精品解析：上海市奉贤区2024-2025学年上学期九年级数学学科期中测试题

2024学年第一学期九年级数学学科 期中测试题 满分150分，考试时间100分钟，出卷人：胡永茂 2024.11 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 2. 在中，．下列四个选项，正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键． 3. 已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例，进而依据对应边成比例即可判定DE∥AB． 【详解】解：如图，若使线段DE∥AB，则其对应边必成比例， 即＝，＝，故选项A、B可判定DE∥AB； ＝，即＝，故选项C可判定DE∥AB； 而由＝不能判断DE∥AB，故D选项答案错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论，熟练掌握该知识是解题的关键． 4. 点在线段上，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键. 根据平面向量的线性运算法则，即可解题． 【详解】解：点在线段上，如果，， ， 与方向相同， ， 故选：A． 5. 在下列四个三角形中，与图中相似的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：令小正方形边长为1，则BC=2，AC=4，即BC：AC=1：2，且∠C=90°， A选项中直角边分别为2，3，直角边之比为2：3，错误； B选项中直角边分别为，，直角边之比也为1：2，正确； C选项中直角边分别为，，直角边之比为1：1，错误； D选项不是直角三角形，错误. 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 6. 如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知是等腰直角三角形，设，可用含的式子表示的长，再根据以为圆心，长为半径作弧，可知的长，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，是等腰直角三角形，设， ∴， ∵以为圆心，长为半径作弧，交线段于点， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查作图求线段的比值，理解题意，找出线段之间的大小关系是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了比例中项，掌握比例中项的定义是解题的关键． 根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项． 【详解】解：线段c是a、b的比例中项， ， 解得：， 又线段是正数， ． 故答案为：8． 8. 中，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 9. 已知，线段，是的黄金分割点，且，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，利用黄金分割的定义计算即可，若是的黄金分割点，且，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 【详解】解：线段，C是的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离__________米. 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查坡度、勾股定理，根据坡度的定义可知，设，则，再用勾股定理解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得（负值舍去）， ， 故答案为：24． 11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是___． 【答案】5 【解析】 【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出斜边的中线的长，根据三角形的重心的性质计算即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9， ∴AB＝＝15， 则斜边AB上的中线为：， ∴重心G到C点的距离是：×＝5， 故答案为：5． 【点睛】此题考查勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形重心的性质，熟记各性质是解题的关键． 12. 如图，，若，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键在于求出的长，根据题意证明利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ， 解得， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，关键是根据平行四边形的性质，证明，进而列出比例关系即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，则， ∵ ∴， 故答案为：． 14. 已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 先证明，再把数值代入进行计算，即可求解． 【详解】解：∵， ， ，即， ， 故答案为：． 15. 如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量__________.（用向量、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 根据题意得：，，，， ，， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，是斜边上的高，若，则__________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】此题考查的是锐角三角函数的定义及互余角的三角函数值，正确得出各边之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：如图：∵垂足为，， 令，，则， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案. 【详解】解：如图， ∵EF是梯形的比例中线， ∴， ∴， ∵AD//BC， ∴梯形ADFE相似与梯形EFCB， ∴； 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质. 18. 如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为___． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等，设，则，利用勾股定理解求出x，再证，根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，， ，，，， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，， ，， ，， ， 又， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值分别化简后再计算加减法． 【详解】 ， ． 【点睛】此题考查计算能力，掌握算术平方根的性质，负整数指数幂的性质，立方根的性质，特殊角的三角函数值是解题的关键． 20. 已知：，且，求、、的值． 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，以及一元一次方程的运用，根据题意设，则，，再结合建立方程求解，即可解题． 【详解】解：， 设，则，， ， ， 解得， ，，． 21. 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设． （1）___________（用向量表示）； （2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由，经过的重心，可得，即可求得； （2）过点B作，在上截取，连接，即为所求． 【小问1详解】 解：∵，经过的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 如图：过点B作，在上截取，连接，即为所求． 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键是熟练掌握平面向量的运算法则． 22. 如图，已知中，，，是的中点，于点，与的延长线交于点． （1）求的正切值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由得到是等腰三角形，由三线合一得到，由勾股定理求得，根据正切的定义即可得到答案； （2）由，得到，由是的中点，得到是的中位线，求得，由得到，求得，得到，即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， 是等腰三角形， 又， ． 在中，， ． 【小问2详解】 解：，， ， ∴， 又是的中点， ∴， ∴， 是的中位线， ，． ． ，， ． ，即， 解得． ． ． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一，三角函数的定义，勾股定理等知识，熟练掌握相关定理是解题的关键． 23. 如图，已知在中，是上的一点，且 （1）求证：； （2）在图中画的平分线，分别交边、于点、，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由，得，即可证明结论； （2）由角平分线的性质及三角形的面积可证得，根据，得，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：画出的平分线，如图所示， 设点到，的距离分别为，，点到的距离为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又由（1）可知，，得， ∴， ∴． 24. 已知：如图，在中，是斜边的中线，过点M作的垂线与边和的延长线分别交于点D和点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵在中，是斜边的中线， ∴， ∴， ， ， ， ， ； （2）9． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及正切的理解等知识， （1）由在中，是斜边的中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可得，即可证得，继而证得，然后由相似三角形的对应边成比例，证得； （2）由，可得在中，，易证得，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ∴在中，， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 25. 如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 （1）当是的中点时，求证：； （2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 【答案】（1） ∵，为的中点， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）存在，PF的长度不变， （3）能相似， 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键． （1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可； （2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解； （3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的长度不变，理由如下： ∵， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 连接，过点作，垂足为，如图所示： ∴，， 由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴当时（均为钝角），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学学科 期中测试题 满分150分，考试时间100分钟，出卷人：胡永茂 2024.11 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共25题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1. 下列各组线段中，能成比例线段的一组是（ ） A. 2，3，4，6 B. 1，2，3，4 C. 2，3，5，6 D. 3，4，5，6 2. 在中，．下列四个选项，正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 已知△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，下列各式中，不能判断DE∥AB的是（　　） A. B. C. D. 4. 点在线段上，如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 5. 在下列四个三角形中，与图中相似的是（） A. B. C. D. 6. 如图，以为斜边作等腰直角三角形，再以为圆心，长为半径作弧，交线段于点，那么等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7. 已知线段，，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是 _____． 8. 中，若，则________． 9. 已知，线段，是的黄金分割点，且，则___． 10. 如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离__________米. 11. 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，则它的重心G到C点的距离是___． 12. 如图，，若，，，则__________． 13. 如图，在中，是延长线上的一点，与边相交于点，如果，那么的值为____． 14. 已知点D、E分别在的边上，且，若，则________． 15. 如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量__________.（用向量、的式子表示） 16. 如图，在中，，是斜边上的高，若，则__________． 17. 平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么=_____． 18. 如图，将矩形纸片沿折叠，点恰好落在边的中点处，点落在点处，交边于点．若，，则的值为___． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 已知：，且，求、、的值． 21. 如图，已知中，点D、E分别在边和上，，且经过的重心，设． （1）___________（用向量表示）； （2）求作：．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 22. 如图，已知中，，，是的中点，于点，与的延长线交于点． （1）求的正切值； （2）求的值． 23. 如图，已知在中，是上的一点，且 （1）求证：； （2）在图中画的平分线，分别交边、于点、，求证：． 24. 已知：如图，在中，是斜边的中线，过点M作的垂线与边和的延长线分别交于点D和点E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）． 　　 （1）当是的中点时，求证：； （2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $