复习02 均值不等式求最值（七大题型） -【寒假自学课】2025年高一数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习02 均值不等式求最值 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直接法求最值】 【题型2 配凑法求最值】 【题型3 “1”的代换求最值】 【题型4 “1”的代换结合配凑求最值】 【题型5 消元法求最值】 【题型6 有和有积求最值】 【题型7 多次均值不等式求最值】 知识点 1 ：两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点 2 ：均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 难点 1 ：配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用均值不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值. 难点 2 ：“1”的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用均值不等式求解最值． 难点 3 ：条件等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 难点 4 ：消元法求最值 从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用均值不等式求解注意所保留变量的取值范围 题型归纳 【题型1 直接法求最值】 例1．已知第一象限的点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由第一象限的点在一次函数的图象上， 可得，且， 由，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 例2．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，则， 当且仅当，即时取得等号. 故选：C 变式1-1．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：D 变式1-2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【详解】， 当切仅当即时取等号. 故选：A 变式1-3．已知长方形的周长为8，则其面积有最 值（大，小），且最值为 . 【答案】 大 【详解】设长方形的长为，宽为，依题意，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以长方形的面积有最大值，且最大值为. 故答案为：大； 【题型2 配凑法求最值】 例3．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是3. 故选：C. 例4．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数（）的最小值为， 故选：B 变式2-1．已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【详解】因为，则， 则 ， 当且仅当，即时取等． 故选：A． 变式2-2．若，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故答案为：4 变式2-3．已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，可得， 且，得， 当且仅当，即时取等号， 因此，所以的最大值为. 故选：C. 【题型3 “1”的代换求最值】 例5．已知实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故答案为：. 例6．已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为，所以, 又因为， 当且仅当时取最小值9， 所以的最小值为5. 故选：C. 变式3-1．已知，则的最小值为 ． 【答案】16 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 变式3-2．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】因为正数满足，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 变式3-3．若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是 ． 【答案】9 【详解】由正数满足，得， 则，当且仅当时取等号， 由使恒成立，得， 所以实数的最大值是9. 故答案为：9 【题型4 “1”的代换结合配凑求最值】 例7．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， ，故， ， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D 例8．已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【详解】因为，则， 则由题意得， ， 当且仅当，即时取等号． 故选：B． 变式4-1．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 【答案】C 【详解】，且，， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 即的最小值为. 故选：C． 变式4-2．若，且，设，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为： 变式4-3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，且，则， 所以， 当且仅当时，即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 【题型5 消元法求最值】 例9．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则， 则. 当且仅当，结合，， 即，时取等号. 故选：A 例10．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【详解】由题设，又，，故，则， 所以，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 变式5-1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【详解】由，可得，故， 则， 当且仅当，时取等号，故目标式的最小值为9. 故选：A 变式5-2．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 即， 当且仅当，取到等号， 故选：C. 变式5-3．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】 【详解】显然（否则矛盾），从而， 所以， 当且仅当等号成立， 综上所述，的最小值为. 故答案为：. 【题型6 有和有积求最值】 例11．若，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且，所以， 即，即，解得或（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：C 例12．（多选）已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 【答案】BD 【详解】因为， 所以，解得（负值已舍去），所以， 当且仅当，即时，的最小值取到，故A错误； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值为9，故B正确； ， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故C错误； 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BD 变式6-1．（多选）若，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（）， 所以可变形为，， 解得， 当且仅当时，， 当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为， 解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 由可变形为，所以，所以D错误. 故选：BC. 变式6-2．（多选）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，解得， 当且仅当时等号成立，有最大值，最大值为18，选项A正确； 对于B，当时，，则， 所以，即， 当且仅当时时有最小值，最小值为，选项B正确； 对于C，当时，， 设，则化为， 即， 因为关于的方程有解， 所以，解得， 所以没有最大值，选项C错误； 对于D，当时，， 则，当且仅当时等号成立， 有最小值，最小值为，选项D正确． 故选：ABD． 变式6-3．（多选）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【答案】AD 【详解】对于A：因为，所以，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为9，故A正确； 对于B：，令，则，解得（舍），所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故B不正确； 对于C：因为，由选项A可知，，所以，当且仅当时取等，所以有最小值18，C不正确； 对于D：由可得，， 所以，当且仅当即时取等号，所以D正确. 故选：AD. 【题型7 多次均值不等式求最值】 例13．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则的最小值为 ． 【答案】12 【详解】∵a＞b＞0，且a＋b＝1， ∴， 当且仅当且，即时，等号同时取到， 故答案为：12 例14．已知，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 / 【详解】因为，得到， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故答案为：，. 变式7-1．设，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以（当且仅当时取等号）， 所以， 所以，（当且仅当，即时取等号）. 故答案为：D 变式7-2．若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】4 【详解】因为 所以 当且仅当即或时取“”. 故答案为：4. 变式7-3．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由题设， 当且仅当，即时第一个等号成立， 当且仅当，即时第二个等号成立， 综上，时目标式有最小值为. 故答案为： 过关检测 一、单选题 1．（2023-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】解：因为， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 故选：A 2．（2024-25高一上·天津和平·期中）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】A 【详解】对于AC选项，因为，则，由均值不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为，A对C错； 对于BD选项，因为，则， 由均值不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立， 所以，即没有最小值，BD都错. 故选：A. 3．（2023-24高一上·云南文山·期中）若，，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．18 D．24 【答案】A 【详解】，，， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时的最小值为8. 故选：A． 4．（2023-24高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意， ，当且仅当，即时取等号. 故选：B 5．（2023-24高一上·云南大理·期中）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， ， 当且仅当，即，时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为． 故选：D. 6．（2023-24高一上·安徽·期中）已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【详解】方法一：因为，，则由均值不等式可得 ， 解得，当且仅当，时，等号成立； 方法二：由原式变形得，，则， 所以，令，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，无最大值； 故选：. 7．（2023-24高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，， 当且仅当时，即，时，等号成立． 故选：B． 8．（2023-24高一上·广东茂名·期中）已知正实数满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：⸪是正数，⸫，当且仅到时等号成立. 即，，⸫， 因为对任意恒成立，所以有，解得. 故选:A 二、多选题 9．（2024-25高三上·湖南·期中）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为，则，当且仅当， 即时取等号，故选项A正确； 对于选项B：， 当且仅当，即时取等号，故选项B错误； 对于选项C：由选项A可知，所以， 当且仅当，即时取等号，故选项C正确； 对于选项D：因为，当且仅当，即时取等号，这与x，y均为正数矛盾，故，故选项D错误. 故选：AC. 10．（2023-24高三上·福建福州·期中）已知x、y都是正数，则（    ） A． B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 【答案】BC 【详解】对于A，，则，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，解得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，当时，，D错误. 故选：BC 11．（2023-24高一上·陕西咸阳·期中）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【详解】解：由，得，所以， 整理得，解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，A正确； 由，得，即， 解得（舍去）， 当且仅当时，取得等号，所以的最小值为，B错误； 由，得，所以，解得，C正确； ， ，当且仅当，即时，取得等号，D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（2023-24高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 【答案】 【详解】因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故答案为： 13．（2023-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】7 【详解】解：由可知：， 当且仅当，即，时，等式成立． ， 即， 当，时，的最小值是7． 故答案为：7. 14．（2024-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】任意的正实数，，，满足， 所以 ， 由于，为正实数， 故由均值不等式得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为16． 故答案为：16． 四、解答题 15．（2023-24高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为，所以，解得， 则的最大值是4． （2）因为，所以． 因为，，所以，，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以，所以， 则，即的最小值是 16．（2023-24高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)长和宽分别为时，面积取得最大值. 【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形， 所以. （2）依题意，，由（1）知， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值. 17．（2023-24高一上·北京·期中）已知关于y的二次方程的两根为， (1)计算和； (2)若，化简T并求其最大值． 【答案】(1)， (2)化简见解析，最大值为3 【详解】（1）的两根为 故 （2） 由于，且对勾函数在单调递增，故 故,当取等号， 则的最大值为3. 18．（2023-24高一上·河北衡水·阶段练习）（1）已知，求的最小值． （2）若正数x，y满足， ①的最小值． ②求的最小值． 【答案】（1）4；（2）①；②36. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立. （2）①由可得， 则. 当且仅当，又， 即时取等号. ②由结合均值不等式可得： ，又为正数， 则，当且仅当，即时取等号； 19．（2023-24高一上·浙江台州·期中）已知正实数、和实数满足. (1)若，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，则， 又因为、为正实数，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. （2）因为正实数、和实数满足， 当时，则，此时的最大值为； 当时，即当时， ， 可得，即，不合乎题意； 当时，即当时， ， 若存在最小值，则，可得，即时， 则，，此时存在最大值. 