2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试数学仿真模拟卷02

2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷01·参考答案 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.2 2.． 3.，． 4.． 5.0.5． 6. 7.7 8. 9.，． 10.． 11.． 12. 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13 14 15 16 D C D C 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17.【解答】解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，0，，，，，，0，，的重心，，， 设，，，则，，， 平面，，，，，，，，， 平面，且，，，，0，， ，又由， 得， 解得，； （1），1，，，，，，，， ，， 直线与平面所成角的正弦值为； （2），1，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 平面的一个法向量为，，， 点到的距离． 18.【解答】解：（Ⅰ）在中，， 由余弦定理，可得，整理可得， 解得或（舍去）； （Ⅱ）由题意可得， 由正弦定理，可得， 所以的面积． 19.【解答】解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， 根据题意应选， 于是，解得：， ， （2）根据函数模型，可得不等式，解得， 故至少经过 培养基中菌落面积能超过． 20.【解答】解：（1）设，由，知，即， 由，知，即， 则，故椭圆的标准方程为； （2）直线的方程为 与 联立， 可得，且△，有，即， 直线的方程为，令，可得， ，， 即，， 而，当，即 时取等号，且， 故面积的最大值为． 21.【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数“， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数“， 是函数的“控制函数“， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点不可能使得在切线下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷02·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分） 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（本题满分14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，，，．若，则　　． 2．若，则　　． 3．不等式的解集为 　　． 4．圆的半径是 　　． 5．已知事件的对立事件为，若（A），则　　． 6．已知，，且，则的最小值为 　　． 7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　　． 8．已知，则　　（用数字作答）． 9．定义符号函数，则方程的解集为 　　． 10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为 　　． 11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 　　． 12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 　　． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则　　 A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数 B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数 C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差 D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差 15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是　　 A．，且与平行 B．，且与平行 C．，且与异面 D．，且与异面 16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是　　 A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列 B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列 C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列 D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 18．在中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值及的面积． 19．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：，，，，，． （1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数） 20．椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的横坐标为，当时，求面积的最大值． 21．设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为． （1）若，，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市普通高校春季招生统一文化考试 数学仿真模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知，，，．若，则　2　． 【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解． 【解答】解：，，，，， 则． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查集合的相等，属于基础题． 2．若，则　　． 【分析】根据平面向量的线性运算与坐标表示，计算即可． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算与坐标表示应用问题，是基础题． 3．不等式的解集为 　，　． 【分析】由可得，从而求出的范围即可． 【解答】解：由可得，， 所以， 所以， 即不等式的解集为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了绝对值不等式的解法，属于基础题． 4．圆的半径是 　　． 【分析】根据题意，将圆的方程变形为标准方程，由此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，圆即圆， 其半径， 故答案为：． 【点评】本题考查圆的标准方程，注意圆标准方程的形式，属于基础题． 5．已知事件的对立事件为，若（A），则　0.5　． 【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解． 【解答】解：事件的对立事件为， 若（A），则． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6．已知，，且，则的最小值为 　　． 【分析】直接利用关系式的恒等变换和基本不等式，求出结果． 【解答】解：因为，，且， 所以 ； 当且仅当，即，时，等号成立 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 7．某校抽取100名学生测身高，其中身高最大值为，最小值为，根据身高数据绘制频率组距分布直方图，组距为5，且第一组下限为153.5，则组数为 　7　． 【分析】计算极差，根据组距求解组数即可． 【解答】解：极差为，组距为5，且第一组下限为153.5， ，故组数为7组， 故答案为：7． 【点评】本题考查频率分布直方图，属于基础题． 8．已知，则　　（用数字作答）． 【分析】直接利用赋值法求出结果． 【解答】解：令时，解得； 令时，；①， 令时，；②， 故①②得：， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题． 9．定义符号函数，则方程的解集为 　　． 【分析】由，可得，，，按照分段函数分类讨论即可． 【解答】解：由方程，可得，，， 当时，原式等价于，，； 当时，原式等价于，即，，， 故答案为：，． 【点评】本题属于新概念题，考查了对数函数、指数函数的性质及分类讨论思想，属于基础题． 10．已知函数，其中，3，，，2，，从中随机抽取1个，则它在，上是增函数的概率为 　　． 【分析】由二次函数的性质可知，若在，上是增函数，则，再利用古典概型的概率公式进行求解． 【解答】解：函数，其中，3，，，2，， 从中随机抽取1个，基本事件总数， 记事件表示“在，上是增函数”，由已知可知开口一定向上，对称轴为， 则，即， 则事件包含的基本事件有：，，，共3个， 所以（A）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题． 11．设复数满足，且使得关于的方程有实根，则这样的复数的和为 　　． 【分析】先设，代入方程后结合复数相等条件可求，，进而可求． 【解答】解：设， 由得，， ， 则， 即， 所以， 若，则或， 检验得，时，得（舍， 当时，或，， 当时，得或， 当，时，此时不存在， 当，时，，， 此时， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了复数相等条件的应用，考查了数学运算的核心素养． 12．已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 　　． 【分析】将问题坐标化，表示出的坐标，再设，代入条件，结合不等式的性质求解． 【解答】解：设，，， ，不妨设，，，则， 因为， 所以，可得，， 所以，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查空间向量的坐标运算以及不等式的性质，属于中档题． 二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13．设函数，则下列函数中为奇函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】由已知结合函数奇偶性的定义进行检验即可判断． 【解答】解：因为， 所以为奇函数，符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，属于基础题． 14．甲、乙两机床同时加工直径为的零件，为检验质量，从它们生产的零件中随机抽取6件，其测量数据的条形统计图如下，则　　 A．甲的数据的平均数大于乙的数据的平均数 B．甲的数据的中位数大于乙的数据的中位数 C．甲的数据的方差大于乙的数据的方差 D．甲的数据的极差小于乙的数据的极差 【分析】对于选项，根据条形统计图分别求甲、乙数据的平均数即可判断； 对于选项，根据条形统计图分别求甲、乙数据的中位数即可判断； 对于选项，根据条形统计图分别求甲、乙数据的方差即可判断； 对于选项，根据条形统计图分别求甲、乙数据的极差即可判断． 【解答】解：甲的数据的平均数为， 乙的数据的平均数为， 故选项错误； 甲的数据的中位数为100，乙的数据的中位数为100， 故选项错误； 甲的数据的方差为， 乙的数据的方差为， 故甲的数据的方差大于乙的数据的方差， 即选项正确； 甲的数据的极差为， 乙的数据的极差为， 故选项错误； 故选：． 【点评】本题考查了平均数、中位数、方差与极差的求法，属于基础题． 15．如图所示，在正方体中，是平面的中心，、、分别是、、的中点，则下列说法正确的是　　 A．，且与平行 B．，且与平行 C．，且与异面 D．，且与异面 【分析】设正方体的棱长为，作点在平面内的射影点，连结，，分别求出和的长度，再判断直线与的位置关系即可． 【解答】解：设正方体的棱长为， 则， 作点在平面内的射影点，连结，， 所以， 所以，故选项，错误； 连结，因为为平面的中心，所以， 又因为，分别为，的中点，所以， 又因为，所以，且， 所以与异面，故选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了空间中直线长度的计算以及两条直线位置关系的判断，解题的关键是掌握异面直线的判定方法． 16．已知数列的前项和为，，，成等差数列，则下列说法正确的是　　 A．如果数列成等差数列，则，，成等比数列 B．如果数列不成等差数列，则，，不成等比数列 C．如果数列成等比数列，则，，成等差数列 D．如果数列不成等比数列，则，，不成等差数列 【分析】如果数列成等差数列，设公差为，运用等差数列的通项公式和求和公式，推得，再由等比数列的定义可得，，不为等比数列，同样假设数列成等比数列，设公比为，由等比数列的求和公式求得公比，再由等差数列的中项性质，可得结论． 【解答】解：如果数列成等差数列，设公差为， 由，，成等差数列，可得， 即， 化为， 由， ， 只有，才有，但， 此时，，不为等比数列，故错误； 如果数列成等比数列，设公比为， 由，，成等差数列，可得， 若，则，可得，不成立； 所以不为1，则． 化为，即， 解得， 因为， 所以， 可得，，为等差数列，故正确； 若不成等差数列，无法判断，，不成等比数列，故错误； 若不成等比数列，无法判断，，不成等差数列，故错误． 故选：． 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17．如图，在三棱锥中，平面，，，，点满足平面，且在平面内的射影恰为的重心． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）求点到平面的距离． 【分析】以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，设，，，利用，求得，，，（1）求得直线的方向向量与平面的一个法向量，可求直线与平面所成角的正弦值；（2）求得平面的一个法向量，利用向量法可求点到平面的距离． 【解答】解：以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，0，，，，，，0，，的重心，，， 设，，，则，，， 平面，，，，，，，，， 平面，且，，，，0，， ，又由， 得， 解得，； （1），1，，，，，，，， ，， 直线与平面所成角的正弦值为； （2），1，，，0，， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，则，， 平面的一个法向量为，，， 点到的距离． 【点评】本题考查线面角的求法，考查点到面的距离的求法，属中档题． 18．在中，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值及的面积． 【分析】（Ⅰ）由题意利用余弦定理即可求解的值； （Ⅱ）由题意利用同角三角函数基本关系式可求的值，由正弦定理可得的值，利用三角形的面积公式可求的面积的值． 【解答】解：（Ⅰ）在中，， 由余弦定理，可得，整理可得， 解得或（舍去）； （Ⅱ）由题意可得， 由正弦定理，可得， 所以的面积． 【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式以及三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题． 19．2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义．某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为，经过3分钟覆盖面积为，现菌落覆盖面积（单位：与经过时间（单位：的关系有两个函数模型与可供选择．（参考数据：，，，，，． （1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式； （2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过？（计算结果保留到整数） 【分析】（1）根据函数的单调性可知选哪个模型更合适； （2）解指数函数不等式可求得答案 【解答】解：（1）的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢， 根据题意应选， 于是，解得：， ， （2）根据函数模型，可得不等式，解得， 故至少经过 培养基中菌落面积能超过． 【点评】本题考查指数函数模型及其应用，考查了学生的运算能力，属于中档题． 20．椭圆上顶点为，左焦点为，中心为．已知为轴上动点，直线与椭圆交于另一点；而为定点，坐标为，直线与轴交于点．当与重合时，有，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设的横坐标为，当时，求面积的最大值． 【分析】（1）由已知可得，可求，进而有，可求，进而可求椭圆的标准方程； （2）联立直线与椭圆的方程，进而可得，求得直线的方程，求得，进而利用，可得，，可求面积的最大值． 【解答】解：（1）设，由，知，即， 由，知，即， 则，故椭圆的标准方程为； （2）直线的方程为 与 联立， 可得，且△，有，即， 直线的方程为，令，可得， ，， 即，， 而，当，即 时取等号，且， 故面积的最大值为． 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形的面积的最大值，属中档题． 21．设函数，，其中，、，若对任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数取最小值定义为． （1）若，，试问是否为的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线，求证：函数是为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且，，求证：当且仅当或时，（c）（c）． 【分析】（1）设，，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断； （2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解； （3），，在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证． 【解答】解：（1），设， ，当，时，易知，即单调减， ，即， 是的“控制函数“； （2）， ， ，即为函数的“控制函数“， 又，且，； 证明：（3），， 在处的切线为， ，，（1）（1）， ， ， ， ， 恒成立， 函数必是函数的“控制函数“， 是函数的“控制函数“， 此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点， 在之间的点不可能使得在切线下方，所以或， 所以曲线在处的切线过点，且，， 当且仅当或时，． 【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$