精品解析：贵州省贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 4. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形或菱形 5. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 6. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 8. 如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 13 9. 在等腰三角形中，，，的长分别是关于x的方程的两个根，则m的值是（ ） A. 16或25 B. 16 C. 25 D. 5或8 10. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（　　） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 11. 小龙和他的语文、数学老师共3人随机站成一排拍照，则他正好站在两位老师中间的概率是（ ） A. B. C. D. 12. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 15. 一个口袋中有若干个白球和8个黑球（除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，则据此估计口袋中大约有_____个白球． 16. 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 20. 如图所示，在矩形中，为对角线，于点，，，求矩形的面积． 21. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED的度数． 22. 如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 23. 某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息： 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的进货单价； （2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件．经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定把甲种商品的零售单价下降元，在不考虑其他因素的条件下，当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元？（注：单件利润零售单价进货单价） 24. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 25. （1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南明区永乐第一中学2024-2025学年度第一学期期中质量监测 九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 用配方法解方程，配方后的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握完全平方公式是解决此题的关键． 先把方程变形为，再把等号两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ，  故选：C ． 2. 如图，在菱形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补求解即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟知菱形的对角线平分一组对角，菱形的邻角互补是解题的关键． 3. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 4. 既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（ ） A. 正方形 B. 平行四边形 C. 等腰梯形 D. 矩形或菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，没有对称轴，不符合题意； C、等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴，不是中心对称图形，不符合题意； D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，还考查了特殊四边形的性质． 5. 如图，矩形中，在上，且，，，矩形的周长为，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出.设，根据矩形的性质得出，，，求出，证，推出，求出，得出方程，求出即可. 【详解】设， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 矩形的周长为， ， ， 即. 故选：A． 6. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有且只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 7. 已知M＝a2﹣a，N＝a﹣1（a为任意实数），则M、N的大小关系为（　　） A. M＞N B. M≥N C. M＜N D. M≤N 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法把M−N的代数式变形，根据偶次方的非负性判断即可． 【详解】解：M−N＝（a2−a）−（a−1）＝a2−2a＋1＝（a−1）2， ∵（a−1）2≥0， ∴M≥N， 故选：B． 【点睛】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键． 8. 如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，，，则的周长是（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】，M为的中点，，利用直角三角形斜边上的中线可得，同理可得：，从而可得答案． 【详解】解： ，M为的中点，， ， 同理： 又， 故选：A． 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键． 9. 在等腰三角形中，，，的长分别是关于x的方程的两个根，则m的值是（ ） A. 16或25 B. 16 C. 25 D. 5或8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义、一元二次方程的解及一元二次根的判别式，熟练掌握等腰三角形的定义、一元二次方程的解及一元二次根的判别式是解题的关键；由题意可分为底边和腰长进行分类求解即可． 【详解】解：由题意可分： 当为等腰三角形的底边时，则，即方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴方程为， 解得：，满足三角形三边关系； 当为等腰三角形的腰长时，则方程有一个根为8， ∴，即， ∴方程为， 解得：，满足三角形三边关系； 综上所述：m的值为25或16； 故选A． 10. 如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（　　） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】设FC′=x，则FD=9-x，根据矩形的性质结合BC=6、点C′为AD的中点，即可得出C′D的长度，在Rt△FC′D中，利用勾股定理即可找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设FC′=x，则FD=9﹣x， ∵BC=6，四边形ABCD为矩形，点C′为AD的中点， ∴AD=BC=6，C′D=3， 在Rt△FC′D中，∠D=90°，FC′=x，FD=9﹣x，C′D=3， ∴FC′2=FD2+C′D2，即x2=（9﹣x）2+32，解得：x=5， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，在Rt△FC′D中，利用勾股定理找出关于FC′的长度的一元二次方程是解题的关键． 11. 小龙和他的语文、数学老师共3人随机站成一排拍照，则他正好站在两位老师中间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中甲站在中间的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：假设小龙为甲，语文老师为乙，数学老师为丙，画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中甲站在中间的结果有2种， 甲站在中间的概率为， 故选：B． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 12. 宾馆有间房供游客居住，当每间房每天定价为元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为元？设房价比定价 元增加元，则有（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设设房价比定价 元增加元，根据利润房价的净利润入住的房间数可得． 【详解】设房价比定价 元增加元，根据题意得， ， 故选：D． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象列出于一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】矩形的一边长为xcm，则另一边长为， 因为矩形的面积为64cm2， 所以，． 故答案为：． 14. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可． 【详解】解：由题可知：， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件． 15. 一个口袋中有若干个白球和8个黑球（除颜色外其余都相同），从口袋中随机摸出1球，记下其颜色，再把它放回，不断重复上述过程，共摸了200次，其中有57次摸到黑球，则据此估计口袋中大约有_____个白球． 【答案】20 【解析】 【分析】设口袋中白球有x个，摸到黑球的频率为 建立关于x的方程，解之可得答案． 【详解】解：设口袋中白球有x个， 根据题意，得： ＝， 解得x≈20， 经检验x＝20是分式方程的解， 所以口袋中白球大约有20个， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．掌握用样本估计总体是解题关键． 16. 如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为_____． 【答案】1. 【解析】 【分析】连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得AO＝MN，当AO⊥BD时，AO有最小值，即MN有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，连接AO， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°， 又∵OM⊥AD，ON⊥AB， ∴四边形AMON是矩形， ∴AO＝MN， ∵当AO⊥BD时，AO有最小值， ∴当AO⊥BD时，MN有最小值， 此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD， ∴AO＝BD＝1， ∴MN的最小值为1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，利用矩形的对角线相等，把线段MN的最小值转化为线段AO的最小值是解题的关键. 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用提取公因式法分解因式，再利用因式分解法解方程即可； （2）求出的值，利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， 则此方程有两个不相等的实数根， ， 故，． 【点睛】此题主要考查了因式分解法以及公式法解方程，正确掌握解题方法是解题关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元一次方程根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，将变形为，代入相应的值，得到关于m的方程，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的两实根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或． 19. 一张长为30cm，宽20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图1所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长． 【答案】4cm 【解析】 【详解】试题分析：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm，则围成的长方体纸盒的底面长是（30-2x）cm, 宽是（30-2x）cm,根据底面积等于264 cm2列方程求解. 解：设剪掉的正方形纸片的边长为x cm． 由题意，得 (30-2x)(20-2x)=264． 整理，得 x2 -25x + 84=0． 解方程，得，（不符合题意，舍去）． 答：剪掉的正方形的边长为4cm． 20. 如图所示，在矩形中，为对角线，于点，，，求矩形的面积． 【答案】． 【解析】 【分析】利用三角形的外角性质得出，再利用直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一边求出OA=10,最后利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】解：由矩形的性质，得． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴，∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考场了矩形的性质，三角形外角的性质及直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一边，关键是熟练掌握这些性质. 21. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌△DCE； (2)求∠AED的度数． 【答案】 （1）∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形， ∴BA=BC=CD=BE=CE，∠ABC=∠BCD=90°，∠EBC=∠ECB=60°， ∴∠ABE=∠ECD=30°， 在△ABE和△DCE中， ， ∴△ABE≌△DCE（SAS）． （2）150°． 【解析】 【详解】试题分析： （1）结合等边三角形和正方形的性质，用SAS证明△ABE≌△DCE； （2）由∠ABE=90°-60°=30°，BA=BE得∠AEB的度数，同理得∠CDE的度数，即可求解. 试题解析： （1） 略 （2）∵BA=BE，∠ABE=30°，∴， ∵∠BAD=90°，∴∠EAD=90°﹣75°=15°，同理可得∠ADE=15°， ∴∠AED=180°﹣15°﹣15°=150°． 点睛：本题主要考查了正方形的性质和等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，因为正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，具有所有平行四边形的性质，所以在解决与正方形有关的问题是较多的要运用全等三角形的判定与性质. 22. 如图，中，，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接，交于点F． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵旋转， ∴， ∴； （2） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴，   ∵， ∴， ∴，         同理， ∴四边形是平行四边形                 ∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定． （1）旋转的性质，得到，证明即可； （2）等边对等角，推出，得到，同理，得到四边形是平行四边形，再根据，即可得出结论． 掌握旋转的性质，是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 某商店销售甲、乙两种商品，现有如下信息： 请结合以上信息，解答下列问题： （1）求甲、乙两种商品的进货单价； （2）已知甲、乙两种商品的零售单价分别为2元、3元，该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品1300件．经市场调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售100件．商店决定把甲种商品的零售单价下降元，在不考虑其他因素的条件下，当m为何值时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元？（注：单件利润零售单价进货单价） 【答案】（1）甲商品的进货单价为1元，乙商品的进货单价为2元； （2）当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）设甲商品进货单价为x元，乙商品进货单价为y元，然后根据题意列出方程组进行求解即可； （2）由题意易得，然后求解该方程即可． 【小问1详解】 解：设甲商品进货单价为x元，乙商品进货单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：甲商品进货单价为1元，乙商品进货单价为2元． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， ∴，， ∵， ∴不合题意，舍去，即， ∴当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1800元． 24. 打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）． 根据图中信息，请回答下列问题； （1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度； （2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数； （3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率． 【答案】（1）18，6， （2）480人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C ，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算． 【小问1详解】 解：参与调查的总人数为：（人）， ， ， 文学类书籍对应扇形圆心角， 故答案为：18，6，； 【小问2详解】 解：（人）， 因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种， 因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理． 25. （1）【发现证明】如图1，在正方形中，点E，F分别是边上的动点，且，求证：． 小明发现，当把绕点A顺时针旋转至，使与重合时能够证明，请你给出证明过程． （2）【类比引申】①如图2，在正方形中，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由； ②如图3，如果点E，F分别是延长线上的动点，且，则之间的数量关系是______（不要求证明）； （3）【联想拓展】如图1，若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】 （1）证明：把绕点A顺时针旋转至，如图1， ，，， ， ，D，G三点共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）①不成立，此时，理由如下： 如图2，将绕点A顺时针旋转至， ，，，， ， 在和中， ， ， ； ②； （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质、旋转的基本性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用． （1）证明，可得出，则结论得证； （2）①将绕点A顺时针旋转至根据可证明，可得，则结论得证； ②将绕点A逆时针旋转至，证明，可得出，则结论得证； （3）求出，设，则，，在中，得出关于x的方程，解出x则可得解． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②如图3，将绕点A逆时针旋转至， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 故答案为：； （3）解：由（1）可知， 正方形的边长为6， ， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， ，  ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $