专题05 三角与三角函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题05 三角与三角函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 5 考点一：扇形的相关计算 5 考点二：诱导公式 6 考点三：常用三角公式 6 考点四：正余弦定理与解三角形 7 考点五：三角函数的性质 11 实战训练 14 明晰学考要求 三角与三角函数部分是高考的重点章节，主要考查诱导公式等的化简求值、解三角形、三角函数的化简求值求角、三角函数的图像与性质以及参数对函数图像的影响。题型涉及到填空、选择、解答题。解答题中常有一道三角与三角函数题型。春考中，3年6考。 基础知识梳理 1、三角 弧度制：弧度，弧度. 扇形的弧长和面积：， 任意角的正弦、余弦、正切、余切： 设是一个任意角，它的终边上一点, 正弦 余弦 正切 余切 同角三角比的关系 (1)平方关系:,平方关系对任意角都成立; (2)商数关系:; (3)倒数关系:.. 诱导公式(可用“竖变横不变,象限定符号”来记忆) 一 二 三 四 五 六 2、常用三角公式 两角和与差的公式 (1); (2); (3). 二倍角公式 (1); (2); (3). 降幂公式 (1); (2). 辅助角公式 , 其中. 积化和差公式 ; ; 和差化积公式 3、 解三角形 正弦定理 (其中为的外接圆的半径). 余弦定理 等形式. 三角形面积公式 (其中为内切圆半径). 4、 三角函数 三角函数的图像与性质 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 图像的平移 （1） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿x轴向左平移t的距离，得到函数f(x)=Asin[ω(x+t)+φ]. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿 x轴向右平移t的距离，得到函数f(x)=Asin[ω(x-t)+φ]. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿y轴向上平移t的距离，得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)+t. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿y轴向下平移t的距离，得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)-t. （2）记忆方法：左加右减，上加下减． 函数的性质 （1）振幅：在f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称该振动的振幅. （2）周期：单摆或弹簧往复振动一次所需时间T= 称为该振动的周期.ω越大，振动的周期越 小 （3）频率：单位时间内振动的次数 称为该振动的频率. （4）圆频率：即ω,ω越大，振动的频率越 大 . （5）相位： ωx+φ 称为该振动的相位.当x=0时的相位φ称为 初始相位 . 考点精讲讲练 考点一：扇形的相关计算 【典型例题】 例1．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 例2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【即时演练】 1．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为 . 考点二：诱导公式 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则 . 例2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，是第四象限角，则 . 例3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知是第四象限角，，则 . 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边上一点，则 . 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 考点三：常用三角公式 【典型例题】 例1.（24-25高三上·上海·期中）已知，则的值为 . 例2．（2024·上海奉贤·二模）已知，且，则 ． 例3．（24-25高三上·上海·阶段练习）将化为的形式 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ． 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是上的奇函数，则 ． 3．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 4．（2024·上海·模拟预测）已知，，则 ． 5．（2023·上海金山·模拟预测）若点在角的终边上，则 ． 6．（2023·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 . 考点四：正余弦定理与解三角形 【典型例题】 例1．（2024·上海黄浦·二模）在中，，，，则 . 例2．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 例3．（2024·上海·模拟预测）的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角 . 例4．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 例5．（2023·上海徐汇·一模）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 【即时演练】 1．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 2．（2024·福建莆田·二模）已知的内角的对边分别为，若，则 ． 3．的内角的对边分别为，，，若，则 ． 4．（2023·上海奉贤·一模）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则 . （精确到） 5．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 6．（2024·上海静安·二模）在 中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 7．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 8．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 考点五：三角函数的性质 【典型例题】 例1．（2019·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 例2．（2023·上海金山·一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 例3．（2023·上海黄浦·三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为. (1)求的单调增区间； (2)在中，若，求的值. 例4．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数， (1)若当时，函数的值域为，求实数的值； (2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间. 例5．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【即时演练】 1．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ． 2．（2023·上海普陀·一模）函数在区间上的零点为 ． 3．（2023·上海杨浦·模拟预测）函数的严格减区间为 . 4．（2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为 5．（2024·上海·模拟预测）已知函数．则函数的值域为 ． 6．（2023·上海黄浦·二模）若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则 ． 7．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 8．（2023·上海长宁·三模）已知. (1)求方程的解集； (2)求函数在上的单调增区间. 实战能力训练 1．（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．已知角是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 46．（2023·上海青浦·一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 47．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 5．（2024年春考5）三角形中，，则 6．（2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    7．（2022·上海徐汇·二模）已知，则 . 8．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知点，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点的横坐标为 9．（2023·上海黄浦·三模）若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ． 10．（2023·上海杨浦·一模）函数 在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 11．（23-24高三上·湖南·开学考试）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ． 12．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 13．（2024·上海浦东新·三模）已知实数、、、满足，，，则 . 14．（2023·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 15．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 16．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 17．（2024年春考17）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 18.（2023年春考18）（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在中，角对应边为，其中 （1）若，且，求边长的值； （2）若，求. 19．（2024·上海普陀·二模）设函数，，，它的最小正周期为. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值. 20．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角与三角函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 5 考点一：扇形的相关计算 5 考点二：诱导公式 6 考点三：常用三角公式 8 考点四：正余弦定理与解三角形 12 考点五：三角函数的性质 21 实战训练 28 明晰学考要求 三角与三角函数部分是高考的重点章节，主要考查诱导公式等的化简求值、解三角形、三角函数的化简求值求角、三角函数的图像与性质以及参数对函数图像的影响。题型涉及到填空、选择、解答题。解答题中常有一道三角与三角函数题型。春考中，3年6考。 基础知识梳理 1、三角 弧度制：弧度，弧度. 扇形的弧长和面积：， 任意角的正弦、余弦、正切、余切： 设是一个任意角，它的终边上一点, 正弦 余弦 正切 余切 同角三角比的关系 (1)平方关系:,平方关系对任意角都成立; (2)商数关系:; (3)倒数关系:.. 诱导公式(可用“竖变横不变,象限定符号”来记忆) 一 二 三 四 五 六 2、常用三角公式 两角和与差的公式 (1); (2); (3). 二倍角公式 (1); (2); (3). 降幂公式 (1); (2). 辅助角公式 , 其中. 积化和差公式 ; ; 和差化积公式 3、 解三角形 正弦定理 (其中为的外接圆的半径). 余弦定理 等形式. 三角形面积公式 (其中为内切圆半径). 4、 三角函数 三角函数的图像与性质 函数y=Asin(ωx+φ)的图像 图像的平移 （1） 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿x轴向左平移t的距离，得到函数f(x)=Asin[ω(x+t)+φ]. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿 x轴向右平移t的距离，得到函数f(x)=Asin[ω(x-t)+φ]. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿y轴向上平移t的距离，得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)+t. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)沿y轴向下平移t的距离，得到函数f(x)=Asin(ωx+φ)-t. （2）记忆方法：左加右减，上加下减． 函数的性质 （1）振幅：在f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中，A是物体振动时离开平衡位置的最大距离，称该振动的振幅. （2）周期：单摆或弹簧往复振动一次所需时间T= 称为该振动的周期.ω越大，振动的周期越 小 （3）频率：单位时间内振动的次数 称为该振动的频率. （4）圆频率：即ω,ω越大，振动的频率越 大 . （5）相位： ωx+φ 称为该振动的相位.当x=0时的相位φ称为 初始相位 . 考点精讲讲练 考点一：扇形的相关计算 【典型例题】 例1．周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是 ． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. 例2．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 cm. 【答案】 【分析】直接利用弧长公式即可求解. 【解析】因为一个扇形的弧所对的圆心角为，所以该扇形的弧长为， 故答案为： 【即时演练】 1．（22-23高三下·上海松江·阶段练习）已知扇形的圆心角为，扇形的面积为，则该扇形的周长为 . 【答案】 【分析】利用扇形面积公式可得半径，可得弧长为，即可计算出周长为. 【解析】设扇形的半径为，利用扇形面积计算公式， 可得； 所以该扇形的弧长为， 所以周长为. 故答案为： 考点二：诱导公式 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海松江·期中）已知，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式化简即可得出答案. 【解析】. 故答案为：. 例2．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知，是第四象限角，则 . 【答案】 【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解. 【解析】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 例3．（24-25高三上·上海嘉定·期中）已知是第四象限角，，则 . 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数关系得到和. 【解析】，是第四象限角， 故，. 故答案为： 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边上一点，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义可得，再利用诱导公式即可求解. 【解析】因为角终边上一点， 所以， . 故答案为：. 2．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】0 【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得. 【解析】由. 故答案为：0. 考点三：常用三角公式 【典型例题】 例1.（24-25高三上·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】3 【分析】首先根据已知的正弦值求出余弦值，进而得到正切值，最后利用两角和的正切公式求出的值. 【解析】已知，则. 根据， 根据两角和的正切公式，则. 故答案为：3. 例2．（2024·上海奉贤·二模）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】由倍角公式化简方程，解出，得的值. 【解析】已知，由倍角公式得， 由，，解得，则. 故答案为：. 例3．（24-25高三上·上海·阶段练习）将化为的形式 【答案】 【分析】利用辅助角公式整理即可. 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知锐角的顶点为原点，始边为x轴的正半轴，将的终边绕原点逆时针旋转后交单位圆于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求得，然后利用三角恒等变换的知识求得 【解析】由于在单位圆上，所以， 由于是锐角，所以，则， 所以， 所以 . 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是上的奇函数，则 ． 【答案】 【分析】利用正切的两角和公式化简得，又是上的奇函数，结合题意得，从而求出的值即可. 【解析】 函数是上的奇函数， 又上的奇函数，则分母上的函数需为偶函数， ，， 故答案为：. 3．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面 米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【解析】如图：作于，设， 则，. 所以 （当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 4．（2024·上海·模拟预测）已知，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的余弦公式计算即得. 【解析】由，得， 由，得，则， 所以. 故答案为： 5．（2023·上海金山·模拟预测）若点在角的终边上，则 ． 【答案】/ 【分析】由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用二倍角的余弦公式求得的值. 【解析】因为点，即在角的终边上，且， 所以，则. 故答案为: 6．（2023·上海黄浦·一模）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为 . 【答案】/0.28. 【分析】运用三角函数的定义、诱导公式及二倍角公式计算即可. 【解析】由题意知，， 所以. 故答案为：. 考点四：正余弦定理与解三角形 【典型例题】 例1．（2024·上海黄浦·二模）在中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据余弦定理建立方程，可得答案. 【解析】在中，根据余弦定理可得：， 设，则，整理可得，解得， 故. 故答案为：. 例2．（2024·上海徐汇·二模）在中，，，，则的外接圆半径为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解． 【解析】由已知，设三角形外接圆半径为，则，所以． 故答案为：1. 例3．（2024·上海·模拟预测）的内角、、所对边长分别为，面积为，且，则角 . 【答案】/ 【分析】将的面积，及，代入条件计算即可. 【解析】的面积，因为，所以， 所以，又，所以. 故答案为： 例4．（2023·上海松江·一模）在三角形中，内角所对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出. (2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【解析】（1）由正弦定理得，所以 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，解得， 又,则，. 由余弦定理得，解得，， 所以的周长为. 例5．（2023·上海徐汇·一模）2023年杭州亚运会首次启用机器狗搬运赛场上的运动装备． 如图所示，在某项运动赛事扇形场地中，，米，点是弧的中点，为线段上一点（不与点，重合）．为方便机器狗运输装备，现需在场地中铺设三条轨道，，．记，三条轨道的总长度为米． (1)将表示成的函数，并写出的取值范围； (2)当三条轨道的总长度最小时，求轨道的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理表示出，然后可得解析式，注意到即可得的范围； （2）变形，然后利用基本不等式即可求解. 【解析】（1）因为点是弧的中点， 由对称性，知，， 又，， 由正弦定理，得， ． 因为，所以，， 所以． （2）由（1）得：，． 因为， 且，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 即当时，三条轨道的总长度最小，此时. 【即时演练】 1．（2024·上海奉贤·三模）已知三角形的三个角对应的边分别为、、 (1)求证：存在以为三边的三角形； (2)若以为三边的三角形为等腰直角三角形，求三角形的最小角． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角形任意两边之和大于第三边即可证明； （2）由题意可得均为锐角，不妨设，则可得或，然后分情况讨论即可. 【解析】（1）证明：因为，所以， 因为三角形的三个角对应的边分别为、、， 所以，， 设三角形的外接圆半径为，则由正弦定理得 ， ， ， 所以，，， 所以存在以为三边的三角形； （2）因为以为三边的三角形为等腰直角三角形， 所以， 所以都为锐角， 不妨设，因为， 所以，或， 所以或， 当时，，则，不合题意，舍去， 当时，，则， 因为，所以, 因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 所以, 所以, 所以三角形的最小角为. 2．（2024·福建莆田·二模）已知的内角的对边分别为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理可得，再利用余弦定理即可得的值. 【解析】由余弦定理可得， 所以， 于是有. 故答案为：. 3．的内角的对边分别为，，，若，则 ． 【答案】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而利用正弦定理可求的值． 【解析】因为， 且，可得，； 由正弦定理可得：． 故答案为：． 4．（2023·上海奉贤·一模）某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点和．某日两个观测点的林场人员都观测到处出现火情．在处观测到火情发生在北偏西方向，而在处观测到火情在北偏西方向．已知在的正东方向处（如图所示），则 . （精确到） 【答案】 【分析】 根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果. 【解析】由题意可得，，，，则， 在中，由正弦定理可得， ， 即， 所以， ， 则 . 5．（2024·上海金山·二模）某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【解析】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 6．（2024·上海静安·二模）在 中，角、、的对边分别为、、，已知，，． (1)求角的大小； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 根据已知条件，结合余弦定理即可求解. （2）解，利用正弦定理先求，再由即可求解；解，先利用正弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解；解，先利用余弦定理求出，再利用两角和的正弦公式即可求解. 【解析】（1） 由余弦定理，有，所以 （2） 解1：由正弦定理，有，即 所以 解2：由正弦定理，有，即 所以 故， 解3：由余弦定理，有，所以 故， 7．（2024·上海·三模）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求的值； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【解析】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即. （2）由（1）可知， 所以或. 在中，由余弦定理得 ， 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 当时，， ， 当且仅当时取等号，即， 故的面积. 综上所述，的面积最大值为. 8．（2024·上海宝山·二模）在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边可得，进而根据余弦定理可求； （2）由三角表面积可求得，根据均值不等式可求得的最小值，根据取得最小值可判断三角形的形状. 【解析】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 考点五：三角函数的性质 【典型例题】 例1．（2019·上海浦东新·二模）已知函数（）是偶函数，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】利用三角函数的性质即可求解. 【解析】因为函数是偶函数， 所以，解得， 又， 所以当时，的最小值是. 故答案为：. 例2．（2023·上海金山·一模）已知函数()在区间上是严格增函数，且其图像关于点对称，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据增函数和对称中心特征，求出范围，进而得到答案. 【解析】因为，则，函数()在区间上是严格增函数， 所以，即； 又因为的图像关于点对称，则（），则（）， 所以（），解得（）， 结合，所以或. 故答案为：或. 例3．（2023·上海黄浦·三模）已知向量，其中，若函数的最小正周期为. (1)求的单调增区间； (2)在中，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由辅助角公式将函数化简，再由函数周期即可求得，再根据正弦型函数的单调区间即可得到结果； （2）根据题意，由（1）中函数的解析式可得，再由正弦定理可得，再结合平面向量数量积的定义代入计算，即可得到结果. 【解析】（1） 的最小正周期为. 故， 令，解得， 故函数的单调增区间为 （2）设中角所对的边分别是. ，即，解得. ， ， . 例4．（2021·上海浦东新·模拟预测）已知函数， (1)若当时，函数的值域为，求实数的值； (2)在（1）条件下，求函数图像的对称中心和单调区间. 【答案】(1)； (2)对称中心为，单调减区间为，的单调增区间为. 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，结合得到，从而列出方程组，求出实数的值； （2）整体法求解函数的对称中心和单调区间. 【解析】（1） ，， ，又， ，因此， ∴，解得：. （2）由（1）知，令， 整理得， 的图像的对称中心为， 令，整理得：， 得单调减区间为， 令，整理得：， 故的单调增区间为. 例5．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 【即时演练】 1．（2023·上海静安·一模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由可得答案. 【解析】，则，. 故答案为： 2．（2023·上海普陀·一模）函数在区间上的零点为 ． 【答案】 【分析】令，在上求解即可. 【解析】令， ∵，∴， ∴，即， ∴函数在区间上的零点为. 故答案为：. 3．（2023·上海杨浦·模拟预测）函数的严格减区间为 . 【答案】 【分析】根据严格减区间定义即可得出答案. 【解析】因为的单调减区间为， 所以的严格减区间为. 故答案为： 4．（2024·上海·三模）若函数的一个零点是，则函数的最大值为 【答案】2 【分析】根据求得，再用辅助角公式化简，从而得到的最大值. 【解析】由题意，所以， 所以， 又，所以，故的最大值为2. 故答案为：2. 5．（2024·上海·模拟预测）已知函数．则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据三角恒等变换将函数化简，进而得到函数的值域． 【解析】 因为，，解得：，， 所以函数的定义域为， 所以，所以，所以， 所以函数的值域为． 故答案为：. 6．（2023·上海黄浦·二模）若函数的图像可由函数的图像向右平移个单位所得到，且函数在区间上是严格减函数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用三角恒等变换化简，根据图象平移变换得到的表达式，结合函数的单调性确定，即可求得答案. 【解析】由题意得， 则， 当时，， 函数在区间上是严格减函数， 故，即且， 则，而，故， 故答案为： 7．（2023·上海闵行·一模）在中，角、、所对边的边长分别为、、，且． (1)若，，求的值； (2)若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由已知条件可得出的值，再利用余弦定理可求得的值； （2）利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式化简得出，再利用为锐角三角形求出角的取值范围，即可求得的取值范围. 【解析】（1）因为，，，所以，， 由余弦定理可得，故. （2）因为，由正弦定理可得， 即 ， 因为为锐角三角形，则、、，所以，， 因为正弦函数在上为增函数，所以，，即， 由可得，故， 因此，的取值范围是. 8．（2023·上海长宁·三模）已知. (1)求方程的解集； (2)求函数在上的单调增区间. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）化简得到，取，解得答案. （2）取，解不等式，取和得到单调增区间. 【解析】（1） ， 取，则，解得. 故方程的解集为. （2）取，解得， 当时，满足条件；当时，满足条件； 综上所述：单调增区间是和 实战能力训练 1．（2024·上海静安·二模）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式将函数化成的形式，代入周期公式可得结论. 【解析】易知，其中， 由周期公式可得其最小正周期为. 故选：A 2．已知角是的内角，则“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】在三角形内，先利用“大角对大边”由得到，进而利用正弦定理即可进行证明. 【解析】在三角形中，成立等价于， 由正弦定理：， 充分性：若成立，大角对大边，则成立，由上面正弦定理形式得出，满足充分性； 必要性：若成立，由上面正弦定理形式得出，大边对大角，则成立，满足必要性； 所以“”是“”的充要条件． 故选：C. 46．（2023·上海青浦·一模）若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ． 【答案】； 【分析】 根据函数为奇函数进行求解即可. 【解析】因为函数是奇函数， 所以，即， 则， 得， 则，其中， 所以该函数的所有零点是. 故答案为： 47．（2024·上海闵行·二模）始边与轴的正半轴重合的角的终边过点，则= . 【答案】/ 【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解． 【解析】始边与轴的正半轴重合的角的终边过点， 则， 故． 故答案为：． 5．（2024年春考5）三角形中，，则 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 6．（2024·上海·模拟预测）如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为 .    【答案】 【分析】根据题意，得到点，设，，根据，结合中点公式列出方程组，求得，结合，得到，即可求解. 【解析】由函数的图象，不妨令，则，所以， 设，， 因为，可得，解得， 所以 ，所以， 又由图可知，所以. 故答案为：. 7．（2022·上海徐汇·二模）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得结果. 【解析】，因此，. 故答案为：. 8．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知点，将绕坐标原点O逆时针旋转至，则点的横坐标为 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义求解即可. 【解析】设点的坐标为，则， 设为终边上的一点，则， 则， 解得， 故答案为：. 9．（2023·上海黄浦·三模）若a、b为实数，且，函数在闭区间上的最大值和最小值的差为1，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】讨论的取值，结合三角函数的图象，即可求解. 【解析】（ⅰ）当函数在闭区间内无最值，则函数在内单调， 不妨取，可知，在内单调递增， 可知， 且，则，则， 所以，即， 可得，即 ①若，，则最大值和最小值的差为，符合题意； ②若，， 则， 因为，则，可得， 故，可得， 且，，则，可得； ③若，， 则， 因为，则，可得， 故，可得， 且，，则，可得； 综上所述：； （ⅱ）当函数在闭区间内有最值，不妨取最大值1，最小值为0， 由图象可知：不妨取，当时，取到最大值； 当时，取到最小值； 可得； 综上所述：的取值范围是. 故答案为：.    10．（2023·上海杨浦·一模）函数 在上是单调增函数，且图像关于原点对称，则满足条件的数对 . 【答案】 【分析】 由函数在R上单调增得出，再由函数图像关于原点对称得出，即可得出答案. 【解析】当时， 在上必有增有减，不合题意， 故，此时 ，为常值函数，由其图像关于原点对称， 所以，所以或，故满足条件的数对为， 故答案为：. 11．（23-24高三上·湖南·开学考试）若将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数为奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的平移可得函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式，进而结合正弦函数的奇偶性求解即可. 【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象对应的函数为， 要使该函数为奇函数，则，， 即，， 又，则． 故答案为：. 12．（23-24高三上·上海宝山·期末）若对于任意自然数，函数在每个闭区间上均有两个零点，则正实数的最小值是 . 【答案】 【分析】根据整体法可得零点满足，即可利用时，，求解符合条件的结合周期性验证所求满足其他区间即可. 【解析】令,则， 函数的零点 ， 当时，，此时符合条件的两个零点为故， 故，解得， 当 时，的零点为， 因此零点为，结合三角函数的周期性可知：满足每个闭区间上恰好有两个零点。 故答案为： 13．（2024·上海浦东新·三模）已知实数、、、满足，，，则 . 【答案】1 【分析】先应用三角换元，再结合两角和差公式及同角三角函数关系计算即可. 【解析】因为设, 因为设, 所以可得， 因为,所以, 所以. 故答案为：1. 14．（2023·上海徐汇·三模）如图，中，角、、的对边分别为、、.    (1)若，求角的大小； (2)已知、，若为外接圆劣弧上一点，求周长的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再结合和角的正弦求解作答. （2）由（1）及给定条件，求出，再利用余弦定理结合均值不等式求解作答. 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 即，则， 整理得，而，即，又因为， 所以. （2）在中，， 由余弦定理得， 于是，解得， 当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值. 15．（2023·上海奉贤·一模）在中，设角、、所对边的边长分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)当，时，求边长和的面积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得； （2）根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到，再使用面积公式即可得到面积. 【解析】（1）由正弦定理得， 由于，则， 展开得， 化简得， 则， 所以； （2）由正弦定理，得，即有， 因为，所以是锐角，即， 因为， 所以， ， 所以 . 16．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 17．（2024年春考17）已知， (1)设，求解:的值域; (2)的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【难度】0.65 【分析】（1）利用三角函数的性质结合换元法求出单调性，再求解值域即可. （2）利用三角函数的性质求解参数即可. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以令， 由正弦函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以，故， （2）由题意得，所以，可得， 当时，，，即，， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 所以， 即，故. 18.（2023年春考18）（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在中，角对应边为，其中 （1）若，且，求边长的值； （2）若，求. 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）由知，由余弦定理得， 由于，则，解得. （2）由及正弦定理得，因为，则. 所以或. 当时，，此时，由正弦定理， 代入解得. 所以； 当时，（舍）. 综上可知，. 19．（2024·上海普陀·二模）设函数，，，它的最小正周期为. (1)若函数是偶函数，求的值； (2)在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦函数的周期公式可求，又函数是偶函数，结合，即可求解的值； （2）由，可得，结合题意利用正弦定理可求，由余弦定理可求，进而可求的值． 【解析】（1）因为函数的最小正周期为，且， 所以，即， 则， 又函数是偶函数， 则，， 即，又， 则. （2）由得，， 又，，则，即， 由余弦定理得，， 即，则. 20．（2023·上海杨浦·一模）某数学建模小组研究挡雨棚（图1），将它抽象为柱体（图2），底面与全等且所在平面平行，与各边表示挡雨棚支架，支架、、垂直于平面.雨滴下落方向与外墙（所在平面）所成角为（即），挡雨棚有效遮挡的区域为矩形（、分别在、延长线上）. (1)挡雨板（曲面）的面积可以视为曲线段与线段长的乘积．已知米，米，米，小组成员对曲线段有两种假设，分别为：①其为直线段且；②其为以为圆心的圆弧.请分别计算这两种假设下挡雨板的面积（精确到0.1平方米）； (2)小组拟自制部分的支架用于测试（图3），其中米，，，其中，求有效遮挡区域高的最大值. 【答案】(1)①平方米②平方米 (2)0.3米 【分析】（1）分别按照直线段与圆弧计算BC的长，代入面积公式即可得解； （2）根据正弦定理求出，再由三角恒等变换求最大值即可得解. 【解析】（1）①其为直线段且时， 米， 所以在中，，即（米）. 所以（平方米）； ②其为以为圆心的圆弧时，此时圆的半径为（米）， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$