重难点突破02 动角问题（角的旋转）(重难点分析+4题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（沪科版2024）

重难点突破02 动角问题（角的旋转） 学习目标 ①在角综合问题中，会将射线绕一个顶点的运动过程转化为行程问题（转过的角度为射线的路程）； ※②会灵活应用方程思想和分类讨论思想确定射线位置，解动角问题。 知识点01 动角问题 ·在一个角中，角的一边（一条射线）绕着角的顶点旋转，形成的角度大小不能确定，这个角就是动角，与这个动角有关的问题叫做动角问题。 ·一条射线在旋转，那么我们只需要考虑其起点位置、终点位置进行考虑，与单独的动点问题（线段上的单动点问题）类似，要注意转折点。 ·两条射线在旋转，那么我们也要与两个动点相联系，考虑清楚是相遇问题还是追及问题，还是多运动相结合。 ·解决动角问题的关键是转化为方程思想，设射线的运动时间为t，绕着顶点的旋转速度为v度/s，动角的度数可以表示为vt。 【即学即练1】已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系 知识点02 角的等分线 O ·已知OA平分∠MOC，ON平分∠AOC，∠NOC=∠MOC，称ON是∠MOC的4等分线。 【即学即练2】已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【即学即练3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 与动点在线段上的运动问题相似，类比线段上的动点问题，总结解决动角问题的一般思路： ·首先要能够用含t的式子表示出对应的角度 ·根据题目给的已知条件（角的等分线条件）分析出对应的等量关系 ·分类讨论出具体的情况 【题型一：单射线运动问题】 例1．（22-23七年级上·江苏常州·期末）已知：． (1)如图1，若． ①写出图中一组相等的角（除直角外） 　　，理由是 　　． ②那么　　． (2)如图2，与重合，若，将绕点以5度秒的速度作逆时针旋转，运动时间为秒． ①当　　秒时，平分； ②试说明：当为何值时，？ 变式1．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 【题型二：双射线运动中的相遇追击问题】 例2.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知如图1，，射线与重合，射线与重合，现在射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转，当射线与重合时，与同时停止旋转．回答以下问题： (1)如图2，经过10秒后，求的度数； (2)如图3，经过几秒后，射线是的角平分线； (3)经过几秒后，． 变式2.（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟． 求的大小（用t的代数式表示）； (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【题型三：新定义问题】 例3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”：(填“是”或“不是”) （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；(用含a的代数式表示出所有可能的结果) 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”． 1.如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 2.已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． (1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小； (2)如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O内旋转时，求∠MON的大小； (3)在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值． 3.已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 4.如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破02 动角问题（角的旋转） 学习目标 ①在角综合问题中，会将射线绕一个顶点的运动过程转化为行程问题（转过的角度为射线的路程）； ※②会灵活应用方程思想和分类讨论思想确定射线位置，解动角问题。 知识点01 动角问题 ·在一个角中，角的一边（一条射线）绕着角的顶点旋转，形成的角度大小不能确定，这个角就是动角，与这个动角有关的问题叫做动角问题。 ·一条射线在旋转，那么我们只需要考虑其起点位置、终点位置进行考虑，与单独的动点问题（线段上的单动点问题）类似，要注意转折点。 ·两条射线在旋转，那么我们也要与两个动点相联系，考虑清楚是相遇问题还是追及问题，还是多运动相结合。 ·解决动角问题的关键是转化为方程思想，设射线的运动时间为t，绕着顶点的旋转速度为v度/s，动角的度数可以表示为vt。 【即学即练1】已知：O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC． (1)如图1，当∠AOC＝40°时，求∠DOE的度数； (2)如图2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度数； (3)如图3，∠AOC=36°，此时∠COD绕点O以每秒6°沿逆时针方向旋转t秒（0≤t<60），请直接写出∠AOC和∠DOE之间的数量关系 【分析】 (1)由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解∠DOE的度数； (2)由角平分线的定义可得，进而可求解； (3)可分两种情况：①当时，，求出，得出答案；②当时，，得出，进而得到答案． 【详解】 解：（1）∵， ∴， ∵OE平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵OE平分，OF平分， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）①当时，由题意可得 ∴， ∴， ， ∴； ②当时，如下图， ∴， ∴ ， ∴ 知识点02 角的等分线 O ·已知OA平分∠MOC，ON平分∠AOC，∠NOC=∠MOC，称ON是∠MOC的4等分线。 【即学即练2】已知内部有三条射线，，． (1)如图1，若，，平分，平分．求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，正确理解角平分线的定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的定义求得，然后求得的度数，根据角平分线的定义求得，然后根据求解； （2）根据，，得出，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴ ． 【即学即练3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的均为直角． (1)如图一，是的角平分线，是的角平分线； ①若，求的大小； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (2)如图二，若内部的射线OP、OQ把分成了三部分，且使得，我们称OP、OQ为的“三等分线”． 在图三中，OD是的三等分线，OE是的三等分线，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)①；②； (2)或或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算，解题的关键是理解题意，分情况讨论，进而求解． （1）①根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解；②根据角平分线的定义，求得和的大小，进而求解； （2）根据“三等分线”的定义，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵均为直角 ∴ ①由可得， ∴； ②由可得， ∴； （2）是的三等分线，是的三等分线，分以下四种情况， 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 当是靠近的三等分线，是靠近的三等分线时， ，， ∴； 综上：的度数为或或或． 与动点在线段上的运动问题相似，类比线段上的动点问题，总结解决动角问题的一般思路： ·首先要能够用含t的式子表示出对应的角度 ·根据题目给的已知条件（角的等分线条件）分析出对应的等量关系 ·分类讨论出具体的情况 【题型一：单射线运动问题】 例1．（22-23七年级上·江苏常州·期末）已知：． (1)如图1，若． ①写出图中一组相等的角（除直角外） 　　，理由是 　　． ②那么　　． (2)如图2，与重合，若，将绕点以5度秒的速度作逆时针旋转，运动时间为秒． ①当　　秒时，平分； ②试说明：当为何值时，？ 【答案】(1)①，同角的余角相等；②180； (2)①6；②或20． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，余角的性质，角的计算等知识的综合运用，列方程求解角的度数是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等解答；②利用角的和差关系即可求解； （2）①由平分知，旋转角等于的一半，即可列方程求解；②分在的内部和外部讨论即可． 【详解】（1）解：①， ，， （同角的余角相等）， 故答案为：，同角的余角相等； ②， ． 故答案为：180； （2）①根据题意，得， 即， 解得， 故答案为：6； ②当在的内部时， ， ， 解得； 当在的外部时， ， ， 解得， 综上，为或20时，． 变式1．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）已知O为直线上一点，射线位于直线的下方且互不重合，在的右侧，，． (1)如图1，，当平分时，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数；（用含α的代数式表示） (3)如图3，点M在射线上，把射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，设运动时间为t，射线是的四等分线，且，请求出在运动过程中的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，进而求出，再根据平角的定义即可得到答案； （2）根据，求出，则； （3）先求出，再分当时，如图3-1所示，当时，如图3-2所示，两种情况分别求出，的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 当时，如图3-1所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 当时，如图3-2所示， ∵射线绕点O从开始以5度/秒的速度逆时针旋转至结束， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； 综上所述，． 【点睛】本题主要考查了几何中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【题型二：双射线运动中的相遇追击问题】 例2.（23-24七年级上·安徽合肥·期末）已知如图1，，射线与重合，射线与重合，现在射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转，当射线与重合时，与同时停止旋转．回答以下问题： (1)如图2，经过10秒后，求的度数； (2)如图3，经过几秒后，射线是的角平分线； (3)经过几秒后，． 【答案】(1) (2)24 (3)30或50 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角度计算 （1）根据题意先计算与共计转的度数，再用去减即可； （2）根据题意设经过秒后，射线是的角平分线，列式解出即可； （3）根据题意设经过秒后，，分情况讨论射线所处位置列式即可． 【详解】（1）解：∵射线以每秒的速度绕着点O顺时针旋转，同时射线以每秒的速度绕着点O逆时针旋转， ∴经过10秒后，，， ∵， ∴； （2）解：设经过秒后，射线是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， 若射线是的角平分线，则，即：，解得：； （3）解：设经过秒后，， 分两种情况讨论： ①当在上方时， ∴，， ∵， ∴，解得：， ②当在下方时， ∴，， ∵， ∴， ∴，解得：， 变式2.（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）已知 ，按如图①所示摆放，将边重合在直线上，边在直线的两侧． (1)保持不动，将绕点O旋转至如图②所示的位置，则　 　，　 　； (2)若按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转时间为t分钟． 求的大小（用t的代数式表示）； (3)保持不动，将绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】 （1）①将转化为即可得；②依据、，将原式转化为计算可得； （2）设运动时间为t秒，，只需表示出即可得出答案，而在与相遇前、后表达式不同，故需分与相遇前后即和两种情况求解； （3）设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转，再分①射线在射线同侧；②射线在射线异侧，分别求解即可． 【详解】（1） ① ， ② ； 故答案为：； （2） 设旋转时间为t秒，则，， ①时，与相遇前，， ∴； ②时，与相遇后，， ∴； （3） 设绕点O逆时针旋转，则也绕点O逆时针旋转， ①时，如图①， 在射线同侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图②， 在射线异侧， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴． 综上，． 【点睛】 本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算、角平分线的定义及分类讨论思想的运用． 【题型三：新定义问题】 例3．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）探索新知： 如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． （1）一个角的平分线______这个角的“巧分线”：(填“是”或“不是”) （2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则______；(用含a的代数式表示出所有可能的结果) 深入研究： 如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒． （3）当t为何值时，射线是的“巧分线”． 【答案】（1）是；（2）或或：（3）秒或秒或秒 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）分3种情况，根据“巧分线”定义即可求解； （3）分3种情况，根据“巧分线”定义列出方程求解即可． 本题考查了一元一次方程的几何应用，“巧分线”定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，理解“巧分线”的定义并分情况讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：当是角的平分线时， ∵， ∴一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是； （2）解：分三种情况， ①如图， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∴ ， ②如图， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ③如图， ∵射线是的“巧分线”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或或； 故答案为：或或； （3）解：依题意有三种情况： ①如图， 当时， 即， ∴， 则， 解得， 如图， 当时， 则， 解得， 如图， 当时， 则， 则， 解得， 故t为秒或秒或秒时，射线是的“巧分线”． 1.如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图1，当是直角，时，的度数是多少？ (2)如图2，当，时，猜想与α的数量关系； (3)如图3，当，时，猜想：与α、β有数量关系吗？如果有，指出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与α有关，与β无关，，理用见解析 【分析】本题考查了角度的运算，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据题意可得，再根据角平分线的定义可得，，从而根据求得的度数； （2）同理（1），，，，从而求得的度数； （3）同理（1），，，，从而求得的度数； 【详解】（1）解：是直角，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， ； （2）解：同理（1），， ，， ； （3）解：与α有关，与β无关，，理由如下： 同理（1），， ，， ． 2.已知：∠AOD=160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． (1)如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小； (2)如图2，若∠BOC=20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．当∠BOC绕点O内旋转时，求∠MON的大小； (3)在（2）的条件下，若∠AOB=10°，当∠BOC在∠AOD内绕着点O以2度/秒的速度逆时针旋转t秒时，∠AOM：∠DON=2：3，求t的值． 【答案】(1)∠MON的度数为80°； (2)∠MON的度数为70°； (3)t的值为21秒． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线的定义进行角的计算即可； （2）分两种情况画图形，根据角平分线的定义进行角的计算即可； （3）根据（2）中前一种情况用含t的式子表示角度，再根据已知条件即可求解． 【详解】（1）解：因为∠AOD=160°， OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， 所以∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOD， 即∠MON=∠MOB+∠BON =∠AOB+∠BOD =（∠AOB+∠BOD） =∠AOD=80°， 答：∠MON的度数为80°； （2）解：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， 所以∠MOC=∠AOC，∠BON=∠BOD， 射线OC在OB左侧时， 如图： ∠MON=∠MOC+∠BON-∠BOC =∠AOC+∠BOD-∠BOC =（∠AOC+∠BOD）-∠BOC =（∠AOD+∠BOC）-∠BOC =×180°-20° =70°； 答：∠MON的度数为70°； （3）解：∵射线OB从OA逆时针以2°每秒的速度旋转t秒，∠COB=20°， ∴根据（2）中，得 ∠AOC=∠AOB+∠COB=2t°+10°+20°=2t°+30°． ∵射线OM平分∠AOC， ∴∠AOM=∠AOC=t°+15°． ∵∠BOD=∠AOD-∠BOA，∠AOD=160°， ∴∠BOD=150°-2t°． ∵射线ON平分∠BOD， ∴∠DON=∠BOD=75°-t°． 又∵∠AOM：∠DON=2：3，即∠AOM =∠DON， ∴t+15=（75-t）， 解得t=21． 答：t的值为21秒． 【点睛】本题考查了角的平分线定义、角的计算，解决本题的关键是理解动点运动情况． 3.已知：如图1，，的补角是的3倍， (1)求的度数； (2)如图2，若射线从开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线从开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达时，射线，同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当时，试求t的值； (3)如图3，若射线从开始绕O点逆时针旋转一周，作平分，平分，试求在运动过程中，的度数是多少？（请直接写出结果） 【答案】(1) (2)5，10，12.5或13.75 (3)或 【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角度的双角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行合适分段讨论是解题关键． （1）由题意可得，，可直接求解； （2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①逆时针运动时，，相遇前和相遇后；②顺时针旋转，，相遇前和相遇后，分别画图求解即可； （3）根据射线的运动，需要分四种情况，①当射线与重合前，②当射线与重合后，前，③前，④与重合前，画出图形，结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解：（1），， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，，， ①逆时针运动时，即时， 由，的运动可知，，， ，相遇前，如图2（1），，即，解得， ，相遇后，如图2（2），，即，解得； ②顺时针旋转时，，， ，相遇前，如图（3），，即，解得， ，相遇后，如图（4），，即，解得， 综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，． （3）由（1）知， 根据射线的运动，需要分四种情况， ①当射线与重合前，如图3（1）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②当射线OP与OA重合后，∠AOP＝180°前，如图3（2）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ③∠CON＝180°前，如图3（3）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ④OP与OQ重合前，如图3（4）， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 综上，的度数为或． 4.如图，直线相交于点，，． (1)若，则 ． (2)从（）的时刻开始，若将绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，求运动多少秒时，直线平分； (3)从（）的时刻开始，若将绕点顺时针旋转一周，如果射线是的角平分线，请直接写出此过程中与的数量关系．（不考虑与重合的情况） 【答案】(1)； (2)运动或秒时，直线平分； (3)或． 【分析】（）利用同角的余角相等即可求解； （）分两种情况平分和平分时，分别计算可得答案； （）分四种情况分别画出图形可得答案； 此题考查了角的计算与角平分线的定义，正确画出图形是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分 根据题意得，， 解得； 情况：如图： ∵平分， ∴， ∴， 设运动秒时平分， 根据题意得，， 解得， 综上，运动或秒时，直线平分； （3）或，理由： ，如图： ，如图： ，如图： ，如图： 综上可知：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$