2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷03

2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，，，，，若，则实数　2　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：集合，，，，，，， 则，解得或， 当时，，，，，，，不符合题意， 当时，，1，，，1，，符合题意， 故． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题． 2．若向量，，则　　． 【分析】根据平面向量的坐标运算计算即可． 【解答】解：向量，， 所以，，． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题． 3．不等式的解集是 　　． 【分析】去掉绝对值符号，求解即可． 【解答】解：不等式化为，可得，所以不等式的解集为． 故答案为：． 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，是基础题． 4．圆的半径大小为　2　． 【分析】已知能求出圆的标准方程，即可求解圆的半径． 【解答】解：圆化为标准方程为， 圆的半径为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的半径的求法，是基础题． 5．已知，且，则　　． 【分析】根据条件及三角函数的诱导公式得出，然后根据同角三角函数的基本关系得出，然后可求出，根据两角和的正切公式即可求出答案． 【解答】解：，且， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，考查了计算能力，属于基础题． 6．在的展开式中，的系数为 　40　． 【分析】先求出在的展开式的通项公式，令的系数为2，即可求解． 【解答】解：的展开式通项公式为， 令，解得， 故的系数为． 故答案为：40． 【点评】本题主要考查二项式定理，属于基础题． 7．在中，已知，则其外接圆的直径为 　4　． 【分析】设外接圆半径为，利用正弦定理即可求解． 【解答】解：设外接圆半径为，由正弦定理可得：， 所以， 所以外接圆直径为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有 　72　个． 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四位数的千位和百位数字为1和4，①四位数的千位和百位数字为2和3；由加法原理计算可得答案． 【解答】解：根据题意，要求千位和百位上的数之和为5，分2种情况讨论： ①四位数的千位和百位数字为1和4时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能， 此时，可以有个符合题意的四位偶数； ①四位数的千位和百位数字为2和3时，千位和百位数字有种可能，个位数字有种可能，十位数字有6种可能， 此时，可以有个符合题意的四位偶数； 故共有个符合题意的四位偶数； 故答案为：72． 【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步分类计数原理的应用，属于基础题． 9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 　　． 【分析】函数有三个零点，即与的图象有三个交点，即画出函数的图象，可求出答案． 【解答】解：若函数有三个零点，即与的图象有三个交点， 当时，， 当时，在，有最大值4， 画出函数的图象，如下图， 由图可知，． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数的性质、转化思想及数形结合思想，属于基础题． 10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为 　，　． 【分析】通过题意分析可知，三角形，三角形皆为等腰直角三角形，据此建立直角坐标系，将问题转化为坐标运算问题，最终化为函数的值域问题求解． 【解答】解：如图：因为，，所以，所以向量在方向上的投影为，且，易知． 如图建立平面直角坐标系，则，，，． 因为在线段上，故设，，， 所以，，所以，，． 令，，，该函数为增函数，所以． 所以的范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查平面向量的综合应用以及函数思想的应用．属于中档题． 11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 【分析】设直线与直线相交于点，由，可得，，再过作于点，进而得和的长，然后根据双曲线的定义，推出，然后求解离心率． 【解答】解：设直线与直线相交于点，则， 直线的斜率为，即， 又，，， 过作于点，则， 为的中点，，， 在中，由，知，， 由双曲线的定义知，， ，化简得， ． 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的定义与几何性质，考查数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　2　． 【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果． 【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，， 是周期为4的周期函数，图像如图： 将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，， 则的几何意义是两条渐近线之间的距离2， ． 故答案为：2． 【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是　　 A． B． C． D． 【分析】分别判断选项中的函数是具有奇偶性即可． 【解答】解：对于，函数，是定义域上的偶函数； 对于，函数，是非奇非偶的函数，不具有奇偶性； 对于，函数，是定义域上的奇函数； 对于，函数，是定义域上的奇函数，也是偶函数． 故选：． 【点评】本题考查了函数的奇偶性判断问题，是基础题． 14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是　　 A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．2016年与2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加 【分析】设2016年该校参加高考人数为，则2019年该校参加高考人数为，观察柱状图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案． 【解答】解：设2016年参加高考的人数为，则2019年该校参加高考的人数为． 对于选项年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项错误； 对于选项年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，显然2019年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项错误； 对于选项年和2019年艺体达线率没变，但是人数是不同的，故选项错误； 对于选项年不上线人数为，2019年不上线人数为，不达线人数有所增加，故选项正确． 故选：． 【点评】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键． 15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据空间中的两条直线的位置关系，判断是否为异面直线即可． 【解答】解：对于，当是的中点时，与是相交直线； 对于，根据异面直线的定义知，与是异面直线； 对于，当点与重合时，与是平行直线； 对于，当点与重合时，与是相交直线． 故选：． 【点评】本题考查了两条直线间的位置关系应用问题，是基础题． 16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是　　 A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列 【分析】由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列，若，，则，矛盾；若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾；若，当，，必有使得，矛盾；若，当，，，必有使得，矛盾；即可判断． 【解答】解：由对任意正整数，都有，可以知道，，，，不可能为等差数列， 因为若，当，，，必有使得，矛盾；若，，则，矛盾； 若，，当，，使得，矛盾；若，，当，，必有使得，矛盾； 若，当，，必有使得，矛盾； 所以选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 选项中的，，，，为等差数列与上述推理矛盾，故不可能正确； 由排除法可得正确． 故选：． 【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角． 【分析】（1）作于，可证平面，求得的长即可求得点到平面的距离； （2）作于，连接，可证为与平面所成的角，求解即可． 【解答】解：（1）作于， 平面，平面， ，， ，平面， 平面，， ，， 平面， 为到平面的距离， 根据二面角的定义知，则， ，， 解得， 点到平面的距离为； （2）作于，连接，，， ，，，平面， 平面，， ，，平面， 为与平面所成的角， 中，，， 得，． 直线与平面所成的角为． 【点评】本题考查点到面的距离的求法，考查线面角的求法，属中档题． 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 【分析】（1）由正弦定理边化角计算可得结果． （2）由余弦定理解三角形及三角形面积公式计算可得结果． 【解答】证明：（1）由及正弦定理得：，整理得， 因为，， 所以， 所以或， 所以或（舍， 所以； （2）解：由及余弦定理得：，整理得， 又因为，可解得，， 则，所以是直角三角形， 所以的面积为． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题． 19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量． （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润（万元）关于的函数关系式． （2）若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 【分析】（1）分别求出上年度的利润，本年度每辆车的投入成本，本年度每辆车的出厂价，本年度年销售量，再根据年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量求解即可； （2）求出本年度年利润，再根据导函数求出的极大值即为最大值． 【解答】解：（1）由题意得：上年度的利润为万元； 本年度每辆车的投入成本为； 本年度每辆车的出厂价为； 本年度年销售量为， 因此本年度的利润为 ， 故本年度的年利润（万元）关于的函数关系式为； （2）本年度的利润为， 则， 由，解得或（舍去）， 当时，，是增函数；当，时，，是减函数， 当时，取极大值万元， 因为在上只有一个极大值，所以它是最大值， 所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 【点评】本题主要考查根据实际问题选择合适的函数模型，属于中档题． 20．已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； （3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 【分析】（1）由题意可得，，，可求离心率； （2）由已知得，，设，由已知可得，，求解即可； （3）设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围． 【解答】解：（1）若，则，，，，； （2）由已知得，，设， ，即， ，，，，， ，代入求得； （3）设直线，联立椭圆可得， 整理得， 由△，， 联立双曲线可得，整理得， 由△，， ， ， 又，，， 综上所述：，． 【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，直线与椭圆的综合，属中档题． 21．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，． （1）若，求实数的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； （3）设，，若对于任意的、、，，都有，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据，结合定义，直接列式求解即可． （2）由对数函数的单调性求出的值域，进而列出不等式，求出值范围作答． （3）利用对勾函数求出在，上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解作答． 【解答】解：（1）由表示不小于的最小整数，，得， 所以实数的取值范围是，． （2）函数定义域为，， 而函数在，上单调递增，值域为，， 因此，所以， 所以函数的值域为，； 显然，，， 由，得， 所以，而时，不等式不成立， 则，必有，所以， 所以，，解得， 所以实数的取值范围． （3）当，时，， 函数在，上单调递减，在，是单调递增， 因此函数在，上单调递增，在，是单调递减， 所以（3），而， 所以在，上的值域为，，，，，， 依题意，，，，即，，， 当，时，，显然当时，，则，， 当，时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围，． 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷03·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.2． 2.． 3.． 4.2． 5.． 6.40． 7.4． 8.72． 9.． 10.，． 11.． 12.2． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 B D B C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.【解答】解：（1）作于， 平面，平面， ，， ，平面， 平面，， ，， 平面， 为到平面的距离， 根据二面角的定义知，则， ，， 解得， 点到平面的距离为； （2）作于，连接，，， ，，，平面， 平面，， ，，平面， 为与平面所成的角， 中，，， 得，． 直线与平面所成的角为． 18.【解答】解：（1）作于， 平面，平面， ，， ，平面， 平面，， ，， 平面， 为到平面的距离， 根据二面角的定义知，则， ，， 解得， 点到平面的距离为； （2）作于，连接，，， ，，，平面， 平面，， ，，平面， 为与平面所成的角， 中，，， 得，． 直线与平面所成的角为． 19.【解答】解：（1）由题意得：上年度的利润为万元； 本年度每辆车的投入成本为； 本年度每辆车的出厂价为； 本年度年销售量为， 因此本年度的利润为 ， 故本年度的年利润（万元）关于的函数关系式为； （2）本年度的利润为， 则， 由，解得或（舍去）， 当时，，是增函数；当，时，，是减函数， 当时，取极大值万元， 因为在上只有一个极大值，所以它是最大值， 所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元． 20.【解答】解：（1）若，则，，，，； （2）由已知得，，设， ，即， ，，，，， ，代入求得； （3）设直线，联立椭圆可得， 整理得， 由△，， 联立双曲线可得，整理得， 由△，， ， ， 又，，， 综上所述：，． 21.【解答】解：（1）由表示不小于的最小整数，，得， 所以实数的取值范围是，． （2）函数定义域为，， 而函数在，上单调递增，值域为，， 因此，所以， 所以函数的值域为，； 显然，，， 由，得， 所以，而时，不等式不成立， 则，必有，所以， 所以，，解得， 所以实数的取值范围． （3）当，时，， 函数在，上单调递减，在，是单调递增， 因此函数在，上单调递增，在，是单调递减， 所以（3），而， 所以在，上的值域为，，，，，， 依题意，，，，即，，， 当，时，，显然当时，，则，， 当，时，，而恒成立，则，， 所以实数的取值范围，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷03 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，，，，，，若，则实数　　． 2．若向量，，则　　． 3．不等式的解集是 　　． 4．圆的半径大小为　　． 5．已知，且，则　　． 6．在的展开式中，的系数为 　　． 7．在中，已知，则其外接圆的直径为 　　． 8．从数字1，2，3，4，5，6，7，8，9中任选4个组成无重复数字的四位数，满足千位和百位上的数之和为5，则这样的偶数共有 　　个． 9．已知函数．若函数有三个零点，则的取值范围为 　　． 10．在平行四边形中，，向量在方向上的投影为1，且，点在线段上，则的取值范围为 　　． 11．双曲线的左、右焦点分别为，．过点作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点，若，则双曲线的离心率为 　　． 12．已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，，若将方程的正实数根从小到大依次记为，，，，，则　　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．下列四个函数中，不具有奇偶性的是　　 A． B． C． D． 14．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了核校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图： 则下列结论正确的是　　 A．与2016年相比，2019年一本达线人数减少 B．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍 C．2016年与2019年艺体达线人数相同 D．与2016年相比，2019年不达线的人数有所增加 15．如图所示，在正方体中，点为边上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是　　 A． B． C． D． 16．已知无穷数列的各项均为实数，为其前项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是　　 A．，，，，，为等差数列，，，，，，为等比数列 B．，，，，，为等比数列，，，，，，为等差数列 C．，，，，为等差数列，，，，，为等比数列 D．，，，，为等比数列，，，，，为等差数列 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为． （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角． 18．记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）若，求的面积． 19．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元辆，出厂价为13万元辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加．已知年利润（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量． （1）若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润（万元）关于的函数关系式． （2）若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 20．已知椭圆且． （1）若，求椭圆的离心率； （2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，且，求实数的值； （3）过椭圆上一点作斜率为的直线，若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求实数的取值范围． 21．已知，我们定义函数表示不小于的最小整数，例如：，． （1）若，求实数的取值范围； （2）求函数的值域，并求满足的实数的取值范围； （3）设，，若对于任意的、、，，都有，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷03·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$