培优提升8 竖直面内圆周运动的临界问题 讲义 -2024-2025学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册

高一物理必修二培优提升系列 培优提升8 竖直面内圆周运动的临界问题 【专题解读】 两种模型对比 物理情景 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界 特征 FT＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 FN＝mg 过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 【典例剖析】 【典例】如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图.半径为R＝8m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点.过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱.已知水面宽度为s＝12m，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2.（结果可保留根号） （1）若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ （2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ （3）某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小. 答案　（1）4m/s　（2）15m/s　（3）4m/s 解析　（1）过山车恰好能过最高点时，只受重力作用，有mg＝m 则vB＝＝4m/s （2）过山车离开C点后做平抛运动，有h＝gt2 解得运动时间为t＝＝0.8s 故最大速度为vmax＝＝15m/s （3）在圆轨道最低点有FN－m'g＝m' 由牛顿第三定律得FN＝3m'g 解得vA＝＝4m/s 落入水中时竖直速度为vy＝gt＝8m/s 则落入水中时的速度为v＝＝4m/s. 【针对性训练】 1 . (2024年5月广东部分重点高中联考)如图所示，半径为R的球形大铁环竖直固定在铁板上，杂技演员骑摩托车在铁环内进行刺激而惊险的表演。摩托车以一定速度经过最低点时关闭引擎，在竖直平面内做圆周运动，铁板始终静止在地面上。假设铁环、铁板、杂技演员（包括摩托车）的质量均为m，杂技演员和摩托车整体可看作质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是 A.杂技演员经过最高点时的速度不能小于 B.地面和铁板之间始终没有摩擦力 C.当杂技演员经过最高点时的速度为时，铁板对地面的压力为零 D.杂技演员经过最高点时，铁板对地面的压力不小于2mg 【参考答案】.AC 【名师解析】杂技演员恰能经过最高点时，大铁环对杂技演员和摩托车整体的弹力为零，由重力提供向心力，则有，解得，即为杂技演员能经过最高点的最小速度，故A项正确；当杂技演员运动到与圆心等高点时，由弹力提供向心力，则杂技演员对铁环有水平向左或向右的作用力，因铁板始终静止在地面，故地面对铁板有水平向右或水平向左的静摩擦力，故B项错误；当杂技演员能经过最高点时，若铁板受到地面的支持力刚好为零，则杂技演员对圆环的最大压力等于铁环、铁板的重力之和，即，对杂技演员，有，解得，故C项正确；当杂技演员经过最高点时，支持力最小为零，仅由重力提供向心力，由以上分析和牛顿第三定律，可知杂技演员经过最高点时，铁板对地面的压力小于或等于，故D项错误。 2. 如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点的坐标为（0，－b）.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　B　） A.该小球的质量为bg B.小球运动的轨迹半径为 C.图线与横轴的交点处小球所受的合力为零 D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g 【参考答案】B 解析　小球在最高点时受到轻绳的拉力为F，则有F＋mg＝m，解得F＝m－mg，结合图乙可知mg＝b，即m＝，斜率为＝，解得R＝，故A错误，B正确；图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知an＝＝2g，故D错误. 3 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知杆长为R，不计空气阻力，则（　D　） A.当地的重力加速度大小为 B.小球的质量为 C.当v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D.当v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 【参考答案】D 解析　由图乙可知，当v2＝b时，杆对小球的弹力为0，有 mg＝m，则重力加速度g＝＝，故A错误；当小球速度v＜时，弹力为支持力，方向向上，由牛顿第二定律得 mg－F＝m，因此有F＝mg－m，此时图线的斜率为 －＝－，则m＝，故B错误；当v2＝c＞b时，杆对小球的弹力为拉力，方向向下，故C错误；当v2＝2b时，弹力方向向下，因此有mg＋F＝m，与v2＝b时相比较，得杆对小球弹力的大小为mg，故D正确. 4.如图所示，竖直面内有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在管道内做圆周运动，管道很细，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述正确的是（　CD　） A.v的最小值为 B.当v由零逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 C.当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 D.当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 【参考答案】CD 解析　小球在最高点时，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以v的最小值为零，故A错误.在最高点，当v＝时，根据牛顿第二定律得mg－FN＝，可得管道对小球的作用力FN＝0；当v＜时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得mg－FN＝m，当v由逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当v＞时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得mg＋FN＝m，当v由逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故B错误，C、D正确. 5．（11分）（2024年7月四川宜宾期末）如图所示，质量分别为m和的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，杆上距球P为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，当球P运动到最低点时速度大小为（忽略空气阻力，重力加速度为g），求此时： （1）杆对球P的作用力的大小； （2）固定轴O受到杆作用力的大小和方向。 解析．（11分） （1）当P球运动至最低点时，由牛顿第二定律可得： （2分） 解得： （1分） （2）P、Q同轴转动，相同可得： （2分） 设此时杆对O的作用力为F。以竖直向下为正方向，对Q由牛顿第二定律可得： （2分） 解得： （1分） 所以轻杆对球Q的作用力大小为，方向竖直向上 （1分） 固定轴O受到杆的作用力大小为：，方向竖直向上。 （2分） 6. (2024山西吕梁和孝义期末)一长为2L的轻杆的一端固定在水平光滑转轴O上，杆的中点与另一端各固定质量为m的小球A、B，系统可在竖直面内绕转轴O做圆周运动，运动到最高点时速度恰好为零，已知重力加速度为g，则（ ） A. 小球A经过最低点时的动能为 B. 该系统经过最低点时A、B两球的动能之比为 C. 小球B经过最低点时杆对B的弹力太小为 D. 小球A经过最低点时OA杆对A的弹力大小为 【答案】AC 【解析】 对AB组成的整体，在转动过程中，角速度相同，根据 可知 只有重力对系统做功，从最高点到最低点系统机械能守恒，由机械能守恒定律有 其中 ， 联立解得 ， 即 故A正确，B错误； C．小球B经过最低点时，杆的弹力F和小球B重力的合力提供向心力，即 解得 故C正确； D．小球A经过最低点时，OA杆对A的弹力、A的重力和AB杆对A的弹力的合力提供向心力，其中AB杆对A的弹力与AB杆对B的弹力F大小相等，可得 解得 故D错误。 7. （2024山东济南期末）如图所示，轻杆OA、轻杆AB与小球、小环通过铰链连接，O端用铰链固定在竖直转轴上，小环套在转轴上。开始时小环静止在转轴底部，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。已知小球和小环的质量均为m，轻杆长度均为L，转轴上O端与水平面之间的距离为，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 开始时小环对水平面的压力大小为 B. 开始时小环对水平面的压力大小为 C. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为 D. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为 【答案】AD 【解析】 小球的受力分析如图所示，则 小环的受力分析如图 根据牛顿第三定律，与为一对相互作用力，等大反向，则小环所受支持力为，即小环对地面的压力为，故A正确，B错误； CD．对小环进行受力分析，如图 解得 对小球进行受力分析，如图，与为相互作用力，竖直方向受力平衡 水平方向 合外力提供向心力 小球做圆周运动的半径为 小球的动能为 联立解得 故C错误，D正确。 8. （2024北京东城期末）如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B. 小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C. 若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D. 小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 【答案】C 【解析】 根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球运动到最高点时，若杆对球的作用力为零，则有 解得 可知，若小球运动的角速度 杆对球的作用力向下，若小球运动的角速度 杆对球的作用力向上，故A错误，C正确； B．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，则小球运动到水平位置A时，合力指向圆心，对小球受力分析可知，小球受重力和杆作用力，由平行四边形法则可知，杆对球的作用力不可能指向O点，故B错误； D．根据题意可知，小球做匀速圆周运动，小球通过最低点时，合力竖直向上，则杆对球的作用力一定向上，故D错误。 9. （2024海南海口市质检）如图所示，一圆轨道固定在竖直平面内，轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点，C为轨道上与圆心O等高的点。 质量为m的小球沿轨道外侧做完整的圆周运动，球除了受重力和圆轨道可能对其有弹力外，还始终受大小恒为F、方向始终指向圆心O 的外力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 则（　　） A. 球在A 点的最小速度为 B. 球从A运动到B过程中，受到的弹力逐渐增大 C. 球运动到C 点时受到轨道的弹力大小为F D. F的最小值为5mg 【答案】D 【解析】 ．小球沿轨道外侧运动，则过最高点A点时，最小速度可为零，此时支持力等于重力与引力之和，故A错误； B．球从A运动到B过程中，速度逐渐增大，所需向心力逐渐增大，弹力沿圆心与球的连线向外，则可知弹力逐渐减小，故B错误； C．当球过A点速度为零时，由A到C有 解得，故C错误； D．当球过A点速度为零时，做完整圆周运动F最小，则由A到B有 解得 Fmin=5mg 故D正确。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一物理必修二培优提升系列 培优提升8 竖直面内圆周运动的临界问题 【专题解读】 两种模型对比 物理情景 轻绳模型 轻杆模型 实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑管道中运动等 图示 最高点无支撑 最高点有支撑 受力 特征 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下或等于零 在最高点除重力外，物体受到的弹力方向向下、等于零或向上 受力 示意图 力学方程 mg＋FT＝m mg±FN＝m 临界 特征 FT＝0 mg＝m 即vmin＝ v＝0 即F向＝0 FN＝mg 过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0 【典例剖析】 【典例】如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图.