精品解析：广东省广州中学2024--2025学年九年级数学上册11月月考试卷

广州中学2024学年第一学期11月阶段性练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项：1、答题前在答题卡上按要求填写好班级、姓名、座位号、考号等信息． 2、将答案正确填写在答题卡题号指定区域内，不得使用涂改液、修正带，不得擅自更改答题卡上的题号，否则该题作答无效，作图题使用2B铅笔画图． 3、考试期间不准使用计算器． 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共计30分．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：A． 3. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相交． 【详解】∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，∴直线l与⊙O的位置关系是相交． 故选A． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可． 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 5. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴平移后，新图象的顶点坐标是． ∴所得抛物线的表达式为． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 6. 如图，、是上的两个点，是直径，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出及的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答． 【详解】由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 8. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，得出关于的一元二次方程，从而得到答案． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长是，则纸盒底面的长为cm，宽为cm， 纸盒的底面（图中阴影部分）面积是， ， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9. 若二次函数的图象经过，，四点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性：当二次项系数时，离对称轴越远的点，函数值越大；时，离对称轴越远，函数值越小．由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向下，离对称轴越远，函数值越小，故；进而得离对称轴最近，离对称轴最远，从而即可得解． 【详解】解：∵二次函数过，， ∴对称轴为，图象开口向下， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，三点中，离对称轴最近，离对称轴最远． 综上所述： ． 故选B． 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在的上方作，且使，连接．设，则，根证明得出，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ， ， 设，则， ， ， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，二次函数的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”解答． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 已知一元二次方程的两根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，．直接根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为 ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，为直径，，，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是先根据三角形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：∵，， ， ， 故答案为：． 14. 二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】k＜ 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到△=（-3）2-4×1×k＞0，然后求出不等式的解集即可． 【详解】根据题意得△=（-3）2-4×1×k＞0， 所以k＜． 故答案为k＜． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 15. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设与交于点，连接，首先利用勾股定理解得的值，再根据旋转的性质可得为等边三角形，易得，，进而可知为的垂直平分线，然后求得，的值，即可获得答案． 【详解】解：设与交于点，连接，如图， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴，， ∴平分，平分， ∴，， ∴，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 二、解答题（共9小题，共计72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解一元二次方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．利用分解因式法，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：， ∴或， ∴，． 18. 如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，过点作于，则有和，即可证明，有，则点E在上，即可证明． 【详解】证明：过点作于，如图， 平分， ， 又，， ， 在与中， ， ， ， 点E上， 又， 与相切． 19. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，点B的对应点恰好落在线段上，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，内错角相等，两直线平行，等边三角形的性质与判定，根据题意，证明即可． 【详解】证明：在中，∵，， ∴． ∵绕点A逆时针旋转，得到 ，， 是等边三角形， ， ， ． 20. 抛物线与x轴的公共点是，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）当时，自变量x的取值范围为_______． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式，学会根据图象法解不等式是解题的关键． （1）代入，到，解出、的值即可； （2）先说明抛物线的图象开口向上，结合与x轴的两个交点坐标，根据图象即可解答． 【小问1详解】 解：代入，，得， 解得：， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ， 抛物线的图象开口向上， 又，是与x轴的公共点， 由图象得，当时，x的取值范围为． 故答案为：． 21. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为弧上一点，且弧弧，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得； （2）连接，由勾股定理可得，再利用垂径定理即可得解． 本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，是的弦，， ， 又， ， ， ∴． 【小问2详解】 解：连接， ， ， 又，， ， ∵是的直径，是的弦，， ∴． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根分别为a，β，且，求m的值． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的关系． （1）根据根的判别式，即可判断； （2）利用根与系数关系求出，由即可解出，，再根据，即可得到值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∵， ∴， 该方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 方程的两个实数根，， 由根与系数关系可知，，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∴，即． 23. 如图，中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）若．试用含的代数式表示，并说明理由． 【答案】（1）见解析； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用旋转性质得，再证明和全等即可得证； （2）由得，另由，即可求得的度数，从而利用邻补角即可得解． 【小问1详解】 证明：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴，，， ∴即， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：．理由： 如下图， ∵由（）知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 24. 已知直线经过点，与抛物线的对称轴交于点． （1）求，的值； （2）抛物线与轴交于且，若，求的取值范围； （3）当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）将和分别代入直线表达式中可求得和值，再根据抛物线的对称轴公式求解值即可； （2）抛物线的对称轴为直线和得出及，则，根据二次函数的最值方法求解即可； （3）联立方程组可得，对讨论，结合方程根取值范围进行求解即可． 【小问1详解】 解：把代入得：，则， ∴ ∵点在直线上， ∴， ∴抛物线的对称轴， ∴； 小问2详解】 解：由（）知，则， ∵抛物线与轴交点的横坐标为，且 ∴ ∴ 即． ∴． ∴ ∵， ∴ ∴ ∵且对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，当时， ∴； 【小问3详解】 解：由（）知，直线的表达式为，抛物线表达式为， 联立方程组得：， 当时，该方程无解，不满足题意； 当时，方程的解为满足题意； 当时，方程的解为， 当即时，满足当时，抛物线与直线有且只有一个公共点， 综上，满足题意的的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、求二次函数的最值问题、两个函数图象的交点问题、解一元二次方程、解一元一次不等式组等知识，解答的关键是认真分析题意，找寻知识之间的关联点，利用待定系数法、分类讨论和数形结合思想进行推理、探究和计算． 25. 如图，在矩形中，点、分别是边、上的点，连接、、，是等边三角形，记的面积为的面积为，的面积为． （1）如图，已知，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图，已知，，且，试求和的长．拿到题目后，小彬、姚昕联．同学和数学老师展开了讨论，他们的对话如下： 小彬：这道题目肯定要用到旋转，得到全等，再设参、推导、计算化简等； 昕聪：这道题目的条件有些多余，比如就可以不要 老师：你们两位同学说的都正确． 请你按照昕聪的说法进行分析、解答，试求和的长． 【答案】（1）①；②． （2）， 【解析】 【分析】（1）①延长到点，使得，连接，过点作于，证四边形是正方形，得，由是等边三角形，得，证（），得，，进而得，利用度直角三角形的性质得，从而求得，又证，得，即可得解；②由勾股定理得，进而，证，得，进而得，即可得解； （2）作交的延长线于点，过点作于点，的延长线于点，根据矩形的判定和性质，则，，根据等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，则，，根据度直角三角形的性质，勾股定理，求出，得到相似比；设，，根据全等三角形的判定和性质，得，根据边的数量关系，得，，，，，，，，，根据题意，则；，根据因式分解，构造，根据，，则，，求出，，即可求出和． 【小问1详解】 解：①延长到点，使得，连接，过点作于， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵，， ∴即， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：作交的延长线于点，过点作于点，的延长线于点， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何的综合应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，因式分解的应用，灵活构造全等三角形，因式分解的解题的重要步骤． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2024学年第一学期11月阶段性练习 九年级数学试卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项：1、答题前在答题卡上按要求填写好班级、姓名、座位号、考号等信息． 2、将答案正确填写在答题卡题号指定区域内，不得使用涂改液、修正带，不得擅自更改答题卡上的题号，否则该题作答无效，作图题使用2B铅笔画图． 3、考试期间不准使用计算器． 一、选择题（共10小题，每小题3分，每小题只有一个选项符合题目要求，共计30分．） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是　　 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 4. 用配方法解一元二次方程，配方后得到方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，、是上的两个点，是直径，若，则等于（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，有一张长，宽的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过，，四点，则，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长的最小值是（　　） A B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分．） 11. 点关于原点成中心对称的点的坐标为_______． 12. 已知一元二次方程的两根为，则______． 13. 如图，在中，为直径，，，则______°． 14. 二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 15. 在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 __________． 16. 如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为______． 二、解答题（共9小题，共计72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，点O为的角平分线上一点，于D，以O为圆心．为半径作，求证：与相切． 19. 如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，点B的对应点恰好落在线段上，求证：． 20. 抛物线与x轴的公共点是，． （1）求这条抛物线的解析式； （2）当时，自变量x的取值范围为_______． 21. 如图，是直径，是的弦，，垂足为，为弧上一点，且弧弧，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等实数根； （2）若方程的两个实数根分别为a，β，且，求m的值． 23. 如图，中，，是由绕点按逆时针方向旋转得到的，连接、相交于点． （1）求证：； （2）若．试用含的代数式表示，并说明理由． 24. 已知直线经过点，与抛物线对称轴交于点． （1）求，的值； （2）抛物线与轴交于且，若，求的取值范围； （3）当时，抛物线与直线有且只有一个公共点，直接写出的取值范围． 25. 如图，在矩形中，点、分别是边、上的点，连接、、，是等边三角形，记的面积为的面积为，的面积为． （1）如图，已知，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图，已知，，且，试求和的长．拿到题目后，小彬、姚昕联．同学和数学老师展开了讨论，他们的对话如下： 小彬：这道题目肯定要用到旋转，得到全等，再设参、推导、计算化简等； 昕聪：这道题目的条件有些多余，比如就可以不要 老师：你们两位同学说的都正确． 请你按照昕聪的说法进行分析、解答，试求和的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $