专题4-1 实数（考点清单，知识导图+8个考点清单&15种题型解读+9种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题4-1 实数 （7个考点梳理+15种题型解读+9种方法解读） 【清单01】算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 【清单02】平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【清单03】开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【清单04】立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单05】开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单06】无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 【清单07】实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 3. 实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【考点题型一】利用算术平方根的非负性求解 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知与互为相反数，求的平方根是 ． 【答案】 【分析】根据非负性求出x和y的方程组，求出x和y的值，再根据平方根的性质即可求解． 【详解】依题意可得，解得， ∴=25，25的平方根是 故答案为． 【点睛】此题主要考查二次根式的非负性与平方根的性质，解题的关键是根据题意列出方程组求解． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两直角边、满足，则斜边上的中线长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的非负性、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．利用非负性的性质求出、的值，再用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵，， ∴ ，， ，， 由勾股定理得，斜边， 所以，斜边中线长． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，算术平方根的非负性，平方根的定义，根据非负性可以得到，带入求出的结果，从而得出结果． 【详解】解：，，，， ， ， ， 的平方根是． 故答案为：． 【考点题型二】算术平方根的实际应用 1．（2022·北京海淀·模拟预测）一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据其面积公式求出的值，估算出的取值范围即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 正方形的面积是22.73， ， ， ，即， 它的边长大小在4与5之间， 故选：C． 【点睛】本题考查的是估算无理数的大小及算术平方根，估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】根据两个小正方形的面积分别求出其边长，从而得出大正方形的边长． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，读懂题意，运用算术平方根的知识解题是关键． 3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形，    (1)大正方形的边长是 　 　； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 【答案】(1)4 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的边长即可； （2）先求出长方形的边长，利用长与正方形边长比较大小再判断即可． 【详解】（1）大正方形的边长是； 故答案为：4； （2）设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：， ， 所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为． 【点睛】本题考查了算术平方根，能根据题意列出算式是解此题的关键． 4．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知一块面积为 的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【答案】(1)该正方形画布的边长为 (2)甲方案不可行，乙方案可行，理由见解析 【分析】（1）根据算术平方根的定义即可求解； （2）甲方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ，乙方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ，分别列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵正方形画布的面积为400 ∴该正方形画布的边长为 ． （2）甲的方案不可行，乙方案可行 甲方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则，即， ， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为． ，但正方形纸片的边长只有 ，故甲方案不可行； 乙方案中，设长方形纸片的长为 ，宽为 ， 则，即， 解得：（负值舍去）， 长方形的长为，故乙方案可行， 综上，甲方案不可行，乙方案可行． 【点睛】本题考查了算术平方根的实际应用，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【考点题型三】求一个数的平方根 【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（22-23七年级下·河北承德·期末）实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接根据平方根的定义解题即可. 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用，理解其含义是解题的关键. 2．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的平方根 B．0.3是0.9的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 【答案】D 【分析】根据平方根的定义求解即可，平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根． 【详解】解：A、，，，故该选项不正确，不符合题意； B、，故不是的平方根，故该选项不正确，不符合题意； C、没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； D、，，故是的平方根，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的定义，理解平方根的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，掌握算术平方根和平方根的定义，根据定义计算是解题关键．一个正数有两个平方根，且他们互为相反数． 【详解】解：， 的平方根为， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的算术平方根是 ， ，的平方根是 . 【答案】 3 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 依据算术平方根，平方根和立方根的定义解答即可． 【详解】 ， 的算术平方根是3 ， 的平方根是 故答案为：3，，． 【考点题型四】已知一个数的平方根，求这个数 解题方法：正数有两个平方根，且它们互为相反数. 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根的知识，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是关键. 【详解】解：∵M的两个平方根是与， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选D. 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则 【答案】 【分析】本题考查了平方根； 根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则 ，这个正数是 ． 【答案】 16 【分析】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的和为零是解题的关键．根据正数的两个平方根和为0计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， 则， 那么这个正数是， 故答案为：；16． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了平方根的概念，求一个数的平方根，熟知平方根和算术平方根的定义是解题的关键：若两个实数a、b，满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程求出a的值，进而求出的值，再根据平方根的定义求出x的值即可； （2）先求出的值，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3． 【考点题型五】利用平方根/立方根的概念解方程 解题方法： 1）利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 2）在解方程时，常需将方程转化为或 (将x+b看作一个整体)的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值. 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程： （1）根据求平方根的方法解方程即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 2．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查整式的乘法，运用立方根的定义解方程． （1）运用单项式乘以多项式法则，完全平方公式计算，最后合并同类项即可解答； （2）运用立方根的定义即可解答． 【详解】（1） ． （2）， 移项并合并同类项，得， 开立方，得， 移项并合并同类项，得． 3．（23-24八年级上·江西九江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求及的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根的定义，利用平方根解方程； （1）根据一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数解答； （2）根据平方根的定义解方程即可． 解题的关键是熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ； （2）解：原方程为：， ， 解得：． 4．（22-23八年级下·天津河西·期末）【思路回顾】我们知道①，所以当计算时，可以令，使问题转化回到①后再完成计算．即： ． 【拓展尝试】在以上解决问题过程中，我们用到了换元的方法．同样的，我们知道当时，的值为3或，请你试着解下面的方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用题干中的换元法，结合当时，的值为3或求解即可； （2）将方程变形为，再同（1）求解． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴，即或， 解得：或； （2）， ∴， ∴， ∴， 同（1）可得：或． 【点睛】本题考查了平方根的应用，解题的关键是读懂题意，利用换元法求解． 【考点题型六】平方根的应用 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒； （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 3．（21-22七年级下·河北衡水·期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 【答案】(1)80米 (2)这些铁栅栏够用，见解析 【分析】（1）正方形边长＝面积的算术平方根，周长＝边长×4，由此解答即可； （2）长、宽的比为5：3，设这个长方形场地宽为3am，则长为5am，计算出长方形的长与宽可知长方形周长，同理可得正方形的周长，比较大小可知是否够用． 【详解】（1）解：＝20（m），4×20＝80（m）， 答：原来正方形场地的周长为80m． （2）解：设这个长方形场地宽为3am，则长为5am， 由题意有：3a×5a＝315， 解得：a＝， ∵3a表示长度， ∴a＞0， ∴a＝， ∴这个长方形场地的周长为2（3a+5a）＝16a＝16（m）， ∵80＝16×5＝16×＞16， ∴这些铁栅栏够用． 答：这些铁栅栏够用． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的简单应用，根据题意设出合适未知数是基础，依据相等关系列出方程求出各自周长，是解题的关键． 4．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【考点题型七】立方根的应用 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问所截每个小正方体的棱长是多少？ 【答案】 【分析】本题考查正方体的体积公式及立方根计算，根据题中描述，结合空间想象能力，设所截每个小正方体的棱长是，找到等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设所截每个小正方体的棱长是， ，解得， 答：所截每个小正方体的棱长是． 2．（23-24八年级上·江西抚州·期中）已知一个正方体的体积是，在它的8个角上分别截去一个大小相同的小正方体，剩下的部分是，则截去的每个小正方体边长是多少？截去的正方体边长可以是吗？ 【答案】截得的每个小正方体的棱长是4cm．截去的正方体边长不可以是． 【分析】此题主要考查了立方根的应用，由于一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去8个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，设截得的每个小正方体的棱长，根据已知条件可以列出方程，解方程即可求解，再求解大正方体的边长为，而截取的两个正方体的边长之和大于了，可得结论． 【详解】解：设截得的每个小正方体的棱长，依题意得 ， ∴， 解得：． ∴截得的每个小正方体的棱长是4cm． ∵正方体的体积是， ∴正方体的边长为， 当截去的正方体边长是时， ∴， ∴截去的正方体边长不可以是． 