复习03 直线与圆的最值范围问题-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习03 直线与圆的最值范围问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 定点到圆上点的最值范围问题】 【题型2 圆上一点到定直线的最值范围问题】 【题型3 圆的切线长、圆切角的最值范围问题】 【题型4 周长面积的最值范围问题】 【题型5 有关向量的最值范围问题】 【题型6 斜率型、直线型的最值范围问题】 【题型7 距离型的最值范围问题】 知识点 1 ：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识点 2 ：距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 1．圆上的点到定点的距离问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线距离：已知直线与圆相离，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为 知识点 3 ：圆的弦长及切线长 （1）求切线长：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． （2）求弦长：由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 难点 1 ：利用代数式的几何意义求最值 1．形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2．形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3．形如，可以转化为动直线纵截距 难点 2 ：解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2．建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3．利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4．多与圆心联系，转化为圆心问题. 5．参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 题型归纳 【题型1 定点到圆上点的最值范围问题】 例1．若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将圆化为标准方程为， 故圆的圆心为，半径， 因为，故点在圆的内部， 且， 所以的取值范围为：. 故选：C 例2．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，因点满足，则点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 又直线经过定点， 由图知，要使点到直线的距离最大，只需使圆心到直线的距离最大， 即当且仅当轴时，点到直线的距离最大，为. （理由：如图，过点另作一条直线，过点作于点， 在中显然有，故当且仅当轴时，点到直线的距离最大）. 故选：B. 变式1-1．已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 【答案】B 【详解】因为，所以点在圆内， 圆心，半径，点到圆心的距离为， 所以的取值范围为，所以的值可能为7， 故选：B. 变式1-2．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 则， 当且仅当、、、四点共线（点在、两点之间）时，取等号， 所以的最小值为.    故选：C. 【点睛】结论点睛：若点是半径为的圆外的一点，则点到圆的上一点的距离的取值范围是. 变式1-3．若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以两直线垂直， 又直线过定点，直线过定点， 所以， 故交点的轨迹是以为直径的圆（挖去点）， 如图所示，其中圆心，半径为1， 所以线段的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是隐形圆问题，根据题意得到直线分别过定点和且垂直，推断出的轨迹是以为直径的圆（挖去点）是解决本题的关键. 【题型2 圆上一点到定直线的最值范围问题】 例3．若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 即直线与圆相离，又点在该圆上， 所以点到直线的距离的最小值为. 故选：A 例4．已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径， ， 又，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C.    变式2-1．已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，圆上的点到直线的距离可取到最大值，而， 所以，又圆的半径为2， 故圆上的点到直线的距离的最大值为． 故选：B. 变式2-2．已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 【答案】 【详解】根据题意画出圆，以及点的图象如图， 作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值， 为点到点的距离减圆的半径， 即， 故答案为：． 变式2-3．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，分别过定点，，且互相垂直，所以点P的轨迹是以为直径的圆（不含点），这个圆的圆心坐标为，半径为. 圆心到直线l距离为， 因此圆上的点到直线l距离最大值为，最小为，取得最小值时圆上点的坐标是，因此取值范围是. 故选：D 【题型3 圆的切线长、圆切角的最值范围问题】 例5．若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【详解】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 例6．已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则求的最大值即求最大值， 由题得圆心坐标，半径，设，则在中，，易知 ， 则最大时，最小， 设，，且， 则， 即时，，此时取得最大值，， 结合得此时，则. 故选：B. 变式3-1．已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D 变式3-2．圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】或 【详解】由可得，由可得 ，所以点在以为圆心，为半径的圆上， 其方程为．又点在直线上， 故直线与圆有公共点，所以， 解得，所以或． 故答案为：或 变式3-3．已知圆的半径为，圆的半径为，且，，点为圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、.若的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以，当线段的长度取最大值时，取最小值，即最小， 当线段的长度取最小值时，取最大值，即最大， 如图，连接， 直线与圆分别交于、两点， 当且仅当点与重合时，取最大值，当点与点重合时，取最小值， 且，， 由，得， 由，得， 所以，，整理可得， 故选：C. 【题型4 周长面积的最值范围问题】 例7．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，点C到直线l的距离， 依题意，，四边形周长， 当且仅当时取“=”，此时直线，由得点， 四边形的外接圆圆心为线段中点，半径，方程为. 故选：D 例8．已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 变式4-1．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 如图，圆的圆心到直线的距离为， 故弦,记点到直线的距离为， 则的面积，其范围即的范围. 由图知.当点为过点且与直线垂直的直线与圆的交点时，取到最大和最小.（即图中的点） 因圆心到直线的距离为，故的取值范围为， 则的面积的取值范围为，故. 故选：A． 变式4-2．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）由已知得， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为：. （2）若两直线都有斜率，可设直线AB的方程为，则直线CD的方程为， 由（1）的结论可知，轨迹是以点为圆心，半径长为2的圆． 到直线AB的距离，所以， 同理，， 所以． ， 当且仅当，即时，等号成立. 若AB、CD两直线中有一条斜率不存在，则另一条的斜率为0， 此时线段AB、CD的长分别为、4（或4、）， 所以． 综上所述，四边形ACBD的面积的最大值为7． 变式4-3．已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由：，得， 因为，故可得，解得，所以直线过定点. （2）假设直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧． 直线与圆交于，两点，则． 圆方程为，故其圆心坐标为，半径， 在△中，由余弦定理，解得， 设圆心到直线的距离为，则，即，解得； 又直线方程为：， 故有，整理得，解得， 所以，直线的方程为． （3）当时，圆心到的距离取得最大值，最大值为， 所以的取值范围为，又， 故面积为， 其中， 故当时，， 所以面积的最大值为． 【题型5 有关向量的最值范围问题】 例9．已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知:圆的圆心为，半径， 设中点为，则，且，可得， 又因为，可知为等腰直角三角形， 则，可得， 故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 即圆心到直线的距离，解得或.    故选：A 例10．已知在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，直线，若直线与曲线交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，因为，所以， 化简可得，所以的轨迹方程为， 所以，即为圆心在，半径为的圆， 因为与有两个不同交点， 所以，所以， 设的中点为，所以， 又因为， 所以， 又因为即为圆心到的距离， 所以，所以或， 又因为，所以， 故选：C. 变式5-1．已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，则圆心，， 设，且直线过定点， 所以，， ， 所以 . 故选：A 变式5-2．已知且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．5 【答案】D 【详解】令， 则，其中， 因为，则， 所以的最大值为. 故选：D 变式5-3．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，则，， 因为，整理可得， 即点P在以为圆心，半径的圆上， 可知两圆有公共点，则，即， 整理可得，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【题型6 斜率型、直线型的最值范围问题】 例11．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】表示圆心为，半径为2的圆， 表示过点和点直线的斜率， 如图所示：直角中，，，, 故，同理可得. 所以. 故选：B. 例12．（多选）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 变式6-1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得：， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的几何意义为该圆上的点与连线的斜率，    当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，则的最大值为. 故选：C. 变式6-2．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 【答案】BCD 【详解】因为，所以， 表示圆心为半径为的圆，设， 对于A，表示圆上的点与坐标原点连线的斜率，令，则， 所以当直线与圆相切于第一象限时，最大，此时， 所以，所以的最大值为，A错误； 对于B，表示圆上点到坐标原点距离的平方， 所以有，B正确； 对于C，设，所以，当直线与圆相切时， 取得最大或最小值，此时，圆心到直线的距离为半径，则， 解得，故，C正确； 对于D，表示圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 所以圆上点到直线的最大距离为, 所以，D正确. 故选：BCD 变式6-3．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】在方程中，用换方程不变，用换方程不变， 因此曲线关于x轴和y轴对称， 当，时，方程为，即， 方程表示的曲线如图（含原点）： 令，则表示过点的直线（不含点）， 观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大， 由圆心到直线的距离为得，，而，解得， 所以的最大值为 故选：D 【题型7 距离型的最值范围问题】 例13．已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 【详解】（1）由题可知， 设,得直线， 该直线与圆有交点即可，所以 圆心到直线的距离要小于等于半径即可， 有解得 即 所以的最大值为，最小值为 （2） 显然表示点到点的距离的平方， 即 已知在圆上，所以 显然， 所以 所以 所以 所以 所以的最大值为，最小值为. 例14．已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，因为，所以. 设为的中点，所以.所以点的轨迹方程为. 其轨迹是以为圆心，半径为的圆. 设点到直线的距离分别为， 所以， 所以. 因为点到直线的距离为， 所以，即， 所以.所以的取值范围为. 故选：A. 变式7-1．已知实数满足，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【详解】 由题意，可知在圆上， 由,可得,则, 因， 而和可理解为点到直线的距离和. 如图，取中点，连接,分别作于点，于点，于点， 则，且. 