精品解析：重庆市第一中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题

重庆市第一中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题数学试题卷 【考试时间：11月30日16：15~18：15】 注意事项： 1.答卷前､考生务必将自已的姓名､准考证号码填写在答题卡上 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本大题共8小题､每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得. 【详解】设，，则，故有， 即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确， B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误. 故选：A. 2. 已知平面向量，则“ ”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】若与的夹角为钝角，则且与不共线，结合向量的坐标运算求得m得取值范围，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得 且， 因为是的真子集， 所以“ ”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 为等比数列的前项和，若 ，且，则等于（ ） A. 2 B. 4050 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列基本量计算出 ，进而结合等比数列求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得， 即，解得 ， 所以. 故选：A. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】B 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当即取等号， 故最小值为25， 故选：B 5. 若 为锐角，已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合平方关系求得，，进而根据二倍角公式计算即可. 【详解】由 为锐角，则，， 由，解得，， 所以. 故选：D. 6. 已知函数的定义域为 ，若函数与函数的交点为，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件先判断与均关于点 对称，又由两者有2025个交点，判断点 记为其中一个交点，再根据函数的对称性即可求得. 【详解】由，可得函数的图象关于点 对称， 因，则 ，故函数的图象关于点 对称， 又函数的定义域为且和的交点有奇数个，故 是两个函数的交点，即， 另外2024个交点都关于点 对称，即， 故. 故选：C. 7. 已知圆，直线，点为直线 上的动点.过点作圆 的两条切线，切点分别为 .若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或5 C. 3或 D. 3或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆相切得圆心与点的距离，即结合正方形的性质可得符合的点的位置，从而可得结论. 【详解】由可知圆心，半径为2， 因为四边形为正方形，且边长为圆 的半径2，所以， 所以直线上有且只有一个点，使得，即， 所以圆心 到直线 的距离为， 所以，解得或． 故选：C. 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆 于 两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆及的位置关系，利用等面积法可分别求得它们的内切圆圆心位置及其半径，分别计算出的各边长度可得结果. 【详解】由椭圆，知 ，所以. 所以，所以过作垂直于轴的直线为， 可得， 由题知的内切圆的半径相等，且， 的内切圆圆心的连线垂直于轴，垂足为. 设内切圆的半径为，在中， 由等面积法得，， 由椭圆的定义可知，，由， 所以，解得， 在中，因为为的角平分线，所以一定在上，即轴上， 令圆半径为， 在中，由等面积法得，， 由椭圆的定义可知，， 所以，解得， 所以， 所以， 所以的周长是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用等面积法求得各内切圆半径，即可得出结果. 二､多项选择题（本大题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可知，再根据函数的周期求出 ，将代入函数即可求出，从而可得函数，结合正弦函数性质，即可求解. 【详解】对于AB，由题意知，， 所以 ， ， 又，即，所以； 即，又因为，所以， 故，所以A正确，B错误； 对于C，令,则， 存在着当时，使其对称轴为，故C正确； 对于D，将图象上所有点向左平移个单位长度后得到，故D正确； 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若直线的斜率为1，则 D. 面积的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】设直线方程为 并于抛物线联立由韦达定理可得A错误，由焦半径公式化简计算可得B正确，根据焦点弦公式可得C正确，得出面积的表达式可得当时，面积的最小值为，即D错误. 【详解】对于A，易知抛物线即为，所以焦点， 由题意可知过点的直线斜率一定存在，设直线方程为 ， 联立，整理可得，， 由韦达定理可得，即A错误； 对于B，由焦半径公式可得， 因此 ，即B正确； 对于C，若直线的斜率为1，即， 则，可得C正确； 对于D，易知，点到直线 的距离为， 所以的面积为， 当时，面积的最小值为，即D错误. 故选：BC 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，且，则 C. 若，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若，且，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数分析的单调性和最值.对于A：举反例说明即可；对于B：可知，整理可得，结合对数不等式分析判断；对于C：根据的单调性可得，构建，利用导数求最值即可；对于D：分析可知，，，进而可得，构建，利用导数求最值即可. 【详解】因为，则， 当时，；当 时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且； 又因为的定义域，且， 当 时， ；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 对于选项A：因为，则， 所以在上不是增函数，故A错误； 对于选项B：因为关于的方程有两个不相等的实根， 可知，，且， 整理可得，即， 结合对数等式，可得，即 ， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则， 且，可得， 又因为在内单调递增，可得，则， 构建，则， 因为，可知： 当 时， ；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增，且. 可得，所以的取值范围为，故C正确； 对于选项D：若，且， 由图象可知：， 则，即，可得， 且，即，可得， 又因为， 且，在内单调递增，可得， 则， 构建，则， 当时，；当 时，； 可知在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为 ，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式； 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线平行的系数关系列方程组计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 所以，且且 所以. 故答案为：. 13. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出的轨迹方程，再根据两圆相离可求线段和的最小值. 【详解】设 ，则，整理得到， 设该圆的圆心为，则，半径为， 而，圆 的半径为，， 故圆与圆 相离，故的最小值为， 当且仅当共线时且 在之间时取最小值. 而的最小值为，当且仅当共线且在之间时取最小值， 故的最小值为， 故答案为： 14. 若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意整理可得，换元，分析可知原题意等价于对任意 恒成立，根据函数单调性求最值结合恒成立问题分析求解即可. 【详解】若数列为上的“凹数列”，则，即， 可得， 整理可得，即， 因为，令，可得， 当 时，，可得， 原题意等价于对任意 恒成立， 因为在上单调递增， 则在上单调递减，且当时，， 可知的最大值为， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】易错点点睛：解决数列与函数综合问题的注意点 （1）数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集，而不是某个区间上的连续实数，所以它的图象是一群孤立的点． （2）转化以函数为背景的条件时，应注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是非常容易忽视的问题． （3）利用函数的方法研究数列中相关问题时，应准确构造函数，注意数列中相关限制条件的转化． 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为.已知 为边的中点，且. （1）求证：； （2）若 ，求的面积. 【答案】（1）证明如下： 由 ，得 即， 因为， 由正弦定理得， ， 则，即. （2） 【解析】 【分析】（1）结合余弦定理化简可得，进而结合正弦定理求证即可； （2）由余弦定理得 ，结合平面向量的运算可得 ，联立求解可得，进而结合平方关系及三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，由余弦定理得 ，① 因为为的中点，所以， 则， 即 ， 即 ，② 联立①②，得 ，解得， 所以， 所以的面积为. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）若，求； （2）若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列分析求解即可； （2）根据递推公式可得，再结合单调性分析求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 可得， 若，则， 可知是以首项为2，公比为3的等比数列， 则，所以. 【小问2详解】 因为， 当时，则； 当时，则， 两式相减可得，则， 若数列是单调递增数列，则，解得， 且，解得， 综上所述：首项的取值范围为. 17. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. （1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； （2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： （3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 【答案】（1）“成绩优秀”和“不及格”的同学人数分别为 人、人 （2） （3）班级成绩优于年级成绩 【解析】 【分析】（1）根据题设中已知区间上的概率可求及，故可求成绩优秀的人数和不及格人数； （2）根据条件概率的概率公式可求同学丙入选的概率： （3）根据小概率几乎不发生可判断该班成绩由于年级成绩. 【小问1详解】 由已知， “成绩优秀”的概率为： . “不及格”的概率为： ， 所以“成绩优秀”的人数为人， “不及格”的人数为人. 【小问2详解】 设事件：至少一名“成绩顶尖”同学入选，事件：丙入选， 则， 【小问3详解】 由条件知年级中， 而在该班随机抽查中，同学成绩在一次随机事件中就发生了， 这说明班级成绩优于年级成绩. 18. 已知双曲线，其左顶点，离心率. （1）求双曲线方程及渐近线方程； （2）过右焦点的直线与双曲线右支交于 两点，与渐近线分别交于点 ，直线 分别与直线交于 . （i）求的取值范围； （ii）求证：以 为直径的圆过定点，并求出该定点. 【答案】（1） ； （2）（i） ； （ii）证明如下： 因 ，则直线方程为： ，令，则得，即 ； 同理直线方程为： ,令，则得,即 . 根据图象的对称性可知以 为直径的圆必经过轴上的一定点，设为 ， 则 ,代入坐标，可得 （*）， 因， ， 则， 代入（*），可得 ，解得或. 即以 为直径的圆过定点 和 . 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求得的值，即得双曲线方程和渐近线方程； （2）（i）依题设直线方程为 ，与双曲线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式求得 ,再由两渐近线方程与直线 联立，求得点 坐标，求得，写出，利用判别式求得的的范围和字母本身范围即可求得的取值范围； （ii）先写出直线 的方程，求出点 的坐标，由图形的对称性，判断所求圆经过轴上的某定点 ，由 和韦达定理代入化简即可求得定点的坐标. 【小问1详解】 依题意，，则得， 则双曲线方程为 ，其渐近线方程为： ，即 ； 【小问2详解】 （i）显然当过点 的直线斜率不能为0，故可设其方程为为 ， 代入双曲线方程 ，消元整理得： ， 则由,解得：. 设点 ，则， 于是，， 又由解得，即图中 ； 由解得，即图中 . 则， 于是， 因，则 ， 即的取值范围为 ； （ii）略 【点睛】关键点睛：本题主要考查直线与双曲线相交形成的线段比的范围和定点问题，属于较难题. 解题的关键是根据圆的对称性可判断定点在坐标轴上，结合向量垂直的坐标运算化简求解就可，对计算能力要求较高. 19. 已知函数 . （1）讨论函数极值点的个数； （2）当时，数列满足： .求证：的前项和满足. 【答案】（1） 当时，函数有唯一极值点； 当时，函数有两个极值点； 当时，函数无极值点. （2）证明如下： 当时， ，， 则 ， 所以函数在上单调递增， 当 时， ， 由 ，可得 ， 所以 ，则 ， ， 可得 ，所以 . 设 ， ，则 ， 所以函数在上单调递减， 所以 ，则 ， 所以 ， 所以， 则， 所以， 则. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，进而分，，三种情况讨论求解即可； （2）利用导数分析易得函数在上单调递增，可得当 时， ，进而得到 ， ，构造函数 ，利用导数分析易得 ，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可. 【小问1详解】 由 ，， 则， 当时，，令，得， 所以函数有唯一极值点； 当时，令，即 ， 由于 ，设方程 的两根为， 则 ，所以， 所以函数有唯一极值点； 当时，令，即 ， 当 ，即时，设方程 的两根为， 则 ， ， 所以函数有两个极值点； 当 ，即时，方程 无解， 所以函数无极值点. 综上所述，当时，函数有唯一极值点； 当时，函数有两个极值点； 当时，函数无极值点. 【小问2详解】 略 【点睛】本题第二问关键在于构造函数 ，利用导数分析易得 ，进而放缩得到，可得，进而得到，进而求证即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第一中学校2024-2025学年高三上学期11月月考数学试题数学试题卷 【考试时间：11月30日16：15~18：15】 注意事项： 1.答卷前､考生务必将自已的姓名､准考证号码填写在答题卡上 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､单项选择题（本大题共8小题､每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数满足，则可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，则“ ”是“与的夹角为钝角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 为等比数列的前项和，若 ，且，则等于（ ） A. 2 B. 4050 C. D. 4. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 5. 若为锐角，已知，则 （ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为 ，若函数与函数的交点为，则（ ） A. 0 B. C. 2025 D. 4050 7. 已知圆，直线，点为直线上的动点.过点作圆的两条切线，切点分别为.若使得四边形为正方形的点有且只有一个，则实数的值为（ ） A. 或 B. 或5 C. 3或 D. 3或5 8. 已知点分别为椭圆的左､右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题（本大题共3小题､每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的､全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选借的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 关于直线对称 D. 将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 10. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交该抛物线于，两点，点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若直线的斜率为1，则 D. 面积的最小值为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 若关于的方程有两个不相等的实根，且，则 C. 若，不等式恒成立，则的取值范围为 D. 若，且，则的最大值为 三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若直线与直线平行，则实数__________. 13. 点为平面直角坐标系的原点，，点满足，点为圆上一动点，则的最小值为__________. 14. 若数列满足对任意都有，则称数列为上的“凹数列”.已知，若数列为上的“凹数列”，则实数的取值范围是__________. 四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记的内角的对边分别为.已知 为边的中点，且. （1）求证：； （2）若 ，求的面积. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）若，求； （2）若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 17. 某校高三年级在一次数学测验中，各位同学的成绩，现规定：成绩在的同学为“成绩顶尖”，在的同学为“成绩优秀”，低于90分的同学为“不及格”. （1）已知高三年级共有2000名同学，分别求“成绩优秀”和“不及格”的同学人数（小数按四舍五入取整处理）； （2）现在要从“成绩顶尖”的甲乙同学和“成绩优秀”的丙丁戊己共6位同学中随机选4人作为代表交流学习心得，在已知至少有一名“成绩顶尖”同学入选的条件下，求同学丙入选的概率： （3）为了了解班级情况，现从某班随机抽取一名同学询问成绩，得知该同学为142分.请问：能否判断该班成绩明显优于或者差于年级整体情况，并说明理由. （参考数据：若，则，） 18. 已知双曲线，其左顶点，离心率. （1）求双曲线方程及渐近线方程； （2）过右焦点的直线与双曲线右支交于 两点，与渐近线分别交于点，直线 分别与直线交于 . （i）求的取值范围； （ii）求证：以 为直径的圆过定点，并求出该定点. 19. 已知函数 . （1）讨论函数极值点的个数； （2）当时，数列满足： .求证：的前项和满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $