专题5-1 平面直角坐标系（考点清单，知识导图+7个考点清单&11种题型解读+7种方法解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）

专题5-1 平面直角坐标系 （7个考点梳理+11种题型解读+7种方法解读） 【清单01】有序数对 定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）. 特征：1）由两个数组成； 2）这两个数有顺序性，顺序不同，含义也不同. 【清单02】平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向. 原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限. 【补充】 1）两条坐标轴不属于任何一个象限. 2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位 【清单03】点的坐标 点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图. 【清单04】点的坐标特征 【清单05】点的坐标变化 对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y) 【补充说明】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变. 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变. 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置. 【清单06】点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 【清单07】坐标系内点与点之间的距离 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 【考点题型一】有序数对的应用 解题方法：在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数这两个数顺序不同，表示的位置不同.用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．距离二七纪念堂 C．中原福塔北偏东，距离 D．物理第一实验室排座 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“帅”的点的坐标 ． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：    (1)，，； (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． 【考点题型二】判断点所在的象限 解题策略： 1）点P(x，y)在第一象限  x＞0,y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限  x＜0,y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限  x＜0,y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限  x＞0,y＜0，即（+，-）. 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第 象限． 4．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”． (1)判断点 ，是否为“好点”，并说明理由； (2)若点 是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 1．（23-24八年级上·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则m的取值范围是 ． 2．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二象限内，求的取值范围． 【考点题型四】利用坐标轴上的点的特征求解 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知点在y轴上，则a的值是 ． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知点在x轴上，则点M到y轴的距离为 ． 3．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中中，已知点 (1)若点M在x轴上，求m的值； (2)若点M在第二象限内，求m的取值范围． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值： (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为3，且在第三象限． 【考点题型五】利用象限角平分线上的点的特征求解 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知点，点． (1)若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标． (2)若线段轴，求线段的长度． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，根据下列条件，分别求点P的坐标： (1)点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上； (2)点Q的坐标为，且轴． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）已知点． (1)若点P在第二、四象限角平分线上，点P的坐标为 　 　； (2)点P到y轴的距离为11，点P的坐标为 　 　． 4．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标 (1)点在轴上． (2)到轴的距离为3，且在第四象限． (3)在第一、三象限角平分线上． (4)点在第一象限，则的取值范围． 【考点题型六】利用平行坐标轴的点的特征求解 1．（22-23八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点坐标分别是，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（20-21八年级上·河南郑州·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点与点关于轴对称； （3）经过点，的直线，与轴平行； （4）点到两坐标轴的距离相等． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． (1)点P到x轴的距离为3； (2)点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 4．（22-23七年级下·江西赣州·期中）已知：点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标， (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P在直线l上，直线l经过且与x轴平行． 【考点题型七】点到坐标轴的距离 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A．5 B． C．12 D． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）在平面直角坐标系中，有一点在第一象限，且点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则n、m的值分别为（    ） A．5， B．3，1 C．2，4 D．4，2 3．（21-22七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为4，则的值为 ． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【考点题型八】求平移后点的坐标 1．（23-24八年级上·江苏·周测）在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是 ． 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求点A，的坐标； (2)如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标． 3．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，正方形网格中的三个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，此时点的坐标是．若先把向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到． (1)画出平移后的图形； (2)写出平移后各顶点坐标：（    ），（    ），（    ）． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．    (1)如图①，则三角形ABC的面积为______； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积． 【考点题型九】求两点间的距离 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，其两点间距离公式为．例如：点和)的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． (1)已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则、两点的距离为 　 　； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　 　； (3)已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，我们将称为点与点的“直角距离”，记作． 例如：点与点的“直角距离” ． 【问题解决】 (1)已知点坐标为． ①点与点的“直角距离” 　 　； ②若点与点的“直角距离” ，则的值为 　　． (2)已知和． ①在点，，中，到，两个点的“直角距离”之和相等的两个点是 　　； ②若点到，两个点的“直角距离”之和为6，则，的取值范围分别是 　　． 3．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下： ∵， ∴， ∴．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如： ∵， ∴， ∴． 根据上述材料，完成下列题目： (1)已知，，则________； (2)如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①点B的坐标为________； ②连接．求证： (3)如图2，是的中线，若，，求周长的最大值． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）（一）问题提出 （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离，、两点间的距离分别是多少？ （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是多少？ （3）已知平面上的两点，，，，如何求，的距离． （二）问题探究 （1）求平面直角坐标系中轴上的两点、之间的距离，可以借助绝对值表示，对于轴上两点，、之间的距离． 结论：在平面直角坐标系中，如果、是轴上两点，它们对应的横坐标分别是，，则、两点间的距离　　；、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离　　． （2）如图1：平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，由勾股定理得　　；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离　　； （3）如图2，要求或的长度，可以转化为求或的斜边长，例如：从坐标系中发现：，所以，，所以由勾股定理得：．在图2中请用上面的方法求线段的长：　　；在图3中：设，，，，试用，，，表示：　　．    （三）拓展应用 试用以上所得结论解决如下问题：已知，． （1）直线与轴交于点，求线段的长． （2）为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形，则的坐标为 　　（不必写出解答过程，直接写出即可）． 【考点题型十】求坐标系中的图形面积 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴对称的图形并写出顶点，，的坐标； (2)求的面积； (3)已知P为y轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点A，C在平面直角坐标系中的坐标分别为，．    (1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系； (2)平面直角坐标系中画出关于y轴对称的．（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (3)的面积是 ． (4)在x轴上确定一个格点，使得为直角三角形，则满足条件的所有格点P的横坐标为 ． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)的面积是 ． (2)作出关于轴对称的三角形； (3)在轴上找到一点，使的值最小，在图中画出点． 4．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标，点B的坐标，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． (1)的面积为________． (2)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______．（用a表示） (3)如果的面积是的面积的2倍，P在Q的右侧，请直接写出此时P的坐标________． 【考点题型十一】点坐标的规律探索 1．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点、点、点、点、…，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，则点的坐标是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5-1 平面直角坐标系 （7个考点梳理+11种题型解读+7种方法解读） 【清单01】有序数对 定义：有顺序的两个数a与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）. 特征：1）由两个数组成； 2）这两个数有顺序性，顺序不同，含义也不同. 【清单02】平面直角坐标系 平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直，并且原点重合的数轴，这样就建立了平面直角坐标系. x轴、y轴：水平的数轴叫做x轴或横轴，通常取向右方向为正方向； 竖直的数轴叫做y轴或纵轴，通常取向上方向为正方向. 原点：两坐标轴交点为平面直角坐标系原点. 坐标平面：坐标系所在的平面叫做坐标平面. 象限：x轴和y轴把坐标平面分成四部分，每个部分称为象限.按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限. 【补充】 1）两条坐标轴不属于任何一个象限. 2）平面直角坐标系具有实际意义时，一般在横轴、纵轴的字母附上单位 【清单03】点的坐标 点的坐标：对于坐标轴内任意一点A，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序数对A(a，b)叫做点A的坐标，记作A(a，b)，如图. 【清单04】点的坐标特征 【清单05】点的坐标变化 对于平面直角坐标系上任意一点P(x，y) 【补充说明】 1）左右平移，横坐标改变(左减右加)，纵坐标不变. 2）上下平移，纵坐标改变(上加下减)，横坐标不变. 3）平移变换的特征：平移变化下，图形的形状和大小不变，变的是图形的位置. 【清单06】点到坐标轴的距离 在平面直角坐标系中，已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 【清单07】坐标系内点与点之间的距离 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离： 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 【考点题型一】有序数对的应用 解题方法：在同一平面内，表示物体的位置需要用两个数这两个数顺序不同，表示的位置不同.用有序数对表示位置时，必须明确前后两个数表示的实际意义. 1．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）如图是一个教室平面示意图，我们把小刚的座位“第1列第3排”记为.若小丽的座位为，以下四个座位中，与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用有序数对表示出与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位位置，即可得出答案． 【详解】解：如图所示：与小丽相邻且能比较方便地讨论交流的同学的座位是或． 故选：C．    【点睛】此题主要考查了用有序数对表示位置，正确掌握用有序数对表示位置是解题关键． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）生活中我们经常需要准确描述物体的位置，下列条件不能确定物体位置的是（    ） A．东经，北纬 B．距离二七纪念堂 C．中原福塔北偏东，距离 D．物理第一实验室排座 【答案】B 【分析】本题主要考查了用坐标表示位置，理解位置的确定需要一个有序数对是解题的关键．根据坐标确定位置需要一个有序数对，对各选项分析判断． 【详解】解：A、东经，北纬，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； B、距离二七纪念堂，不能确定物体的位置，故本选项符合题意； C、中原福塔北偏东，距离，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； D、物理第一实验室排座，能确定物体的位置，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）象棋在中国有着三千多年的历史，由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的益智游戏．如图，是一局象棋残局，已知表示棋子“马”和“车”的点的坐标分别为，，则表示棋子“帅”的点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查有序数对位置的确定，根据棋子“马”和“车”的点的坐标可得出原点的位置，进而得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据棋子“马”和“车”的点的坐标，可建立平面直角坐标系如图， 由图可知表示棋子“帅”的点的坐标为， 故答案为． 4．（2023八年级上·江苏·专题练习）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中：    (1)，，； (2)若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P的位置． 【答案】(1)，；，0；，； (2)见解析． 【分析】（1）根据规定及实例可知，记为，记为，记为； （2）按题目平移规定，点A分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移两个格点即可得到点P的位置．在图中标出即可． 本题主要考查了用有序实数对表示路线．熟练掌握行走路线的记录方法是解题的关键． 【详解】（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负， ∴记为， 记为， 记为； 故答案为：，；，0；，； （2）∵甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为，，，， ∴A分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个格点，向下平移2个格点即可得到点P的位置．P点位置如图所示．   ． 【考点题型二】判断点所在的象限 解题策略： 1）点P(x，y)在第一象限  x＞0,y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限  x＜0,y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限  x＜0,y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限  x＞0,y＜0，即（+，-）. 1．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在平面直角坐标系中，点一定在（　　） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】本题考查了坐标的特点，根据平方数非负数判断出纵坐标是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：， ， 点在第四象限． 故选：A． 2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）点P在第二象限内，点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得出点P的横坐标为，纵坐标为，再根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，据此即可得出答案． 【详解】解：∵点P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， 又∵点P在第二象限内， ∴点P的坐标． 故选：C． 【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离、平面直角坐标系中点的坐标特点，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期末）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为、，则点在此坐标系中的第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了点的坐标，不等式的性质．熟练掌握点的坐标，不等式的性质是解题的关键．由题意知，，则，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴，在第四象限， 故答案为：四． 4．（22-23八年级上·江苏扬州·期末）已知当，都是实数，且满足时，称为“好点”． (1)判断点 ，是否为“好点”，并说明理由； (2)若点 是“好点”，请判断点在第几象限？并说明理由． 【答案】(1)点是“好点”，点B不是，见解析 (2)在第三象限,理由见解析 【分析】（1）根据、点坐标，代入中，求出和的值，然后代入检验等号是否成立即可； （2）直接利用“好点”的定义得出的值进而得出答案． 【详解】（1）点为“好点”，理由如下， 当时，，，得，， 则，，所以， 所以是“好点”； 当 ，，得，， 则，，所以， 所以不是“好点”； （2）点在第三象限，理由如下： ∵点是“好点”， ∴，， ∴，， 代入，得， ∴，， ∴，故点在第三象限． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确掌握题目中“好点”的定义是解题关键． 【考点题型三】已知点所在的象限求参数 1．（23-24八年级上·江苏南京·期末）平面直角坐标系中，已知点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数，可得不等式组，求不等式的解即可，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键． 【详解】由点在第四象限，得 ， 解得． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点落在第三象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了关于x轴对称点的性质，以及一元一次不等式组的解法．先利用关于x轴对称点的性质求出点关于x轴对称的点的坐标，再列一元一次不等式组求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是点的坐标，根据x轴上点的纵坐标等于0得出关于m的方程，求出m的值即可；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：因为点的坐标为，且点在轴上， 所以 解得， 故答案为： 4．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中中，已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点在第二象限内，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴上的点的纵坐标为，即可求解； （2）根据第二象限的横坐标为正，纵坐标为负，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】（1）解： 点在轴上， ． 解得 （2）点M在第二象限内． ， 解得． 【点睛】本题考查了坐标与图形，一元一次不等式组的应用，掌握点的各象限点的坐标特征是解题的关键． 【考点题型四】利用坐标轴上的点的特征求解 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）已知点在y轴上，则a的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握各象限和坐标轴上点的特征是解题的关键，根据y轴上的点横坐标为0，即可得到答案． 【详解】解：点在y轴上， ， 故答案为：0． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）已知点在x轴上，则点M到y轴的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了点的坐标，根据点在轴上，可得，求出的值，可得点的横坐标，进一步可得点到轴的距离． 【详解】解：∵点在轴上， 解得， ∴点到轴的距离为． 故答案为：5． 3．（22-23八年级上·江苏连云港·期末）在平面直角坐标系中中，已知点 (1)若点M在x轴上，求m的值； (2)若点M在第二象限内，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据x轴上的点的坐标特征：纵坐标为0，列出关于m的方程，即可求出m的值； （2）根据第二象限内点的坐标特征：横坐标为负、纵坐标为正，列出关于m的不等式组，即可求出m的取值范围． 【详解】（1）解：点M在x轴上， ， ； （2）解：点M在第二象限内， ， ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征、解一元一次不等式组，解题关键是掌握平面直角坐标系中点的坐标特征：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值： (1)点在轴上； (2)点到轴的距离为3，且在第三象限． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了点的坐标性质，掌握轴上的点的坐标特点以及第三象限的点的坐标特点是解题的关键． （1）利用轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出的值，即可得出答案； （2）利用第三象限的点的横坐标和纵坐标均为负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得； （2）∵点到轴的距离为3， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， 解得． 【考点题型五】利用象限角平分线上的点的特征求解 1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）已知点，点． (1)若点A在第二、四象限角平分线上，求点A的坐标． (2)若线段轴，求线段的长度． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查象限角平分线性质、与x轴平行的特征和两点之间的距离， （1）根据第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数求出A点的坐标； （2）根据平行于x轴的直线上的点纵坐标都相同求出点A和点B的坐标即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点在第二、四象限角平分线上， ∴，解得，， ∴， （2）∵线段轴， ∴，解得， ∴，， 则； 2．（23-24八年级上·安徽亳州·阶段练习）已知点，根据下列条件，分别求点P的坐标： (1)点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上； (2)点Q的坐标为，且轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一、三象限坐标轴夹角平分线上点的特点得出，求出a的值即可得出答案； （2）根据平行y轴上点的横坐标相等，得出，求出a的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点P在第一、三象限坐标轴夹角平分线上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标规律探索，解题的关键是熟练掌握平行于y轴上点的特点和第一、三象限坐标轴夹角平分线上点的特点． 