专题06 平面向量、复数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题06 平面向量、复数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 7 考点一：向量的相关概念 7 考点二：投影与数量积 7 考点三：向量的坐标表示 9 考点四：向量的应用 10 考点五：复数 12 实战训练 12 明晰学考要求 平面向量与复数是高考的基础章节。平面向量的线性运算、数量积都是考查的重点；复数的运算是春考与秋考常考的知识点。在过去春考中，3年7考，向量与复数至少一题。 基础知识梳理 1、 向量的概念和线性运算 平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量． （2）模：向量的大小叫做的模，记作 ．模为1的向量叫做 单位向量 · （3）零向量：模为0的向量叫做零向量，记作 ，它具有任意方向． （4）平行：如果两个非零向量所在的直线 平行 或 重合 ，那么称这两个向量平行，用记号／／表示向量与平行，特别地、零向量平行于任意向量． （5）相等的向量：方向相同模相等的向量叫做相等的向量． （6）负向量：如果一对 平行 向量与具有相等的模但方向相反，那么称它们互为负向量.一般地，对于平面上任意两点P，Q，均有 . 线性运算 （1）平行四边形法则：以点O为起点，分别作，那么以为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的向量就定义为向量与的和，记作 （2）三角形法则：以点O为起点，作再以点A为起点，作，则连接起点O与终点C得到向量OC,，它就是与两向量的和 （3）交换律： + · （4）结合律： . （5）向量的减法： （6）实数与向量的乘法：实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ.它的模|λ|=|λ||| ， 当λ>0.时，的方向与 相同 （相同／相反）； 当λ<0时，λ的方向与 相反 （相同／相反）； 当或λ=0时 · （7）向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数λ，使得 (8) （9）单位向量：向量的单位向量 （10）线性组合：向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算．从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合.例如4c就是向量，，的一个线性组合． 2、 向量的数量积 向量的投影 （1）投影向量（投影）：如果向量AB的起点A和终点B在直线l上的投影分别为点A＇和B＇，那么向量叫做向量AB在直线l上的投影向量，简称投影. （2）数量投影：非零向量与，向量在方向上的投影为 实数 称为向量在方向上的数量投影. 向量的数量积 （1）向量数量积的交换律： （2）向量数量积对数乘的结合律： （3）向量数量积对加法的分配律 (4) 3、 向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模:设,则, 注:若,则,反之亦然. (2) 向量坐标的求法: (1) 若向量的起点是坐标原点, 则终点坐标即为向量的坐标; (2)设,则. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角,则 (1); (2); (3); (4). 4、复数的概念与运算 复数的有关概念 (1)称为虚数单位,规定; (2)形如的数叫复数,其中a、b分别是它的实部和虚部.若,则为实数;若,则为虚数;若且,则为纯虚数; (3)共轭复数:复数称为复数的共轭复数,记为与对应复平面上的点关于实轴对称,且与共轭； (4)复数是实数的条件: (1);(2);(3); (5)复数是纯虚数的条件:(1)是纯虚数且;(2)是纯虚数;(3)是纯虚数; (6)复数与实数不同处:任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小. 复数的模：复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离叫做复数z的模，记作|z|，即 性质：, (2),. (3) (4)· (5)· 复数的几何意义 (1)复数复平面内的点. 注意:复数的对应点的坐标为,而不是的虚部是,不是). 复数的运算 复数的加、减、乘、除运算法则 设,则 (1)加法:; (2)减法:; (3)乘法:; (4)除法:. 复数加法的运算定律 设,则复数加法满足以下运算律: (1)交换律:; (2)结合律:. 5、实系数的一元二次方程 实系数一元二次方程 (1)实系数一元二次方程中的为根的判别式, (1)方程有两个不相等的实根; (2)方程有两个相等的实根; (3)方程有两个共扼虚根. 在(3)的情况下,方程的根与系数关系(韦达定理)仍然成立. (2)求解复数集上的方程的方法: (1)设)化归为实数方程(组)来解决(化归思想); (2)把看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数)一一整体思想,用复数的性质来变形; (3)对一元二次方程(实系数),直接用一元二次方程的求根公式(公式法). 复数的三角形式及几何意义 (1)复数的三角形式 的右边称为非零复数的三角形式,其中的称为的辐角,为复数的模,. 在内的辐角称为的辐角主值,记作. 为了求出一个非零复数的三角形式,只要求出这个复数的模,然后再找出复数的一个辐角(比如辐角主值)即可. (2)复数三角形式的乘法法则 (1)法则:模相乘,辐角相加. (2)几何意义:设对应的向量分别为,将绕原点旋转,再将的模变为原来的倍,如果所得向量为,则对应的复数为;当时,按逆时针方向旋转角,当时,按顺时针方向旋转角. (3)复数三角形式的除法法则 (1)法则: 模相除,辐角相减. (2)几何意义:设对应的向量分别为,将绕原点旋转,再将的模变为原来的倍,如果所得向量为,则对应的复数为.当时,按顺时针方向旋转角;当时,按逆时针方向旋转角. 考点精讲讲练 考点一：向量的相关概念 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 例2．（2022·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【即时演练】 1．设、是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值为 ． 2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知向量满足，，则的取值范围是 ． 考点二：投影与数量积 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 例3．（24-25高三上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 例4．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，则在方向上的投影向量为 2．（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 3．（24-25高三上·上海·期中）在平面上，已知两个单位向量、的夹角为，向量，其中.则的最大值为 . 4．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 考点三：向量的坐标表示 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 例2．（24-25高三上·上海·期中）在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 . 例3．已知向量，，设函数． (1)当时，求函数的值域； (2)已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，，则在上的数量投影为3，则 . 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 4．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 5．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 7．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，.设. (1)求函数的最小正周期以及单调增区间； (2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 考点四：向量的应用 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 例2．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r. (1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点； (2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）. 【即时演练】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 3．已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 考点五：复数 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 例2．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 例3．（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 【即时演练】 1．（2024·上海虹口·二模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）对于复数（是虚数单位）， . 3．（2024·上海·三模）设复数，则 . 4．（2024·上海普陀·二模）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 . 5．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 实战能力训练 1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 3．若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4.(2023年春考2）已知向量，，则 5．（2024年春考3）已知，则 . 6．已知作用一物体，使物体从移动到，则力对物体做的功为 ． 7．（2023·上海奉贤·二模）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ． 8．已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 9．（2024·上海·三模）已知复数z满足，则 . 10.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则 . 11．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 12．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 13．（2024·上海黄浦·二模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 14．（22-23高二上·陕西西安·开学考试）设，函数．则函数的最小正周期为 . 15．.(2023年春考11）设且，满足，则的取值范围 16..(2023年春考12）设为空间中三组单位向量，且，与夹角为60°， 为空间任意一点，且 满足，则最大值为 17．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量． (1)当时，求的值； (2)设函数，且，求的值域． 18．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 平面向量、复数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 7 考点一：向量的相关概念 7 考点二：投影与数量积 9 考点三：向量的坐标表示 12 考点四：向量的应用 17 考点五：复数 21 实战训练 24 明晰学考要求 平面向量与复数是高考的基础章节。平面向量的线性运算、数量积都是考查的重点；复数的运算是春考与秋考常考的知识点。在过去春考中，3年7考，向量与复数至少一题。 基础知识梳理 1、 向量的概念和线性运算 平面向量的基本概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量． （2）模：向量的大小叫做的模，记作 ．模为1的向量叫做 单位向量 · （3）零向量：模为0的向量叫做零向量，记作 ，它具有任意方向． （4）平行：如果两个非零向量所在的直线 平行 或 重合 ，那么称这两个向量平行，用记号／／表示向量与平行，特别地、零向量平行于任意向量． （5）相等的向量：方向相同模相等的向量叫做相等的向量． （6）负向量：如果一对 平行 向量与具有相等的模但方向相反，那么称它们互为负向量.一般地，对于平面上任意两点P，Q，均有 . 线性运算 （1）平行四边形法则：以点O为起点，分别作，那么以为邻边的平行四边形OACB的对角线所表示的向量就定义为向量与的和，记作 （2）三角形法则：以点O为起点，作再以点A为起点，作，则连接起点O与终点C得到向量OC,，它就是与两向量的和 （3）交换律： + · （4）结合律： . （5）向量的减法： （6）实数与向量的乘法：实数λ与向量的乘积是一个向量，记作λ.它的模|λ|=|λ||| ， 当λ>0.时，的方向与 相同 （相同／相反）； 当λ<0时，λ的方向与 相反 （相同／相反）； 当或λ=0时 · （7）向量与非零向量平行的充要条件是：存在实数λ，使得 (8) （9）单位向量：向量的单位向量 （10）线性组合：向量的加法、减法以及实数与向量的乘法，统称为向量的线性运算．从一个或几个向量出发，通过线性运算得到的新向量称为原来那些向量的线性组合.例如4c就是向量，，的一个线性组合． 2、 向量的数量积 向量的投影 （1）投影向量（投影）：如果向量AB的起点A和终点B在直线l上的投影分别为点A＇和B＇，那么向量叫做向量AB在直线l上的投影向量，简称投影. （2）数量投影：非零向量与，向量在方向上的投影为 实数 称为向量在方向上的数量投影. 向量的数量积 （1）向量数量积的交换律： （2）向量数量积对数乘的结合律： （3）向量数量积对加法的分配律 (4) 3、 向量的坐标表示 平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模:设,则, 注:若,则,反之亦然. (2) 向量坐标的求法: (1) 若向量的起点是坐标原点, 则终点坐标即为向量的坐标; (2)设,则. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角,则 (1); (2); (3); (4). 4、复数的概念与运算 复数的有关概念 (1)称为虚数单位,规定; (2)形如的数叫复数,其中a、b分别是它的实部和虚部.若,则为实数;若,则为虚数;若且,则为纯虚数; (3)共轭复数:复数称为复数的共轭复数,记为与对应复平面上的点关于实轴对称,且与共轭； (4)复数是实数的条件: (1);(2);(3); (5)复数是纯虚数的条件:(1)是纯虚数且;(2)是纯虚数;(3)是纯虚数; (6)复数与实数不同处:任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小. 复数的模：复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面上所对应的点Z(a,b)到原点的距离叫做复数z的模，记作|z|，即 性质：, (2),. (3) (4)· (5)· 复数的几何意义 (1)复数复平面内的点. 注意:复数的对应点的坐标为,而不是的虚部是,不是). 复数的运算 复数的加、减、乘、除运算法则 设,则 (1)加法:; (2)减法:; (3)乘法:; (4)除法:. 复数加法的运算定律 设,则复数加法满足以下运算律: (1)交换律:; (2)结合律:. 5、实系数的一元二次方程 实系数一元二次方程 (1)实系数一元二次方程中的为根的判别式, (1)方程有两个不相等的实根; (2)方程有两个相等的实根; (3)方程有两个共扼虚根. 在(3)的情况下,方程的根与系数关系(韦达定理)仍然成立. (2)求解复数集上的方程的方法: (1)设)化归为实数方程(组)来解决(化归思想); (2)把看成一个未知数(而不是实部和虚部两个未知数)一一整体思想,用复数的性质来变形; (3)对一元二次方程(实系数),直接用一元二次方程的求根公式(公式法). 复数的三角形式及几何意义 (1)复数的三角形式 的右边称为非零复数的三角形式,其中的称为的辐角,为复数的模,. 在内的辐角称为的辐角主值,记作. 为了求出一个非零复数的三角形式,只要求出这个复数的模,然后再找出复数的一个辐角(比如辐角主值)即可. (2)复数三角形式的乘法法则 (1)法则:模相乘,辐角相加. (2)几何意义:设对应的向量分别为,将绕原点旋转,再将的模变为原来的倍,如果所得向量为,则对应的复数为;当时,按逆时针方向旋转角,当时,按顺时针方向旋转角. (3)复数三角形式的除法法则 (1)法则: 模相除,辐角相减. (2)几何意义:设对应的向量分别为,将绕原点旋转,再将的模变为原来的倍,如果所得向量为,则对应的复数为.当时,按顺时针方向旋转角;当时,按逆时针方向旋转角. 考点精讲讲练 考点一：向量的相关概念 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 【答案】 【分析】根据函数的平移和表达式变换即可求解. 【解析】向右平移1个单位后得， 所以向右平移1个单位，向上平移两个单位可以得到， 所以， 故答案为：. 例2．（2022·上海崇明·一模）设为所在平面上一点.若实数x、y、z满足，则“”是“点在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件. 【答案】C 【解析】 为所在平面上一点，且实数x、y、z满足 若“”，则中只能有一个为0，否则若，得，这与矛盾； 假设（不为0），可得，， 向量和共线，点在的边BC所在直线上； 若点在的边所在直线上，假设在AB上，说明向量和共线， ， “”是“点在的边所在直线上”的充分必要条件. 故选：C. 【即时演练】 1．设、是两个不共线的向量，已知，若A、B、D三点共线，求k的值为 ． 【答案】 【分析】设，求出，建立方程组求出即可. 【解析】由A、B、D三点共线，可得，又， 则，又、不共线，则，解得. 故答案为：. 2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知向量满足，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式关系即可求解. 【解析】. ∴， 反向共线，左侧等号成立，同向共线，右侧等号成立 ∴的取值范围是. 故答案为： 考点二：投影与数量积 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量与的夹角为.向量在方向上的数量投影为 . 【答案】1 【分析】由投影数量的公式求解即可. 【解析】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：1 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【解析】因为向量，的夹角为，且，， 则 . 故答案为： 例3．（24-25高三上·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，单位圆上三点满足：点坐标为并且，在上的投影向量为，则 . 【答案】 【分析】根据题意可画出示意图，易知与的夹角的余弦值，结合二倍角公式可求得与夹角的余弦值为，再根据向量数量积的定义即可得. 【解析】根据题意可知如下图所示： 过点作轴的垂线交轴于一点， 由在上的投影向量为可得，且， 设与的夹角为， 所以， 又因为，所以， 由二倍角公式可得； 所以. 故答案为：. 例4．（24-25高三上·上海·期中）已知，且. (1)求向量与的夹角大小； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果； （2）由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）由可得， 即， 所以，解得， 且，所以. （2） . 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）已知，则在方向上的投影向量为 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式即可求解. 【解析】在方向上的投影向量为， 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·期中）已知向量和的夹角为，且，，则 . 【答案】 【分析】根据向量数量积定义和运算律即可得到答案. 【解析】， 则. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）在平面上，已知两个单位向量、的夹角为，向量，其中.则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律可得，再结合基本不等式求解即可. 【解析】由题意，，，，， 则， 因为，则， 所以， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为. 故答案为：. 4．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）若，则与的夹角为或，再由数量积的定义求解即可； （2）由可得，化简可得，解不等式即可得出答案. 【解析】（1）若，则与的夹角为或， 所以或. （2）若，则， ， 所以可得：， 所以，解得：. 实数的取值范围为. 考点三：向量的坐标表示 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）已知向量和向量平行，则实数 . 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【解析】因为向量和向量平行， 所以，即，所以. 故答案为： 例2．（24-25高三上·上海·期中）在平行四边形中，，，点在边上，满足，若，点分别为线段上的动点，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，由求出点坐标，设出的长，由此得到的长，从而求出点的坐标，然后表示出向量，，求得的表达式，由二次函数的性质得出最小值. 【解析】若，则，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则，所以， ∵，，∴， ∵，∴ 所以，， 所以，是关于的开口向上，对称轴为的二次函数，当时，取得最小值. 例3．已知向量，，设函数． (1)当时，求函数的值域； (2)已知在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，且，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用向量的坐标运算和数量积的坐标运算结合三角恒等变换得到，再利用整体法求解函数的值域； （2）在（1）基础上，结合得到，再利用勾股定理和基本不等式得到，进而得到三角形面积的最大值. 【解析】（1）， ， 又，则，故， 因此可得， 即函数的值域为． （2）由（1）可知， 又，所以， 因为，所以，故， 因为，由可知，， 由基本不等式得， 解得，当且仅当时，等号成立， 故三角形面积，即面积最大值为1． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量，，则在上的数量投影为3，则 . 【答案】3 【分析】由向量数量投影的定义，在上的数量投影为，代入向量坐标计算可得的关系式从而求出的值. 【解析】由题意得，在上的数量投影为， 即， 所以. 故答案为：3. 2．（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【解析】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 3．（24-25高三上·上海·期中）已知，向量，，若，则实数的值是 . 【答案】3 【分析】利用向量垂直的坐标表示计算可得结果. 【解析】依题意可知，即， 解得. 故答案为：3 4．（24-25高三上·上海杨浦·开学考试）若平面向量，，，则向量，的夹角为 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义可得夹角的余弦值，即可利用反三角函数的性质求解. 【解析】，，， 由于，故. 故答案为： 5．（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【解析】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【解析】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 7．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，.设. (1)求函数的最小正周期以及单调增区间； (2)在中，角、、所对的边分别为、、.若，，的面积为，求边的长. 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为，； (2). 【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示及倍角、辅助角公式化简，根据正弦型函数性质求最小正周期和递增区间； （2）由已知可得，应用面积公式求得，最后由余弦定理求边的长. 【解析】（1）由题设 ，易知其最小正周期为， 令，，则，， 所以单调增区间为，. （2）由题设，则，，即， 又，则， 所以. 考点四：向量的应用 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算， 根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果. 【解析】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 例2．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r. (1)机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点； (2)机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）. 【答案】(1)指令为 (2)机器人最快可在点处截住小球，指令为. 【分析】（1）由题意，，，根据机器人的转动规则进行解答，即可得到结论； （2）根据小球速度是机器人速度的2倍，建立方程，即可求得结论． 【解析】（1）如图，设点，所以， 因为与x轴正方向的夹角为45°， 所以，，故指令为. （2）设，机器人最快在点处截住小球， 由题意知，即， 整理得，即， 所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球. 设与的夹角为，易知，，， 所以，所以. 因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为. 【即时演练】 1．（2023·上海普陀·模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【解析】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      2．（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点在以M为球心4为半径的球面上，从可求得答案. 【解析】由题意可知， 设中点为，则，， 所以， 由，得，则， 当且仅当时等号成立，则， 即，即， 则，即， 即点在以M为球心4为半径的球面上， 先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大； 设为半径为r的圆的内接三角形， 则 ，当且仅当时等号成立， 即为正三角形时，其面积取到最大值， 由于点在以M为球心4为半径的球面上，故的面积S可以无限小， ， 即S的取值范围为， 故答案为：. 3．已知两个力（单位：）与的夹角为，其中，某质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点（单位：）． (1)求； (2)求与的合力对质点所做的功． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，，由题意得，列出方程组求解即可； （2）由代入计算即可． 【解析】（1）由，与的夹角为，可设，则， 因为质点在这两个力的共同作用下，由点移动至点， 所以，即， 即，解得， 所以． （2）与的合力对质点所做的功为：． 考点五：复数 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）复数，则 . 【答案】/ 【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的乘法计算即可. 【解析】， . 故答案为：. 例2．（2024·上海·三模）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为 . 【答案】3 【分析】由题意可得，求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，然后利用列方程可求出的值. 【解析】因为关于的一元二次方程有两个虚根， 所以，即，得或， 所以中， 因为， 整理得，解得或（舍），故， 所以实数的值为3. 故答案为：3 例3．（2024·上海嘉定·二模）已知是虚数单位．则 ． 【答案】1 【分析】根据复数的乘、除法以及乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【解析】, 所以. 故答案为：1 【即时演练】 1．（2024·上海虹口·二模）欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用欧拉公式，复数的除法运算求出复数，再求出复数的模. 【解析】由欧拉公式得，因此化为， 则，即， 所以. 故选：A 2．（2024·上海·模拟预测）对于复数（是虚数单位）， . 【答案】 【分析】根据共轭复数的概念求得，直接求出复数的虚部即得. 【解析】由复数得，所以的虚部为，即. 故答案为： 3．（2024·上海·三模）设复数，则 . 【答案】 【分析】根据复数的乘法运算可得，结合复数的几何意义计算即可求解. 【解析】由题意知，， 所以. 故答案为： 4．（2024·上海普陀·二模）已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为 . 【答案】 【分析】求出复数的共轭复数，进而可得点的坐标． 【解析】由题意，复数，在复平面内所对应的点的坐标为． 故答案为：． 5．（2024·上海静安·二模）已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由复数的运算，结合纯虚数的定义即可得到结果. 【解析】因为， 所以复数是纯虚数，则满足，则， 故答案为：. 实战能力训练 1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【解析】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案. 【解析】由题意可作图如下： 则，，由为的中点，则， . 3．若，，且点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设的坐标，进而根据条件进行运算即可求解. 【解析】因为在线段的延长线上，且 所以 因为，假设 可得 由此可得，解得 所以点 故选：D. 4.(2023年春考2）已知向量，，则 【答案】 【解析】 5．（2024年春考3）已知，则 . 【答案】 【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得. 【解析】由题意可得，故. 故答案为：. 6．已知作用一物体，使物体从移动到，则力对物体做的功为 ． 【答案】4 【分析】物体从移动到，则向量，由于力对物体所做的功即为两个向量的数量积求解即可. 【解析】根据题意，力对物体做的功为． 故答案为：4． 7．（2023·上海奉贤·二模）在集合中任取一个偶数和一个奇数构成一个以原点为起点的向量，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，面积不超过4的平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】由题可得满足题意的向量有4个，满足题意的平行四边形有6个，依次计算6个平行四边形的面积即可得答案. 【解析】由题可得满足题意的向量有，又若两向量不共线，且，则以两向量为邻边的平行四边形面积为：. 则以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 以为邻边的平行四边形面积为； 综上可知面积不超过4的平行四边形的个数是3. 故答案为：3 8．已知，不共线，，，要使，是一组基底，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出与共线时的值，即可得出与不共线时的取值范围. 【解析】由题意，当时，设， 则有，故可得，解得，； 即当时，， 又因为与是一组基底，所以与不共线，则. 故答案为：. 9．（2024·上海·三模）已知复数z满足，则 . 【答案】 【分析】根据复数的除法运算求解即可. 【解析】， ， 故答案为： 10.（24-25高三上·上海·期中）已知，，则 . 【答案】 【分析】利用平面向量夹角的坐标运算求夹角的大小. 【解析】由，则. 故答案为： 11．（24-25高三上·上海·期中）已知向量，，则在方向上的数量投影是 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量投影的定义计算即可. 【解析】由向量，， 则，， 又在方向上的数量投影为， 故答案为：. 12．（24-25高三上·上海长宁·期中）已知，，，，，则 . 【答案】 【分析】由数量积的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【解析】因为，，，，， 所以 . 故答案为：. 13．（2024·上海黄浦·二模）若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，又，再由可求的取值范围. 【解析】设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以. 由 . 故答案为： 14．（22-23高二上·陕西西安·开学考试）设，函数．则函数的最小正周期为 . 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律和坐标表示，结合三角恒等变换化简可得，利用公式计算即可求解. 【解析】 . 所以的最小正周期为. 故答案为： 15．.(2023年春考11）设且，满足，则的取值范围 【答案】 【解析】方法一：可设，由得， 所以 ，当时取最小值0，当时取最大值，所以取值范围是. 方法二：在复平面内，由知道，复数对应点表示圆心为，半径为1的圆； 又代入得，即，复数对应点表示圆心为，半径为1的圆，由图可知的取值范围是. 16..(2023年春考12）设为空间中三组单位向量，且，与夹角为60°， 为空间任意一点，且 满足，则最大值为 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系， 则，设. 由题意得， 因为得， 又，所以，解得. 当且仅当时取等号. 即最大值为. 17．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知向量． (1)当时，求的值； (2)设函数，且，求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行列出等式，计算的值，二倍角公式即可计算； （2）计算，并用辅助角公式化简，根据角的范围可求出值域. 【解析】（1）因为，所以， 因为，所以，所以． （2）， 因为，所以，所以， 所以的值域为． 18．（2024·上海浦东新·三模）已知，其中，. (1)若，函数的最小正周期T为，求函数的单调减区间； (2)设函数的部分图象如图所示，其中，，求函数的最小正周期T，并求的解析式. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）根据求出，求出的解析式，利用整体代换法计算即可求解； （2）由图可知，，利用平面向量数量积的定义和坐标表示求出，进而求，将点D代入解析式计算即可求解. 【解析】（1）由题，，解得，故. 令， 所以的单调减区间为. （2）由题，可得，， 因此，，又，得. 由，得. 再将代入，即. 由，解得. 因此的解析式为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$