专题08 空间直线与平面、空间向量及其应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题08 空间直线与平面 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 8 考点一：平面及其基本性质 8 考点二：异面直线所成的角 9 考点三：直线与平面的位置关系 10 考点四：直线与平面所成的角 12 考点五：平面与平面的位置关系 13 考点六：二面角 14 考点七：空间向量及其基本定理 15 考点八：空间向量在立体几何中的应用 16 实战训练 18 明晰学考要求 空间直线与平面位置关系的判定、证明，三种角度的求解是高考的常见考点。一般与简单几何体一起考察。高考占比7%。复习时，注意证明题过程的完整，这部分学生容易忽略，过程扣分。3年的春考中，3年7考，23年的17题与24年的18题都是立体几何题。 基础知识梳理 1、平面及其基本性质 空间点与直线、点与平面的位置关系: 平面的基本性质 空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则: (1)原图形中轴、轴、轴两两垂直,直观图中,轴、轴的夹角为(或),轴与轴和轴所在平面垂直; (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 2、直线与直线的位置关系 平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么这两组相交直线所成的锐角(或直角)相等. 空间两条直线的位置关系 异面直线 （1）概念：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线. (2)异面直线判定: (1)用定义(多用反证法); (2)异面直线判定定理:过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线; (3)异面直线所成的角:已知两条异面直线,经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).为了简便,点通常取在异面直线的一条上.异面直线所成的角的范围:;若两条异面直线所成角是直角,则称两异面直线垂直; (4)异面直线的公垂线与公垂线段:和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线,任意两条异面直线有且只有一条公垂线.两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条; (5)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度.两条异面直线的距离即为直线到平面的距离.即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离. 3、直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行,那么该直线与这个平面平行. 推理模式:不在平面上,.(线线平行,可推出线面平行) 线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行. 推理模式:.(线面平行,可推出线线平行) 线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足,直线与平面垂直简称线面垂直,记作:. 线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直. 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两直线互相平行. 推论1过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点,过点作,垂足为,则唯一,是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 结论：连接平面外一点与内一点所得的线段中,垂线段最短. 三垂线定理 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 4、 平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系：平行;相交. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面若棱为,两个面分别为的二面角记为. 二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线,则叫做二面角的平面角.二面角的平面角范围是;二面角的平面角为直角时,则称为直二面角.组成直二面角的两个平面互相垂直. 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直. 平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离这七种距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求. 5、 空间向量 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量,那么空间中的向量与共面的充要条件是,存在唯一的一对实数与,使得. 空间向量基本定理 如果与是不共面的向量,那么对空间中任意一个向量,存在唯一的一组实数与,使得. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系,把向量的起点放在坐标原点,该向量就直接用它的终点坐标表示为,这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量与的线性组合. (2)给定空间两点与,则. 坐标表示下的空间向量运算 设向量,则 (1); (2); (3); (4). 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量均为非零向量,则 (1); (2); (3). 6、空间向量在立体几何中的应用 空间直线的方向向量 对于空间一条直线a,我们把与直线a平行的非零向量叫做直线a的一个方向向量. 一条直线的方向向量不唯一,但所有的方向向量互相平行. 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量. 平面的法向量 对于非零向量,如果它所在的直线与平面垂直,我们把向量叫做平面的一个法向量. 一个平面的法向量不唯一,但所有的法向量互相平行. 求一个平面的法向量,只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可. 空间直线与平面之间的平行与垂直 (1)两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行; 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直. (2)直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量; 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. (3)两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量; 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直. (2)直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量; 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. (3)两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量; 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行. 求距离 (1)平面外一点到平面的距离由公式给出,其中是平面的一个法向量,是平面上任意一点; (2)平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理. 求角的大小 (1)具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定: (2)具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定: (3)具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 考点精讲讲练 考点一：平面及其基本性质 【典型例题】 例1．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）在下列条件下，能确定一个平面的是（    ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 例2．（23-24高三上·上海·期中）三角形的三个顶点都不在平面上，则“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【即时演练】 1．（2023·上海浦东新·模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（    ） A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直； B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直； C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直； D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直 考点二：异面直线所成的角 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 例2．（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 4．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 . 考点三：直线与平面的位置关系 【典型例题】 例1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 【即时演练】 1．（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知直线及平面，其中 ，且和之间的距离为2，那么在平面内到直线和距离之和为3的点的集合不可能是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．空集 3．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 考点四：直线与平面所成的角 【典型例题】 例1.（2023·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交 点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 考点五：平面与平面的位置关系 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【即时演练】 1.如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． (1)求证：平面AMB//平面DNC； (2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 考点六：二面角 【典型例题】 例1．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，分别为棱中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 例2．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【即时演练】 1．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点； (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面； (3)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小； 考点七：空间向量及其基本定理 【典型例题】 例1．已知空间向量，，则 . 例2．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 例3．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 【即时演练】 1．已知向量平行于向量 ，则 2．已知，空间向量，．若，则 ． 3．若空间向量，，共面，则实数 . 4．已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 5．（2024·上海·一模）已知空间向量，则在方向上的投影向量为 ． 6．（2023·上海浦东新·三模）空间向量的单位向量的坐标是 ． 7．（2023·上海金山·二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 8．（2023·上海青浦·一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为 ． 考点八：空间向量在立体几何中的应用 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 例2．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)点M在棱BC上，且，求二面角的大小． 例3．（2024·上海·三模）如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点． (1)若，求异面直线与所成的角的大小； (2)若，求点B到平面的距离． 【即时演练】 练1．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，已知四边形是菱形，，平面，平面，. (1)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. (2)求二面角的余弦值. 2．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求异面直线与所成角的大小． 3．（2022·上海闵行·二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若，求点D到平面PBC的距离． 1.已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2023·上海黄浦·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ） A． B．平面平面ABN C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点 3．（2023·上海浦东新·二模）在空间中，下列命题为真命题的是（    ）． A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 4．（2024年春考14）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5.（2023年春考15）如图所示，是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ） A. B. C. D． 6．（2023·上海普陀·模拟预测）已知平面所成角为为两平面外一点，则过点且与平面所成角均为的直线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 7．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）在四面体ABCD中，各条校长都相等，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线AB与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·上海静安·一模）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第 卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 ． 9．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 10．（2023·上海崇明·一模）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ． 11．（2023·上海黄浦·一模）已知向量，，若，则mn的值为 . 12．（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条. 13．（2024年春考10）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 14.（2023年春考17）已知: 平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点 （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 15．（2024年春考18）如图，、、为圆锥三条母线，. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 16．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 17．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 空间直线与平面 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 8 考点一：平面及其基本性质 8 考点二：异面直线所成的角 10 考点三：直线与平面的位置关系 14 考点四：直线与平面所成的角 18 考点五：平面与平面的位置关系 21 考点六：二面角 24 考点七：空间向量及其基本定理 28 考点八：空间向量在立体几何中的应用 32 实战训练 37 明晰学考要求 空间直线与平面位置关系的判定、证明，三种角度的求解是高考的常见考点。一般与简单几何体一起考察。高考占比7%。复习时，注意证明题过程的完整，这部分学生容易忽略，过程扣分。3年的春考中，3年7考，23年的17题与24年的18题都是立体几何题。 基础知识梳理 1、平面及其基本性质 空间点与直线、点与平面的位置关系: 平面的基本性质 空间图形的平面直观图的画法 斜二测画法规则: (1)原图形中轴、轴、轴两两垂直,直观图中,轴、轴的夹角为(或),轴与轴和轴所在平面垂直; (2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于轴和轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 2、直线与直线的位置关系 平行公理(公理4) 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理 如果两条相交直线与另外两条直线分别平行,那么这两组相交直线所成的锐角(或直角)相等. 空间两条直线的位置关系 异面直线 （1）概念：不同在任何一个平面上的两条直线叫做异面直线. (2)异面直线判定: (1)用定义(多用反证法); (2)异面直线判定定理:过平面外一点与平面上一点的直线,和此平面上不经过该点的任何一条直线都是异面直线; (3)异面直线所成的角:已知两条异面直线,经过空间任一点作直线所成的角的大小与点的选择无关,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角).为了简便,点通常取在异面直线的一条上.异面直线所成的角的范围:;若两条异面直线所成角是直角,则称两异面直线垂直; (4)异面直线的公垂线与公垂线段:和两条异面直线都垂直且相交的直线叫异面直线的公垂线,任意两条异面直线有且只有一条公垂线.两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的部分,叫做两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段是分别连接两条异面直线上两点的线段中最短的一条; (5)两条异面直线的距离:两条异面直线的公垂线段的长度.两条异面直线的距离即为直线到平面的距离.即两条异面直线的距离等于其中一条直线到过另一条直线且与这条直线平行的平面的距离. 3、直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系 线面平行的判定定理 直线与平面平行的判定定理如果不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行,那么该直线与这个平面平行. 推理模式:不在平面上,.(线线平行,可推出线面平行) 线面平行的性质定理 直线与平面平行的性质定理如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行. 推理模式:.(线面平行,可推出线线平行) 线面垂直定义 如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说这条直线和这个平面互相垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面,交点叫做垂足,直线与平面垂直简称线面垂直,记作:. 线面垂直判定定理 直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直,那么此直线与该平面垂直. 直线与平面垂直的性质定理 直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两直线互相平行. 推论1过一点有且只有一个平面与给定的直线垂直. 推论2过一点有且只有一条直线与给定的平面垂直. 点到平面的距离 已知点是平面外的任意一点,过点作,垂足为,则唯一,是点到平面的距离.即一点到它在一个平面内的射影的距离叫做这一点到这个平面的距离. 结论：连接平面外一点与内一点所得的线段中,垂线段最短. 三垂线定理 三垂线定理 平面上的一条直线和这个平面的一条斜线垂直的充要条件是它和这条斜线在平面上的投影垂直. 4、 平面与平面的位置关系 平面与平面的位置关系：平行;相交. 两个平面平行的判定定理 如果一个平面上的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 二面角 平面上的一条直线把平面分为两个部分,其中的每一部分叫做半平面;从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面若棱为,两个面分别为的二面角记为. 二面角的平面角 过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内分别作棱的两条垂线,则叫做二面角的平面角.二面角的平面角范围是;二面角的平面角为直角时,则称为直二面角.组成直二面角的两个平面互相垂直. 平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直. 平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面垂直,那么其中一个平面上垂直于两平面交线的直线与另一个平面垂直. 距离 点与点、点到直线、两条平行直线、两条异面直线、点到平面、平行于平面的直线与该平面、两个平行平面之间的距离这七种距离,其中点与点、点与直线、点到平面的距离是基础,求其他几种距离一般化归为求这三种距离,点到平面的距离有时用“体积法”来求. 5、 空间向量 向量共面的充要条件 如果与是两个不平行的向量,那么空间中的向量与共面的充要条件是,存在唯一的一对实数与,使得. 空间向量基本定理 如果与是不共面的向量,那么对空间中任意一个向量,存在唯一的一组实数与,使得. 空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系,把向量的起点放在坐标原点,该向量就直接用它的终点坐标表示为,这个表示的意义是：是坐标轴正方向上的单位向量与的线性组合. (2)给定空间两点与,则. 坐标表示下的空间向量运算 设向量,则 (1); (2); (3); (4). 空间向量的夹角、平行与垂直 设向量均为非零向量,则 (1); (2); (3). 6、空间向量在立体几何中的应用 空间直线的方向向量 对于空间一条直线a,我们把与直线a平行的非零向量叫做直线a的一个方向向量. 一条直线的方向向量不唯一,但所有的方向向量互相平行. 直线上任意两点组成的向量都是该直线的一个方向向量. 平面的法向量 对于非零向量,如果它所在的直线与平面垂直,我们把向量叫做平面的一个法向量. 一个平面的法向量不唯一,但所有的法向量互相平行. 求一个平面的法向量,只要求出与平面内两个不平行向量都垂直的一个向量即可. 空间直线与平面之间的平行与垂直 (1)两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行; 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直. (2)直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量; 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. (3)两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量; 两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直. (2)直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量; 平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量. (3)两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量; 两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行. 求距离 (1)平面外一点到平面的距离由公式给出,其中是平面的一个法向量,是平面上任意一点; (2)平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理. 求角的大小 (1)具有方向向量与的两条直线所成角的大小由如下公式确定: (2)具有方向向量的直线与具有法向量的平面所成角的大小由如下公式确定: (3)具有法向量与的两个平面所成的锐二面角(或直二面角)的大小由如下公式确定： 考点精讲讲练 考点一：平面及其基本性质 【典型例题】 例1．（22-23高三下·上海宝山·阶段练习）在下列条件下，能确定一个平面的是（    ） A．空间的任意三点 B．空间的任意一条直线和任意一点 C．空间的任意两条直线 D．梯形的两条腰所在的直线 【答案】D 【分析】三个不共线的点或者两条共面直线可确定一个平面，由此判断即可. 【解析】三点共线则不能确定一个平面，A错误； 点在直线则不能确定一个平面，B错误； 若两线直线为异面直线，则不能确定一个平面，C错误； 梯形的两条腰所在的直线在梯形所在的面上，可以确定一个平面，D正确. 故选：D 例2．（23-24高三上·上海·期中）三角形的三个顶点都不在平面上，则“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】根据平面的位置关系及充分、必要性定义判断题设条件间的推出关系，即可得答案. 【解析】如下图示，若线段、的中点、都在平面内， 则的三个顶点到平面的距离相等， 此时，所在平面与平面不平行， 即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”； 若平面与平面平行，则点、、到平面的距离都相等， 即“平面与平面平行”“点、、到平面的距离都相等”， 所以，“平面与平面平行”是“点、、到平面的距离都相等”的充分非必要条件. 故选：A. 【即时演练】 1．（2023·上海浦东新·模拟预测）两个平面与相交但不垂直，直线在平面内，则在平面内（    ） A．一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直； B．一定存在直线与平行，不一定存在直线与垂直； C．不一定存在直线与平行，一定存在直线与垂直； D．不一定存在直线与平行，也不一定存在直线与垂直 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：和，然后对选项逐一验证即可得到结果. 【解析】设，则有两种情况：和， 当时，在平面内不存在直线与平行，故AB错误； 当时，在平面内一定存在直线与平行，也一定存在直线与垂直， 当时，在平面内不存在直线与平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与垂直， 综上：不一定存在直线与平行，但一定存在直线与垂直，故C正确，D错误； 故选：C 考点二：异面直线所成的角 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知空间三条直线、、.若与异面，且与异面，则（） A．与异面 B．与相交 C．与平行 D．与异面、相交、平行均有可能 【答案】D 【分析】根据题意作出图形,进行判断即可. 【解析】空间三条直线. 若与异面,且与异面,则可能平行（图1）,也可能相交（图2）,也与可能异面（图3）, 故选：D. 例2．（2023·上海·模拟预测）如图所示，在正方体中，点为线段上的动点，则下列直线中，始终与直线异面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义一一判断即可. 【解析】由正方体的性质易知当为的中点时，为的中点， 而，所以共面，则、在平面上，故A不符题意； 因为，即共面， 易知平面，而平面，，， 故与异面，故B符合题意； 当重合时，易知， 则四边形是平行四边形，则此时，故C不符合题意； 当重合时，显然，相交，故D不符合题意. 故选：B. 例3．（2024·上海杨浦·二模）正方体中，异面直线与所成角的大小为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用异面直线所成角的定义求解即得. 【解析】正方体中，，因此异面直线与所成的角或其补角， 而，因此. 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为： 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）在正方体中，是的中点，则在下列直线中，与直线相交的是（   ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的特征判断即可. 【解析】对于，因为，平面，平面， 所以平面，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 对于，因为平面，平面，所以平面， 又平面，且，所以直线与直线不相交，故错误； 因为直线都在平面内且不平行，所以直线相交，正确. 故选：. 2．（2024·上海·三模）在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【解析】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 3．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有 条. 【答案】3 【分析】利用异面直线的判定定理判断即可. 【解析】空间直线的位置关系有平行、相交、异面，即不平行也不相交则异面， 由图可知九条棱中，，，，，与相交， 没有直线与平行， 所以与直线是异面直线的共有3条，分别为，，， 故答案为：3 4．正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，在直角三角形EOB中求解即可. 【解析】如下图： 连接AC交BD于O点，连接OE，则OEPA，所以就是异面直线BE与PA所成的角，连接，因为面ABCD，所以，又因为，，所以面，所以，所以直在角三角形EOB中，设，则，. 故答案为：. 考点三：直线与平面的位置关系 【典型例题】 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接，进而根据线面平行的判定定理证明即可； （2）由平面，可得，进而结合可得面，再结合即可求证. 【解析】（1）证明：连接， ∵四边形是平行四边形，且是的中点， ∴是的中点， ∵E为PC的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）证明：∵平面，平面， ∴， ∵，，平面， ∴面， ∵， ∴平面. 【即时演练】 例1．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别为，的中点. (1)求证：平面； (2)若，平面，求证：平面. 1．（2024·上海长宁·二模）已知直线和平面，则下列判断中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线，平面的位置关系分析判断各个选项. 【解析】对于A，由，，则与可能平行，相交，异面，故A错误； 对于B，由，，则或，故B错误； 对于C，由，，则，故C正确； 对于D，由，，则或或，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知直线及平面，其中 ，且和之间的距离为2，那么在平面内到直线和距离之和为3的点的集合不可能是（    ） A．一个点 B．一条直线 C．两条直线 D．空集 【答案】A 【分析】考虑且和到平面之间的距离相等和不等，得到BCD可能，当与相交（垂直或斜交），由对称性分析，A不可能，得到答案. 【解析】如图1，假如且和到平面之间的距离等于， 和在平面上的投影分别为， 在平面内取一点，过点作⊥，则⊥，， 设，则， 过点作⊥平面，交于点，同理过点作⊥平面，交于点， 则，分别为点到和的距离， 由勾股定理得，， 所以， ，两边平方得， 故①， 当，即时，①只有1个根， 即此时在平面内存在一条直线到直线和距离之和为3， 当，即时，①有2个根， 此时在平面内存在2条直线到直线和距离之和为3， ，即时，①无根， 即此时在平面内到直线和距离之和为3的点的集合为空集， BCD均可能，A不可能； 假如且和到平面之间的距离分别等于， 可同理分析，要么存在一条直线，要么存在两条直线，要么为空集； 假如与相交（垂直或斜交），如图2， 假设在平面内存在一个点到直线和距离之和为3， 由对称性可知，则存在另一个点到直线和距离之和为3， 所以至少存在两个点，到直线和距离之和为3， 综上，BCD可能，A不可能, 故选：A 3．（2023·上海崇明·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，，E，F分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设是的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明，再利用等体积法求解即可. 【解析】（1）证明：取中点，连接、， 由于是的中点，则，， 由于，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 由于 上，平面， 所以 平面. （2）设点到平面的距离为， 因为平面，平面，所以， 由于，，所以四边形是平行四边形， 由于，所以， 由于平面， 所以平面， 又平面，所以， 在中，，所以，又. 由得， 即， 所以，即点B到平面的距离为. 考点四：直线与平面所成的角 【典型例题】 例1.（2023·上海松江·二模）如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交 点，，，平面ABCD，，M是PD的中点． (1)证明：平面ACM (2)求直线AM与平面ABCD所成角的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过中位线性质得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面； （2）取中点,连接,，利用线面垂直的性质得平面，从而将题目转化为求的大小，再利用勾股定理求出，则得到，最后利用反三角即可表示出角的大小. 【解析】（1）连接，在平行四边形中， 因为为与的交点， 所以为的中点， 又为的中点,所以. 因为平面平面， 所以平面. （2）取中点,连接,， 因为为的中点,所以,且, 由平面，得平面， 所以是直线与平面所成的角. 因为底面为平行四边形，且，， 所以，则， 在Rt中,,所以,从而， 因为平面,平面,， 所以在Rt中，，， 所以直线与平面所成角大小为. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海浦东新·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，交于点为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直三棱柱的性质可得，，进而根据线面垂直的判定与性质得到，即可证明； （2）由（1）知两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量为，又，即可求得直线与平面所成角的大小. 【解析】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面， 又平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 由已知， 则，，，，. 设，所以， 因为，所以，即， 所以平面的一个法向量为. 又， 设直线与平面所成角的大小为， 则 所以直线与平面所成角的大小为. 考点五：平面与平面的位置关系 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）如图，已知是正三角形，、都垂直于平面，且，，是的中点，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由中位线得到线线平行，同时垂直于同一平面的两直线平行，两条线同时垂直与同一直线得到线线平行； （2）由线面垂直得到线线垂直，正三角形三线合一得到线线垂直，得到线面垂直，由平行四边形得到线线平行，从而得到平面内一条线垂直于平面，然后得到面面垂直. 【解析】（1）∵点分别为中点， ∴， 由∵、都垂直于平面， ∴， ∴； （2）如图，连接CG， ∵平面，且平面， ∴ 在正中，点为中点， ∴，且，平面，平面， ∴平面， ∵点分别为中点， ∴，所以四边形是平行四边形， ∴， ∴平面， 又因为平面， ∴平面 平面. 【即时演练】 1.如图，矩形AMND所在平面与直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB． (1)求证：平面AMB//平面DNC； (2)若MC⊥CB，求证：BC⊥AC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面平行的判定可证MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定证结论； （2）由面面垂直的性质得AM⊥平面MBCN，再由线面垂直的性质、判定证BC⊥面AMC，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可. 【解析】（1）因为MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC． 因为AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC． 又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC． （2）因为AMND是矩形，所以AM⊥MN． 因为面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND， 所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC． 因为MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC， 因为AC面AMC，所以BC⊥AC． 考点六：二面角 【典型例题】 例1．（22-23高二上·上海长宁·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，， ，，，分别为棱中点． (1)求证：平面平面； (2)若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得平面，平面，由面面平行的判定可证得结论； （2）根据面面垂直的性质可证得平面，由线面角定义可知，根据二面角平面角的定义可知所求二面角的平面角为，由长度关系可得结果. 【解析】（1）为中点，，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； 分别为中点，， 平面，平面，平面； ，平面，平面平面. （2）平面平面，平面平面，平面，， 平面，即为直线与平面所成角，即； 设，则， 平面，平面，，； ，，平面，平面，平面平面， 即为二面角的平面角， ，，， 即二面角的大小为. 例2．（2024·上海金山·二模）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是．    (1)求证：； (2)若，，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，结合，可证平面，进而可证结论； （2）法一：取的中点，连接，，，取中点，连接，，，可得为所求二面角的平面角，进而求解可得二面角E−AG−C的大小． 法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式可求得二面角E−AG−C的大小． 【解析】（1）因为，所以是直线与所成角，为， 所以，得，                        又因为，且，平面，平面， 所以平面， 由平面，得． （2）解法一：取的中点，连接，，． 因为， 所以四边形为菱形， 所以． 取中点，连接，，．    则，， 所以为所求二面角的平面角． 又，所以． 在中，由于， 由余弦定理得， 所以，因此为等边三角形， 因此二面角E−AG−C的大小为． 解法二：以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得，，，，    故，，， 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 设是平面的一个法向量． 由，可得， 取，可得平面的一个法向量． 所以． 因此二面角E−AG−C的大小为． 【即时演练】 1．（2023·上海长宁·一模）如图，在三棱锥中，平面平面，，分别为棱的中点； (1)求证：直线平面； (2)求证：直线平面； (3)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）根据中位线定理得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理可得答案； （3）根据平面可得为二面角的平面角，为直线与平面所成的角，，由平面，为直线与平面所成的角，，设，在直角三角形中计算边长可得答案. 【解析】（1）因为分别为棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以直线平面； （2）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，所以直线平面； （3）由（2）知，平面，平面，平面， 所以，即为二面角的平面角， 因为平面，所以为直线与平面所成的角， 即，即， 由（2）知平面，为直线与平面所成的角， 即，即， 设，所以，， 得，所以， 所以二面角的平面角为. 考点七：空间向量及其基本定理 【典型例题】 例1．已知空间向量，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积运算可求得结果. 【解析】因为，， 所以 故答案为： 例2．正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【解析】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 例3．（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知空间单位向量，，，，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据题意在球中讨论，结合空间向量数量积的应用可求出最值. 【解析】因为空间向量，，，是单位向量， 所以把向量，，，平移到以为起点，终点在半径为的球面上，如图： 由，得，所以，同理， 令，则，， 根据，两边同时平方解得，， 所以绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面， 因为， 所以，则， 观察图形得当旋转到平面内时，向量与的夹角最小， 令此最小角为，则， 则， ， 所以的最大值是， 故答案为：. 【即时演练】 1．已知向量平行于向量 ，则 【答案】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【解析】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 2．已知，空间向量，．若，则 ． 【答案】 【分析】依题意可得，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可. 【解析】因为，且， 所以，解. 故答案为： 3．若空间向量，，共面，则实数 . 【答案】 【分析】向量共面定理建立等式，解方程求出的值. 【解析】∵共面， ∴一定存在，使得， 即，解得， 故答案为：5 4．已知空间向量的夹角是钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据且不共线求解即可. 【解析】由题意，且不共线，故，即. 当共线时，，此时，解得. 综上有实数的取值范围是. 故答案为： 5．（2024·上海·一模）已知空间向量，则在方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【解析】向量，则， 所以在方向上的投影向量为， 故答案为： 6．（2023·上海浦东新·三模）空间向量的单位向量的坐标是 ． 【答案】 【分析】单位向量只需根据即可求出. 【解析】，， . 故答案为： 7．（2023·上海金山·二模）已知向量，向量，则与的夹角的大小为 . 【答案】 【分析】利用向量夹角的坐标表示来求解. 【解析】因为，， 所以， 因为，所以. 故答案为：. 8．（2023·上海青浦·一模）已知空间三点，，，则以、为一组邻边的平行四边形的面积大小为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出，再利用三角形面积公式计算作答. 【解析】依题意，，， ，而，则， 所以以、为一组邻边的平行四边形的面积. 故答案为： 考点八：空间向量在立体几何中的应用 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）如图，多面体是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥的所有棱长均为，且． (1)在棱上找一点，使得平面平面，并给出证明； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)点为的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）当点为中点时，平面平面，依题意可得，从而得到，再由，即可证明平面，从而得证； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可. 【解析】（1）当点为中点时，平面平面， 证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以，所以. 在正方形中，，所以， 在正方形中，，因为，所以， 因为面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）因为四棱锥是正四棱锥且所有棱长均为，设， 则，，两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，则， 设，则，因为，， 所以，则，解得，所以， 所以， 设平面的法向量为，则有， 取，则，故， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 例2．（2024·上海·三模）如图，在三棱锥中，，，点O是AC的中点． (1)证明：平面ABC； (2)点M在棱BC上，且，求二面角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据等腰和等边三角形的性质证明以及，然后利用线面垂直的判断证明平面ABC （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求角公式求解即可 【解析】（1）连结OB，，，所以， 所以是等腰直角三角形，又点O是AC的中点，所以， 由已知可得，是等边三角形，所以， 又，所以，所以， 中，，O是AC的中点，所以， ，，，且平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC． （2）OB，OC，OP两两垂直，以、、为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系 则，，，， 由，即 所以点 则，， 设平面APM的—个法向量为， 则，令， 平面PAC的一个法向量， ， 所求二面角的平面角是锐角，所以二面角为的大小为． 例3．（2024·上海·三模）如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点． (1)若，求异面直线与所成的角的大小； (2)若，求点B到平面的距离． 【答案】(1)； (2)0或. 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再利用线线角的向量求法求解即得. （2）由（1）的坐标系，求出点的坐标，平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【解析】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得，于是， ， 所以异面直线与所成角的余弦为，大小为. （2）令，，点， 则，由， 得，而，解得或， 当时，点与点重合，点B在平面内，因此点B到平面的距离为0； 当时，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 而，因此点B到平面的距离， 所以点B到平面的距离为0或. 【即时演练】 练1．（2024·全国·模拟预测）如图，在多面体中，已知四边形是菱形，，平面，平面，. (1)在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由. (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)存在，为的中点 (2) 【分析】（1）设为的中点，连接，利用线面垂直可得，从而根据平行关系可证得平面，平面，再结合面面平行的判定定理即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，再根据空间向量的坐标运算确定法向量夹角的余弦值，根据二面角的性质即可得结论. 【解析】（1）线段上存在一点，使得平面平面，且为的中点.理由如下： 如图，设为的中点，连接， 因为平面平面，所以，即， 又，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又，，所以四边形是平行四边形， 所以，， 又，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面； 又，平面， 所以平面平面. （2）连接，设与相交于点， 因为四边形是菱形，所以. 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且与平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，故，，，. 设是平面的法向量， 则，即， 取，则，故. 设是平面的法向量， 则，即， 故，取，则，故. 所以， 由图易知二面角是钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 2．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．    (1)求证：四边形是菱形； (2)求异面直线与所成角的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，如图所示：先证其是平行四边形，再根据空间向量模相等说明邻边相等即可； （2）可得，利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 【解析】（1）设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示：    则, , ,， ,， 所以,即且,故四边形是平行四边形， 又因为,所以， 故平行四边形是菱形. （2）因为， 设异面直线与所成的角的大小为， ， 所以，故异面直线与所成的角的大小为. 3．（2022·上海闵行·二模）如图，四棱锥的底面为菱形，平面ABCD，，E为棱BC的中点．    (1)求证：平面PAD； (2)若，求点D到平面PBC的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）先证明，结合，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面PBC的一个法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【解析】（1） 证明：连接BD，如图，    ∵底面ABCD为菱形，，则， ∴△BCD为等边三角形， ∵E为BC的中点，∴， ∵，∴， ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴，∵平面PAD， ∴ED⊥平面PAD； （2） 以D为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，    则，， ∴， 设平面PBC的法向量为， 则，即，令，则， ∴， 又， ∴点D到平面PBC的距离为：. 1.已知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【解析】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 2．（2023·上海黄浦·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ） A． B．平面平面ABN C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点 【答案】D 【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答. 【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，则， 取的中点，连接，如图，点G为MC的中点， 则，且，于是四边形是平行四边形， ，在正方形中，，则， 因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点， 有，所以，A正确； 因为，平面，平面，则平面， 又，平面，平面，则平面， 而平面，所以平面平面ABN，B正确； 取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形， 因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误； 显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确. 故选：D 【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线. 3．（2023·上海浦东新·二模）在空间中，下列命题为真命题的是（    ）． A．若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行； B．若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直； C．若两个平面垂直，则过一个平面内一点垂直于交线的直线与另外一个平面垂直； D．若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直． 【答案】D 【分析】ABC均可举出反例，D可利用线面平行的性质及线面垂直的性质进行证明. 【解析】A选项，若两条直线垂直于第三条直线，则这两条直线异面，平行或相交， 如图1，直线⊥，⊥，但与异面，故A错误； B选项，如图2，，，则， 故两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面不一定垂直，B错误； C选项，如图3，平面与平面垂直，交线为， 则过平面内一点的直线m垂直于交线，但m与另外一个平面平行，C错误； 选项D，如图4，直线，直线⊥，则，理由如下： 因为，，，所以， 因为⊥，，所以⊥，故，证毕. 若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直，D正确 故选：D 4．（2024年春考14）空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，若，则或， 又，当时，在内必存在直线l和m平行，则； 当时，显然有，所以，故A正确； 对于B，若，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误； 对于C，若，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误； 对于D，若，则或，又，则或，故D错误. 故选：A. 5.（2023年春考15）如图所示，是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ） A. B. C. D． 【答案】B 【解析】当点在中点时与相交，A错；当点与重合时，与平行，与 相交，CD错. 6．（2023·上海普陀·模拟预测）已知平面所成角为为两平面外一点，则过点且与平面所成角均为的直线有（    ）条. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】作出两平面所成二面角的平面角，先考虑二面角内符合题意的直线，再考虑在二面角的邻补的二面角内符合题意的直线，综合可得答案. 【解析】如图，作出两平面所成二面角的平面角，则，    设为的平分线，则， 当以O为中心，在二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小， 此时与平面所成角均为的直线仅这一条； 设为的补角的角平分线，则， 当以O为中心，在二面角的邻补的二面角的角平分面上旋转时，与两平面的夹角变小， 此时在的两侧会各出现一条与两平面成的直线，可设为， 故过点P可作一条与平行的直线，符合题意；可作与平行的直线各一条，符合题意， 故过点且与平面所成角均为的直线有3条， 故选：C 7．（22-23高三上·上海宝山·阶段练习）在四面体ABCD中，各条校长都相等，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线AB与EF所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质、三角形中位线的性质，结合线面垂直的判定定理、异面直线所成角的定义进行求解即可. 【解析】取中点，连结， 设正四面体的棱长为, 则，且， 是异面直线与所成的角(或其补角)， 取中点，连结 则， 平面, 平面,， ， ， 异面直线与所成的角为, 故选：B 8．（2023·上海静安·一模）在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点在第 卦限；若点的坐标为，则向量与向量夹角的余弦值是 ． 【答案】 五 【分析】根据坐标平面对称先求出的坐标，根据卦限在空间中的位置可以得出结果； 利用空间坐标直接求出夹角的余弦值即可得出答案. 【解析】点关于坐标平面的对称点为，根据卦限在空间中的位置，所以点在第五卦限. 由已知可得，，所以 故答案为：五； 9．（2024·上海·三模）已知空间向量，，共面，则实数 【答案】3 【分析】根据空间向量共面得到，得到方程，求出 【解析】设，即， 故，解得. 故答案为：3 10．（2023·上海崇明·一模）在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ． 【答案】3 【分析】根据空间直角坐标系的定义和点的坐标得到答案. 【解析】在空间直角坐标系中，点到平面的距离为竖坐标的绝对值，即为3. 故答案为：3 11．（2023·上海黄浦·一模）已知向量，，若，则mn的值为 . 【答案】-2 【分析】运用向量平行的坐标运算公式即可. 【解析】∵， ∴，解得：，， ∴. 故答案为：. 12．（2023·上海嘉定·一模）如图为正六棱柱.其个侧面的条面对角线所在直线中，与直线异面的共有 条. 【答案】 【分析】作出辅助线，得到四点共面，不是异面直线，同理得到与共面，再由，与相交，得到与不是异面直线的面对角线，从而得到与异面的面对角线，求出答案. 【解析】连接， 因为六边形为正六边形，所以， 故，所以四点共面，不是异面直线， 同理可得：与共面，不是异面直线， 而， 又与相交， 故条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为， 其余面对角线均与异面，分别为，共5条. 13．（2024年春考10）已知四棱柱底面ABCD为平行四边形，且，则异面直线与的夹角余弦值为 . 【答案】 【难度】0.65 【分析】将用不共面的向量表示出来，从而得到，然后由公式计算夹角余弦值即可. 【解析】， ， ， 底面ABCD为平行四边形，所以， 所以， . 所以， 故异面直线与的夹角的余弦值为:， 故答案为： 14.（2023年春考17）已知: 平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点 （1）求直线与平面所成的角； （2）证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 【答案】（1）；（2）证明见解析；距离为2. 【解析】（1）联结，因为平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为且为中点，则. 在中，. 所以直线与平面所成的角为. （2）由题意知平面，平面，，则平面平面. 因为平面，则即为直线到平面的距离. 易知. 15．（2024年春考18）如图，、、为圆锥三条母线，. (1)证明:； (2)若圆锥侧面积为为底面直径，，求二面角的大小 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【分析】（1）取中点，连接、，则，故可得面，从而得到. （2）利用向量法可求面、面的法向量，计算出它们的夹角的余弦值后可得二面角的余弦值. 【解析】（1）取中点，连接、， 因为，所以， 又因为面面，所以面， 因为面，所以. （2）因为为直径，故为底面圆的圆心，故平面，而 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为圆锥侧面积为为底面直径，，所以底面半径为1，母线长为， 所以， 则可得， 故， 设为面的法向量，则， 令，则，所以. 设为面的法向量， 则， 令，则，所以. 则， 设二面角为，则为钝角， 所以二面角的大小为. 16．（2024·上海普陀·二模）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）取线段、的中点分别为、，连接、、，然后四边形为平行四边形，得到线线平行，从而证明线面平行； （2）根据线面角的定义，可由几何图形作出线面角，然后根据三角形求解即可. 【解析】（1）证明：取线段、的中点分别为、，连接、、， 则 ，， 又底面是正方形，即 ， 则，即四边形为平行四边形， 则，又在平面外，平面， 故平面.   （2）取线段的中点为点，连接、， 又，底面是边长为的正方形， 则，且，， 又二面角的大小为， 即平面平面， 又平面，平面平面， 则平面， 则是直线与平面所成角， 在中，， 即， 故直线与平面所成角的大小为. 17．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，. (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，连接，进而根据即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【解析】（1）证明：连接交于点，连接， 因为底面为正方形， 所以为的中点， 所以，在中，为的中点，为的中点， 所以； 又因为面，面， 所以平面. （2）解：因为平面，为正方形，平面， 所以，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，即， 令，则，，即， ， 设点P到平面MAC的距离为d， 所以， 所以，点到平面的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$