专题03 函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（上海专用）

专题03 函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 9 考点一：二次函数的最值问题 9 考点二：幂函数的图像及其性质 11 考点三：指数幂的运算 13 考点四：指数函数的图像及其性质 14 考点五：对数式的化简与求值 16 考点六：对数函数的图像及其性质 19 考点七：函数的概念 22 考点八：函数的定义域和值域 23 考点九：函数的奇偶性 25 考点十：函数的单调性 26 考点十一：函数的周期性与对称性、平移 30 考点十二：函数的应用题 31 考点十三：函数的零点 35 实战训练 37 明晰学考要求 函数部分高考占比16%，是必考考点，考试形式，填空题、选择题、解答题都有涉及。其中定义域、值域、分段函数、单调性、奇偶性、最值等都会考到。春考中，3年10考。2024年考查4题，2023年考查2题。 基础知识梳理 1、 幂与指数 整数指数幂的定义与运算性质 如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称 为 ，正整数指数幂满足如下的运算性质； 对任意给定的实数a，b及正整数s，t，有 (1) (2) 根式的概念 一般地，如果n为大于1的整数，且，那么x叫做a的 . 式子叫做a的n次根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 幂的基本不等式 当实数a>1,，有理数s>0时，不等式成立. 实数指数幂的性质 对任意给定的正数a，b及实数s，t，有 (1) (2) 2、 幂函数 幂函数的定义 当指数a固定，等式确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数.使得有意义的x的取值范围，称为此幂函数的 .幂函数的定义域可以是不相同的，它与 有关. 幂函数的性质 幂函数在第一象限总有图像，其图像随指数a的取值不同，可分为两种情况. (1)a>0的情况，此时幂函数在第一象限的图像由左至右是上升的，也就是说，在区间(0,+∞)上幂函数的函数值y随着x的（严格）增大而（严格）增大.此时称幂函数y=在区间(0,+∞)上是 (2)a<0的情况，此时幂函数在第一象限的图像由左至右是下降的，也就是说，在区间(0,+∞)上幂函数的函数值y随着x的（严格）增大而（严格） .此时称幂函数在区间(0,+∞)上是严格减函数. 五种常见幂函数的性质 函数 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上是 严格增函数 ]上是严格减函数， 上是严格增函数 在R上是 严格增函数 在R上是 严格增函数 上是严格减函数， 上是严格增函数 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 3、指数函数 指数幂的概念及运算性质 （1） 如果，且，则叫做a的n次方根. 根据根式定义，,当n为奇数时 ；n为偶数时 （2）正分数指数幂：),m,n∈N，且n>1) 负分数指数幂： ，且n>1). （3）有理数指数幂的运算性质： ①、 ②、 ③ 指数函数的定义 当底数a固定，且a>0,a≠1时，等式确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的 定义中的a>0且a≠1的固定是为了保证定义域为实数集，且具有单调性. （1）如果a=0，当x>0时，恒等于0；当x≤0时，a无意义； （2）如果a<0，则如对等都无意义； （3）如果a=1，则是一个常数，对它没有研究的必要.此时的反函数 ，且不具有单调性. （4）过去所学的有理数指数幂的性质和运算法则对于无理数指数幂都适用； （5）诸如等函数都 指数函数. 4、对数与对数函数 对数的定义 在a>0,a≠1，且N>0的条件下，唯一满足的数x，称为N以a为底的对数并用符号 表示，而N称为真数. 另外，由定义，对数这个记号表示满足方程的唯一确定的数x，因此N，这个式子是对数定义的另一个表达方式，同时也充分说明了对数运算是指数运算的 由此恒等式可以推出，若两个正数M，N的对数与相等，则M=N，即若同一个底的两个对数相等，则其真数必相等，这是因为，此外因为a，易见 常用对数与自然对数 对数的底a(a>0且a≠1)原则上可以任意选取．以10为底的对数称为常用对数，log10N 通常记为 . 以无理数e为底的对数称为自然对数，logeN通常记为 对数运算的基本性质 （1）当M>0,N>0时， （2）当M>0,N>0时 （3）当N>0时，对任何给定的实数 （4）换底公式：当N>0时， 对数函数的定义与图像 当底数a固定，且a>0,a≠1时，x以a为底的对数确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数.因为只有当x>0时，才有意义，所以对数函数的定义域是 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像关于直线y=x对称.据此即可以画出对数函数的图像. 5、函数的概念 函数的定义 设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个 ，记作y=f(x),x∈D.其中，x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为该函数的 . 此时，就称y是x的函数.当自变量x取时，由对应关系f所确定的对应于的值,称为函数在处的函数值，记作.所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈D}称为这个函数的 根据函数的定义，在定义域和对应关系确定的时候，这个函数就完全被确定了，从而值域也随之被确定.因此，定义域和对应关系称为函数的两个要素. 函数的表示方法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 · 通过列出自变量的值与对应函数值的对应表格来表达函数关系的方法称为 ,列表法通常用在定义域为有限集的情况. 对于函数y=f(x),x∈D，其定义域D中每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标，记作P(x,y).所有这些点组成的集合G叫做函数y=f(x),x∈D的图像，即G={(x,y)|y=f(x),x∈D}.可以看出，如果对定义域D中的实数，有，那么点P（，）一定在该函数的图像上；反之，如果点在该函数的图像上，那么必有，且 利用函数的图像来表示函数的方法称为 . 在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式.例如，函数y=|x|就是通过来定义的，这样表示函数的方法叫做 . 6、函数的基本性质 函数的奇偶性 （1）偶函数：对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-x∈D 并且 ，就称函数y=f(x)为偶函数. 根据上述偶函数的定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像关于 成轴对称的函数.如果要得到偶函数y=f(x)的图像，只需要获得其在定义域中x≥0(或x≤0）部分的图像就可以了，同理，如果要研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中x≥0（或x≤0)部分的性质就可以了. （2）奇函数：对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-x∈D 并且 ，就称函数y=f(x)为奇函数. 类似于偶函数图像性质，奇函数就是图像关于原点成 的函数.并且，已知奇函数在其定义域中x≥0（或x≤0)部分的图像（或性质），可以推导出其另一部分的图像（或性质）. 函数的单调性 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值当时，如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是增函数；而如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是 . 特别的，如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数.