专题04 导数及其应用（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题04 导数及其应用 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：导数的运算 4 考点二：导数的几何意义 6 考点三：利用导数研究函数的单调性 8 考点四：利用导数研究函数的极值、最值 10 考点五：利用导数解决实际问题 18 实战训练 24 明晰学考要求 导数的知识，高考占比7%，主要从导数的意义、导数的运算、导数的应用三个方面知识。考查方向多以导数的运算，切线方程、利用导数研究函数的单调性与最值用是考查的重点。春考中，3年4考。 基础知识 梳理 1、导数的概念 导数的概念：在已知函数的前提下，对于自变量某个给定值，赋予一个变化量，分析当趋近于时，函数值的变化量相对于自变量变化量的比值是否趋近于某一个稳定值。 如果这个稳定值存在，就说明在趋近于时有极限，并把这个极限记作，称为函数在处的导数（Derivative），记作，即有. 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率。而就是函数在处的瞬时变化率. 基本初等函数的导数 根据导数的定义，可以求出一些基本初等函数的导数．为了更便捷地处理求导问题， 我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用： （1） （2），为常数 （3） （4） （5） （6） 补充：（7） （8） 导数的四则运算 基本初等函数可以通过四则运算产生新的初等函数．这些初等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导. （1）； （2）； （3），其中； （4） 简单复合函数的导数 由与 复合而成的型复合函数的求导法则. ，其中 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率.函数在点处的切线方程为： 驻点：通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点（stationary point），曲线在其驻点处的切线是一条水平直线。 公切线问题 若曲线存在公切线： 共切点型：若曲线有公共，且在点处存在公切线，则只需联立方程组，求解即可； 不共切点型： （1）分别设切点； （2）求导，得切线斜率： （3）由点斜式得切线： （4）由公切线得斜率、截距相等，即联立求解． 【注意】（1）我们可以把“共切点型”看做“不共切点型”的特殊情况处理； （2）需要注意斜率不存在的切线；（2）需要知道同时一条切线可能对应多个切点． 2、导数的应用 函数的单调性 在函数的定义域的某个区间内 若，则函数在内严格递增； 若，则函数在内严格递减； 若，则函数为内的常数函数. 其中： 当时，越大，曲线在点附近递增得越快； 当时，越小，曲线在点附近递减得越快。 函数的极值 设是函数定义域上的某个区间，存在，使； 若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极大值； 若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极小值. 函数的最大值、最小值 已知函数在上有定义，那么在内的极值与端点函数值、中，最大（小）的是在上的最大（小）值. 求函数的极值的方法： 第1步：求导数； 第2步：求方程的所有实数根； 第3步：考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值． 求函数最大（小）值的方法： 第1步：求在指定区间内所有使的点； 第2步：计算函数在区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值． 考点精讲讲练 考点一：导数的运算 【典型例题】 例1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为， 所以； （2） （3） ． 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【解析】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【解析】对函数求导得，； 令，得，整理得. 因此，，故. 故答案为： 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【解析】由题意得，， 所以， 解得， 故答案为：. 考点二：导数的几何意义 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】，则，故， 故. 故答案为： 例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【解析】由题意可知，，则切点为，因为，则， 所以在点处的切线斜率为，则切线方程为，即 故答案为： 例3．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【解析】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 【答案】 【解析】设切点坐标为，由得， 所以切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：， 即， 所以，所以，所以. 故答案为：. 2．（2024·青海·一模）已知曲线在处的切线斜率为1，则 ． 【答案】3 【解析】由题意可得，则，解得． 故答案为：. 3．如图，函数图像在点处的切线方程是，则 .    【答案】 【解析】因为函数图像在点处的切线方程是， 则函数图像在点处的切线的斜率为 故答案为：. 考点三：利用导数研究函数的单调性 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）当时，，， 所以，. 所以函数在点处的切线方程为. （2）因为，定义域为， 所以. ①当时，与在上的变化情况如下： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在及内严格增，在内严格减； ②当时， 恒成立，所以函数的单调增区间为. 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为. 例2．已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【解析】（1）由， 得， 由题意得，，即， 解得，； （2），由题意得，在R上恒成立， 则， 化简得，解得． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 【答案】 【解析】根据图象可知，当时，；当时，； 同时当或时，；当时，； 所以的解集为. 故答案为： 2．（23-24高三上·上海·期中）若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】， 函数在上是严格单调函数， 所以，或， 当时，不符合题意； 由时，得， 当时，，所以在上恒成立， 即求，因为，所以，， 所以； 当时，，所以在上恒成立， 即求，因为，所以，， 即； 综上所述，. 故答案为：. 3．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【解析】在该区间严格增，即可能会在该区间内存在导数为0的情况， 比如在R上单调递增，且， 故是函数在该区间严格增的充分不必要条件. 故选：A 考点四：利用导数研究函数的极值、最值 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 【答案】 【解析】解： ， 因为，所以， 所以， 当或时等号成立，所以的最大值为1. 令， 则， 令，则， 令，得或（舍去），， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 从而，当，及时等号成立， 所以的最小值为. 所以S的最大值和最小值的差为， 故答案为： 例2．（2023·上海奉贤·一模）设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由已知得. 要使函数在区间上恰有三个极值点， 由图象可得， 解得，即. 故答案为：. 例3．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【解析】（1）因为， 所以， 因为曲线在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以； （2）由（1）可知， 因为函数在内存在极值， 所以在内有变号根， 因为，所以在内有变号根， 令，， 所以，由，得， 所以当时，，单调递减， 且，， 要使在内有变号根，即在内有变号零点， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为； （3）若对任意的实数，恒成立， 则，即在上恒成立， 设，， 所以， 设，则， 因为，所以，单调递增， 所以，所以，所以单调递增， 所以， 所以，实数的取值范围为. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3)，证明见解析 【解析】（1）因为，则，定义域为， 则，所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）函数的定义域为，. 当时，，则在上单调递增； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）由，可得， 即. 令，因为在上均单调递增，则单调递增. 由，可得，则，即. 令，则. 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 则，又，解得，故的取值范围为，则的最大值. 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 当且时，，则. 取 ，所以， 所以，，， 所以. 所以， 所以， 即，得证. 2．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 【答案】B 【解析】， 作出与直线平行的函数的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为， 在处的导数都等于， 在上，,单调递增， 在上，单调递减， 因此函数有三个极大值点，有两个极小值点. 故选：B. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【解析】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知 ，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 4．（2023·上海宝山·一模）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①单调区间见解析，，②. 【解析】（1）函数，求导得，得，而， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 所以函数有三个零点时的取值范围为. ②令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得，当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 考点五：利用导数解决实际问题 【典型例题】 例1．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【解析】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 例2．（2023·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 【答案】(1) (2)，. (3)点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 【解析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系， 如图所示，则，，，    设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上， 则，解得，， 所以曲线段所在的抛物线方程为. （2）因为点在曲线段上，，，所以， ∴，. （3）∵，， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 【即时演练】 1.自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 【答案】25 【解析】， 故物体在时间段内的平均速度为. 故答案为：25. 2．（2024·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 【答案】 【解析】据题意知， 只有点在线段上某一适当位置，才能使总运费最省， 设点距点， 如图所示， 则， 所以， 再设总的水管费用为元，则， 可得，令，解得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 所以，当时，函数取得极小值，也时最小值， 所以函数在处取得最小值，此时， 故供水站建立在之间距甲厂处，可使水管费用最省. 故答案为：20 3．（2023·上海嘉定·一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列， 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明； (2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理． 【答案】(1)矩形截面的梁的截面形状最好. (2)答案见解析 【解析】（1）解：假设截面面积均为正常数， 可得，，， 所以， 又因为，所以，所以, 综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好. （2）解：由， 可得， 可得 极大值 所以，当时，取得最大值， 此时，当，于是， 因为的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践总总结的经验的实用价值， 考虑到所处的时代，从历史辩证的角度，其观点代表了我国古代在工程技术方面已经达到了较高的水平. 4．（2023·上海奉贤·二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道． 为了简单起见，现作如下假设： 假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1； 假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路； 假设3：路的宽度在这里暂时不考虑； 假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示． 图1-图3中的相关边、角满足以下条件： 直线与的交点是， ，．米． 小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米． (1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长； (2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值； (3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价． 【答案】(1)米 (2)米 (3)答案见解析 【解析】（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 因为点为弧的中点，所以，即 设DC与y轴交于F点，， 则，即， 所以（米）. 所以的长约为米； （2）设 ， 则，，， 设修建的总路长为， 所以 ， ， 令，则，，解得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以 （米）. 所以修建的总路长的最小值约为米 . （3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径； （2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）． (说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1修的路相对短，2修的路相对便于居民出行) 实战能力训练 九、作业 1．（2024·上海·高考真题）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在严格增 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【解析】对，若存在 是偶函数，取 ， 则对于任意 ，而 矛盾，故A错误； 对 C ，假设存在，使得严格递增，则，与已知 矛盾，故 C错误； 对B，可构造函数 ，满足集合 当 时，则. 当时，， 当时， . 则存在在处取最大值，故B正确； 对 ，假设存在，使得在处取极小值， 则在的左侧附近存在n，使得， 这与已知集合M的定义矛盾，故错误. 故选：B. 2．（25-26高三上·上海·期末）函数的极大值为 . 【答案】/ 【分析】对求导，分析该函数在各区间上的单调性，从而获得极大值点，代入即得. 【解析】由求导得，， 则当时，；时，；时,. 即函数在和上单调递减，在上单调递增. 故函数在处取得极大值，为 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由偶函数得到函数的另一个零点，由图像写出和对应的区间，再写出和对应区间，由不等式转换为不等式组，求出的取值范围. 【解析】函数是偶函数，∴ ∴由图可知： 当时，，∴时，， 当时，，∴时，， 当时，；当时，， ∵，∴或， 即或， ∴或. 故答案为：. 4．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意转化为恒成立，利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【解析】由，得，恒成立， 所以，，恒成立，即，即， 得. 故答案为： 5．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】根据两曲线在有公切线，则是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出的值，则答案可求. 【解析】由已知得，解得， 又， 所以得， 所以， 所以. 故答案为：2 6．（2024·上海·三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    【答案】/ 【解析】设圆的直径为， 则，即， 由题意可得：，则， 令时， 解得；令时， 解得； 可知在单调递增， 在单调递减，则时，取最大值． 此时． 所以 故答案为：. 7．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意得，，故， 因为函数在上无极值， 所以在R上恒成立， 当时，， 设，则， 当时，得，当时，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，故， 当时，，则. 综上，. 故答案为： 8．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处有极值0，则 . 【答案】 【解析】因为，所以，依题意可得 .解得， 经检验适合题意，所以. 故答案为： 9．（2023·上海嘉定·二模）若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 令，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递减，在上单调递增，又，， 当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为， 则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为， 则当时，即，当时，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时当时即，当时即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当时当时即，当时即， 所以在上单调递增，在上单调递减， 此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意； 当，即时的图象如下所示： 即与轴有个交点，不妨依次设为、、， 则当或时，即，当或时，即， 所以在处取得极小值，符合题意， 综上可得实数的取值范围为. 故答案为： 10．（2024·上海·模拟预测）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 【答案】 【解析】由题意，设时刻水面高为，水面圆半径为， 则，即， 则此时水的体积为， 又以的匀速往杯中注水， 则此时水的体积为， 即， 当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是. 故答案为：. 10．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为关于的不等式对任意均成立， ①当对任意均成立时，可得对任意均成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以， 又由对任意均成立， 可得对任意均成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以. ②当且对于任意均成立时， 结合①可知且，此时无解. 综上可得，实数实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ． 【答案】643 【分析】首先分区间写出函数的解析式，判断函数的周期，再利用数形结合，求函数的零点个数. 【解析】当时，无解，故没有零点， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 以此类推，，而， 当有1个交点，以后每个周期内有2个交点，在区间无交点，所以共有个交点， 所以函数的零点个数为个. 故答案为：643 12．（24-25高三上·上海·开学考试）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)设，若函数为减函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）的定义域是，若是偶函数，则， 即，即， 两边平方并化简得，所以， 此时是偶函数，符合题意. 所以的值为. （2）， 由于，当时，， 所以， 若函数为减函数， 则，解得. 13．（2024·上海·模拟预测）设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2)求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. 【答案】(1)正方体“球形比例系数”，正四面体的“球形比例系数”. (2) (3)存在，该题答案不唯一，比如该几何体由圆柱和一个半球组合而成， 底面半径相同，圆柱的高约为半径的1.95倍. 【解析】（1）设球的半径为，正方体的棱长为，正四面体的棱长为， 则，正方体的系数为， 正四面体的表面积为， 如图，设为正三角形的中心，连接， 连接，设正四面体的棱长为，则， 故．则其体积为， 则正四面体的系数为 所以，正方体“球形比例系数”， 正四面体的“球形比例系数”. （2）设圆柱底面半径为，高为，则全面积为，体积为， 于是，设， 则，当时，；当时，； 即时，单调递减；时，单调递增. 即时，圆柱体的系数最小为， 所以，圆柱体的球形比例系数的值域为. （3）考虑圆柱和半球的组合体，底面重合，半径为，圆柱的高为， 于是组合体的全面积，体积 ， ，而，当时，， 14．（2023·上海长宁·一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)是偶函数；理由见解析 (2) (3)证明见解析 【解析】（1）因为，故对任意的都有． 又因为函数是函数的“约束函数”， 则对任意，都有， 取，可得恒成立， 即对任意的成立，故是偶函数； （2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数， 设，则， 进而， 可得，， 所以，， 设，， 则与均为上的严格增函数， 因为，恒成立， 对于恒成立， 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以，解得得， 当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. （3）设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对任意，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以不存在，使得， 同理可得：也不存在，使得， 所以当时，. ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有 所以是上的严格增函数. 15．（2024·上海·模拟预测）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解析】（1），当时，，则其值域为，满足条件①， 根据复合函数单调性知在单调递增，则其满足条件②， 故可取. （2）假设有是集合到的一个完美对应， 则有，其中，于是，， 由完美对应的定义，存在整数，使得且， 这与为整数矛盾，故假设不成立. 所以，整数集到有理数集之间不存在完美对应. （3）， ，得或， 若，则严格递增，且，此时；满足题意; 若，则时，；时，；时，； 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增; 又，故只有极小值才满足题意， 即，， 若，则时，；时，；时，； 则在单调递增，在单调递减，在单调递增； 又，故只有极大值才满足题意， 即，即. 综上, 的取值范围是 . 16.（2023年春考21）（本题满分18分，第1小题4分，第2小匙6分，第3小题8分） 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数在时取得的最小值定义为. （1）若，试问是否为函数的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线. 证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且. 证明：当且仅当或时，. 【答案】（1）是；（2）证明见解析；；（3）证明见解析. 【解析】 （1）当时，，所以 当时，，所以是否为函数的“控制函数”. （2）当时，. 则，则，而 所以切线. 因为. 即函数为函数的“控制函数”. 又，而，所以. （3）由题意，在处的切线斜率为 所以切线方程为，切线经过点，代入得： 整理得，由于，得. 代入，切线方程 即. 由于，，所以 即说明为的“控制函数”. 由题意可知，可知控制函数必须与函数相切，而上面求得切点处，即与“控制函数”在处相切，且切线过点， 则说明当时，的图像均在的下方. 所以. 即或，得证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 导数及其应用 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 4 考点一：导数的运算 4 考点二：导数的几何意义 5 考点三：利用导数研究函数的单调性 6 考点四：利用导数研究函数的极值、最值 7 考点五：利用导数解决实际问题 10 实战训练 13 明晰学考要求 导数的知识，高考占比7%，主要从导数的意义、导数的运算、导数的应用三个方面知识。考查方向多以导数的运算，切线方程、利用导数研究函数的单调性与最值用是考查的重点。春考中，3年4考。 基础知识 梳理 1、导数的概念 导数的概念：在已知函数的前提下，对于自变量某个给定值，赋予一个变化量，分析当趋近于时，函数值的变化量相对于自变量变化量的比值是否趋近于某一个稳定值。 如果这个稳定值存在，就说明在趋近于时有极限，并把这个极限记作，称为函数在处的导数（Derivative），记作，即有. 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率。而就是函数在处的瞬时变化率. 基本初等函数的导数 根据导数的定义，可以求出一些基本初等函数的导数．为了更便捷地处理求导问题， 我们通常将以下基本初等函数的导数作为公式使用： （1） （2），为常数 （3） （4） （5） （6） 补充：（7） （8） 导数的四则运算 基本初等函数可以通过四则运算产生新的初等函数．这些初等函数的求导可以通过以下的“导数四则运算法则”归结为基本初等函数的求导. （1）； （2）； （3），其中； （4） 简单复合函数的导数 由与 复合而成的型复合函数的求导法则. ，其中 导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处切线的斜率.函数在点处的切线方程为： 驻点：通常，我们将导数为零的点称为函数的驻点（stationary point），曲线在其驻点处的切线是一条水平直线。 公切线问题 若曲线存在公切线： 共切点型：若曲线有公共，且在点处存在公切线，则只需联立方程组，求解即可； 不共切点型： （1）分别设切点； （2）求导，得切线斜率： （3）由点斜式得切线： （4）由公切线得斜率、截距相等，即联立求解． 【注意】（1）我们可以把“共切点型”看做“不共切点型”的特殊情况处理； （2）需要注意斜率不存在的切线；（2）需要知道同时一条切线可能对应多个切点． 2、导数的应用 函数的单调性 在函数的定义域的某个区间内 若，则函数在内严格递增； 若，则函数在内严格递减； 若，则函数为内的常数函数. 其中： 当时，越大，曲线在点附近递增得越快； 当时，越小，曲线在点附近递减得越快。 函数的极值 设是函数定义域上的某个区间，存在，使； 若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极大值； 若在区间内有，且在区间内有，那么是的一个极小值. 函数的最大值、最小值 已知函数在上有定义，那么在内的极值与端点函数值、中，最大（小）的是在上的最大（小）值. 求函数的极值的方法： 第1步：求导数； 第2步：求方程的所有实数根； 第3步：考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化．如果的符号由正变负，则是极大值；如果由负变正，则是极小值．如果在的根的左右侧，的符号不变，则不是极值． 求函数最大（小）值的方法： 第1步：求在指定区间内所有使的点； 第2步：计算函数在区间内使的所有点和区间端点的函数值，其中最大的为最大值，最小的为最小值． 考点精讲讲练 考点一：导数的运算 【典型例题】 例1．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 例2．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）若，则 . 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数，则 . 考点二：导数的几何意义 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 ． 例2．（24-25高三上·上海·阶段练习）函数在点处的切线方程为 . 例3．（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）若直线与曲线相切，则实数的值为 . 2．（2024·青海·一模）已知曲线在处的切线斜率为1，则 ． 3．如图，函数图像在点处的切线方程是，则 .    考点三：利用导数研究函数的单调性 【典型例题】 例1．（2023·上海徐汇·一模）已知. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 例2．已知函数，其中． (1)若函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3，求a、b的值； (2)若在R上是严格增函数，求实数a的取值范围． 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海嘉定·期中）函数的图像如图所示，设的导函数为，则的解集为 . 2．（23-24高三上·上海·期中）若函数在上是严格单调函数，则实数a的取值范围为 ． 3．（2024·上海·三模）在区间上，是函数在该区间严格增的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 考点四：利用导数研究函数的极值、最值 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 例2．（2023·上海奉贤·一模）设函数在区间上恰有三个极值点，则的取值范围为 ． 例3．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值； (2)若函数在内存在极值，求实数的取值范围； (3)若对任意的实数，恒成立，求实数的取值范围. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知，函数. (1)求函数的极值； (2)讨论的单调性（写出单调区间）； (3)若恒成立，求的最大值，并证明：对于任意，都有 2．（2024·上海青浦·二模）如图，已知直线与函数的图象相切于两点，则函数有（    ）． A．2个极大值点，1个极小值点 B．3个极大值点，2个极小值点 C．2个极大值点，无极小值点 D．3个极大值点，无极小值点 3．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 4．（2023·上海宝山·一模）已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 考点五：利用导数解决实际问题 【典型例题】 例1．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 例2．（2023·上海崇明·一模）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.    (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； (2)求面积关于的函数解析式； (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. 【即时演练】 1.自由落体运动中，物体下落的距离（单位：m）与时间（单位：s）近似满足函数关系式，则物体在时间段内的平均速度为 . 2．（2024·上海·模拟预测）如下图所示，甲工厂位于一直线河岸的岸边A处，乙工厂与甲工厂在河的同侧，且位于离河岸40km的B处，河岸边D处与A处相距50km（其中），两家工厂要在此岸边建一个供水站C，从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省？ 3．（2023·上海嘉定·一模）中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列， 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 (1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明； (2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理． 4．（2023·上海奉贤·二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道． 为了简单起见，现作如下假设： 假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1； 假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路； 假设3：路的宽度在这里暂时不考虑； 假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示． 图1-图3中的相关边、角满足以下条件： 直线与的交点是， ，．米． 小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米． (1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长； (2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值； (3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价． 实战能力训练 九、作业 1．（2024·上海·高考真题）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在严格增 D．存在在处取到极小值 2．（25-26高三上·上海·期末）函数的极大值为 . 3．（24-25高三上·上海·期中）函数是定义在上的偶函数，其图像如下图所示，满足，设 是的导函数，则关于的不等式的解集是 . 4．（24-25高三·上海·课堂例题）若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 ． 5．（2024·上海·三模）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线，则的值为 . 6．（2024·上海·三模）中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，记矩形截面抵抗矩．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最佳之比应为 ．    7．（2024·上海·三模）已知函数在上无极值，则的取值范围是 . 8．（22-23高二下·上海黄浦·阶段练习）已知函数在处有极值0，则 . 9．（2023·上海嘉定·二模）若关于的函数在上存在极小值（为自然对数的底数），则实数的取值范围为 ． 10．（2024·上海·模拟预测）某酒杯上半部分的形状为倒立的圆锥，杯深，上口宽，若以的匀速往杯中注水，当时间为时，酒杯中水升高的瞬时变化率是 10．（2024·上海虹口·二模）已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为 . 11．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为 ． 12．（24-25高三上·上海·开学考试）已知为常数. (1)若为偶函数，求的值； (2)设，若函数为减函数，求实数的取值范围. 13．（2024·上海·模拟预测）设一个简单几何体的表面积为，体积为，定义系数，已知球体对应的系数为，定义为一个几何体的“球形比例系数”. (1)计算正方体和正四面体的“球形比例系数”； (2)求圆柱体的“球形比例系数”范围； (3)是否存在“球形比例系数”为0.75的简单几何体？若存在，请描述该几何体的基本特征；若不存在，说明理由. 14．（2023·上海长宁·一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 15．（2024·上海·模拟预测）已知为实数集的非空子集，若存在函数且满足如下条件：①定义域为时，值域为；②对任意，，均有. 则称是集合到集合的一个“完美对应”. (1)用初等函数构造区间到区间的一个完美对应； (2)求证：整数集到有理数集之间不存在完美对应； (3)若，，且是某区间到区间的一个完美对应，求的取值范围. 16.（2023年春考21）（本题满分18分，第1小题4分，第2小匙6分，第3小题8分） 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有的函数在时取得的最小值定义为. （1）若，试问是否为函数的“控制函数”； （2）若，使得直线是曲线在处的切线. 证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值； （3）若曲线在处的切线过点，且. 证明：当且仅当或时，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$