专题09 简单几何体（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题09 简单几何体 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 6 考点一：几何体中的计算 6 考点二：几何体的表面积与体积 7 考点三：球面距离 11 考点四：内切球与外接球 12 实战训练 13 明明晰学考要求 简单几何体是高考的基础章节，高考占比9%左右，可以和空间直线与平面结合，考查证明题、空间角度与距离求解。也可以单独考查表面积、体积等计算。春考中，3年5考。 基础知识梳理 1、 柱体 棱柱 1）棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. 2）棱柱的分类 3）棱柱的性质 (1)侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; (2)两底面是全等多边形且互相平行; (3)平行于底面的截面和底面全等. 4.棱柱的面积和体积公式 是底周长,是高 圆柱 1）圆柱的结构特征 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2）柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 3）.圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 4）.圆柱的面积和体积公式 为底面半径,为圆柱的高 2、 锥体 棱锥 1）.棱体的结构特征 (1)棱体:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱体; (2)正棱体:如果有一个棱体的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱体叫做正棱体. 2）.正棱锥的结构特征 (1)平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; 它们面积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的平方比; 截得的棱体的体积与原棱体的体积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的立方比; (2)正棱体的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; (3)正棱体侧面积:为底周长,为斜高. 3）.棱体的体积 为底面积,为高 4）.正四面体 棱长为的正四面体,可将它补成一个边长为的正方体.(见P144右上角图) 对棱间的距离为(正方体的边长);正四面体的高(等于);正四面体的体积为 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 说明：正四面体,可补全为一个正方体,如右图所示,在正方体中研究正四面体的相应问题,是化归思想的很好体现. 棱台 1）.棱台的结构特征 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 2）.正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点. 圆锥 1）.圆锥的结构特征 圆台的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥. 2）.圆锥的性质 (1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; (2)轴截面是等腰三角形. 3）.母线的平方等于底面半径与高的平方和 4）.圆锥的侧面展开图 圆台的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 圆台 1）.圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆台,我们把截面和底面之间的部分称为圆台. 2）.圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; (2)圆台的截面是等腰梯形; （3）圆台经常补成圆台,然后利用相似三角形进行研究. 3）.圆台的面积和体积公式 为上下底面半径,为圆台的母线长为圆台的母线长 为圆台的高、 3、多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 2.旋转体的结构特征 3.面积和体积公式 (1)多面体 表中表示面积,分别表示上、下底面周长,表示高,表示斜高,表示侧棱长. (2)旋转体 表中分别表示母线、高,表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,分别表示圆台上、下底面半径,表示半径. 4、球体 1）.球的结构特征 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体. 2）.球的性质 (1)球心与截面圆心的连线垂直于截面; (2)截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差: 3）.球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是: （1）根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; (2)找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后作出剖面图; (3)将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; (4)注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体,球 直径等于正方体对角线;球外切正方体,球直径等于正方体的边长. 4）.球的面积和体积公式为球半径 考点精讲讲练 考点一：几何体中的计算 【典型例题】 例1．（2023·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（    ） A．，，的长度 B．，，的长度 C．，，的长度 D．，BD，的长度   例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海崇明·二模）已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 【即时演练】 1（24-25高三上·上海·期中）已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 . 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 3．（2023·上海徐汇·三模）在中，，顶点在以为直径的圆上.点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为 . 考点二：几何体的表面积与体积 【典型例题】 例1．如图1，在三棱柱中，已知，且平面，过，，三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求四棱锥的体积和表面积． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知一个圆柱的高为，底面半径，则它的侧面积的大小为 2．（24-25高三上·上海·期中）若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为 . 3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是 . 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ． 5．（2023·上海浦东新·三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为 . 6．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 7．（24-25高三上·上海·期中）圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 8．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    9．（2023·上海嘉定·二模）如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点． (1)判断直线与的关系，并说明理由； (2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积． 10．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点． (1)求证：平面； (2)若，，，求圆柱的侧面积． 11．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 12．（24-25高三上·上海·期中）已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC的棱长都是(如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体. (1)求新多面体的表面积和体积； (2)求正八面体中二面角A-BF-C的大小. 考点三：球面距离 【典型例题】 例1.如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【即时演练】 1．（21-22高三上·上海宝山·开学考试）一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为 ． 2．（21-22高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 考点四：内切球与外接球 【典型例题】 例1．（2023·上海长宁·一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 例2．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（2023·上海静安·一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺. A． B． C． D． 2．（2023·上海青浦·一模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为 ． 实战能力训练 1．（2024·上海黄浦·二模）若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为 . 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 3．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 4．（2024·上海·三模）若底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的高为 ． 5．（2024·上海静安·二模）正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为 ． 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于 ． 7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为 . 8．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为 . 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 10．（2023·上海松江·一模）动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 11．（2023·上海普陀·模拟预测）已知过三点的球的小圆为，其面积为，且，则球的表面积为 . 12．（2022·上海·模拟预测）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为 . 13．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形为长方形，平面和是全等的等边三角形.    (1)求证：； (2)若已知，求该五面体的体积. 14．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求该几何体的体积. 15．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 简单几何体 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 6 考点一：几何体中的计算 6 考点二：几何体的表面积与体积 11 考点三：球面距离 22 考点四：内切球与外接球 25 实战训练 28 明明晰学考要求 简单几何体是高考的基础章节，高考占比9%左右，可以和空间直线与平面结合，考查证明题、空间角度与距离求解。也可以单独考查表面积、体积等计算。春考中，3年5考。 基础知识梳理 1、 柱体 棱柱 1）棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱. 2）棱柱的分类 3）棱柱的性质 (1)侧面都是平行四边形,且各侧棱互相平行且相等; (2)两底面是全等多边形且互相平行; (3)平行于底面的截面和底面全等. 4.棱柱的面积和体积公式 是底周长,是高 圆柱 1）圆柱的结构特征 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2）柱的性质 （1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆; (2)过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. 3）.圆柱的侧面展开图 圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 4）.圆柱的面积和体积公式 为底面半径,为圆柱的高 2、 锥体 棱锥 1）.棱体的结构特征 (1)棱体:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱体; (2)正棱体:如果有一个棱体的底面是正多边形,并且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱体叫做正棱体. 2）.正棱锥的结构特征 (1)平行于底面的截面是与底面相似的正多边形,相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; 它们面积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的平方比; 截得的棱体的体积与原棱体的体积的比等于截得的棱体的高与原棱体的高的立方比; (2)正棱体的各侧棱相等,各侧面是全等的等腰三角形; (3)正棱体侧面积:为底周长,为斜高. 3）.棱体的体积 为底面积,为高 4）.正四面体 棱长为的正四面体,可将它补成一个边长为的正方体.(见P144右上角图) 对棱间的距离为(正方体的边长);正四面体的高(等于);正四面体的体积为 正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为 说明：正四面体,可补全为一个正方体,如右图所示,在正方体中研究正四面体的相应问题,是化归思想的很好体现. 棱台 1）.棱台的结构特征 棱台的定义:用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面和底面之间的部分称为棱台. 2）.正棱台的结构特征 (1)各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰梯形; (2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形; (3)正棱台的对角面是等腰梯形; (4)各侧棱的延长线交于一点. 圆锥 1）.圆锥的结构特征 圆台的定义:以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥. 2）.圆锥的性质 (1)平行于底面的截面都是圆,截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; (2)轴截面是等腰三角形. 3）.母线的平方等于底面半径与高的平方和 4）.圆锥的侧面展开图 圆台的侧面展开图是以顶点为圆心,以母线长为半径的扇形. 圆台 1）.圆台的结构特征 圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆台,我们把截面和底面之间的部分称为圆台. 2）.圆台的性质 （1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆; (2)圆台的截面是等腰梯形; （3）圆台经常补成圆台,然后利用相似三角形进行研究. 3）.圆台的面积和体积公式 为上下底面半径,为圆台的母线长为圆台的母线长 为圆台的高、 3、多面体与旋转体 1.多面体的结构特征 2.旋转体的结构特征 3.面积和体积公式 (1)多面体 表中表示面积,分别表示上、下底面周长,表示高,表示斜高,表示侧棱长. (2)旋转体 表中分别表示母线、高,表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,分别表示圆台上、下底面半径,表示半径. 4、球体 1）.球的结构特征 球的定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体.空间中,与定点距离等于定长的点的集合叫做球面,球面所围成的几何体称为球体. 2）.球的性质 (1)球心与截面圆心的连线垂直于截面; (2)截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差: 3）.球与其他多面体的组合体的问题 球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型,解决此类问题的基本思路是: （1）根据题意,确定是内接还是外切,画出立体图形; (2)找出多面体与球体连接的地方,找出对球的合适的切割面,然后作出剖面图; (3)将立体问题转化为平面几何中圆与多边形的问题; (4)注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体,球 直径等于正方体对角线;球外切正方体,球直径等于正方体的边长. 4）.球的面积和体积公式为球半径 考点精讲讲练 考点一：几何体中的计算 【典型例题】 例1．（2023·全国·模拟预测）若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”．已知长方体，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（    ） A．，，的长度 B．，，的长度 C．，，的长度 D．，BD，的长度 【答案】A 【分析】根据题意列式求解，逐项分析判断即可. 【解析】设， 对于选项A：可得，据此可以解出，故A正确； 对于选项B：可得，据此无法解出，故B错误； 对于选项C：可得，据此无法解出，故C错误； 对于选项D：可得，据此无法解出，故D错误； 故选：A.   例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案. 【解析】由题意，作平面，垂足为，在平面内，作， 垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：    设， 在中，，则，， 在中，， 在中，， 在正方形中，易知，，则， 在中，，在中，， 则，解得. 故选：B. 例3．（2024·上海崇明·二模）已知底面半径为1的圆柱，是其上底面圆心，、是下底面圆周上两个不同的点，是母线．若直线与所成角的大小为，则 ． 【答案】 【分析】因为，且，得到直线与所成角即为直线与所成角在直角中，即可求解. 【解析】如图所示，因为，且 则直线与所成角即为直线与所成角的大小为，可得, 在直角中，可得，即. 故答案为：. 【即时演练】 1（24-25高三上·上海·期中）已知A、、、是半径为1的球面上的四点，且这四点中任意两点间的距离都相等，则点A到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意可以补成正方体来研究，再用等体积法计算距离即可. 【解析】由于A、B、C、D这四点中任意两点间距离相等， 所以这四点构成一个正四面体，可以补成正方体，如图所示，    设正四面体的棱长为，则正方体棱长， 根据正四面体的外接球与正方体外接球是一样的，直径， 则，已知球半径，则，解得， 先求正四面体的体积，可以看做长方体体积减去4个全等的直三棱锥体积， 即， 又可把正四面体底面看作是由四个全等的等边三角形三棱锥， 每个底面积， 由等体积法得，，解得. 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为 ．（精确到） 【答案】 【分析】首先在圆锥的底面中利用弧长公式求出，然后在侧面展开图中利用圆心角的求法求出，最后利用余弦定理求出，则即为圆锥侧面上由点到点的最短路线长. 【解析】 由圆锥底面半径为，，则， 又在圆锥的侧面展开图中，， 因此在中， ， 故在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为线段的长， 故答案为：. 3．（2023·上海徐汇·三模）在中，，顶点在以为直径的圆上.点在平面上的射影为的中点，，则三棱锥外接球的半径为 . 【答案】2 【分析】根据三棱锥的外接球几何关系和勾股定理即可求. 【解析】    设球的半径为， 所以， 解得， 所以外接球的半径为2. 故答案为：2. 考点二：几何体的表面积与体积 【典型例题】 例1．如图1，在三棱柱中，已知，且平面，过，，三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）． (1)求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数表示）； (2)求四棱锥的体积和表面积． 【答案】(1)； (2)体积为，表面积为． 【分析】（1）由棱柱的结构特征可得，得到即为异面直线与所成角，证明平面，再由已知求解三角形得答案； （2）直接由棱锥体积公式求四棱锥的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥的表面积． 【解析】（1），故即为异面直线与所成角， 平面，故平面，． ，，， ， 即异面直线与所成角的大小为； （2）； 平面，平面，故，，， 故平面，平面，故. ＝． 故四棱锥B﹣ACC1A1的体积为，表面积为． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海黄浦·阶段练习）已知一个圆柱的高为，底面半径，则它的侧面积的大小为 【答案】 【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得. 【解析】因为圆柱的高为，底面半径， 所以其侧面积. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）若圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】设圆柱的高为，然后根据题意列方程求出，再利用圆柱的体积公式可求得答案. 【解析】设圆柱的高为， 因为圆柱的底面半径为1，且表面积是侧面积的2倍， 所以，解得， 所以圆柱的体积为. 故答案为： 3．（23-24高三下·上海闵行·阶段练习）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为30°，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是 . 【答案】 【分析】作出圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为，得到，在直角中，求得，得到圆柱的底面半径为，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【解析】如图所示为圆柱的轴截面图，过作容器壁的垂线，垂足为， 因为平行于地面，可得， 椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，所以， 在直角中，，即圆柱的底面半径为， 所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半， 即为容器内液体的体积为. 故答案为：. 4．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）已知正四棱柱的侧棱长为2，体积为6，则该正四棱柱的表面积为 ． 【答案】 【分析】先求出正四棱柱的底面边长，再根据多面体的表面积公式即可得解. 【解析】设正四棱柱的的底面边长为， 则，解得， 所以该正四棱柱的表面积为. 故答案为：. 5．（2023·上海浦东新·三模）一个正三棱锥的侧棱长为1，底面边长为，它的四个顶点在同一个球面上，则球的表面积为 . 【答案】 【分析】设为正三角形的中心，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上，在中利用勾股定理求出的长，再在中利用勾股定理即可求出的值，从而得到球的表面积． 【解析】如图所示： 设为正三角形ABC的中心，连接，则⊥平面，正三棱锥的外接球的球心在上， 设球的半径为，连接，， ∵的边长为， ∴， 又∵， ∴在中，， 在中，，，， ∴，解得， 此时说明球心在点的下方，即如下图所示： ∴球的表面积为． 故答案为：． 6．（24-25高三上·上海·期中）在中， ， P为内部一动点(含边界)，在空间中，若到点的距离不超过的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于 . 【答案】 【分析】首先确定到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体，可知是由三个半圆柱，三个球体的一部分和一个直三棱柱构成，根据圆柱、球和棱柱的体积公式分别求得各个部分几何体的体积即可加和得到结果. 【解析】空间中，到点的距离为的点的轨迹所构成的空间几何体在垂直于平面的角度看， 如下图所示：    其中：，和区域内的几何体为底面半径为的半圆柱； ，，区域内的几何体为被两平面所截得的部分球体，球心分别为； 区域内的几何体是高为的直三棱柱. 四边形和为矩形，，， 同理可得：，， ， ，，区域内的几何体合成一个完整的半径为的球， 则，，区域内的几何体的体积之和； 又，和区域内的几何体的体积之和； 因为在中，，所以， 所以，所以， 所以区域内的直三棱柱体积， 故几何体L的体积等于. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题，解题关键是确定所求动点的轨迹形成的空间几何体，进而由对应几何体的体积公式求得结果. 7．（24-25高三上·上海·期中）圆锥的顶点为 ，将该圆锥的侧面沿母线 剪开并展平得到一个圆心角为 ，半径为 1 的扇形，则该圆锥的体积为 【答案】 【分析】由题意可得圆锥底面圆的半径，从而可得圆锥的高，再由锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，圆锥的母线，设底面圆的半径为， 则，解得，所以圆锥的高， 则圆锥的体积为. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海·期中）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中半圆和半圆的直径均为2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，假设所得截面均为正方形，则该帐篷围成几何体的体积为 立方米.（精确到0.1立方米）    【答案】3.7 【分析】先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面的面积相等，由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可. 【解析】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为.    设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以，为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 帐篷围成几何体的体积为：（立方米）. 故答案为：3.7. 9．（2023·上海嘉定·二模）如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点． (1)判断直线与的关系，并说明理由； (2)若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积． 【答案】(1)相交；理由见解析 (2) 【分析】（1）连结.先根据三角形的中位线得出，且.然后证明四边形是平行四边形，即可推出四边形是梯形，进而得出结论； （2）由题意知，推得.在中，解得，即可求出四棱柱的面积. 【解析】（1）如图1，连结. 因为分别是的中点，所以，且. 由正四棱柱的性质可知，，且， 所以，四边形是平行四边形， 所以，，且， 所以，且. 所以，四边形是梯形， 所以，直线与相交. （2） 如图2，连结，则即为直线与底面ABCD所成角，即， 则在中，有. 设，由题意知，则， 在中，有， 所以. 所以，四棱柱的全面积为. 10．如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于、的点． (1)求证：平面； (2)若，，，求圆柱的侧面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由圆柱的性质可得底面，即可得出，再由直线与平面垂直的判定得出结论； （2）由已知解直角三角形求出圆柱的底面半径及母线长，即可求出答案. 【解析】（1）证明：底面，且底面， ， 又，且， 平面， 平面； （2）在中，，， ， 又在中，， ． 圆柱的底面半径为，母线长为4， 圆柱的侧面积为． 11．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，在正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为3，它的对角线和相交于点 (1)求证；平面，并求四棱锥的体积； (2)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正方形的性质得，结合正四棱锥的特征可由线线垂直得线面垂直；再根据锥体体积公式计算即可； （2）作出二面角的一个平面角，利用等积法及余弦定理计算解三角形即可. 【解析】（1）由题意可知底面，， 因为底面，则， 又平面， 所以平面， 因为该四棱锥底面边长为2，侧棱长为3， 则，底面正方形的面积为， 所以四棱锥的体积为； （2）如图所示，作，垂足为E，连接， 结合正四棱锥的特征，易知，即， 所以为二面角的一个平面角， 在等腰中，由等面积法可知：， 即，所以， 在中，由余弦定理， 所以， 即二面角的大小为. 12．（24-25高三上·上海·期中）已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC的棱长都是(如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体. (1)求新多面体的表面积和体积； (2)求正八面体中二面角A-BF-C的大小. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分别取、的中点、，连接、、，证明出平面，计算出的面积，利用锥体的体积公式可求得正四面体和正八面体的体积，即可得解； （2）在正八面体中，取的中点为，连接，分析出为二面角的平面角，计算出三边边长，利用余弦定理可求得结果； 【解析】（1）由题意可知，组合体一共十个面，且十个面都是全等的等边三角形，且边长为， 则表面积为， 分别取、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为，为的中点，则且， 同理可知且， ，所以平面， 为的中点，则，且， ， 所以正四面体的体积为； 如下图所示： 在正八面体中，连接交平面于点，则平面， 所以，， 所以正八面体的体积为， 因为新多面体体积为原正四面体体积与正八面体体积之和， 所以新多面体的体积为； （2）如图，在正八面体中，取的中点为，连接， ，为的中点，则，且， 同理可知，且， 所以为二面角的平面角． ， 由余弦定理得， 故二面角的大小为； 考点三：球面距离 【典型例题】 例1.如图为半径为1的球心，点A、B、C在球面上，OA，OB，OC两两垂直，E、F分别是大圆弧AB与AC中点，则点E、F在该球面上的球面距离为 ．    【答案】 【分析】先求出的长度，再求出大圆中对应的圆心角的弧度数，从而可求球面距离. 【解析】    如图，在平面内过点作，在平面内过作，垂足分别为，连接， 在扇形中，为大圆弧的中点，则，且， 同理可得， ∴ 在中，， 在平面中，由，，则， 同理可证，故，即四边形为平行四边形， ∴ ，故为等边三角形，故， ∴ 点在该球面上的球面距离为. 故答案： 【即时演练】 1．（21-22高三上·上海宝山·开学考试）一个棱长为2的正方体容器，将8个直径均为1的球放入容器内，容器正中央能放入的最大的球的直径为 ． 【答案】/ 【分析】说明8个小球的位置关系, 利用正方体的中心与8个小球的中心的距离关系推出结果即可. 【解析】将原正方体分为8个棱长为1的小正方体，则每个小正方体都有一个直径为1的球，原正方体的中心到小正方体的中心的距离为，又小正方体的中心到球表面的距离为，所以原正方体的中心到球的表面的最近距离为，所以正中央空间能放下的最大的球的直径为． 故答案为：. 2．（21-22高三上·上海黄浦·期中）在长方体中，，，E为中点. (1)求DE与平面所成角的大小； (2)求A，C两点在长方体所在外接球上的球面距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等体积法,求得点到平面的距离，然后计算即可. （2）先计算该长方体的外接球的半径，然后使用余弦定理得到，并得到，根据弧长公式计算即可. 【解析】（1），点到平面的距离为2 所以为等腰三角形，点到的距离为 所以，设点到平面的距离为 由，所以 又设DE与平面所成角为， 所以,所以 （2）该长方体的外接球的球心为正方体的中心, 外接球的半径为 ，所以 所以 所以所求结果为 考点四：内切球与外接球 【典型例题】 例1．（2023·上海长宁·一模）已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为 【答案】 【分析】首先根据题意建立、的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值. 【解析】根据题意作图如下： 设底面圆半径为，圆柱高设为，则根据圆柱的侧面积为4π，可得，解得.因为以及均为直角三角形，根据三棱锥—ABC外接球的性质可知，的中点即为球心.则，则，所以外接球的半径.三棱锥—ABC外接球体积为，所以要外接球体积最小，只需要最小即可，又不等式可知，当且仅当时，即时成立.故三棱锥—ABC外接球体积的最小值为. 故答案为：. 例2．（2023·上海嘉定·二模）已知一个棱长为的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是正方体内切球的半径，是正方体棱切球的半径，是正方体外接球的半径，从而求出，，，然后逐项判断即可. 【解析】由题意得，所以， 所以，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误； 故选：C. 【即时演练】 1．（2023·上海静安·一模）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（    ）平方尺. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球表面积即可. 【解析】 如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同，所以外接球的半径为，外接球的表面积. 故选：C. 2．（2023·上海青浦·一模）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，为下底面圆周上一点，则三棱锥外接球的体积为 ． 【答案】/ 【分析】设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，确定球心在线段上，即可在直角三角形上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球的体积． 【解析】由于AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以为直角三角形，， 如图所示，设外接球半径为，底面圆心为，外接球球心为， 由外接球的定义，，易得在线段上， 又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径， ，则，解得， 外接球体积为． 故答案为：. 实战能力训练 二、01 三、填空题 四、02 1．（2024·上海黄浦·二模）若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为 . 【答案】 【分析】将圆柱的侧面展开，得到矩形的两边长，求出面积即可. 【解析】将圆柱的侧面展开为矩形，其中矩形的一边为3，另一边为， 故侧面积为. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知球的体积是，则这个球的表面积是 . 【答案】 【分析】求出球体的半径，利用球体的表面积公式可求得结果. 【解析】设该球的半径为，则球的体积为，解得， 因此，该球的表面积为. 故答案为：. 3．（2024·上海·一模）已知圆柱底面圆的周长为，母线长为4，则该圆柱的体积为 ． 【答案】 【分析】根据条件，直接求出，再利用圆柱的体积公式，即可求出结果. 【解析】设圆柱的底面半径为，所以，得到， 又圆柱的母线长为，所以圆柱的体积为， 故答案为：. 4．（2024·上海·三模）若底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的高为 ． 【答案】9 【分析】设出高，利用体积公式得到方程，求出答案. 【解析】设圆锥的高为，故， 解得. 故答案为：9 5．（2024·上海静安·二模）正四棱锥底面边长为2，高为3，则点到不经过点的侧面的距离为 ． 【答案】/ 【分析】求出正四棱锥的体积，再利用等体积法可求得其距离为. 【解析】设底面正方形的中心为，的中点为，如下图所示： 易知，高，所以其斜高， 由对称性可知点到侧面与侧面的距离相等， 易知侧面和侧面与的面积， 正四棱锥的体积为， 设点到侧面的距离为， 由等体积法可得， 解得. 故答案为： 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为，半径为，则该圆锥的体积等于 ． 【答案】/ 【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积. 【解析】设圆锥的底面半径为，则， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为. 故答案为： 7．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知为球O的半径，过的中点M且垂直的平面截球得到圆M，若圆M的面积为，则球O的体积为 . 【答案】 【分析】根据圆M的面积求得圆的半径，再根据勾股定理即可得解. 【解析】解：设球O为R，则， 因为圆M的面积为，所以圆M的半径为， 根据勾股定理， 所以球O的体积为. 故答案为：. 8．（2023·上海普陀·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面成角.设四面体外接球的圆心为，则球的体积为 . 【答案】/ 【分析】先证明出△PCD和△PBC均为直角三角形，得到O点位置，可求得外接球的半径，可求其体积． 【解析】在底面ABCD上，，AD⊥AB，DC＝2，AD＝AB＝1， 所以∠ADB＝∠ABD＝45°，所以， 在△BCD上，， 由余弦定理可得： ， 所以，所以∠CBD＝90°． 所以BD⊥CB． 又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC． 又PD∩BD＝D，PD 面PBD， BD面PBD 所以BC⊥面PBD，所以BC⊥PB． 则△PCD和△PBC均为直角三角形，当O点为PC中点时，OP＝OD＝OB＝OC， 此时O为四面体PBCD的外接球的球心． ∵直线PA与平面ABCD成45°角．PD⊥平面ABCD， 则∠PAD＝45°，∴PD＝AD＝1， 又， ∴四面体PBCD外接球的半径为， 所以四面体PBCD外接球的体积为． 故答案为：． 9．（24-25高三上·上海·阶段练习）中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风铃可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中厘米，厘米，厘米，若不考虑铃舌，则风铃的体积为 立方厘米．（保留两位小数） 【答案】 【分析】由圆锥的体积公式即可求解． 【解析】根据题意，风铃的体积约为， 故答案为： 10．（2023·上海松江·一模）动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点的距离是，点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为 【答案】 【分析】根据题意知，分情况解决即可. 【解析】由题意，此问题的实质是以为球心，为半径的球， 因为， 所以在正方体各个面上交线的长度计算， 正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类： 为过球心的截面， 截痕为大圆弧，各弧圆心角为， 为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧， 由于截面圆半径为，故各段弧圆心角为， 所以这条曲线长度为， 故答案为： 11．（2023·上海普陀·模拟预测）已知过三点的球的小圆为，其面积为，且，则球的表面积为 . 【答案】1 【分析】小圆为的面积为求出其半径，由正弦定理可得，由面利用勾股定理可得球半径，可得球的表面积. 【解析】因为，所以为等边三角形， 如下图，因为小圆为的面积为，其半径为，所以， 可得，由正弦定理可得， 即，由可得， 则球的表面积为. 故答案为：. 12．（2022·上海·模拟预测）若球的半径为（为常量），且球面上两点，的最短距离为，经过，两点的平面截球所得的圆面与球心的距离为，则在此圆面上劣弧所在的弓形面积为 . 【答案】 【分析】根据已知条件可求得，连接，可得线段，设截面圆为圆，可求出截面圆的半径，在中，利用余弦定理求出，进而可得，再利用扇形的面积减去的面积即可求解. 【解析】因为球的半径为，球面上两点，的最短距离为， 所以， 设经过，两点的平面截球所得的圆面为圆，则平面，且， 所以截面圆圆的半径， 连接，因为，，所以线段， 在中，，， 由余弦定理可得：， 所以， 所以在此圆面上劣弧所在的弓形面积为扇形的面积减去的面积， 即为： ， 故答案为：.    13．（24-25高三上·上海·期中）如图所示五面体中，四边形为长方形，平面和是全等的等边三角形.    (1)求证：； (2)若已知，求该五面体的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面平行的性质定理可求证； （2）将组合体分为四棱锥和后即可求解； 【解析】（1）五面体中，因为平面，平面， 平面 平面，所以. （2）过点作，作，垂足分别为，过点作， 作，垂足分别为，连接，如图，    取中点，连接， 由对称性可得， 所以，因为，所以， 又平面，， 所以平面，又平面， 所以，又因为， 平面，所以平面， 因为平面，所以， 又平面，所以平面； 因为， 所以由、和以及图形对称性可得在底面中 ， 所以在中，，可得， ∴四棱锥和的体积均为， 三棱柱的体积， 所以，该五面体的体积为. 14．（24-25高三上·上海松江·期中）如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.    (1)求直线和平面所成角的大小； (2)求该几何体的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意确定即为直线和平面所成角，解直角三角形即可得答案； （2）根据三棱锥以及圆锥的体积公式计算，即可得答案. 【解析】（1）连接CO，由题意知平面，平面，故；    则CO为PC在平面上的射影， 则即为直线和平面所成角， 由于，故， 故直线和平面所成角的大小为； （2）由题意知几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成， 圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高， 三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形， 故，, 则该几何体的体积为. 15．（24-25高三上·上海·期中）如图，正方体的棱长为4，点E、F分别为棱和的中点. (1)求异面直线EF与BC所成角的大小； (2)求作平面CEF与正方体各面相交所得截面，保留痕迹并简要说明截面特征； (3)若某正四棱锥的表面积与正方体的表面积相等，求该正四棱锥体积最大时侧棱与底面所成角的大小． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）取中点，利用正方体特征及异面直线夹角的求法计算即可； （2）利用基本事实与推论作图即可，并求出相关交点位置； （3）设底面边长与高，利用四棱锥的表面积与体积公式，结合二次函数的性质，线面夹角计算即可. 【解析】（1）取中点，连接，易知， 所以异面直线EF与BC所成角即， 由正方体特征可知平面，平面， 则，所以， 所以异面直线EF与BC所成角为； （2）延长交于N点，连接交于H点， 并延长与延长线交于M点，连接交于G点， 则五边形为所求截面，易知， 则由等角定理知：，； （3）易知正方体的表面积为，设正四棱锥的底面正方形边长与高分别为， 则其表面积，化简得， 不妨设， 而体积为， 显然，即时体积取得最大值， 设侧棱与底面夹角，此时有. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$