专题07 数列（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题07 数列 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 7 考点一：数列基本量及其性质 7 考点二：数列的通项公式 8 考点三：数列的前n项和 9 考点四：数学归纳法 11 考点五：数列的应用 12 实战训练 13 考情解读 数列的考查重点有所改变，23年之前常考的21题压轴题，现在填空题、选择题16，解答题17，也有可能与21题结合。高考占比8%左右，主要考查方向为数列的性质、通项公式、前n项和、数列单调性问题、数列综合。在最近3年的春考中，3年4考。 基础知识梳理 1、等差数列 等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为,为常数). 注:(1)为严格增数列; (2)为严格减数列; (3)为常数列. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中叫做a,b的等差中项. 注:数列为等差数列 等差数列的有关公式 (1)通项公式:当时,是关于的一次函数; (2)前项和公式:当时,是关于的二次函数,且没有常数项. 常用结论 已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和. (1)通项公式的推广:； (2)在等差数列中,当时,,且均. 特别地,若,则,且均; (4) 也成等差数列,公差为; (5)若是等差数列,则也是等差数列; (6)若是等差数列,则也成等差数列,其首项与首项相同,公差是公差的; （7）若项数为偶数,则; （8）若项数为奇数,则; (9)在等差数列中,若,则满足的项数使得取得最大值;若,则满足的项数使得取得最小值. 说明:利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法.此处,可简称为“邻项变号法”求等差数列前项和的最值. 2、等比数列 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,定义的表达式为； (2)等比中项:如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即是与的等比中项成等比数列. 注：只有当两个项同号且不为0时,才有等比中项,且等比中项有两个. 等比数列的有关公式 （1）通项公式:; (2)前项和公式: 注:当时,,若令,则 无穷递缩等比数列的各项和公式 常用结论 （1）若且均,则; 若(项数相同)是等比数列,则仍是等比数列; (3)在等比数列中,等距离取出若干项依次构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为; (4)为等比数列,若,则成等比数列; (5)当时,是成等比数列的充要条件,此时 (6)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,等于中间项的平方. 3、数列的相关概念 数列的概念 （1）数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项; （2）数列与函数的关系：从函数观点看,数列可以看成以正整数集(或它的有限子集,为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值; 注：数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要考虑函数的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分: 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 注：(1)并不是所有的数列都有通项公式: (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. （2）递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 常用结论 (1)若数列的前项和为,通项公式为,则 (2)在数列中,若最大,则 4、数列前n项和的求法 1.公式法 (1)等差数列的前项和. 推导方法:倒序相加法. (2) 等比数列的前项和推导方法:乘公比,错位相减法. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解; 注:错位相减时,注意最后一项的符号. (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 3.常用结论 常见的裂项技巧： (1); (2); (3); (4); (5). 5、数学归纳法 1.证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 （1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时命题成立; （2）(归纳递推)假设为正整数)时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立. 2.数学归纳法的框图表示 3.数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数,这个,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点; （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推,所以从“”到“”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由到时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项; （3）利用假设是核心：在第二步证明成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来导出“”,在书写时,一定要把包含的式子写出来,尤其是中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. (4)综合(1),(2)才是完整的数学归纳法. 考点精讲讲练 考点一：数列基本量及其性质 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·阶段练习）“两个非零向量与共线”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）等差数列的前7项的和为，则 . 例3．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 例4．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【即时演练】 1．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 2．（2024·上海青浦·二模）设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 3．（2023·上海杨浦·一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）设等差数列的前n项和为.若，则 . 6．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 考点二：数列的通项公式 【典型例题】 例1．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 【即时演练】 1．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 2．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 3．（2023·上海虹口·三模）若数列满足（n为正整数，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差． (1)已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数m的值； (3)在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，，求数列中前50项的和． 考点三：数列的前n项和 【典型例题】 例1．（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ． 例2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知等差数列中，，则前7项和 . 例3．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 . 【即时演练】 1．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 2．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 3．（2024·上海奉贤·二模）已知是公差 的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，计算． 考点四：数学归纳法 【典型例题】 例1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 2．（21-22高三下·上海青浦·阶段练习）用数学归纳法证明对任意 的自然数都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点五：数列的应用 【典型例题】 例1．（2023·上海·模拟预测）高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） (1)求需要建造的桥墩的个数； (2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 【即时演练】 1．（2023·上海松江·二模）参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 升． 2．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 实战能力训练 1．（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海虹口·模拟预测）数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； 5．（2022·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 6．（2024年春考12），任意，满足，求有序数列有 对. 7.（2023年春考16）数列的各项均为实数，为其前项和，对任意都有，则下列说法正确的是（ ） A．为等差数到，为等比数列; B．为等比数列，为等差数列; C. 为等差数列，为等比数列; D．为等比数列，为等差数列. 8．（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 9．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 10．（2024·上海奉贤·三模）若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有 项． 11．（2024·上海·三模）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 12．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 13．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，若，则 . 14．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足 ，则的最大值为 ． 15．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 16．（2023·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 17．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 数列 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 7 考点一：数列基本量及其性质 7 考点二：数列的通项公式 11 考点三：数列的前n项和 13 考点四：数学归纳法 16 考点五：数列的应用 19 实战训练 22 考情解读 数列的考查重点有所改变，23年之前常考的21题压轴题，现在填空题、选择题16，解答题17，也有可能与21题结合。高考占比8%左右，主要考查方向为数列的性质、通项公式、前n项和、数列单调性问题、数列综合。在最近3年的春考中，3年4考。 基础知识梳理 1、等差数列 等差数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,符号表示为,为常数). 注:(1)为严格增数列; (2)为严格减数列; (3)为常数列. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中叫做a,b的等差中项. 注:数列为等差数列 等差数列的有关公式 (1)通项公式:当时,是关于的一次函数; (2)前项和公式:当时,是关于的二次函数,且没有常数项. 常用结论 已知为等差数列,为公差,为该数列的前项和. (1)通项公式的推广:； (2)在等差数列中,当时,,且均. 特别地,若,则,且均; (4) 也成等差数列,公差为; (5)若是等差数列,则也是等差数列; (6)若是等差数列,则也成等差数列,其首项与首项相同,公差是公差的; （7）若项数为偶数,则; （8）若项数为奇数,则; (9)在等差数列中,若,则满足的项数使得取得最大值;若,则满足的项数使得取得最小值. 说明:利用通项公式研究和的问题,是一种“降维思维”,立体几何中常用此方法.此处,可简称为“邻项变号法”求等差数列前项和的最值. 2、等比数列 等比数列的有关概念 （1）定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母表示,定义的表达式为； (2)等比中项:如果成等比数列,那么叫做与的等比中项.即是与的等比中项成等比数列. 注：只有当两个项同号且不为0时,才有等比中项,且等比中项有两个. 等比数列的有关公式 （1）通项公式:; (2)前项和公式: 注:当时,,若令,则 无穷递缩等比数列的各项和公式 常用结论 （1）若且均,则; 若(项数相同)是等比数列,则仍是等比数列; (3)在等比数列中,等距离取出若干项依次构成一个等比数列,即,为等比数列,公比为; (4)为等比数列,若,则成等比数列; (5)当时,是成等比数列的充要条件,此时 (6)有穷等比数列中,与首末两项等距离的两项的积相等.特别地,若项数为奇数时,等于中间项的平方. 3、数列的相关概念 数列的概念 （1）数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项; （2）数列与函数的关系：从函数观点看,数列可以看成以正整数集(或它的有限子集,为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值; 注：数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要考虑函数的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 数列的分类 （1）按照项数有限和无限分： （2）按单调性来分: 数列的两种常用的表示方法 （1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 注：(1)并不是所有的数列都有通项公式: (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一. （2）递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且从第2项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 常用结论 (1)若数列的前项和为,通项公式为,则 (2)在数列中,若最大,则 4、数列前n项和的求法 1.公式法 (1)等差数列的前项和. 推导方法:倒序相加法. (2) 等比数列的前项和推导方法:乘公比,错位相减法. 2.几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减; (2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得前项和; (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解; 注:错位相减时,注意最后一项的符号. (4)倒序相加法:如果一个数列的与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解. 3.常用结论 常见的裂项技巧： (1); (2); (3); (4); (5). 5、数学归纳法 1.证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行 （1）(归纳奠基)证明当取第一个值(为正整数)时命题成立; （2）(归纳递推)假设为正整数)时命题成立,证明当时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立. 2.数学归纳法的框图表示 3.数学归纳法证题的关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数,这个,就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数,这个自然数并不一定都是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是第一个关键点; （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推,所以从“”到“”的过程中,要正确分析式子项数的变化.关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由到时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项; （3）利用假设是核心：在第二步证明成立时,一定要利用归纳假设,即必须把归纳假设“时命题成立”作为条件来导出“”,在书写时,一定要把包含的式子写出来,尤其是中的最后一项,这是数学归纳法的核心.不用归纳假设的证明就不是数学归纳法. (4)综合(1),(2)才是完整的数学归纳法. 考点精讲讲练 考点一：数列基本量及其性质 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·阶段练习）“两个非零向量与共线”是“，，成等比数列”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【分析】根据平面向量共线的坐标关系以及等比中项的概念判断即可得结论. 【解析】两个非零向量与共线，则，即， 若，则至少有一个为，不符合题意， 故，则，所以，故，，成等比数列； 若，，成等比数列，则，即，且均不为， 所以两个非零向量与共线； 综上，“两个非零向量与共线”是“，，成等比数列”的充要条件. 故选；C. 例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）等差数列的前7项的和为，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【解析】设为等差数列的前项和， 因为等差数列的前7项的和为28， 所以由等差数列的前项公式有， 即，又因为，所以. 故答案为：4. 例3．（2024·上海闵行·三模）设是等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】5 【分析】根据题意，由等比数列前项和的片段和性质，代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意得，， 因为，，，，成等比数列， 故，即，解得， 则，所以，，故. 故答案为： 例4．（2024·上海普陀·模拟预测）已知数列的通项公式为为数列的前项和，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先证明是等差数列，再根据求和公式计算，解不等式即可. 【解析】当，， 当， 则（常数）。 则是首项为，公差为1的等差数列. 由题意知，，故， 故. 故答案为：. 【即时演练】 1．（2024·上海·模拟预测）数列的最小项的值为 . 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【解析】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为：. 2．（2024·上海青浦·二模）设是首项为，公比为q的等比数列的前项和，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意算出，可得且，由此对各项的结论加以判断，即可得结论． 【解析】， ，，即且， ，且，两边都除以，得，可得． 对于A，由，可得，故A项不正确； 对于B，由于，所以不成立，故B不正确； 对于C，因为，所以，可得． 结合，可得，故C正确； 对于D，根据且，当，时，， 此时不成立，故D不正确． 故选：C． 3．（2023·上海杨浦·一模）等比数列的首项，公比为，数列满足（是正整数），若当且仅当时，的前项和取得最大值，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的通项公式，分析出其为等差数列，然后由条件得出，代入通项公式即可求解. 【解析】 所以是以为首项，为公差的等差数列， 若当且仅当时，的前项和取得最大值， 所以 即，， 故选：C. 4．（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 【答案】3 【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可. 【解析】因为成等差数列， 故，即， 解得：或. 因为等比数列是严格减数列，且，故. 所以. 故答案为：3 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）设等差数列的前n项和为.若，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项的概念求解即可. 【解析】因为等差数列的前n项和为，， 所以. 故答案为： 6．（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和的概念计算即可得解. 【解析】因为， 所以，故. 故答案为：4 考点二：数列的通项公式 【典型例题】 例1．（2024·上海杨浦·二模）各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为 . 【答案】 【分析】利用给定条件，求出等比数列的公比，再写出通项公式. 【解析】设正项等比数列的公比为，由，，得， 则，解得， 所以. 故答案为： 【即时演练】 1．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 【答案】 【分析】当时求出，当时，作差即可得解. 【解析】因为， 当时， 当时， 所以， 所以， 当时不成立，所以. 故答案为： 2．（24-25高二上·上海·期中）在等差数列中，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可求，即可得通项公式； （2）根据通项公式分析数列的符号性，进而可得前项和的最小值. 【解析】（1）因为，即， 又因为，可得，即， 则，可得， 所以数列的通项公式. （2）令，解得， 可知当时，；当时，； 所以数列的前项和的最小值为. 3．（2023·上海虹口·三模）若数列满足（n为正整数，p为常数），则称数列为等方差数列，p为公方差． (1)已知数列的通项公式分别为判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，数列满足，且，求正整数m的值； (3)在（1）､（2）的条件下，若在与之间依次插入数列中的项构成新数列，，求数列中前50项的和． 【答案】(1)数列为等方差数列，数列不是等方差数列，理由见解析； (2)40 (3)11522 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）首先求得数列的通项公式，再根据数列的通项公式，结合对数换底公式， 即可求解； （3）首先确定的取值，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解. 【解析】（1）因为（常数）， 所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为， 所以数列不是等方差数列． （2）由题意得，， 显然 ，解得． （3）由题意得：新数列中，（含） 前共有：项，由，得， 所以新数列中的前50项含有数列的前9项，含有数列的前41项， 即 考点三：数列的前n项和 【典型例题】 例1．（2024·上海·三模）无穷等比数列满足：，，则的各项和为 ． 【答案】 【分析】设无穷等比数列的公比为，的前项和为，根据所给条件求出、，即可求出，再取极限即可. 【解析】设无穷等比数列的公比为，的前项和为， 则，解得或， 当时，解得， 所以， 所以； 当时，解得， 所以， 所以； 综上可得的各项和为. 故答案为： 例2．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知等差数列中，，则前7项和 . 【答案】21 【分析】根据等差数列中，，，求得公差和首项，由等差数列前n项和公式求解. 【解析】因为等差数列中，，， 所以公差，首项为， 所以前7项和. 故答案为：21 例3．（2024·上海浦东新·三模）已知数列为等比数列，，，则 . 【答案】255 【分析】根据题意结合通项公式求，进而结合等比数列求和公式运算求解. 【解析】设等比数列的公比为， 由题意可得，解得， 所以. 故答案为：255. 【即时演练】 1．（2024·上海松江·二模）已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为 . 【答案】 【分析】根据题意，列出方程求得，得到且，结合，列出不等式，即可求解. 【解析】由等差数列的公差为2，前项和为，若， 可得，解得， 所以，且， 因为，即，整理得，解得， 因为，所以使得成立的的最大值为. 故答案为：. 2．（2023·上海嘉定·一模）已知数列的前n项和为，，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1） 利用与的关系式，分类讨论与即可得解； （2）利用裂项相消求和法即可得解. 【解析】（1）因为， 当时，有， 当时，有， 所以， 经检验，满足上式， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 3．（2024·上海奉贤·二模）已知是公差 的等差数列，其前项和为，是公比为实数的等比数列，，． (1)求和的通项公式； (2)设，计算． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）根据等差数列前n项和公式求出；根据等比数列通项公式求出q；从而可得和的通项公式； （2）求出，根据其为等比数列，利用等比数列前n项和公式即可求解． 【解析】（1）∵，且，∴，∴． ∵，且，∴，∴，∴． （2）由题可知，， 为等比数列求和，首项为，公比为， ∴． 考点四：数学归纳法 【典型例题】 例1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 【即时演练】 1．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【解析】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 2．（21-22高三下·上海青浦·阶段练习）用数学归纳法证明对任意 的自然数都成立，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先对原不等式变形计算出k，再运用数学归纳法证明. 【解析】 等价于 ， 当 时，不等式成立，所以k的最小值是3，下面用数学归纳法证明： 显然 时，不等式成立， 假设 时， 成立， 则当 时，左边= ， 右边 ，当 时， ， 即 ， 所以对于任意的 ，原不等式成立； 故选：C. 考点五：数列的应用 【典型例题】 例1．（2023·上海·模拟预测）高铁的建设为一个地区的经济发展提供了强大的推进力，也给人们的生活带来极大便捷.以下是2022年开工的雄商高铁线路上某个路段的示意图，其中线段､代表山坡，线段为一段平地.设图中坡的倾角满足，长长长.假设该路段的高铁轨道是水平的（与平行），且端点分别与在同一铅垂线上，每隔需要建造一个桥墩（不考虑端点建造桥墩） (1)求需要建造的桥墩的个数； (2)已知高铁轨道的高度为，设计过程中每放置一个桥墩，设桥墩高度为（单位：），单个桥墩的建造成本为（单位：万元），求所有桥墩建造成本总和的最小值. 【答案】(1)18个 (2)715.625万元 【分析】（1）先由正切值得到余弦值，进而计算得到得到的长，再计算得出，结合每30m放置一个桥墩， 即可求出需要建造的个数. （2）可设最左边的桥墩到的距离为米，为从左往由第个桥墩的高度，写出和 对应的桥墩高度的表达式，然后利用数列求和求出所有桥墩的高度，计算出成本总和的最小值即可得 出答案. 【解析】（1）由，，可得，，过点向作垂线，垂足为，则 ，，， 故修建桥墩个数为个. （2）设最左边的桥墩到的距离为米，为从左往由第个桥墩的高度， 由，之间可以建13或14个桥墩，当可以建14个桥墩时， ，当时，AC之间可以建13个桥墩，而， 即之间可以建8个桥墩，在时，当，， ，， ； 当， ；当，；同理写出， 表达式总结如下： ①当时： 解得 求和后得到的高度总和 ②当时： 求和后得到的高度总和 所以当，，当，， 即桥墩高度总和最小为，成本最小值为万元. 【即时演练】 1．（2023·上海松江·二模）参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为 升． 【答案】 【分析】设自上而下的竹子容量依次为，可得为等差数列，根据，，可得数列的通项公式及 【解析】设自上而下的竹子容量依次为，可得为等差数列， 则，解得， 故，， 故答案为：. 2．（2024·上海·三模）某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． (1)判断是否为等比数列？并说明理由； (2)若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】(1)答案见解析； (2)9. 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【解析】（1）依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. （2）当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 实战能力训练 1．（2023·上海金山·一模）已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，举反例排除即可；对于D，利用三角函数的基本关系式即可判断. 【解析】角的终边不在坐标轴上，有，，，， 对于A，令，则， ，即，A不是； 对于B，令，则，即，B不是； 对于C，令，则， 于是，即，C不是； 对于D，，则，则一定成等比数列，D是. 故选：D 2．（2023·上海虹口·模拟预测）数列{}中，“”是“{}是公比为2的等比数列”的（    ）. A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】结合等比数列的定义，判断“”和“{}是公比为2的等比数列”之间逻辑推理关系，即得答案. 【解析】对数列{}，，若，则可得， 此时{}不是公比为2的等比数列； 若{}是公比为2的等比数列，则，即， 故”是“{}是公比为2的等比数列”的必要而不充分条件， 故选：B 3．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【解析】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 4．（2024·上海奉贤·三模）若数列的前项和为，关于正整数的方程记为，命题：对于任意的，存在等差数列使得有解；命题：对于任意的，存在等比数列使得有解；则下列说法中正确的是（    ） A．命题为真命题，命题为假命题； B．命题为假命题，命题为真命题； C．命题为假命题，命题为假命题； D．命题为真命题，命题为真命题； 【答案】D 【分析】根据题意，利用等差数列与等比数列的性质，结合有解，构造出满足条件的等差、等比数列，即可求解. 【解析】当时，可得且，显然满足； 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 当时，设等差数列的首项，公差为， 可得，此时， 满足，即存在等差数列使得有解， 综上可得，对于任意的，存在等差数列使得有解，所以命题为真命题； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 则，此时满足，即成立； 当时，取等比数列的首项为，公比为，可得， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 当时，令，即为首项，公比为的等比数列， 此时，满足，即存在等比数列使得有解； 综上可得，对于任意的，存在等比数列使得有解，所以命题为真命题. 故选：D. 5．（2022·上海·模拟预测）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合等比数列的性质和特例，以及等比数列的单调性和前项和公式，可判定A、B、C都不正确；由数列是递增数列，得到和，可判定D正确. 【解析】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 6．（2024年春考12），任意，满足，求有序数列有 对. 【答案】48 【解析】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 7.（2023年春考16）数列的各项均为实数，为其前项和，对任意都有，则下列说法正确的是（ ） A．为等差数到，为等比数列; B．为等比数列，为等差数列; C. 为等差数列，为等比数列; D．为等比数列，为等差数列. 【答案】C 【解析】等差数列前n项和公式为关于n的一元二次函数，当n趋于无穷大时，Sn也趋于无穷大，可排除ABD. 8．（2024·上海·一模）等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等比数列各项和公式，结合公比的取值范围求解即得. 【解析】依题意，，或， 则，或， 所以首项的取值范围为. 故答案为： 9．（2024·上海普陀·二模）设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是 . 【答案】（或,答案不唯一） 【分析】根据已知条件，结合等差数列、等比数列的性质，即可求解． 【解析】，，成等差数列， 则，即，解得或， 故“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是（或． 故答案为：（或,答案不唯一） 10．（2024·上海奉贤·三模）若数列满足对任意整数有成立，则在该数列中小于100的项一共有 项． 【答案】 【分析】根据与的关系求出数列的通项，再令即可得解. 【解析】设数列的前项和为， 则， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以， 令，则， 所以在该数列中小于100的项一共有项. 故答案为：. 11．（2024·上海·三模）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的前项和公式可求. 【解析】因为为等比数列，故， 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·期中）记等差数列的前项和分别为. 若，则 . 【答案】 【分析】设，，，再根据得出的关系，进而可得. 【解析】设，，， 则，. 故，则，，且. 故，，. 则，，故. 故答案为：. 13．（24-25高三上·上海·期中）已知等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】5 【分析】设出公差，由题目条件得到方程组，求出首项. 【解析】设公差为，由得， ，解得. 故答案为：5 14．（23-24高二上·上海·期末）等差数列满足 ，则的最大值为 ． 【答案】50 【分析】根据题意分析可知：存在，使得或，以为例，设等差数列的公差为，结合绝对值不等式的性质分析可知：，且，进而可得，再根据等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解. 【解析】若对任意，恒成立，则， 可得， ， 显然两者不相等，不合题意； 同理可得对任意，恒成立也不合题意； 所以等差数列一部分为正，一部分为负， 即存在，使得或， 若，可得， 且 ， 当且仅当时，等号成立， 即，解得； 且 ， 当且仅当时，等号成立 即，解得， 综上所述：，即满足条件的必为偶数， 结合等号成立条件可知：且， 设等差数列的公差为，则，，， 即，，， 可得， 则 ， 可得，解得， 且，即有的最大值为，的最大值为； 同理可得：当，的最大值也为. 故答案为：50. 15．（2024·上海·三模）已知等比数列的公比，且，． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，且是严格增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式的基本量进行运算即可； （2）是严格增数列，利用恒成立即可求解. 【解析】（1）因为数列是等比数列，且，所以或2， 若，，则与矛盾，舍去， 若，，则，，满足题意， 所以． （2）因为，是严格增数列， 所以对于任意正整数n都成立， ， 即对于任意正整数n都成立，所以， 因为在上严格递减， 所以当时，最大，最大值为， 所以的取值范围是. 16．（2023·上海长宁·一模）已知数列是公差为2的等差数列，数列为等比数列． (1)若，，，求数列的通项公式： (2)设数列的前n项和为，若，，求． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由等差数列、等比数列的基本量关系即可列式求得，，进一步即可得解； （2）由等差数列基本量的关系即可列方程组求解. 【解析】（1）由题意得，，. 因为，所以， 解得，所以，， 所以数列的公比为3， 所以数列的通项公式为. （2）∵数列为等差数列，且公差为2， ，， ∴， 解得，故. 17．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【解析】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$