半径为R＝8m的圆轨道竖直固定在离水面高h＝3.2m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点.过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点）高速行驶，先后会通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱.已知水面宽度为s＝12m，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2.（结果可保留根号） （1）若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ （2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ （3）某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小. 【针对性训练】 1 . (2024年5月广东部分重点高中联考)如图所示，半径为R的球形大铁环竖直固定在铁板上，杂技演员骑摩托车在铁环内进行刺激而惊险的表演。摩托车以一定速度经过最低点时关闭引擎，在竖直平面内做圆周运动，铁板始终静止在地面上。假设铁环、铁板、杂技演员（包括摩托车）的质量均为m，杂技演员和摩托车整体可看作质点，重力加速度为g，则下列说法正确的是 A.杂技演员经过最高点时的速度不能小于 B.地面和铁板之间始终没有摩擦力 C.当杂技演员经过最高点时的速度为时，铁板对地面的压力为零 D.杂技演员经过最高点时，铁板对地面的压力不小于2mg 2. 如图甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点的坐标为（0，－b）.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A.该小球的质量为bg B.小球运动的轨迹半径为 C.图线与横轴的交点处小球所受的合力为零 D.当v2＝a时，小球的向心加速度为g 3 如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球（可看成质点），让小球在竖直平面内做圆周运动.改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知杆长为R，不计空气阻力，则（　　） A.当地的重力加速度大小为 B.小球的质量为 C.当v2＝c时，杆对小球的弹力方向向上 D.当v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等 4.如图所示，竖直面内有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在管道内做圆周运动，管道很细，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述正确的是（　　） A.v的最小值为 B.当v由零逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 C.当v由逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大 D.当v由逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大 5．（11分）（2024年7月四川宜宾期末）如图所示，质量分别为m和的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为，杆上距球P为L处的点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球可在竖直面内转动，当球P运动到最低点时速度大小为（忽略空气阻力，重力加速度为g），求此时： （1）杆对球P的作用力的大小； （2）固定轴O受到杆作用力的大小和方向。 6. (2024山西吕梁和孝义期末)一长为2L的轻杆的一端固定在水平光滑转轴O上，杆的中点与另一端各固定质量为m的小球A、B，系统可在竖直面内绕转轴O做圆周运动，运动到最高点时速度恰好为零，已知重力加速度为g，则（ ） A. 小球A经过最低点时的动能为 B. 该系统经过最低点时A、B两球的动能之比为 C. 小球B经过最低点时杆对B的弹力太小为 D. 小球A经过最低点时OA杆对A的弹力大小为 7. （2024山东济南期末）如图所示，轻杆OA、轻杆AB与小球、小环通过铰链连接，O端用铰链固定在竖直转轴上，小环套在转轴上。开始时小环静止在转轴底部，转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。已知小球和小环的质量均为m，轻杆长度均为L，转轴上O端与水平面之间的距离为，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 开始时小环对水平面的压力大小为 B. 开始时小环对水平面的压力大小为 C. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为 D. 小环上升到与O端之间的距离为L时，小球的动能为 8. （2024北京东城期末）如图所示，一长为的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为的小球。使轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为的匀速圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A. 小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定向上 B. 小球运动到水平位置A时，杆对球的作用力指向O点 C. 若，小球通过最高点时，杆对球的作用力为零 D. 小球通过最低点时，杆对球的作用力可能向下 9. （2024海南海口市质检）如图所示，一圆轨道固定在竖直平面内，轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点，C为轨道上与圆心O等高的点。 质量为m的小球沿轨道外侧做完整的圆周运动，球除了受重力和圆轨道可能对其有弹力外，还始终受大小恒为F、方向始终指向圆心O 的外力作用，不计摩擦和空气阻力，重力加速度为g。 则（　　） A. 球在A 点的最小速度为 B. 球从A运动到B过程中，受到的弹力逐渐增大 C. 球运动到C 点时受到轨道的弹力大小为F D. F的最小值为5mg 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$