又,即点的轨迹方程为， 要使最大值，需使取最大值， 由图知，显然当线段经过圆心时，的值最大. 由点到直线的距离为， 故，此时， 故. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查距离公式的应用，等价转化、数形结合的思想，属于难题. 解题关键在于根据条件数形结合，将两个方程理解为单位圆上的两点，由条件得，将所求式理解为点到直线距离之和的倍，根据圆的性质和梯形中位线性质即可求得其最大值. 变式7-2．（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 【答案】AC 【详解】 由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间. 当与该曲线相切时，，解得， 则m的取值范围为. 当经过点时，，解得，则n的取值范围为. 故选：AC 变式7-3．已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 【答案】C 【详解】设与为圆上一点， 则，得，， 即为等腰直角三角形，设为的中点， 则，得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上， 故， 因为点到定点D的距离的最大值为， 因此的最大值为36. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将原问题化为，根据两点距离的几何意义求解即可. 过关检测 一、单选题 1．（2024-25高二上·江苏南通·期中）已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 因为，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆C:， 设的中点为， 因为为钝角，可知圆C在以为直径的圆内， 可得， 因为到直线的距离， 可知， 可得， 所以， 所以的取值范围是. 故选：D. 2．（2024-25高二上·湖北·期中）已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】由得，所以在以为圆心， 半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率， 设过的圆的切线方程为， 到直线的距离，解得或， 所以的最大值为. 故选：D 3．（2024-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，曲线表示以，为圆心，为半径的两个圆， 由，故此时两圆位置为外切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得，， 即图中直线的斜率为1，直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线斜率的取值范围为. 故选：A． 4．（2024-25高二上·江西·阶段练习）已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，，因为点是线段的中点，所以， 又，所以，即. 设，则，即， 所以点在圆上， 所以当直线与圆相切时，取得最大值，此时. 故选：C. 5．（2024-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，向量所在直线为OA（A为向量的终点），则，则设与直线OA垂直且与圆相切的直线为，所以圆心到直线的距离， 根据图形可知，当时投影最大，设此时与直线OA交于B， 易得，直线OA：，联立：，解得：， 所以，则向量在向量方向上投影的最大值为. 故选：B. 6．（2024-25高二上·福建漳州·期中）已知曲线，是曲线上一动点，则（   ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长为 C．的最大值为5 D．曲线上任意两点间的距离不大于4 【答案】B 【详解】当时，曲线的方程可化为， 代表以为圆心，为半径的圆，在轴右侧部分， 当时，曲线的方程可化为， 代表以为圆心，为半径的圆，在轴左侧部分， 所以曲线的图象如图所示， 对于A，由图可知曲线围成的图形有2条对称轴，故A错误； 对于B，曲线由2个圆组成，其周长为，故B正确； 对于C，到直线的距离，所以， 点到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的距离最大值为 所以最大值为， 故C错误； 对于D，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为两圆圆心距离加上两个半径，故D错误； 故选：B 7．（2024-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 【答案】B 【详解】设弦MN的中点为，由，得， 因为为MN的中点，，设向量与的夹角为，，又， 的最小值为， 故选：B. 二、多选题 8．（2024-25高二上·江苏常州·期中）已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 【答案】ABD 【详解】圆的圆心为，半径为， 因为，则点在圆外， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，当直线过圆心时，取最大值，且最大值为，B对； 对于C选项，, 当且仅当时，等号成立，即面积的最大值为，C错； 对于D选项，因为，当时，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，此时，直线与圆相离， 且此时，原点到直线的最大距离为， 由于直线与圆相交，故原点到直线的距离小于，D对. 故选：ABD. 9．（2024-25高二上·山西大同·期中）已知圆，为圆上一点，点，，则（    ） A．当最小时， B．当最大时， C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】由，知且半径为，如下图示， 当取得最大值或最小值时，直线AP与圆相切， 利用切线的性质，两种情况的切线长均为，A，B正确； 设，则点在直线上， 又在圆上，故直线与圆有公共点， 所以，即，解得，故C错误； 表示点与点距离的平方， 点与点的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 10．（2024-25高二上·福建泉州·期中）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 【答案】ABD 【详解】设，又，，且， ， 化简得：，， 轨迹为是为圆心，半径的圆， 对于A，到直线的距离为， 所以上的点到直线的最小距离为，故A正确； 对于B，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故B正确； 对于C，令，即， 到直线的距离为， 由题意，即，解得， 的最小值是，故C错误； 对于D，记圆，其圆心为，半径为， 圆与有且只有两条公切线，两圆相交， 所以，即，解得，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 11．（2024-25高二上·广东汕头·期中）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . 【答案】 【详解】由圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等可知，不妨设点在轴上方时， 由可得，又，所以， 设圆的半径为，所以在中，，解得， 所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆中所对应的优弧，不包括断点， 又对称性可得轴下方也满足，图形如下： 可得点的轨迹方程为， 当时，直线方程为， 联立，解得， 由对称性可得， 所以， 当时，设，由对称性可得， 所以， 由几何意义可得表示点到原点距离的平方，所以的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能根据圆内同弦所对应的同侧的圆周角相等的到点的轨迹方程. 12．（2024高三·福建厦门 期中）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设，则，， 当时，最小，此时， 从而 ， 当且仅当时，等号成立． 所以的最小值为. 故答案为： 13．（2024-25高二上·陕西·期中）已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径为， 设，可知直线与圆有公共点， 则，解得， 所以的最大值是为. 故答案为：. 四、解答题 14．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)四边形的面积的最大值为6，最小值为 【详解】（1）因为圆心在直线，设， 由题意可知：，即，解得， 即圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为，可知点在圆内， 设弦，的中点分别为弦，， 由题意可知：为矩形，则， 即，可得， 且，， 则四边形的面积， 且，即， 当，即时，取到最大值6； 当或，即或时，取到最小值； 所以四边形的面积的最大值为6，最小值为. 15．（2024-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由，即， 设直线，即该直线与圆有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得，则． （2）设的坐标分别为，， 将直线代入，整理，得， 则，，且，即， 当为锐角时， ，解得，又， 综上，可得的取值范围为． 16．（2024-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最小值为，点的坐标为 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为， 根据题意可得，即， 解得，故圆心为，该圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. （2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得， 又因为，， 则，且，， 所以，四边形面积， 当时，取最小值，则四边形面积最小， 因为直线的斜率为，则直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 由得，即点的坐标为， 此时，则四边形面积的最小值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习03 直线与圆的最值范围问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 定点到圆上点的最值范围问题】 【题型2 圆上一点到定直线的最值范围问题】 【题型3 圆的切线长、圆切角的最值范围问题】 【题型4 周长面积的最值范围问题】 【题型5 有关向量的最值范围问题】 【题型6 斜率型、直线型的最值范围问题】 【题型7 距离型的最值范围问题】 知识点 1 ：直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角 （1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为． （2）范围：直线l倾斜角的范围是 2．斜率公式 （1）若直线l的倾斜角90°，则斜率． （2）在直线l上，且，则直线l的斜率． 知识点 2 ：距离问题 条件 距离公式 点之间的距离 点到直线的距离 1．圆上的点到定点的距离问题：一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值. 2．圆上的点到直线距离：已知直线与圆相离，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为 知识点 3 ：圆的弦长及切线长 （1）求切线长：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题． （2）求弦长：由于半径r、弦长距d、弦长l的一半构成直角三角形，所以利用求解 难点 1 ：利用代数式的几何意义求最值 1．形如，可以转化为过点和点的动直线斜率； 2．形如，可以转化为点和点的距离的平方； 3．形如，可以转化为动直线纵截距 难点 2 ：解决与圆有关的最值与范围问题的常用方法 1．数形结合法：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解. 2．建立函数关系求最值：根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式，然后根据关系的特点选用参数法、配方法、 判别式法等进行求解. 3．利用基本不等式求解最值：如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征，如或者的表达式求最值，常常利用题设条件建立两个变量的等量关系，进而求解最值.同时需要注意，“一正二定三相等”的验证. 4．多与圆心联系，转化为圆心问题. 5．参数方程：进行三角换元，通过参数方程，进行求解. 题型归纳 【题型1 定点到圆上点的最值范围问题】 例1．若为圆上任意一点，点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2．已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．已知点在圆上，点，则的值可能为（   ） A．1 B．7 C．13 D．15 变式1-2．已知圆.若为直线上的动点，是圆上的动点，定点，则的最小值（    ） A． B． C． D． 变式1-3．若直线与直线交于点，则到坐标原点距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型2 圆上一点到定直线的最值范围问题】 例3．若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 例4．已知点O是坐标原点，点Q是圆 上的动点，点在直线上，则|的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 变式2-1．已知直线恒过点，圆，则圆上的点到直线的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式2-2．已知圆 上一动点A和定点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 变式2-3．已知直线与直线的交点为P，则点P到直线距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 圆的切线长、圆切角的最值范围问题】 例5．若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 例6．已知P为抛物线上的一动点，过P作圆的切线，切点分别为A，B，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式3-1．已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式3-2．圆，直线，若直线上存在点，过点作圆的两条切线，切点是，使得，则实数的取值范围是 ． 变式3-3．已知圆的半径为，圆的半径为，且，，点为圆上的动点，过点作圆的切线，切点分别为、.若的最小值为，最大值为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型4 周长面积的最值范围问题】 例7．已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形周长取最小值时，四边形的外接圆方程为（    ） A． B． C． D． 例8．已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 变式4-1．在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于点，动点在圆上运动，若的面积的取值范围为，则的值为（   ） A． B．1 C． D． 变式4-2．已知动点与点的距离是它与原点的距离的2倍． (1)求动点的轨迹的方程； (2)经过原点的两条互相垂直的直线分别与轨迹相交于，两点和，两点，求四边形ACBD的面积的最大值． 变式4-3．已知，直线：与圆：交于，两点． (1)求证：直线过定点； (2)若直线将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧，求直线的方程； (3)求面积的最大值． 【题型5 有关向量的最值范围问题】 例9．已知，是圆上两点，且，若直线上存在点使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10．已知在平面直角坐标系中，，，点满足.设点的轨迹为曲线，直线，若直线与曲线交于不同的两点，是坐标原点，且有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知直线与圆的交点为、，点是圆上一动点，设点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式5-2．已知且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D．5 变式5-3．已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是 . 【题型6 斜率型、直线型的最值范围问题】 例11．已知实数，满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12．（多选）已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 变式6-1．已知实数满足，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为5 变式6-3．已知实数x，y满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【题型7 距离型的最值范围问题】 例13．已知为圆C：上任意一点， (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值． 例14．已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知实数满足，，则的最大值为（    ） A． B．4 C． D．8 变式7-2．（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（    ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 变式7-3．已知，且，则的最大值为（    ） A．9 B．12 C．36 D．48 过关检测 一、单选题 1．（2024-25高二上·江苏南通·期中）已知是圆的一条弦，，是的中点.当弦在圆上运动时，直线上总存在两点，使得为钝角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·湖北·期中）已知实数，满足方程，则的最大值为（   ） A． B． C．0 D． 3．（2024-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知曲线的方程为，若经过点的直线l与曲线有四个交点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024-25高二上·江西·阶段练习）已知圆，，，，是圆上的动点，且，点是线段的中点，则当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知点为圆上动点，为坐标原点，则向量在向量方向上投影的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024-25高二上·福建漳州·期中）已知曲线，是曲线上一动点，则（   ） A．曲线围成的图形有4条对称轴 B．曲线围成的图形的周长为 C．的最大值为5 D．曲线上任意两点间的距离不大于4 7．（2024-25高二上·安徽宿州·期中）已知是圆O：的直径，M，N是圆O上两点，且，则的最小值为（   ） A． B．-8 C． D．-4 二、多选题 8．（2024-25高二上·江苏常州·期中）已知过点的直线与圆交于、两点，为坐标原点，则（   ） A． B．的最大值为 C．面积的最大值为 D．点到直线的距离小于 9．（2024-25高二上·山西大同·期中）已知圆，为圆上一点，点，，则（    ） A．当最小时， B．当最大时， C．的取值范围为 D．的最小值为 10．（2024-25高二上·福建泉州·期中）已知直角坐标系中，，满足的点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ） A．上的点到直线的最小距离为 B．若点在上，则的最小值是 C．若点在上，则的最小值是 D．圆与有且只有两条公切线，则的取值范围是 三、填空题 11．（2024-25高二上·广东汕头·期中）已知两点，动点满足，直线与动点的轨迹交于两点.当时， ；当时，的最小值为 . 12．（2024高三·福建厦门 期中）已知点是直线上的一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 . 13．（2024-25高二上·陕西·期中）已知点是圆上任意一点.则的最大值是 . 四、解答题 14．（2024-25高二上·重庆·阶段练习）圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)过点作圆的相互重直的两条弦，，求四边形的面积的最大值与最小值． 15．（2024-25高二上·湖北武汉·期中）已知满足圆的方程. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于不同的两点，当为锐角时，求实数的取值范围. 16．（2024-25高二上·山东泰安·期中）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$