而如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. “严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的 . 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的，有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数. 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x))在区间I上是单调函数，并称区间I是函数y=f(x)的一个 . 函数的最值 函数y=f(x)在处的函数值是，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≥都成立，那么就叫做函数y=f(x)的 ; 相反，如果都成立，那么就叫做函数y=f(x)的最大值. 最大值和最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标. 函数的周期性 设函数y=f(x),x∈R，如果存在非零常数T，使得对一切x∈R，恒有f(x+T)=f(x)称T为这个函数的周期.显然若T是y=f(x)的周期，那么kT(k∈Z,k≠0)也是这个函数的期，周期函数的周期有无穷多个，但不一定有 . 周期函数的图像特征是：整个函数的图像是其中任一个周期内的图像不断向左或右两边移拓展的结果. 函数图像的对称 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称； (2)y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称； (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称； (4)y=f-1(x)与y=f(x)的图像关于直线 对称； (5)y=|f(x)|的图像可由y=f(x)的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分变而得到； (6)y=f(|x|）的图像：可先作出y=f(|x|)=f(x)(x≥0)的图像，再利用偶函数的图关于 对称，作出y=f(|x|)=f(x)(x≤0)的图像. 7、函数的应用 函数关系的建立 在研究某典数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系. 当我们用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系表示出来，这显示了建立变量之间的函数关系的重要性. 用函数观点求解方程和不等式 对于函数y=f(x),x∈D，如果存在实数c∈D，使得f(c)=0，就把c叫做该函数的 . 函数y=f(x),x∈D的零点，就是方程f(x)=0在集合D中的解，也是该函数y=f(x)的图像和x轴的交点的 .这就将方程f(x)=0的求解与求函数y=f(x)的零点联系起来. 二次项系数a>0时，一元二次不等式与相应二次函数的联系 二分法求函数的零点 如果在区间[a,b]」上，函数y=f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)⋅f(b)<0，那么y=f(x)在区间（a，b）上 如果函数在定义区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么在区间内 （选填“一定”“不一定”或“一定不会”）有零点. 二分法的思想非常直接和简单：在确定了区间上一定有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零点，而含有零点的区间的长度变为原先的 ，反复执行这种“一分为二”的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从而容易求得其近似值了. 三种增长型函数模型的图像与性质 函数 在（0，＋∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 受n值影响 图像的变化 随x增大逐渐表现为与y轴平行 随x增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而不同 三种增长型函数之间增长速度的比较 （1）指数函数与幂函数 在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a会小于，但由于a 的增长 的增长，因而总存在一个实数，使时有 （2）对数函数与幂函数 对数函数的增长速度，无论a与n值的大小如何，总会 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数使时有 由（1）（2）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个幅度上，因此在区间(0,+∞)上，总会存在一个实数x0，使时有 考点精讲讲练 考点一：二次函数的最值问题 【典型例题】 例1．（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数，. (1)若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）. 【即时演练】 1．已知. （1）不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围. 2．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 考点二：幂函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【即时演练】 1.已知幂函数在上单调递减. （1）求的值并写出的解析式； （2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点三：指数幂的运算 【典型例题】 例1．化简：. 【即时演练】 1．已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 考点四：指数函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．设常数，，. (1)已知的图象过点求实数的值； (2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 【即时演练】 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围. 2．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数（）. (1)若函数为偶函数，求实数的值； (2)若对任意的，都有，求的取值范围. 考点五：对数式的化简与求值 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 例2．（2023·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为 ． 【即时演练】 1．（2023·上海奉贤·一模）设且满足，则 . 2．（2023·上海浦东新·二模）函数在区间上的最小值为 ． 3．法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 考点六：对数函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 例2．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 例3．（2021·上海·模拟预测）已知函数，其中且，. （1）若，求不等式的解集； （2）若存在使，求的取值范围. 【即时演练】 1．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 考点七：函数的概念 【典型例题】 例1．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【即时演练】 1．（2021·上海奉贤·二模）下列选项中，可表示为的函数是（    ） A． B． C． D． 考点八：函数的定义域和值域 【典型例题】 例1．（2023·上海普陀·二模）函数的定义域为 ． 例2．（2021·上海杨浦·一模）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【即时演练】 1．（2022·上海奉贤·一模）函数的定义域是 . 2．（2023·上海嘉定·一模）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 考点九：函数的奇偶性 【典型例题】 例1．（2024·上海奉贤·三模）若函数为奇函数，则 ． 例2．（2023·上海金山·二模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【即时演练】 1．（2023·上海·模拟预测）下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 考点十：函数的单调性 【典型例题】 例1．函数的单调递增区间为 ． 例2.（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 例3．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【即时演练】 1．已知a是实数，函数的表达式为. (1)请用单调性的定义证明函数是区间上的严格增函数； (2)若函数在其定义域上为奇函数，求实数a的值，并直接写出不等式的解集. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 考点十一：函数的周期性与对称性、平移 【典型例题】 例1．（2023·上海嘉定·三模）函数满足，当时，，则 . 例2．（2023·上海浦东新·二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【即时演练】 1．（2023·上海青浦·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 2．（2023·上海金山·一模）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 考点十二：函数的应用题 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 例2．（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 考点十三：函数的零点 【典型例题】 例1．（2023·上海浦东新·模拟预测）若的值域为，则至多有 个零点. 例2．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【即时演练】 1．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海嘉定·一模）关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 实战能力训练 1．（2023·上海长宁·一模）设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·上海奉贤·一模）函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 5．（2023·上海长宁·二模）当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为 6．（21-22高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 7．（2023·上海奉贤·三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ． 8．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 9.（2023年春考9）已知函数，且，则方程的解为 . 10．（2024年春考1）的定义域为 . 11．（2024年春考9）已知，求的的取值范围 . 12．（2023·上海徐汇·一模）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 13．（2023·上海浦东新·三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 14．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 15．（2023·上海松江·二模）已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 16．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 17．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 18．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 19．（2022·上海长宁·一模）已知函数. (1)求证：函数是上的减函数； (2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”． (1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数． (2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（2024年春考21）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 函数 目录 考情解读 1 知识梳理 1 考点精讲 9 考点一：二次函数的最值问题 9 考点二：幂函数的图像及其性质 11 考点三：指数幂的运算 13 考点四：指数函数的图像及其性质 14 考点五：对数式的化简与求值 16 考点六：对数函数的图像及其性质 19 考点七：函数的概念 22 考点八：函数的定义域和值域 23 考点九：函数的奇偶性 25 考点十：函数的单调性 26 考点十一：函数的周期性与对称性、平移 30 考点十二：函数的应用题 31 考点十三：函数的零点 35 实战训练 37 明晰学考要求 函数部分高考占比16%，是必考考点，考试形式，填空题、选择题、解答题都有涉及。其中定义域、值域、分段函数、单调性、奇偶性、最值等都会考到。春考中，3年10考。2024年考查4题，2023年考查2题。 基础知识梳理 1、 幂与指数 整数指数幂的定义与运算性质 如果a是一个实数，n是一个正整数，那么称 为 a的n次幂 ，正整数指数幂满足如下的运算性质； 对任意给定的实数a，b及正整数s，t，有 (1) (2) 根式的概念 一般地，如果n为大于1的整数，且，那么x叫做a的 n次方根 . 式子叫做a的n次根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 幂的基本不等式 当实数a>1,，有理数s>0时，不等式成立. 实数指数幂的性质 对任意给定的正数a，b及实数s，t，有 (1) (2) 2、 幂函数 幂函数的定义 当指数a固定，等式确定了变量y随变量x变化的规律，称为指数为a的幂函数.使得有意义的x的取值范围，称为此幂函数的 定义域 .幂函数的定义域可以是不相同的，它与 指数a 有关. 幂函数的性质 幂函数在第一象限总有图像，其图像随指数a的取值不同，可分为两种情况. (1)a>0的情况，此时幂函数在第一象限的图像由左至右是上升的，也就是说，在区间(0,+∞)上幂函数的函数值y随着x的（严格）增大而（严格）增大.此时称幂函数y=在区间(0,+∞)上是 严格增函数 (2)a<0的情况，此时幂函数在第一象限的图像由左至右是下降的，也就是说，在区间(0,+∞)上幂函数的函数值y随着x的（严格）增大而（严格） 减小 .此时称幂函数在区间(0,+∞)上是严格减函数. 五种常见幂函数的性质 函数 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上是 严格增函数 ]上是严格减函数， 上是严格增函数 在R上是 严格增函数 在R上是 严格增函数 上是严格减函数， 上是严格增函数 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 3、指数函数 指数幂的概念及运算性质 （1） 如果，且，则叫做a的n次方根. 根据根式定义，,当n为奇数时 = ；n为偶数时 （2）正分数指数幂：),m,n∈N，且n>1) 负分数指数幂： ，且n>1). （3）有理数指数幂的运算性质： ①、 ②、 ③ 指数函数的定义 当底数a固定，且a>0,a≠1时，等式确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的指数函数 定义中的a>0且a≠1的固定是为了保证定义域为实数集，且具有单调性. （1）如果a=0，当x>0时，恒等于0；当x≤0时，a无意义； （2）如果a<0，则如对等都无意义； （3）如果a=1，则是一个常数，对它没有研究的必要.此时的反函数 不存在 ，且不具有单调性. （4）过去所学的有理数指数幂的性质和运算法则对于无理数指数幂都适用； （5）诸如等函数都不是 指数函数. 4、对数与对数函数 对数的定义 在a>0,a≠1，且N>0的条件下，唯一满足的数x，称为N以a为底的对数并用符号 表示，而N称为真数. 另外，由定义，对数这个记号表示满足方程的唯一确定的数x，因此N，这个式子是对数定义的另一个表达方式，同时也充分说明了对数运算是指数运算的 逆运算 由此恒等式可以推出，若两个正数M，N的对数与相等，则M=N，即若同一个底的两个对数相等，则其真数必相等，这是因为，此外因为a，易见 常用对数与自然对数 对数的底a(a>0且a≠1)原则上可以任意选取．以10为底的对数称为常用对数，log10N 通常记为 . 以无理数e为底的对数称为自然对数，logeN通常记为 对数运算的基本性质 （1）当M>0,N>0时， （2）当M>0,N>0时 （3）当N>0时，对任何给定的实数 （4）换底公式：当N>0时， 对数函数的定义与图像 当底数a固定，且a>0,a≠1时，x以a为底的对数确定了变量y随变量x变化的规律，称为底为a的对数函数.因为只有当x>0时，才有意义，所以对数函数的定义域是 对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像关于直线y=x对称.据此即可以画出对数函数的图像. 5、函数的概念 函数的定义 设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实数y与之对应，就称这个对应关系f为集合D上的一个 函数 ，记作y=f(x),x∈D.其中，x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为该函数的 定义域 . 此时，就称y是x的函数.当自变量x取时，由对应关系f所确定的对应于的值,称为函数在处的函数值，记作.所有函数值组成的集合{y|y=f(x),x∈D}称为这个函数的 值域. 根据函数的定义，在定义域和对应关系确定的时候，这个函数就完全被确定了，从而值域也随之被确定.因此，定义域和对应关系称为函数的两个要素. 函数的表示方法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这种表示函数的方法称为 解析法 · 通过列出自变量的值与对应函数值的对应表格来表达函数关系的方法称为 列表法 ,列表法通常用在定义域为有限集的情况. 对于函数y=f(x),x∈D，其定义域D中每一个x值都有唯一的一个y值与之对应，把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标，记作P(x,y).所有这些点组成的集合G叫做函数y=f(x),x∈D的图像，即G={(x,y)|y=f(x),x∈D}.可以看出，如果对定义域D中的实数，有，那么点P（，）一定在该函数的图像上；反之，如果点在该函数的图像上，那么必有，且 利用函数的图像来表示函数的方法称为 图像法 . 在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有不同的表达式.例如，函数y=|x|就是通过来定义的，这样表示函数的方法叫做 分段表示法 . 6、函数的基本性质 函数的奇偶性 （1）偶函数：对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-x∈D 并且 f(-x) =f(x) ，就称函数y=f(x)为偶函数. 根据上述偶函数的定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像关于 y轴 成轴对称的函数.如果要得到偶函数y=f(x)的图像，只需要获得其在定义域中x≥0(或x≤0）部分的图像就可以了，同理，如果要研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中x≥0（或x≤0)部分的性质就可以了. （2）奇函数：对于函数y=f(x)，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有-x∈D 并且 f(-x) =-f(x) ，就称函数y=f(x)为奇函数. 类似于偶函数图像性质，奇函数就是图像关于原点成 中心对称 的函数.并且，已知奇函数在其定义域中x≥0（或x≤0)部分的图像（或性质），可以推导出其另一部分的图像（或性质）. 函数的单调性 对于定义在D上的函数y=f(x)，设区间I是D的一个子集.对于区间I上的任意给定的两个自变量的值当时，如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是增函数；而如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是 减函数 . 特别的，如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是严格增函数.而如果总有，就称函数y=f(x)在区间I上是严格减函数. “严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的 单调性 . 需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个区间而言的，有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在包含于定义域中的某些区间上却可以是单调函数. 如果函数y=f(x)在某个区间I上是增（减）函数，那么就称函数y=f(x))在区间I上是单调函数，并称区间I是函数y=f(x)的一个 单调区间 . 函数的最值 函数y=f(x)在处的函数值是，对于定义域内任意给定的x，如果f(x)≥都成立，那么就叫做函数y=f(x)的 最小值 ; 相反，如果都成立，那么就叫做函数y=f(x)的最大值. 最大值和最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标. 函数的周期性 设函数y=f(x),x∈R，如果存在非零常数T，使得对一切x∈R，恒有f(x+T)=f(x)称T为这个函数的周期.显然若T是y=f(x)的周期，那么kT(k∈Z,k≠0)也是这个函数的期，周期函数的周期有无穷多个，但不一定有 最小正周期 . 周期函数的图像特征是：整个函数的图像是其中任一个周期内的图像不断向左或右两边移拓展的结果. 函数图像的对称 (1)y=f(-x)与y=f(x)的图像关于y轴对称； (2)y=-f(x)与y=f(x)的图像关于x轴对称； (3)y=-f(-x)与y=f(x)的图像关于原点对称； (4)y=f-1(x)与y=f(x)的图像关于直线 y=x 对称； (5)y=|f(x)|的图像可由y=f(x)的图像在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分变而得到； (6)y=f(|x|）的图像：可先作出y=f(|x|)=f(x)(x≥0)的图像，再利用偶函数的图关于 y轴 对称，作出y=f(|x|)=f(x)(x≤0)的图像. 7、函数的应用 函数关系的建立 在研究某典数学问题时，所研究的变量往往依赖于另一个变量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系. 当我们用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关变量及其关系表示出来，这显示了建立变量之间的函数关系的重要性. 用函数观点求解方程和不等式 对于函数y=f(x),x∈D，如果存在实数c∈D，使得f(c)=0，就把c叫做该函数的 零点 . 函数y=f(x),x∈D的零点，就是方程f(x)=0在集合D中的解，也是该函数y=f(x)的图像和x轴的交点的 横坐标 .这就将方程f(x)=0的求解与求函数y=f(x)的零点联系起来. 二次项系数a>0时，一元二次不等式与相应二次函数的联系 二分法求函数的零点 如果在区间[a,b]」上，函数y=f(x)的图像是一段连续曲线，并且f(a)⋅f(b)<0，那么y=f(x)在区间（a，b）上 如果函数在定义区间上的图像是一条连续不断的曲线，且有，那么在区间内 一定 （选填“一定”“不一定”或“一定不会”）有零点. 二分法的思想非常直接和简单：在确定了区间上一定有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零点，而含有零点的区间的长度变为原先的 一半 ，反复执行这种“一分为二”的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从而容易求得其近似值了. 三种增长型函数模型的图像与性质 函数 在（0，＋∞）上的单调性 严格增函数 严格增函数 严格增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 受n值影响 图像的变化 随x增大逐渐表现为与y轴平行 随x增大逐渐表 现为与x轴平行 随n值变化而不同 三种增长型函数之间增长速度的比较 （1）指数函数与幂函数 在区间(0,+∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定范围内a会小于，但由于a 的增长 快于 的增长，因而总存在一个实数，使时有 （2）对数函数与幂函数 对数函数的增长速度，无论a与n值的大小如何，总会 慢于 的增长速度，因而在定义域内总存在一个实数使时有 由（1）（2）可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个幅度上，因此在区间(0,+∞)上，总会存在一个实数x0，使时有 考点精讲讲练 考点一：二次函数的最值问题 【典型例题】 例1．（21-22高三上·上海静安·期中）已知函数，. (1)若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围； (2)若函数的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为？若存在，求出所有t的值；若不存在，请说明理由（注：区间的长度为）. 【答案】(1) (2)存在，或 【解析】（1）若对任意的，总存在，使成立， 只需函数的值域为函数的值域的子集， ，的值域为， 下面求的值域， ①当时，为常数，不符合题意舍去； ②当时，的值域为，要使， 则，解得； ③当时，的值域为，要使， 则，解得； 综上，m的取值范围为； （2）由题意可得，解得， ①当时，在区间上最大，最小， 所以，即，解得或（舍去）； ②当时，在区间上最大，最小， 所以，即，解得； ③当时，在区间上最大，最小， 所以，即，解得（舍去）. 综上所述，存在常数满足题意，或. 【即时演练】 1．已知. （1）不等式恒成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式有解，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1)令，求出在上的最小值即可； (2)令，求出在上的最大值即可. 【解析】令，当时，在上单调递减，在上单调递增， ，， （1）因在恒成立，于是得， 所以实数a的取值范围是； （2）因不等式在有解，于是得， 所以实数a的取值范围是. 2．（23-24高三上·上海黄浦·期中）已知函数 (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值： (2)若函数在上的最大值为2，求实数的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，则问题转化为关于的不等式的解集为，再根据三个二次之间的关系理解运算； （2）令，求出的解析式，由结合二次函数的性质计算可得. 【解析】（1）因为， 所以关于的不等式等价于， 即关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的两根是，，且， 所以，解得. （2）令，则，， 因为，所以二次函数开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以，即，解得. 考点二：幂函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．已知幂函数为偶函数，． (1)求的解析式； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)若函数在上是严格增函数，求k的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时， 为偶函数，当时，为非奇非偶函数； (3). 【解析】（1）因为为偶函数，所以 解得或 当时，为偶函数，满足题意 当时，是非奇非偶函数，不满足题意 所以 （2）因为，所以 所以当时，，为偶函数， 当时，，为非奇非偶函数， （3）因为函数在上是严格增函数， 所以当时，，即 所以， 因为，所以，所以 因为，所以，所以 【即时演练】 1.已知幂函数在上单调递减. （1）求的值并写出的解析式； （2）试判断是否存在，使得函数在上的值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1），；（2）存在，. 【解析】（1）（1）因为幂函数在上单调递减， 所以解得：或(舍去)， 所以； （2）由（1）可得，，所以， 假设存在，使得在上的值域为， ①当时，，此时在上单调递减，不符合题意； ②当时，，显然不成立； ③当时，，在和上单调递增， 故，解得. 综上所述，存在使得在上的值域为. 考点三：指数幂的运算 【典型例题】 例1．化简：. 【答案】 【解析】. 【即时演练】 1．已知函数（其中，且）. (1)若，求的值. (2)求关于的方程的解. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以， 所以， 所以. （2）因为， 则， 所以， 又因为，且， 所以. 考点四：指数函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．设常数，，. (1)已知的图象过点求实数的值； (2)当时，对任意，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，，且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）因为图象过点，所以， 所以，解得. （2）当时，， 因为，所以， 令，则有，， 函数的对称轴为，所以， ，所以， 因为对任意，都有恒成立， 所以，所以，即实数的取值范围为：. （3）因为，则 ， 化为 ， 整理有： ， 因为，所以， 所以原式可化为： ， 令，则有， ， 所以方程有两个根，设为、，且，， 所以，， ， 又因为 ， 所以，因为，所以， 所以，即，， ，，，， 又因为，所以. 【即时演练】 1．（23-24高三上·上海杨浦·期中）已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值； (2)若存在，使成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，得到，所以， 又，所以，解得， 当，，，，所以函数是奇函数， 所以，，. （2）由（1）知， 任取，且， 则， 因为，所以，所以， 得到函数在定义上单调递减，又函数为奇函数， 由，得到，所以， 即，令，对称轴为，又，所以，所以. 2．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数（）. (1)若函数为偶函数，求实数的值； (2)若对任意的，都有，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）若函数为偶函数， 则， 所以，， 所以； （2）由可得：，即， 因为当时，函数 单调递减，其最大值为1， 所以，即， 由可得，即， 当时，单调递减，且无限趋近于0， 所以，即 综合可得：． 考点五：对数式的化简与求值 【典型例题】 例1．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 . 【答案】/ 【解析】令，则， 由，得， 所以，解得或， 所以或， 所以或， 当时，则， 由，得，所以， 由，又，解得， 所以； 当时，由，得，所以， 由，又，解得， 所以， 综上所述，. 故答案为：. 例2．（2023·上海徐汇·模拟预测）方程的解集为 ． 【答案】 【解析】因为, 则，解得， 所以方程的解集为. 故答案为： 【即时演练】 1．（2023·上海奉贤·一模）设且满足，则 . 【答案】 【解析】令，则 所以，整理得 解得，所以 故答案为： 2．（2023·上海浦东新·二模）函数在区间上的最小值为 ． 【答案】． 【解析】， 因为，所以，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 3．法国数学家弗朗索瓦韦达，在欧洲被尊称为"现代数学之父"，他最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展.其最早发现代数方程的根与系数之间的关系，人们把这个关系称为韦达定理.请解决下列问题: (1)关于的方程的一个实数根为2，求另一实数根及实数的值 (2)已知是方程的两个根，求的值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设另一个根n，由韦达定理得，解得， 所以另一个实数根是1，实数m的值是2. （2）由α，β是方程的两个根， 得和是方程的两个根， 从而， 考点六：对数函数的图像及其性质 【典型例题】 例1．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【解析】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 例2．（2024·上海嘉定·模拟预测）已知函数，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】的图象如下： 因为且，所以且， 所以，所以，故， 由对勾函数在上单调递减，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 例3．（2021·上海·模拟预测）已知函数，其中且，. （1）若，求不等式的解集； （2）若存在使，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）且. 【解析】（1）函数，其中且，， 若，不等式，即， 即， ∴当时，，且， 解得，故不等式的解集为； 当时，，且， 解得，故不等式的解集为. （2）因为存在使，故或， 存在使，即能成立， 当时，，即有解， 当时，，即有解， 令，则存在，且，， 所以，且，因为， 则，故，又，故在中有唯一的零点， 则，此时需要，，解得，又， 所以的取值范围为且. 【即时演练】 1．（2024·上海·三模）已知函数恒过定点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】令，解得，此时， 所以恒过定点，则， 所以. 故选：C 2．（2024·上海金山·二模）已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． (1)若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； (2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； (3)已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)的所有可能值为或 【解析】（1）不是关于的“函数”． 解法一：当时，，所以不存在，使得 解法二：因为函数()的值域为，比如取，则， 不存在，使得； （2）设． 由题意，存在，使得． 因为函数是关于的“函数”， 所以存在，满足， 从而． 同理，由是关于的“函数”， 可得， 综上，； （3）记集合，． 由是关于的“函数”，得， ①当时， ，， 从而，解得， 因唯一，令，解得(舍)或(舍)； ②当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； ③当时，，， 从而，解得， 因唯一，令，解得，符合题意； 综上，的所有可能值为或． 考点七：函数的概念 【典型例题】 例1．下列函数中是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，定义域，定义域，不是同一个函数，故A错误； 对于B，定义域，定义域，不是同一个函数，故B错误； 对于C，与定义域都是，且，两函数是同一个函数，故C正确； 对于D，定义域，定义域，不是同一个函数，故D错误. 故选：C 【即时演练】 1．（2021·上海奉贤·二模）下列选项中，可表示为的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的概念判断即可. 【解析】选项A，当时，，故不正确； 选项B，当时，，故不正确； 选项C，当时，等等，故不正确； 选项D，由，可得，为指数型函数，所以正确. 故选：D. 考点八：函数的定义域和值域 【典型例题】 例1．（2023·上海普陀·二模）函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】， ，或 所以定义域为：. 故答案为： 例2．（2021·上海杨浦·一模）下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：函数的值域为，，故排除； 函数的值域为，故排除； 函数的值域为，故满足条件； 函数的值域为，，故排除， 故选：． 例3．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 【即时演练】 1．（2022·上海奉贤·一模）函数的定义域是 . 【答案】 【解析】函数有意义，则有，即，解得， 所以函数的定义域是. 故答案为： 2．（2023·上海嘉定·一模）若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】当时， 当时， 故答案为： 考点九：函数的奇偶性 【典型例题】 例1．（2024·上海奉贤·三模）若函数为奇函数，则 ． 【答案】 【解析】因为函数为奇函数， 所以， 当时，则， 则， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 例2．（2023·上海金山·二模）已知是定义域为的奇函数，当时，，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 故答案为：. 【即时演练】 1．（2023·上海·模拟预测）下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，令，由，得的定义域为R， ，函数不是奇函数； 对于B，令，由，得，即函数的定义域为， ，函数是奇函数； 对于C，令，显然函数的定义域为R，， 函数是奇函数； 对于D，令，函数的定义域为， ，函数是奇函数. 故选：A 2．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 考点十：函数的单调性 【典型例题】 例1．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】因为，所以所以函数的定义域为， 设，所以在上单调递减，在上单调递增， 而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为. 故填：． 例2.（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】在上单调递增， 在单调递减， 则，即， 同时 需满足，即， 解得， 综上可知 故答案为： 例3．（2024·上海·三模）已知，函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用函数单调性的定义加以证明. 【答案】(1) (2)在区间上为严格增函数，证明见解析 【解析】（1）根据题意，是定义在上的奇函数， 则有，解得， 又由，解得， 所以，定义域为， 且，所以； （2）在区间上为严格增函数． 证明如下：设任意，则， 由，得， 即，，， 所以，即， 故在区间上为严格增函数． 【即时演练】 1．已知a是实数，函数的表达式为. (1)请用单调性的定义证明函数是区间上的严格增函数； (2)若函数在其定义域上为奇函数，求实数a的值，并直接写出不等式的解集. 【答案】(1)证明见解析 (2)，或， 【解析】（1），， ， 则， 因为，所以， 所以，即， 故函数是区间上是严格增函数． （2）的定义域为， 故，解得， 故，由于， 结合函数的单调性以及奇偶性，故当时，或， 故的解集为或， 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)若存在实数，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，证明见解析 (3) 【解析】（1）由函数为奇函数，其定义域为，所以， 即，解得，此时， 满足，即为奇函数， 故的值为. （2）在R上单调递减，证明如下： 由（1）知， ，且，则， 因为，所以，，， 所以，即函数在上单调递减. （3）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又由（2）知函数在上单调递减， 所以，因为存在实数，使得成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 考点十一：函数的周期性与对称性、平移 【典型例题】 例1．（2023·上海嘉定·三模）函数满足，当时，，则 . 【答案】1 【解析】由得函数的最小正周期为2. 由周期性可得，， 当时，，则. 所以. 故答案为：1. 例2．（2023·上海浦东新·二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数． 那么（    ）． A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题 【答案】D 【解析】对①，取非奇函数，则为偶函数，故①为假命题； 对②，取函数，则函数不是周期函数，但是周期函数，故②为假命题. 故选：D 【即时演练】 1．（2023·上海青浦·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且满足， ，则 . 【答案】 【解析】因为函数是定义在上的奇函数，则， 因为，即， 所以，函数为周期函数，且周期为，则， 在等式中，令，可得，所以，， 因为，则， 因为， 所以， . 故答案为：. 2．（2023·上海金山·一模）若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 【答案】 【解析】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 考点十二：函数的应用题 【典型例题】 例1．（24-25高三上·上海·期中）上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【答案】(1)当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量； (2)发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元. 【解析】（1）依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量. （2）当时， ，当且仅当时取等号； 当时， ， 当且仅当时取等号，而， 所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 例2．（24-25高三上·上海·期中）为研究一种浮游植物的生长规律，某科研团队在一个面积为8000平方米且保持各项指标均稳定的实验池塘中开展研究，一开始在此池塘投放了一定覆盖面积的该植物，观察实验得到该植物覆盖面积（单位：平方米）与所经过月数的下列数据： 0 2 3 4 4 25 63 156 为了描述该植物覆盖面积（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型可供选择：①；②；③. (1)试判断以上哪个函数模型更适合植物覆盖面积与经过的月数的关系，并求出该模型的函数解析式： (2)约经过几个月，该植物能覆盖整个池塘？ (3)经过4个月的研究，在掌握该植物生长规律后，科研小组开始改善池塘生态，现有两种方案： 方案一：加入能抑制该植物生长的某种物质，使其覆盖面积与经过的月数的关系变为； 方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，植物增长速度不变. 请比较这两种方案的植物覆盖面积增长状况，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析，，； (2)9个月； (3)答案见解析. 【解析】（1）根据图表可知随x增长函数值增长越来越快， 而函数刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数刻画的是增长速度越来越慢的变化规律，不符合题意； 若选择函数模型，则有，解得， 即，， 当时，，当时，， 所给数据均比较接近满足函数； 若选择函数模型，显然， 且，解得，即， 而当时，，与给定的数据相差太大，不符合题意， 所以函数模型更适合； （2）由（1）知，，， 设约经过个月，此生物能覆盖整个池塘， 则，解得 . 所以约经过9个月此生物能覆盖整个池塘； （3）依题意，方案二的函数模型为， 当时， 方案二的函数模型对应的值依次为， 方案一的函数模型对应的值依次为， 方案一的增长速度比方案二的小，方案二在第5到9月生物量较方案一小，10月开始方案一生物量较小， 方案二再经过13个月此生物能覆盖整个池塘， 由，解得，方案一再经过15个月此生物能覆盖整个池塘. 【即时演练】 1．（24-25高三上·上海·期中）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用的水泡制，待茶水温度降至时，饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27 设茶水温度从经过后温度变为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）； (3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实，求进行实验时的室温约为多少. 【答案】(1)选模型②，且 (2) (3)约为10℃ 【解析】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，即，可得， 所以且. （2）令，则. 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. （3）由，即，所以进行实验时的室温约为10℃. 考点十三：函数的零点 【典型例题】 例1．（2023·上海浦东新·模拟预测）若的值域为，则至多有 个零点. 【答案】4 【解析】当时，， 由可得，； 当时，， 由可得，或； 当时，， 由可得，或. 综上所述，的零点可能是或或或. 所以，的零点至多有4个. 故答案为：4. 例2．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【解析】A：在中， 令，得， 因为，所以，所以本选项不正确； B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确； C：在中， 令，得 ，或， 显然函数没有零点，故本选项不正确， D：在中， 令， 得，所以本选项正确， 故选：D 【即时演练】 1．（2024·上海松江·二模）已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为函数的两个零点，故有， 即恒成立， 故，，则，， 由a，b，c为某三角形的三边长，且， 故，且，则， 因为必然成立， 所以，即，解得， 所以， 故的取值范围是：. 故选：B. 2．（2023·上海嘉定·一模）关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ． 【答案】 【解析】在同一坐标系中作出的图象， 方程有三个不同的实数解等价于与的图象恰好有三个公共点， 需要满足与的图象在相切， 当时，， 令即， 由得， 当时，方程有两个相等的解，满足题意， 当时，方程有两个相等的解，不满足题意， 故. 故答案为： 实战能力训练 1．（2023·上海长宁·一模）设)，则“函数的图象经过点（-1，-1）”是“函数为奇函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】∵的图象经过点，， ∴ 又∵ ∴ ∵为奇函数， ∴ ∴ “的图象经过点”是“为奇函数”的充要条件. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海·阶段练习）围棋是中国传统棋种，蕴含着中华文化丰富内涵，围棋棋盘横竖各有19条线，共有个落子点.每个落子点都有落白子、落黑子和空白三种可能，因此围棋空间复杂度的上限.科学家们研究发现，可观测宇宙中普通物质的原子总数.则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 所以， 所以. 则选项中各数与最接近的是. 故选：D. 3．（2023·上海奉贤·一模）函数在定义域上是（     ） A．严格增的奇函数 B．严格增的偶函数 C．严格减的奇函数 D．严格减的偶函数 【答案】A 【解析】令，任取， 则， 因为是上的严格增函数，所以， 则，所以， 则函数是上的严格增函数； 又，即函数为奇函数， 所以函数在定义域上是严格增的奇函数. 故选：A 4．（2024·上海普陀·二模）若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2023·上海长宁·二模）当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为 【答案】 【解析】因为当时，幂函数的图象总在的图像上方， 所以当时，恒成立， ， 因此要想时，恒成立，只需， 因此a的取值范围为， 故答案为： 6．（21-22高一上·上海杨浦·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【解析】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 7．（2023·上海奉贤·三模）点、都在同一个指数函数的图像上，则t= ． 【答案】9 【解析】设指数函数为，其中且， 将、代入函数解析式得，解得， . 故答案为：9 8．（2023·上海宝山·一模）设为常数，若，则函数的图象必定不经过第 象限 【答案】二 【解析】已知, 则指数函数单调递增，过定点，且， 函数的图象是由函数函数向下平移个单位， 作出函数的图象，可知图象必定不经过第二象限. 故答案为：二. 9.（2023年春考9）已知函数，且，则方程的解为 . 【答案】 【解析】当时，得；当时，得（舍）； 所以. 10．（2024年春考1）的定义域为 . 【答案】 【解析】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 11．（2024年春考9）已知，求的的取值范围 . 【答案】 【解析】根据题意知. 当时，,即，解得，则有； 当时，,即，，即时，不等式都成立. 综上所述，的的取值范围为. 故答案为：. 12．（2023·上海徐汇·一模）已知是定义域为的奇函数，且时，，则的值域是 【答案】 【解析】因为是定义域为的奇函数， 当时，，则时，， 所以， 作出函数图像如下图所示： 由图像可知：函数值域为. 故答案为： 13．（2023·上海浦东新·三模）已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下：    当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，. 故答案为：. 14．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，若关于的方程有两个不同的根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】将函数向右平移1个单位得到， 作出函数的图象如下： 要关于的方程有两个不同的根， 则函数和函数有两个不同的交点， 当过点时，， 所以当函数和函数有两个不同的交点时，. 故答案为：. 15．（2023·上海松江·二模）已知函数为上的奇函数；且，当时，，则 ． 【答案】/ 【解析】因为，为上的奇函数， 所以，所以为周期为2的周期函数， 因为当时,, 则， 令,得,,又因为为奇函数，则， 所以，则，则， 所以，所以， 故答案为：. 16．（2024·上海杨浦·二模）若函数为奇函数，则函数，的值域为 . 【答案】 【解析】当时，，因为为奇函数，则，所以，所以，时值域为. 故答案为：. 17．（2024·上海长宁·二模）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，若，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 若， 当时，可得，解得， 当时，可得，解得， 当时，可得，显然不成立， 故的取值范围为或. 故答案为：或. 18．（2022·上海金山·二模）经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数） (2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析 【解析】（1）若选择模型（1），将以及代入可得 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型（2），将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数） （2）记日销售利润为， 当且为整数时，， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型. 19．（2022·上海长宁·一模）已知函数. (1)求证：函数是上的减函数； (2)已知函数的图像存在对称中心的充要条件是的图像关于原点中心对称，判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标，若不存在，说明理由； (3)若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)2 【解析】（1）解：设对于任意的实数，， 则， 因为，所以， 所以，即 所以函数是上的减函数 （2）解：假设函数的图像存在对称中心， 则的图像关于原点中心对称， 由于函数的定义域为， 所以恒成立， 即恒成立， 所以，解得 ， 所以函数的图像存在对称中心 （3）解：因为对任意，都存在及实数，使得， 所以，即， 所以，即 因为，所以 因为，所以 所以，即 所以，所以，即实数的最大值为. 20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数的图像形状象对勾，我们称形如“”的函数为“对勾函数”． (1)证明对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数． (2)已知，，利用上述性质，求函数的单调区间和值域； (3)对于（2）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)单调递减区间为，单调递增区间为，值域为； (3). 【解析】（1）设是任意两个实数，且任取，则 若，则，，即，，所以 所以，即，所以在上是减函数， 若，则，，即，，所以， 所以，即，所以在上是减函数， 所以对勾函数具有性质：在上是减函数，在上是增函数； （2）， 令，因为，所以，则， 由对勾函数的性质，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以在上是减函数，在上是增函数，所以，，， 综上可得，的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为． （3）由（2）知时，若存在，使得成立， 只需，在上有解即可，即最小值， 令，在上是减函数，在上是增函数，所以最小值， 所以，即实数的取值范围为． 21．（2024年春考91）记 (1)若，求和; (2)若，求证:对于任意，都有，且存在，使得. (3)已知定义在上有最小值，求证"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】（1）由题意得:； （2）由題意知，记，有或2， 0 2 正 0 负 0 正 极大值 极小值 现对分类讨论: 当，有为严格增函数，因为，此时，符合条件; 当时，，先增后减，， 因为取等号)，所以， 此时，符合条件，且时，； 当时，，在严格增，在严格减，在严格增， ，因为， 此时，，则，则成立; 综上可知，对于任意，都有，且存在，使得. （3）必要性:若为偶函数，则， 当，因为，故; 充分性：若对于任意正实数，均有，其中， 因为有最小值，不妨设， 由于任意，令，则， 故最小元素为，中最小元素为， 又 则对任意成立，则 ， 若，则对任意成立是偶函数， 若，此后取， ， 综上，任意，即是偶函数. 故"是偶函数"的充要条件是“对于任意正实数，均有”. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$