综上所述，若存在最大值，则的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习02 均值不等式求最值 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 直接法求最值】 【题型2 配凑法求最值】 【题型3 “1”的代换求最值】 【题型4 “1”的代换结合配凑求最值】 【题型5 消元法求最值】 【题型6 有和有积求最值】 【题型7 多次均值不等式求最值】 知识点 1 ：两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 均值不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 均值不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 知识点 2 ：均值不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用均值不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 难点 1 ：配凑法求最值 （1）添项配凑出“和为定值”或“积为定值”，使用均值不等式； （2）形如的分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开即化为，再利用不等式求最值. 难点 2 ：“1”的代换求最值 出现分式相加模型，可进行以下步骤： ①根据已知条件或者利用分母得到“1”的表达式； ②把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘，进而构造和的形式，利用均值不等式求解最值． 难点 3 ：条件等式有和有积求最值 （1）有和有积无常数可以同除“积”，得到“1”的代换型； （2）寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用均值不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值 难点 4 ：消元法求最值 从简化问题的角度来思考,消去一个变量,转化为只含有一个变量的函数,然后转化为函数的最值求解，有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用均值不等式求解注意所保留变量的取值范围 题型归纳 【题型1 直接法求最值】 例1．已知第一象限的点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 例2．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C． D． 变式1-1．已知，为正实数，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 变式1-3．已知长方形的周长为8，则其面积有最 值（大，小），且最值为 . 【题型2 配凑法求最值】 例3．已知，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例4．函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知，则的最大值为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 变式2-2．若，则的最小值为 . 变式2-3．已知，，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C． D． 【题型3 “1”的代换求最值】 例5．已知实数满足，则的最小值为 . 例6．已知，且，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式3-1．已知，则的最小值为 ． 变式3-2．已知正数x，y满足，则的最小值为 ． 变式3-3．若正数满足，则使恒成立的实数的最大值是 ． 【题型4 “1”的代换结合配凑求最值】 例7．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例8．已知，且，则的最小值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 变式4-1．已知且，则的最小值为（    ） A． B．7 C．15 D． 变式4-2．若，且，设，则的最小值为 . 变式4-3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5 消元法求最值】 例9．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 例10．已知，，，则的最小值为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 变式5-1．已知正实数x，y满足，则的最小值为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 变式5-2．已知，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式5-3．已知，，且，则的最小值为 . 【题型6 有和有积求最值】 例11．若，，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例12．（多选）已知，则下列结论正确的有（   ） A．的最小值为4 B．的最小值为9 C．的最小值为10 D．的最小值为128 变式6-1．（多选）若，满足，则（    ） A． B． C． D． 变式6-2．（多选）若实数a， b满足 则下列说法正确的为（   ） A．当时，最大值为 B．当时， 最小值为 C．当时， 有最大值 D．当时，最小值 变式6-3．（多选）已知实数，，且满足，则（     ） A．的最小值为9 B．的最小值为7 C．的最大值为18 D．的最小值为1 【题型7 多次均值不等式求最值】 例13．已知a＞b＞0，且a＋b＝1，则的最小值为 ． 例14．已知，则的最小值为 ，此时 . 变式7-1．设，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2．若实数，满足，则的最小值为 . 变式7-3．已知，，则的最小值为 . 过关检测 一、单选题 1．（2023-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024-25高一上·天津和平·期中）若，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 3．（2023-24高一上·云南文山·期中）若，，，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．18 D．24 4．（2023-24高一上·浙江温州·期中）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023-24高一上·云南大理·期中）已知实数满足，且，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．（2023-24高一上·安徽·期中）已知，，，则（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 7．（2023-24高一上·湖北·期中）设正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（2023-24高一上·广东茂名·期中）已知正实数满足，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024-25高三上·湖南·期中）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．（2023-24高三上·福建福州·期中）已知x、y都是正数，则（    ） A． B．若，则的最大值为2 C．的最大值为 D． 11．（2023-24高一上·陕西咸阳·期中）已知，，且，则（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C． D．的最小值为 三、填空题 12．（2023-24高一上·上海宝山·期中）当时，的最小值是 . 13．（2023-24高一上·湖南长沙·阶段练习）已知正实数，满足，则的最小值是 ． 14．（2024-25高三上·浙江宁波·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 四、解答题 15．（2023-24高一上·广西·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 16．（2023-24高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为， (1)用、表示文字宣传区域面积和； (2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？ 17．（2023-24高一上·北京·期中）已知关于y的二次方程的两根为， (1)计算和； (2)若，化简T并求其最大值． 18．（2023-24高一上·河北衡水·阶段练习）（1）已知，求的最小值． （2）若正数x，y满足， ①的最小值． ②求的最小值． 19．（2023-24高一上·浙江台州·期中）已知正实数、和实数满足. (1)若，求的最小值； (2)若存在最大值，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$