3．（22-23八年级上·吉林长春·期中）已知点． (1)若点P在第二、四象限角平分线上，点P的坐标为 　 　； (2)点P到y轴的距离为11，点P的坐标为 　 　． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据二、四象限角平分线上的点的坐标互为相反数求出a的值，进而可得出结论； （2）根据题意列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点P在第二、四象限角平分线上， ∴， 解得， ∴，， ∴点P的坐标为； 故答案为：； （2）解：∵点P到y轴的距离为11， ∴， ∴或， 解得或， ∴或， ∴点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查点的坐标，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 4．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，试分别根据下列条件求出点的坐标 (1)点在轴上． (2)到轴的距离为3，且在第四象限． (3)在第一、三象限角平分线上． (4)点在第一象限，则的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据点在轴上y为0，列式求解即可得到答案； （2）根据点到轴的距离是列式求解，并结合点在第四象限选择，即可得到答案； （3）根据一三象限角平分线上点横纵坐标相同列式求解即可得到答案； （4）根据第一象限点横纵坐标都大于0直接列不等式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴， 解得：， 此时点P为：； （2）解：∵到轴的距离为3，点在第四象限， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵在第一、三象限角平分线上， ∴， 解得：， ∴； （4）解：∵点在第一象限， ∴， 解得：； 【点睛】本题考查平面内点坐标的特征：x轴上点y为0，y轴上点x为0，点到坐标轴的距离是另一坐标轴的绝对值，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【考点题型六】利用平行坐标轴的点的特征求解 1．（22-23八年级下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点坐标分别是，则D的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角线互相平分的性质，和中点坐标公式，求出对角线交点的坐标，再根据中点坐标公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的中点坐标为，即， 设点， ∵， ∴，， 解得：， ∴点D的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和中点坐标公式，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，以及熟练运用中点坐标公式求解． 2．（20-21八年级上·河南郑州·期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值并写出点的坐标． （1）点在轴上； （2）点与点关于轴对称； （3）经过点，的直线，与轴平行； （4）点到两坐标轴的距离相等． 【答案】（1），点的坐标是；（2），点的坐标是；（3），点的坐标是；（4）当点在一，三象限夹角平分线上时，，点的坐标是，当点在二，四象限夹角平分线上时， ，点的坐标是． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标等于零，可得方程，解方程可得答案； （2）根据关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同，可得方程，解方程可得答案； （3）根据平行于x轴直线上的点纵坐标相等，可得方程，解方程可得答案； （4）根据点A到两坐标轴的距离相等，可得关于a的方程，解方程可得答案． 【详解】解：（1）点在轴上，则 解得a＝2， ， 故点的坐标是 （2）根据题意得，， 解得 点的坐标是 （3）因为∥轴，所以 解得a＝4， 点的坐标是 （4）当点在一，三象限夹角平分线上时，有 解得 点的坐标是 当点在二，四象限夹角平分线上时，有 解得 ， 点的坐标是 【点睛】本题考查了点的坐标，x轴上的点的纵坐标等于零；y轴上的点的横坐标等于零；关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数、纵坐标相同；平行于x轴直线上的点纵坐标相等． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）已知点在第四象限，分别根据下列条件求点P的坐标． (1)点P到x轴的距离为3； (2)点Q的坐标为，且直线与坐标轴平行． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）点P到x轴的距离为3，且点P在第四象限，得出，求解即可； （2）分两种情况进行讨论：①当直线与x轴平行时，②当直线与y轴平行时，分别求出每种情况的点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点P到x轴的距离为3，且它在第四象限， ∴， 解得： ∴点P的坐标为． （2）解：当直线与x轴平行时， ， 解得． ∴， 点P的坐标为； 当直线与y轴平行时， ， 解得， ∴， 点P的坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的性质，主要利用了平行于x轴和y轴的直线上的点的坐标特征，根据题意列方程求解即可． 4．（22-23七年级下·江西赣州·期中）已知：点，试分别根据下列条件，求出P点的坐标， (1)点P的纵坐标比横坐标大3； (2)点P在直线l上，直线l经过且与x轴平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程求出m的值，然后代入即可求出点P的坐标； （2）首先根据题意得到，然后求出m的值，然后代入即可求出点P的坐标． 【详解】（1）∵点P的纵坐标比横坐标大3， ∴， ∴解得， ∴，， ∴； （2）∵点P在直线l上，直线l经过且与x轴平行， ∴，解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了点的坐标、坐标与图形，熟练掌握点的坐标的特征是解题关键． 【考点题型七】点到坐标轴的距离 1．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为（    ） A．5 B． C．12 D． 【答案】C 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可得出答案． 【详解】解：由题意，得：点到轴的距离为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了点的坐标. 掌握点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题关键． 2．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）在平面直角坐标系中，有一点在第一象限，且点A到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，则n、m的值分别为（    ） A．5， B．3，1 C．2，4 D．4，2 【答案】A 【分析】根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点A的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得m、n的值． 【详解】∵点到x轴的距离为2，到y轴的距离为4， ∴，． 又∵点A在第一象限内， ∴， ∴，． 故选：A． 【点睛】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号以及点到坐标轴的距离是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 3．（21-22七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点到轴的距离为4，则的值为 ． 【答案】或6 【分析】根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值列出方程，然后求解即可． 【详解】解：点到轴的距离为4， ， 解得或6． 故答案为：或6． 【点睛】此题考查的是点的坐标，掌握点的坐标的定义是解决此题的关键． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”． (1)点的“长距”为 ； (2)若点是“完美点”， 求a 的值； (3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”． 【答案】(1)3 (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”． （1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据“完美点”的定义解答即可； （3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1， ∴点A的“长距”为3． 故答案为：3； （2）解：∵点是“完美点”， ∴， ∴或， 解得或； （3）解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴点 D 是“完美点”． 【考点题型八】求平移后点的坐标 1．（23-24八年级上·江苏·周测）在平面直角坐标系中，把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位，得到的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的平移规律，向上平移个单位，则纵坐标加；向下平移个单位，则纵坐标减；向右平移个单位，则横坐标加；向左平移个单位，则横坐标减；据此作答即可． 【详解】解：因为把点向上平移1个单位，再向左平移2个单位， 所以， 即得到的点的坐标是， 故答案为： 2．（22-23七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，，，满足． (1)求点A，的坐标； (2)如图1，平移线段至，使点A的对应点落在轴正半轴上，连接，．若，求点的坐标； (3)如图2，平移线段至，点的对应点的坐标为，与轴的正半轴交于点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，坐标系内点的平移规律，算术平方根的非负性的性质： （1）根据非负数的性质先求解，的值，从而可得答案； （2）如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，，设，结合，再建立方程求解即可； （3）确定平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，可得，如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点，求解，设，可得，再解方程可得答案； 熟练运用等面积法建立方程是解本题的关键． 【详解】（1）解： ，， ，， ，， ，； （2）解：如图，过作轴的平行线，与过A，作轴的平行线交于点，， ，横坐标为0， 则A到向右平移了1个单位，， 设， ， ， ， ， 由平移的性质可得：，即； （3）解：，， 平移方式为先向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ， ， 如图，过作轴的平行线与过作轴的平行线交于点，与轴交于点， ，， ， 设， ， 解得：， ， ． 3．（23-24九年级上·广东茂名·阶段练习）如图，正方形网格中的三个顶点都在格点上，建立平面直角坐标系，此时点的坐标是．若先把向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到． (1)画出平移后的图形； (2)写出平移后各顶点坐标：（    ），（    ），（    ）． 【答案】(1)见解析 (2) ；； 【分析】（1）根据平移的性质作出平移后的图形即可； （2）结合图像写出各顶点坐标即可． 【详解】（1）解：如下图，为所求； （2）平移后各顶点坐标：，，． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查了平移变换、坐标与图形等知识，熟练掌握平移的性质是解题关键． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）平面直角坐标系中，O为原点，点，，．    (1)如图①，则三角形ABC的面积为______； (2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积． 【答案】(1)6； (2)9 【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键． （1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可； （2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可． 【详解】（1）解：∵O为原点，点，，． ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6； （2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，， ∴得到对应点坐标为， 连接，过点作轴于点，过点作轴于点，      ∵， ∴，， ∴ ； 【考点题型九】求两点间的距离 1．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）先阅读一段文字，再回答下列问题： 已知平面内两个点分别为，，其两点间距离公式为．例如：点和)的距离为．同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于轴或平行于轴时，两点间的距离公式可简化成：或． (1)已知、两点在平行于轴的直线上，点的纵坐标为，点的纵坐标为，则、两点的距离为 　 　； (2)线段平行于轴，且，若点的坐标为，则点的坐标是 　 　； (3)已知个顶点坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)等腰直角三角形，见解析 【分析】此题考查了两点间的距离公式； （1）根据平行于轴的直线横坐标相同，利用两点间的距离公式求出、两点的距离即可； （2）根据平行于轴的直线坐标轴相同，由的长，以及的坐标，确定出的坐标即可； （3）利用两点间的距离公式求出三边长，即可作出判断． 【详解】（1）解：设，， 则 ；故答案为：； （2）解：设， ，， ， 解得：或， 则或； 故答案为：或； （3）解：，，， ， ， ， ，且， 则为等腰直角三角形． 2．（23-24八年级上·江苏常州·期中）【阅读理解】在平面直角坐标系中，对于任意两点，，，，我们将称为点与点的“直角距离”，记作． 例如：点与点的“直角距离” ． 【问题解决】 (1)已知点坐标为． ①点与点的“直角距离” 　 　； ②若点与点的“直角距离” ，则的值为 　　． (2)已知和． ①在点，，中，到，两个点的“直角距离”之和相等的两个点是 　　； ②若点到，两个点的“直角距离”之和为6，则，的取值范围分别是 　　． 【答案】(1)①4；②或5 (2)①，；②， 【分析】本题主要考查绝对值、一元一次不等式组；读懂题意，理解新定义，并根据新定义的正确列式计算或列方程求解是解题关键． （1）①根据“直角距离”定义列式计算即可；②根据“直角距离”定义可得关于的方程，求解即可． （2）分别计算出点，，到，两个点的“直角距离”之和即可得到答案；②由题意可得关于，的含绝对值的方程，结合绝对值的代数意义即可得到答案． 【详解】（1）解：①由，，得点与点的“直角距离” ； ②由，，得点与点的“直角距离” ， 点与点的“直角距离” ， ， 解得：或5． 故答案为：①4；②或5． （2）①由，，，，， 可得点到，两个点的“直角距离”之和为， 点到，两个点的“直角距离”之和为， 点到，两个点的“直角距离”之和为， 点，，中，到，两个点的“直角距离”之和相等的两个点是，； ②由点到，两个点的“直角距离”之和为6， 可得，整理得：， 由所得结果不含未知数，可知，或，， 由，，解得：， 由，，解得：，且，此时无解，舍去， ， 同理可得：． 故答案为：①，；②，． 3．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，则这两点间的距离可用下列公式计算：．例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下： ∵， ∴， ∴．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如： ∵， ∴， ∴． 根据上述材料，完成下列题目： (1)已知，，则________； (2)如图1，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①点B的坐标为________； ②连接．求证： (3)如图2，是的中线，若，，求周长的最大值． 【答案】(1)5 (2)①；②见解析 (3) 【分析】（1）根据两点的距离公式列式计算即可； （2）①利用平行四边形的性质求解即可；②连接，过点作，垂足分别为，则四边形是矩形，得到，由平行四边形的性质可得，推出，根据，即可证明结论； （3）分别过点作的平行线交于点E，连接，则四边形是平行四边形，求出，由（2）②可得：，求出，根据材料二即可解答． 【详解】（1）解：根据题意：； （2）解：连接，过点作，垂足分别为， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，即， ， ， ， ； （3）解：分别过点作的平行线交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ， 是的中线， 三点共线， 是平行四边形的对角线， ，， ， 由（2）②可得：， ， ，， ， ， ，即， ， ， 周长为：， 周长的最大值为． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行四边形的判定与性质，坐标与图形，两点间的距离公式，完全平方公式的运用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 4．（23-24八年级上·山东济南·期中）（一）问题提出 （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离，、两点间的距离分别是多少？ （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是多少？ （3）已知平面上的两点，，，，如何求，的距离． （二）问题探究 （1）求平面直角坐标系中轴上的两点、之间的距离，可以借助绝对值表示，对于轴上两点，、之间的距离． 结论：在平面直角坐标系中，如果、是轴上两点，它们对应的横坐标分别是，，则、两点间的距离　　；、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离　　． （2）如图1：平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，由勾股定理得　　；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离　　； （3）如图2，要求或的长度，可以转化为求或的斜边长，例如：从坐标系中发现：，所以，，所以由勾股定理得：．在图2中请用上面的方法求线段的长：　　；在图3中：设，，，，试用，，，表示：　　．    （三）拓展应用 试用以上所得结论解决如下问题：已知，． （1）直线与轴交于点，求线段的长． （2）为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形，则的坐标为 　　（不必写出解答过程，直接写出即可）． 【答案】（一）问题提出：（1），；（2）；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求解 （二）问题探究：（1），；（2）5，；（3）5，； （三）拓展应用：（1）；（2）或 【分析】（一）问题提出： （1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可； （2）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （二）探究问题： （1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可； （2）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题； （3）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题； （三）应用拓展： （1）利用图像法求出点坐标，利用前面问题中的结论即可解决问题； （2）作线段的垂直平分线交轴于，交轴于．，是等腰三角形 【详解】解：（一）问题提出： （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离为，、两点间的距离为； （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是； （3）已知平面上的两点，，，，构造直角三角形，如图所示：    利用勾股定理即可求，的距离； （二）探究问题： （1）根据题中定义即可得到，， 故答案为：，； （2）平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，，，由勾股定理得；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离， 故答案为：5，； （3），， ，， ； 在图3中，设，，，，试用，，，表示：，，， 故答案为：5，； （三）应用拓展： （1）如图2中，    观察图像可知， ， ； （2）作线段的垂直平分线交轴于，交轴于，，是等腰三角形．观察图像可知，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形综合题、两点间距离公式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，数形结合求解，属于综合创新题型． 【考点题型十】求坐标系中的图形面积 1．