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 【答案】球形容器内部的半径是． 【分析】本题考查了立方根的应用，利用球的体积公式计算出球的半径，熟练掌握立方根的概念是解题的关键． 【详解】解：设球形容器内部的半径是，根据题意，得， ∴， ∴， 答：球形容器内部的半径是． 4．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 【答案】(1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续 (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过 【分析】本题主要考查了平方根，立方根的应用． 对于（1），将代入关系式，根据平方根的定义解答； 对于（2），将代入关系式，再比较结果，可得答案． 【详解】（1）当时，，根据题意，得， 答：如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约能持续大约持续． （2）当时，， 即，所以． 又因为，且，所以． 答：如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径没有超过． 【考点题型八】与平方根、立方根有关的规律问题 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 【答案】(1)，； (2)a扩大100倍，扩大10倍 (3)，32400； (4) 【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． （1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案 （4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】（1）解：（1），， 故答案为，； （2）a扩大100倍，扩大10倍． （3）①∵， ∴， ②， ∴， 故答案为：，32400； （4）∵，， ∴， 故答案为： 2．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 【答案】(1)80； (2)被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位 (3) 【分析】（1）根据算术平方根的意义计算，根据立方根的规律求解． （2）仿照算术平方根的规律探索即可． （3）根据发现的规律计算即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故． ∵， ∴， 故 故答案为：80，． （2）发现规律如下：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． 故答案为：被开方数的小数点每向左（或向右）移动三位，它的立方根的小数点随即向左（或向右）移动一位． （3）根据平方根的变化规律得： ， ， ． 根据立方根的变化规律得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根，立方根的计算，及其规律的发现，熟练掌握计算方法和规律是解题的关键． 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空： ， ． （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②，记的整数部分为x，则 ． 【答案】（1）（2）①② 【分析】（1）被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位； （2）①②利用（1）中所得结论即可求解． 【详解】解：（1）观察表格可知，被开方数小数点每移两位，算术平方根小数点移一位， 故 故答案为： （2）①根据（1）中所得结论可知：， ②同理可得： 故答案为：①② 【点睛】本题考查了算术平方根的性质．掌握相关结论即可． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【答案】(1)5，6 (2)n (3) 【分析】本题考查数字变化的规律，解题的关键是： （1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）提取3之后，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， ， ， 故答案为：5，6． （2）由（1）知， 从1开始连续个奇数的和等于的平方， 又， 所以． 故答案为：． （3）原式 ． 【考点题型九】平方根、立方根综合 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，熟练的利用算术平方根与立方根的含义建立方程是解本题的关键，由算术平方根的含义与立方根的含义可得，，再解方程，从而可得答案． 【详解】解：的立方根是3， ， ， 的算术平方根是5， ， ， ， 的平方根是， 的平方根是． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的平方根为，的立方根为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根定义的应用，根据题意得出算式和求解是解题的关键． 【详解】解∶∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． 3．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，b的立方根是，求的平方根． 【答案】 【分析】根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案． 【详解】解：一个数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是， 解得：， ，其平方根为：， 即的平方根为． 【点睛】本题考查了平方根和立方根的概念，解题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0． 4．（21-22七年级下·江西赣州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】解：的立方根是，的算术平方根是， ，， 解得：， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 【点睛】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可． 【考点题型十】无理数的判断 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）下列各数中为无理数的是（　　） A．2023 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：A、2023是有理数，故此选项不符合题意； B、是有理数，故此选项不符合题意； C、是有理数，故此选项不符合题意； D、是无理数，故此选项符合题意； 故选：D 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列实数，，2，，其中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无理数的定义，是解题的关键．无限不循环小数是无理数．其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 根据无理数的定义解答即可． 【详解】在，，2，中，无理数有，， 共2个． 故答案为：B． 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）下列各数：，，，，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答． 【详解】解：，是正整数，是有理数， ，是有限小数， ，是无限不循环小数，是无理数， ，开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数， ，是分数，是有理数， （每两个3之间增加1个0），是无限不循环小数，是无理数， 综上所述：共有3个无理数， 故选：C． 【考点题型十一】无理数的估算 解题方法：确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了无理数大小的估算，熟练掌握无理数大小的估算方法是解答本题的关键，一个无理数是由整数部分和小数部分组成的，根据算术平方根的定义可估算，从而得到，，再代入计算即得答案． 【详解】， ， 的整数部分，小数部分， ． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算、求代数式的值、利用平方差公式进行计算，先估算出，得出，从而得出，，代入式子，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：， ，即， ， 的整数部分为，小数部分为， ，， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查无理数的估算及相反数的定义，结合已知条件估算出各数分别在哪两个连续整数之间是解题的关键． （1）分别估算后求得a，b的值，然后将其代入计算即可； （2）估算出的值后再结合已知条件确定x，y的值，然后代入中再根据相反数的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， 的小数部分为，的整数部分为， ； （2）解：， ， ，即， ∵x是整数，且， ， 则， 那么的相反数为． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为． 【解决问题】 (1)填空：的小数部分是 ； (2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）由于，可求的整数部分，进一步得出的小数部分； （）先求出的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可． 本题考查了估算无理数的大小，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算． 【详解】（1）∵， ∴的整数部分是， ∴的小数部分是， 故答案为； （2）∵、分别是的整数部分、小数部分， ∴，， ∴ ， ， ， ． 【考点题型十二】实数的分类 实数的分类： 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________}； 无理数：{_____________________________}； 正实数：{_____________________________}； 负实数：{_____________________________}． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查实数的分类，求解算术平方根，立方根，化简绝对值，掌握实数的分类是解本题的关键． 【详解】解：∵，，， 有理数：{；；0；；；；}； 无理数：{；；，}； 正实数：{； ；；，}； 负实数：{；； }． 2（23-24八年级上·山西临汾·期中）从下列各数中，选择合适的数填空． ． (1)无理数有_________． (2)如图，被阴影覆盖的数有_________．    (3)平方根等于本身的数有_________． (4)将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该正方体铁块的棱长为_________米． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)0； (4)． 【分析】本题考查了实数的分类，实数与数轴，立方根的意义． （1）根据实数的分类解答即可； （2）根据无理数的估算解答即可； （3）根据立方根的意义解答即可． 【详解】（1）是有理数； 是无理数． 故答案为：； （2）∵，， ∴，， ∴被阴影覆盖的数有，． 故答案为：，； （3）∵， ∴平方根等于本身的数有0． 故答案为：0； （4）． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤，⑥（相邻两个之间的个数逐次加）． (1)负数集合{                       …}； (2)有理数集合{                     …}； (3)无理数集合{                     …}． 【答案】(1)①④⑥ (2)①③④⑤ (3)②⑥ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、负实数的概念是解此题的关键． （1）根据负实数的概念即可得到答案； （2）根据有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即可得到答案； （3）根据无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，即可得到答案． 【详解】（1）解：负数集合{    ①  ④  ⑥          …}； （2）有理数集合{     ① ③ ④ ⑤         …}； （3）无理数集合{     ②   ⑥            …}． 【考点题型十三】实数与数轴 1．（2022·福建·模拟预测）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，正确确定点P对应的数的大小是解答本题的关键． 先根据数轴确定点P对应的数的大小，再结合选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，点P对应的数在1与2之间， A、，故本选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在如图所示的数轴上表示的点在（    ）    A．点A和点B之间 B．点B和点C之间 C．点C和点D之间 D．点D和点E之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，正确估算出，再根据不等式性质即可求出，结合数轴得出结果． 【详解】解：， ， ， 表示的点在点C和点D之间， 故选：C． 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是 ．    【答案】2 【分析】 根据数轴可得，再利用算术平方根的性质和绝对值的化简法则，即可解答． 【详解】 解：根据数轴，得， ∴，， ∴原式， 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了算术平方根的性质和绝对值的化简法则，熟知上述性质是解题的关键． 4．（21-22八年级下·江苏南通·阶段练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数运算，二次根式的性质和绝对值的性质．根据进行化简，然后再利用绝对值的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】由数轴可得， ∴，，，， ∴ ． 5．