精品解析：天津市滨海新区塘沽渤海石油第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

渤油一中2024-2025学年度第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 本试卷包括I、II卷，满分150分，考试时间100分钟，只交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题共16题，每题5分，共80分） 一、选择题（每小题5分，共80分） 1. 在空间直角坐标系中，若，，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则值为（ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 3. 若，且为共线向量，则的值为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 8 4. 已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）． A B. C. D. 5. 已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1或3 C. 1 D. 3 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 7. 已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（ ）． A. B. C. D. 8. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 11. 在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 3 12. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 13. 椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（　　） A. B. C. D. 14. 圆关于直线对称，则最小值是（ ） A. B. C. D. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 16. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 第二卷（共70分） 二、填空题（每题5分，共20分） 17. 抛物线 的焦点坐标是_________；准线方程是_________ 18. （1）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________；（2）三角形 ABC 的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为______ 19. 已知点外接圆的方程是__________ 20. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为______. 三、解答题: （共50分） 21. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 22. 动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 23. 已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程. 24. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 渤油一中2024-2025学年度第一学期高二年级 数学学科期中考试试卷 本试卷包括I、II卷，满分150分，考试时间100分钟，只交答题纸. 第Ⅰ卷（选择题共16题，每题5分，共80分） 一、选择题（每小题5分，共80分） 1. 在空间直角坐标系中，若，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用空间向量的坐标运算求解． 【详解】因为，， 设，故， 故，解得， 故. 故选：B 2. 已知向量，，且，则的值为（ ） A. 4 B. -4 C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】向量垂直时，数量积等于零，向量数量积用坐标进行表示即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 则， 故选：C. 3. 若，且为共线向量，则的值为（ ） A. 7 B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量共线坐标形式可得关于的方程组，求出其解后可得正确的选项. 【详解】因为为共线向量，且它们均为非零向量，故存在实数， 使得，故，所以，故， 故， 故选：C. 4. 已知直线经过点，，该直线的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点表示直线斜率求出直线的斜率，再由斜率的定义即可得倾斜角. 【详解】因为直线过点，， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因，所以， 故选：C. 5. 已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1或3 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【详解】解：直线，直线平行， 且， 解得． 实数的值为． 故选：． 【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 6. 如图，在正方体中，为的中点，则异面直线与所成的角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由已知条件可证得平面，从而可得，由此可得答案 【详解】连接，则， 因为平面，在平面内， 所以， 因为， 所以平面， 因为在平面内， 所以， 所以异面直线与所成的角为， 故选：D 【点睛】此题考查求异面直线所成的角，属于基础题 7. 已知圆与圆，则两圆的公共弦所在直线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆相减得到公共弦所在直线方程. 【详解】圆与圆相减得 ，化简为， 两圆的公共弦所在直线方程为. 故选：B 8. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意得到所求圆心为，半径为，再写出圆的标准方程即可. 【详解】由题知：的中点坐标为， ， 所以圆心为，半径为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 9. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据双曲线的方程和几何性质可得答案． 【详解】根据双曲线的方程可得焦点在轴，可得， ∴渐近线方程为，即. 故选：A． 10. 已知椭圆，直线l：（），直线l与椭圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】由题得直线过定点（0，1），而该定点椭圆内部，所以直线和椭圆相交. 【详解】由题意知l：（）恒过点， 因为，所以点（0,1）在椭圆内部， 所以直线l与椭圆相交． 故选：C 【点睛】本题主要考查点和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11. 在日常生活中，可以看见很多有关直线与椭圆的位置关系的形象，如图，某公园的一个窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状，其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段，则该窗户的最短的竖直窗棂的长度为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立坐标系得椭圆的标准方程为，再结合题意计算即可得答案. 【详解】解：根据题意，建立如图所示的坐标系， 因为窗户就是长轴长为4米，短轴长为2米的椭圆形状， 所以椭圆的标准方程为， 因为其中三条竖直窗棂将长轴分为相等的四段， 所以当时，，所以最短窗棂的长度为． 故选：B 12. 已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出椭圆标准方程为，求得点纵坐标，列方程组求解． 【详解】设椭圆方程为， 代入得，， 所以，由于，故解得． 所以椭圆方程为， 故选：B． 13. 椭圆的弦被平分，则此弦所在的直线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设以A（4，﹣2）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（4，2）为EF中点，得到x1+x2＝8，y1+y2＝﹣4，利用点差法能够求出中点弦所在的直线方程． 【详解】设以为中点的椭圆的弦与椭圆交于，，∵为中点，∴，， 把，分别代入椭圆中， 得 则①－②得， ∴，∴， ∴以为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为，整理得，. 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在的直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用． 14. 圆关于直线对称，则最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到圆心在直线上，即，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】圆关于直线对称， 则圆心在直线上，即， 又因为， 所以， 当且仅当时等号成立． 故选：C 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆短轴的一个端点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由题意可知，， 在中，由余弦定理得，化简得， 则，所以， 故选：C. 16. 已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助双曲线求出抛物线焦点F的坐标，再结合抛物线定义及几何意义求解最值作答. 【详解】双曲线的渐近线，右焦点， 依题意，，解得，因此抛物线的焦点为，方程为，其准线为， 由消去x并整理得：，，即直线与抛物线相离， 过点F作于点P，交抛物线于点M，过M作于点Q，交直线于点N， 则有， 在抛物线上任取点，过作于点，作于点，交准线于点，连，如图， 显然，当且仅当点与点重合时取等号， 所以抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及抛物线上的点到定点与到焦点距离和或到定直线与准线距离和的最小值问题，利用抛物线定义转化求解即可. 第二卷（共70分） 二、填空题（每题5分，共20分） 17. 抛物线 的焦点坐标是_________；准线方程是_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据抛物线准线和焦点坐标的定义直接得到答案. 【详解】抛物线方程化成标准方程：， 所以焦点坐标为，准线方程为：， 故答案为：， 18. （1）直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为_________；（2）三角形 ABC 的三个顶点分别为，边上的中线所在直线的方程为______ 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】（1）先设直线方程，若过原点，设：，若不过原点，设：，再代入点，求出待定系数即得直线的方程. （2）先求出的中点坐标，求出中线的斜率，再用点斜式求出直线方程. 【详解】（1）若直线过原点，设直线：， ∵过点，∴直线的方程为：； 若直线不过原点，∵直线在两坐标轴上截距相等，设直线方程为：， 又直线过点，∴，解得， 所以直线方程为：. （2）设的中点为,∵，则点的坐标为， ∴的斜率, ∴直线的方程为，即, 故答案为：或；. 19. 已知点外接圆的方程是__________ 【答案】 【解析】 【分析】设圆的一般方程，将三个圆上的点的坐标代入圆方程得到方程组，求得方程组的解，即可得到圆的一般方程. 【详解】设所求圆的方程为． 由已知，点的坐标满足上述方程，分别代入方程， 可得关于的三元一次方程组， 解方程组得， 于是得到所求圆的一般方程为． 故答案为：. 20. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，则该椭圆方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是，则椭圆的焦点在y轴上，且， 又椭圆上一点到两个焦点的距离之和为26，所以，即， 所以，所以该椭圆方程为. 故答案为： 三、解答题: （共50分） 21. 圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）已知直线l：与圆相交于两点，求弦长的值； （3）过点引圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2） （3）和 【解析】 【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程； （2）求出圆心到直线距离，进而求出弦长. （3）当斜率不存在时，符合题意，当斜率存在时，设出直线方程，根据，求出斜率，写出方程. 【小问1详解】 由题意可得，圆心为，半径为2， 则圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知：圆的半径， 设圆心到的距离为，则， 所以. 【小问3详解】 当斜率不存在时，为过点的圆C的切线. 当斜率存在时，设切线方程为，即 ，解得 综上所述：切线的方程为和. 22. 动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数，求动点M的轨迹. 【答案】点M轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 【解析】 【分析】利用两点、点线距离公式列方程，并转化整理即可得轨迹方程，进而判断轨迹. 【详解】设d是点M到直线l的距离， 根据题意，动点M的轨迹就是点的集合，则. 将上式两边平方，并化简，得，即. 所以，点M的轨迹是焦点在x轴上，实轴长为6、虚轴长为的双曲线. 23. 已知椭圆：的左右焦点分别为，上顶点为，长轴长为，若为正三角形. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点，斜率为的直线与椭圆相交两点，求的长； （3）过点的直线与椭圆相交于两点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件求出即可得到椭圆标准方程； （2）联立直线和椭圆方程，直接利用弦长公式进行求解； （3）联立直线和椭圆方程，结合韦达定理，列方程组求解. 【小问1详解】 依题意，，则，由为正三角形，则，故，于是，故椭圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）知，，故该直线为：，和椭圆联立： ，整理可得，故，由弦长公式， 【小问3详解】 显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），设直线为：，和椭圆方程联立得，， ，则，故， 由韦达定理可得：，， 于是，，故， 即， 化简可得，解得， 故直线为： 24. 如图，平面，，，，， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 因为平面，，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，，设平面的法向量为， 则，取，又平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$