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上．    (1)画出关于x轴对称的图形并写出顶点，，的坐标； (2)求的面积； (3)已知P为y轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)见解析，，， (2)5 (3)或 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会利用轴对称解决最短问题． （1）利用轴对称的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围三个三角形面积即可； （3）设，构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，，，．    （2）解：的面积； （3）解：设，则有， 解得，或， 或． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点）的顶点A，C在平面直角坐标系中的坐标分别为，．    (1)在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系； (2)平面直角坐标系中画出关于y轴对称的．（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (3)的面积是 ． (4)在x轴上确定一个格点，使得为直角三角形，则满足条件的所有格点P的横坐标为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4 (4)1或 【分析】（1）利用A、C点坐标画出对应的直角坐标系； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征写出，，的坐标，然后描点即可； （3）利用矩形的面积减去3个顶点上的三角形面积即可求解； （4）根据题意作图，根据坐标特征写出点P的坐标． 本题考查了作图−轴对称变换−几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的． 【详解】（1）坐标系如图所示 （2）如图，为所求； （3）， 故答案为：4； （4）如图所示，P点为所求， 由图可知或， 故答案为：1或．    3．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）已知：在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)的面积是 ． (2)作出关于轴对称的三角形； (3)在轴上找到一点，使的值最小，在图中画出点． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称的性质．熟练掌握作轴对称图形，轴对称的性质是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）如图2，连接，与轴交于点，连接，则，，当三点共线时，的值最小，即点即为所求． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：如图1，即为所求； （3）解：如图2，点即为所求； 4．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标，点B的坐标，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． (1)的面积为________． (2)设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______．（用a表示） (3)如果的面积是的面积的2倍，P在Q的右侧，请直接写出此时P的坐标________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，及三角形的面积，熟练掌握关于x轴、y轴对称点的坐标是解题关键． （1）根据三角形面积公式即可求解； （2）关于y轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，计算即可； （3）当P在Q的右侧时，由的面积是的面积的2倍，直接求解即可． 【详解】（1）解：点A的坐标，点B的坐标， ， ． （2）点P为直线上任意一点， 点P的横坐标为a， 点Q是点P关于y轴的对称点， ， 则点Q坐标为． （3）P在Q的右侧，如图： 设点P坐标为，则点Q坐标为 则有， 解得：， 故点P坐标为． 【考点题型十一】点坐标的规律探索 1．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，点、点、点、点、…，按照这样的规律下去，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了规律探索，从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是，，，，…下标从奇数到奇数，加了3个单位；往右纵坐标是，，，，…下标从奇数到奇数，加了1个单位，由此即可推出坐标． 【详解】解：从表中可知，各点坐标规律是：往右横坐标依次是，，，，…， ∴下标从奇数到奇数，加了3个单位． 往右纵坐标是，，，，…， ∴下标从奇数到奇数，加了1个单位． ， ∴的横坐标为， 纵坐标为． ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，设一质点M自处向上运动1个单位，然后向左运动2个单位至处，再向下运动3个单位至处，再向右运动4个单位至处，再向上运动5个单位至处，…，如此继续运动下去，则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形变化−平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据第一象限中点的特征，探究规律，利用规律解决问题． 【详解】解：由题意， ∴向左移动2022个单位，即 ∴向左移动2023个单位，即 ∴ 故选：D． 3．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若点坐标是，则经过第2022次变换后，点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，坐标为， 点第二次关于轴对称后在第三象限，坐标为， 点第三次关于轴对称后在第四象限，坐标为， 点第四次关于轴对称后在第一象限，坐标为，即点回到原始位置， 每四次对称为一个循环组依次循环， ， 经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，观察图形得出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键． 4．（23-24八年级上·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头方向，每次移动一个单位长度，依次得到点，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标方面规律问题的解决能力，关键是能准确理解题意确定出点移动的规律．由题意得该点按6次一循环的规律移动，用2023除以6，再确定商和余数即可． 【详解】解：由题意该点按“下→左→上→上→左→下”的方向每6次一循环移动的规律移动，且每移动一个循环向左移动2个单位长度， ∵， ∴点的横坐标为，且点的纵坐标与的纵坐标相同都是， 即点的坐标是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司2 学科网（北京）股份有限公司 $$