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【答案】(1) (2)10尺 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据实数与数轴关系解答； （2）竹竿长x尺，则门高尺，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，，， 在中，， ∴， ∴点C表示的数为， 故答案为：； （2）解：竹竿长x尺，由题意，竹竿，门高 尺，门宽尺，， 在中， ∴， ∴， 解得， 答：竹竿长10尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用、实数与数轴，理解题意，熟练掌握勾股定理是解答的关键． 【考点题型十四】实数的比较大小 解题方法：实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 1．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、的大小即可． 【详解】解：数轴被墨迹污染的数介在1与2之间， ，，， ，，，， 故选：A． 【点睛】本题考查实数与数轴，无理数的估算，理解估算方法是正确解答的前提． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）比较大小： (填“”“”或“”)． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数比较大小，通过无理数的估算方法先求出，则，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)的整数部分为，小数部分为； (2)，理由见解析 【分析】（1）先估算的大小，根据题意利用作差法，即可求解； （2）根据作差法比较，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则的整数部分为，小数部分为； （2）解：，理由如下， ∵， ∴． 【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，（2）中采用作差法进行比较大小是解题的关键． 【考点题型十五】实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)或． (2)6 【分析】本题考查了一元二次方程的解法----直接开方法，实数的混合运算．解答的关键是：（1）理解直接开方法解一元二次方程的方法，（2）利用绝对值的非负性，立方根和平方根性质来进行计算求解． （1）先将原方程移项，再开平方求解． （2）根据绝对值的非负性，立方根和平方根的性质进行计算求解． 【详解】（1）解：原方程移项得， 开方得， 或， 或． （2）解： ． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）计算与化简： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算，掌握运算法则是关键． （1）先求平方根、立方根再合并即可； （2）先进行开方、绝对值化简，再算加减法即可． 【详解】（1）解：原式                             ； （2）解：原式 ． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）计算： (1) (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）先求算术平方根以及立方根，再求和即可； （2）先计算算术平方根及有理数的平方后，去绝对值符号，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4-1 实数 （8个考点梳理+15种题型解读+9种方法解读） 【清单01】算术平方根 定义：如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，读作“根号a”，a叫做被开方数. 【补充】算术平方根等于它本身的数只有0和1. 性质：正数只有一个算术平方根，且恒为正；0的算术平方根为0；负数没有算术平方根. 算术平方根(a≥0)具有双重非负性：1）被开方数具有非负性，即a≥0； 2）算术平方根本身具有非负性，即≥0； 【小结】即在式子中，a≥0且≥0. 【清单02】平方根 定义：如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根或二次方根.正数a的两个平方根记作±，读作“正、负根号a”. 【补充】平方根等于本身的数只有0. 性质：正数有两个平方根，且它们互为相反数；0的平方根为0；负数没有平方根. 【清单03】开平方 定义：求一个非负数的平方根的运算叫做开平方.非负数a开平方用符号“±”表示，“”是一个运算符号. 【注意】1）开平方是求一个非负数的平方根，因此被开方数必须是非负数； 2）平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程； 3）平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确. 【清单04】立方根 定义：如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”. 【补充】1）立方根等于本身的有0和±1. 2）互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数. 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根． 【清单05】开立方 定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方. 【注意】 1）求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根. 2) 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根. 3）开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号. 【清单06】无理数 无理数：无限不循环小数叫做无理数. 【补充】无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数. 【清单07】实数及其分类 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 实数与数轴上的点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. 【清单08】实数的运算 实数的四则运算：当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，又增加了非负数的开平方运算，任意实数可以进行开立方运算. 进行实数运算时，有理数的运算法则及性质等同样适用. 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1. 有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2. 在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 【考点题型一】利用算术平方根的非负性求解 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知与互为相反数，求的平方根是 ． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）已知直角三角形的两直角边、满足，则斜边上的中线长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）已知a，b，c满足，则的平方根是 ． 【考点题型二】算术平方根的实际应用 1．（2022·北京海淀·模拟预测）一个正方形的面积是22.73，估计它的边长大小在（    ） A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，从一个大正方形中可以裁去面积为和的两个小正方形，则大正方形的边长为 ． 3．（20-21七年级下·河北沧州·期中）如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形，    (1)大正方形的边长是 　 　； (2)若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由． 4．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）已知一块面积为 的正方形画布． (1)求该正方形画布的边长； (2)甲乙两名同学想沿着该正方形画布边的方向裁下一块长方形画布．其中，甲的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：；乙的方案是：长方形的面积为 ，且长宽之比为：．问甲乙两人的方案是否可行？并说明理由． 【考点题型三】求一个数的平方根 【常考/易错】有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把去根号，再求平方根． 1．（22-23七年级下·河北承德·期末）实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·江苏南京·期末）下列说法正确的是（    ） A．是的平方根 B．0.3是0.9的平方根 C．是的平方根 D．是的平方根 3．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）的平方根是 ． 4．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）的算术平方根是 ， ，的平方根是 . 【考点题型四】已知一个数的平方根，求这个数 解题方法：正数有两个平方根，且它们互为相反数. 1．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）若M的两个平方根是与，则的值为（     ） A．16 B．17 C．18 D．19 2．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则 ，这个正数是 ． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知一个正数的两个平方根分别为和． (1)求的值，并求这个正数； (2)求的算术平方根． 【考点题型五】利用平方根/立方根的概念解方程 解题方法： 1）利用平方根的概念解方程时，先将方程转化的形式，再利用开平方法求解.当a>0时，其平方根有两个，所以对应方程有两个根. 2）在解方程时，常需将方程转化为或 (将x+b看作一个整体)的形式，再利用立方根的定义开立方，从而求出未知数的值. 1．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）求下列各式中的值： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·重庆北碚·期中）（1）计算： （2）解方程： 3．（23-24八年级上·江西九江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求及的值； (2)求关于的方程的解． 4．（22-23八年级下·天津河西·期末）【思路回顾】我们知道①，所以当计算时，可以令，使问题转化回到①后再完成计算．即： ． 【拓展尝试】在以上解决问题过程中，我们用到了换元的方法．同样的，我们知道当时，的值为3或，请你试着解下面的方程： (1)； (2)． 【考点题型六】平方根的应用 1．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 2．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 3．（21-22七年级下·河北衡水·期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3． (1)求原来正方形场地的周长； (2)如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用？试利用所学知识说明理由． 4．（22-23七年级下·陕西渭南·期末）母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【考点题型七】立方根的应用 1．（23-24八年级上·贵州贵阳·期中）已知一个正方体的体积是，现在要在它上底面的4个角上分别截去4个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是，问所截每个小正方体的棱长是多少？ 2．（23-24八年级上·江西抚州·期中）已知一个正方体的体积是，在它的8个角上分别截去一个大小相同的小正方体，剩下的部分是，则截去的每个小正方体边长是多少？截去的正方体边长可以是吗？ 3．（23-24八年级上·陕西西安·期中）要生产一种容积为的球形容器，这种球形容器内部的半径是多少分米？（球的体积公式） 4．（23-24八年级上·山西晋中·期中）某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间可以用下面的公式“”来估计，其中是雷雨区域的直径． (1)如果雷雨区域直径为，那么这场雷雨大约持续多长时间？（结果精确到） (2)如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径是否超过？ 【考点题型八】与平方根、立方根有关的规律问题 1．（23-24八年级上·河北沧州·期中）探索与应用：先观察表格，再回答问题． … … … … (1)表格中_____________；_____________； (2)从表格中探究a与变化的规律：__________________________； (3)利用规律解决问题： ①已知，则_____________； ②已知，若，则_____________； (4)拓展：已知，若，则_____________． 2．（23-24八年级上·山西长治·阶段练习）完善下面表格，发现平方根和立方根的规律，并运用规律解决问题． … … … … … … (1)表格中的______，______． (2)从表格数字中可以发现：开算术平方根时，被开方数的小数点每向左（或向右）移动两位，它的算术平方根的小数点随即向左（或向右）移动一位．请用文字表述立方根的变化规律：_________． (3)若，求的值． （参考数据：） 3．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）（1）观察被开方数a的小数点与算术平方根的小数点的移动规律： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 x 1 y 100 填空： ， ． （2）根据你发现的规律填空： ①已知，则 ， ； ②，记的整数部分为x，则 ． 4．（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）请观察下列式子： ； ； ； ． 根据阅读解决下列问题： (1)计算：＝ ；＝ ； (2)猜想规律：＝ （n为正整数）； (3)利用规律计算的值． 【考点题型九】平方根、立方根综合 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知的立方根是3，的算术平方根是5，求的平方根． 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）已知的平方根为，的立方根为，求的值． 3．（20-21八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知一个正数的平方根是和，b的立方根是，求的平方根． 4．（21-22七年级下·江西赣州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【考点题型十】无理数的判断 常见的无理数： 1） 一般的无限不循环小数，如0.43241…，7.6385661…等 2） 开方开不尽的数，如： 、等. [易错]带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 3）与圆周率π有关的数，如5π，3+π，等. 4）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.1010010001（两个1之间依次增加1个0）… 5）某些三角函数，如sin60°、cos20°. 【注意】无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）下列各数中为无理数的是（　　） A．2023 B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）下列实数，，2，，其中，无理数共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）下列各数：，，，，，（每两个3之间增加1个0）中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型十一】无理数的估算 解题方法：确定一个无理数的整数部分和小数部分的方法: 把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，用这个数减去整数部分就得到它的小数部分. 1．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）若的整数部分是a，小数部分是b，则 ． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期中）已知的整数部分为，小数部分为，则的值是 ． 3．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）【阅读材料】∵，即，∴，∴的整数部分为，∴的小数部分为． 【解决问题】 (1)填空：的小数部分是 ； (2)已知、分别是的整数部分、小数部分，求代数式的值． 【考点题型十二】实数的分类 实数的分类： 1．（23-24八年级上·宁夏银川·期中）把下列各数分别填入所属的集合中： ①；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨ 有理数：{_____________________________}； 无理数：{_____________________________}； 正实数：{_____________________________}； 负实数：{_____________________________}． 2（23-24八年级上·山西临汾·期中）从下列各数中，选择合适的数填空． ． (1)无理数有_________． (2)如图，被阴影覆盖的数有_________．    (3)平方根等于本身的数有_________． (4)将一个长，宽，高分别为3米，2米，2米的长方体铁块熔化，制成两个一样的正方体铁块，则该正方体铁块的棱长为_________米． 3．（23-24八年级上·河南郑州·期中）把下列各数的序号写入相应的集合中： ①，②，③，④，⑤，⑥（相邻两个之间的个数逐次加）． (1)负数集合{                       …}； (2)有理数集合{                     …}； (3)无理数集合{                     …}． 【考点题型十三】实数与数轴 1．（2022·福建·模拟预测）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（   ） A． B． C． D．π 2．（23-24八年级上·江苏苏州·期中）在如图所示的数轴上表示的点在（    ）    A．点A和点B之间 B．点B和点C之间 C．点C和点D之间 D．点D和点E之间 3．（23-24八年级上·江西抚州·阶段练习）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是 ．    4．（21-22八年级下·江苏南通·阶段练习）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简． 5．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人着迷．      (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点．如图1，在数轴上找出表示2的点A，过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴负半轴的交点C表示的数是_________； (2)应用场景2——解决实际问题．如图2，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出2尺，斜放就恰好等于门的对角线（），已知门宽6尺，求竹竿长． 【考点题型十四】实数的比较大小 解题方法：实数比较大小的常用方法 1）两个负数比较大小，绝对值大的数反而小； 2）将实数在数轴上表示出来，左边的数小于右边的数； 3）作差或作商法：作差后与0进行比较，作商后与1进行比较； 4）估算法：常见≈1.414，≈1.732，≈2.236； 5）乘方法：符号相同的两个根式，利用乘方法来比较大小. 1．（22-23七年级下·广东广州·期中）如图，数轴被墨迹污染了，被覆盖的数不可能是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）比较大小： (填“”“”或“”)． 3．（23-24八年级上·北京昌平·期中）阅读理解，并回答问题． 阅读材料1： ∵，∴，即． ∴的整数部分为2，小数部分为． 阅读材料2： 对于任意实数a和b比较大小，有如下规律：若，则；若，则；若，则．我们把这种比较两个数大小的方法称为作差法． 例如：比较与的大小时，可以计算，得， ∵，∴．∴． (1)请表示出的整数部分和小数部分； (2)试判断与的大小，并说明理由． 【考点题型十五】实数的混合运算 运算顺序：先进行乘方和开方运算，再算乘除，最后算加减，如果遇到括号，则先进行括号里的运算. 【注意】 1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法交换律 、乘法结合律、乘法分配律． 2）在实数混合运算中不注意运算顺序导致结果错误，所以要牢记运算顺序避免出错： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号里面的，再算括号外面的；先算小括号，再算中括号，最后算大括号． 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）计算： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）计算与化简： (1) ； (2)． 3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 4．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）计算： (1) (2)计算： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$