江苏省海安高级中学2024-2025学年高二上学期期中学业质量监测数学试题

2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷 高二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若经过，两点的直线的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D.2 2.若直线与平行，则（ ） A. B. C. D.2 3.已知数列满足，且，则（ ） A. B.0 C.1 D.2 4.已知等差数列的首项为10，公差为，则数列的前项和的最大值为（ ） A. B.30 C.80 D.不存在 5.已知双曲线的离心率为2，一个焦点在抛物线的准线上，则的顶点到渐近线的距离为（ ） A. B. C. D.3 6.如图，是某心形二次曲线，则的方程可能为（ ） A. B. C. D. 7.已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是20，则（ ） A.5 B. C. D.10 8.已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，，使得为钝角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列结论正确的是（ ） A.直线的倾斜角的取值范围是 B.斜率之积为的两直线相互垂直 C.在两坐标轴上截距相等的直线斜率为 D.直线的一般式方程可以表示平面上任意一条直线 10.下列四个命题中，正确的是（ ） A.要唯一确定圆，只需给出圆上三点 B.要唯一确定抛物线，只需给出焦点和准线 C.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出椭圆上两点 D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线和一个焦点 11.设数列的前项和为，则数列为常数列（各项均为同一个常数的数列）的一个充分条件是（ ） A. B. C. D.， 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：__________. 13.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为__________. 14.已知抛物线的焦点为，为圆上的动点，点，则__________；若为上的动点，则的最小值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，. （1）若直线的斜率为1，求； （2）求证：. 16.（15分） 已知等差数列的前项和为，，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，若，，成等差数列，求并证明为等差数列. 17.（15分） 已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 18.（17分） 已知等轴双曲线的左､右焦点分别，，且焦距为，，分别是在第二象限和第一象限上的一点，且. （1）求的方程； （2）若直线的斜率为，求直线的斜率； （3）若四边形的面积为，求直线的方程. 19.（17分） 记等差数列的前项和为，公差为. （1）证明：是关于的不含常数项的二次函数； （2）等差数列的公差为，且. ①求的通项公式； ②记数列的前项和为，是否存在，，使得？若存在，求，；若不存在，请说明理由. 高二参考答案与评分建议 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1DACB AADD 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BD 10.ABD 11.ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案不唯一，， 13.7 14.； 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分） 15.解：（1）设，依题意，直线的方程为：. 与联立方程组并消去，得， 所以. 所以. （2）设直线的方程为：. 与联立方程组并消去，得. 所以. 所以 ， ， 所以. 16.解：（1）设等差数列的公差为. 因为，所以， 解得，所以. （2）由（1）知，， 所以. 因为成等差数列，所以， 即. 化简得，， 解得或. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以数列均为等差数列. 17.解：（1）连结. 因为线段的垂直平分线与交于点，所以. 丁是. 根据椭圆的定义，知点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆. 设焦距为，则. 又设椭圆的方程为：， 则，故. 所以的方程为. （2）由题意，知直线的斜率存在，不妨设的方程为：，则. 又设. 联立与并消去，得 ， 所以 又，则，故. 所以，解得. 所以的方程为. 18.解：（1）因为等轴双曲线的焦距为，所以， 又，所以，所以的方程：. （2）法1：延长，与分别交于点. 根据对称性，知，且. 所以四边形为平行四边形，且和均关于原点对称. 设，则，且. 于是， 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3. 法2：设，又设直线的方程为，由题意，. 直线与双曲线联立方程组消去，得， 则②， 因为，则，即，即， 即，化简得， 由①得，③， 由①③得， 则， 所以直线的斜率为3. （3）设直线的方程为：， 与联立方程组并消去，得的两根为. 结合（2）法1知，. 所以. 所以，解得或. 因为分别是在第二象限和第一象限上一点，所以不符合题意； 所以直线的方程为. 19.（17分） 证明：（1）依题意，等差数列的前项和 又因为，所以是关于的不含常数项的二次函数. （2）①法1：因为 ， 由（1）知，，故或. 由①知，，即，故或. 若，因为，所以，于是. 由①知，，所以. 又，故，即. 所以，从而. 若， 当时，由①知，，即， 所以，因为，所以. 所以，从而. 当时，则. 由①知，，即，故，这与矛盾； 综上，的通项公式为或. 法2：因为，则，故或 若，则 当时，，即， 因为，所以， 当时，，即，即，所以， 所以，所以； 若，则， 当时，，即，即①， 当时，，即，即② 由①②，得， 因为，所以，所以； 综上，的通项公式为或. 法3：因为，所以， 整理得，. 因为，所以 因为，由①得，. 将代入②③，整理得. 当时，； 当时，由，有， 因为，所以； 综上，的通项公式为或 ②由①知，或 若，此时各项都是整数，故必为整数，所以. 若 ①当为偶数时，设， 则， 整理得，， 经检验，只能解得 ②当为奇数时，设， 则由（1）知，， 整理得，，即， 此时不存在满足上式. 综上，存在，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $$