期末）如图，在矩形的边上找到一点P，使得为等腰三角形，请画出所有的点P． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义找到符合题意的点． 【详解】解：如图， AE=P1E，AP2=AE，AP3=EP3，AE=EP4，AP5=EP5， 则共有5个点P，使得△AEP为等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了复杂作图以及等腰三角形的性质，利用分类讨论得出是解题关键． 66．（22-23八年级上·山东潍坊·期中）如图，已知坐标系内点，在坐标轴上找一点A，使是等腰三角形（利用尺规作图，找到所有满足条件的情况，保留作图痕迹，并简单写出作图说明）． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的定义画出图形即可． 【详解】解：如图，以O为圆心，为半径作，与坐标轴有4个交点；以P为圆心，为半径作，与坐标轴有2个交点（点O除外）；作线段的垂直平分线与坐标轴有2个交点， 观察图象可知，满足条件的点A有8个． 【点睛】本题考查作图-复杂作图、等腰三角形的判定、线段垂直平分线的性质，解题的关键是学会把复杂作图拆解成基本作图，会利用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考内容． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$