专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版七年级上册

该初中数学讲义通过模型框架图系统梳理双角平分线与角n等分线知识体系，按无公共部分、有公共部分、周角三种双角平分线模型及n等分线规律分类推导，呈现角度定值推理、动态旋转等重难点的内在联系。 讲义亮点在于动态定值模型探究与n等分规律总结，设计动态旋转（如含t秒旋转的角度计算）、内外角组合平分等题型，通过易错总结培养推理意识和几何直观，助力分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题04双角平分线模型与角n等分线模型 角度定值推理一直是初中几何重点难点，是几何解答题拿满分的关键，而双角平分线与角n等分线模型是七年级上册角度压轴的核心载体，该类模型主要依托角平分线定义、角度和差、邻补角性质，考查数形结合、动态定值与逻辑推理的数学思想。吃透角度平分规律，可快速解决各类复杂角度计算难题。本专题就双角平分线、角n等分线模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家熟练掌握。 命题趋势：弱化固定角度静态计算，强化射线动态旋转、内外角组合平分、n等分规律探究，多以角度定值证明、动态角度探究大题形式出题。 推导逻辑：数形结合，角度拆分，恒等推导，拒绝机械计算。 核心素养目标： 1.掌握双角平分线各类模型的推导，规范角度说理步骤； 2.能快速识别模型并求解角度，提升角度计算效率与准确率； 3.培养动态定值思维，为后续三角形角度模型奠基。 【模型来源】 2 【例讲模型】 2 模型1. 双角平分线模型与角n等分线模型 2 模型拓展 5 【易错总结】 5 【模型运用】 6 依托角平分线定义、角的和差运算、邻补角、对顶角性质，通过两条及以上角平分线叠加、内外角组合、多等分分割，衍生出固定角度定值模型。 模型1. 双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，，（角平分线的定义） ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，，（角平分线的定义） ∴， ∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC， ∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°， ∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 【典例1】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【典例2】(25-26·山东威海登区·)如图，，平分，平分，则的度数为______． 【典例3】已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．若，则的度数为__________． 【典例4】(25-26·山东泰安岱岳区·)如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【典例5】(24-25七上·山东济南中区·期末)如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 模型拓展 所有双角平分线模型均为动态定值模型，射线任意旋转、位置任意变化，夹角定值不变。 模型常见易错点 1. 易错点：内角、外角平分线结论混淆 错因：死记结论，不理解推导过程。 避坑：用角度和差自行推导，区分“加”还是“减”。 2. 易错点：动态旋转题反复计算，浪费时间 错因：未识别出定值模型，误以为角度随射线变化。 避坑：看到“双平分线+任意射线”直接判定定值。 3. 易错点：n等分线份数判断错误 错因：混淆“等分线数量”与“份数”。 避坑：n等分对应n份，相邻夹角=总角度÷n。 模型小结 1. 核心口诀：内半外半邻补垂，动态旋转值不变； 2. 解题关键：找平分、定内外、用半角、写依据； 3. 角度大题优先模型秒杀，搭配规范步骤书写。 1．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24七上·辽宁辽阳·期末)一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为______． 3．(23-24七上·湖北武汉东湖高新区·期末)射线为锐角的三等分线，射线平分，此时图中所有锐角度数之和为，则的度数为______°． 4．(25-26七下·重庆第八中学校·)如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ． 5．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”．若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：，其中正确的是______（填序号）． 6．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 7．(24-25七上·贵州六盘水钟山区·期末)探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 8．(24-25七上·福建福州连江县·期末)阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 9．(24-25·山东淄博张店区十八中新元校区·月考)（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在， ）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 10．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 11．在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 12．(25-26七上·陕西渭南富平县实验中学·)如图，三角尺的直角顶点B在直线上，点A，C在直线的同侧． (1)如图1，，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 13．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 14．(25-26·山东淄博张店区第七中学·)完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 15．(25-26·山东泰安东平县·期中)综合与实践 【问题情境】 某校数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 16．已知点O是直线上的一点，，，是三条射线，，是的平分线． (1)当时， ①若射线，，在直线的同侧（图1），，求的度数； ②根据①中的结果，猜想和的数量关系是______； ③当与，在直线两旁时（如图2），设，请通过计算，用含x的代数式表示，说明②中的关系是否仍然成立； (2)当，与，在直线两旁时（如图3），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出和此时具备的数量关系． 17．(25-26·山东烟台海阳·期中)已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 18．综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 19．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 20．(25-26·山东烟台龙口（五四制）·期中)如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． (1)求线段的长； (2)如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04双角平分线模型与角n等分线模型 角度定值推理一直是初中几何重点难点，是几何解答题拿满分的关键，而双角平分线与角n等分线模型是七年级上册角度压轴的核心载体，该类模型主要依托角平分线定义、角度和差、邻补角性质，考查数形结合、动态定值与逻辑推理的数学思想。吃透角度平分规律，可快速解决各类复杂角度计算难题。本专题就双角平分线、角n等分线模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家熟练掌握。 命题趋势：弱化固定角度静态计算，强化射线动态旋转、内外角组合平分、n等分规律探究，多以角度定值证明、动态角度探究大题形式出题。 推导逻辑：数形结合，角度拆分，恒等推导，拒绝机械计算。 核心素养目标： 1.掌握双角平分线各类模型的推导，规范角度说理步骤； 2.能快速识别模型并求解角度，提升角度计算效率与准确率； 3.培养动态定值思维，为后续三角形角度模型奠基。 【模型来源】 2 【例讲模型】 2 模型1. 双角平分线模型与角n等分线模型 2 模型拓展 8 【易错总结】 8 【模型运用】 8 依托角平分线定义、角的和差运算、邻补角、对顶角性质，通过两条及以上角平分线叠加、内外角组合、多等分分割，衍生出固定角度定值模型。 模型1. 双角平分线模型与角n等分线模型 双角平分线模型：共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。下面是最完整的角平分线模型结论的推导过程，推导过程是需要掌握的，也并不难推，同学们自己尝试着推导一遍，再去记结论，印象会更加深刻。 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，，（角平分线的定义） ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，，（角平分线的定义） ∴， ∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC， ∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°， ∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 4）角n等分线模型 条件：如图4，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线…，分别是和的平分线； 结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 【典例1】如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 【典例2】(25-26·山东威海登区·)如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【典例3】已知点O为直线上一点，将直角三角板如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线，且恰好平分．若，则的度数为__________． 【答案】/45度 【分析】根据角平分线的定义得到，结合用表示出，利用建立等式求出的度数，进而求出的度数，最后利用平角的定义计算的度数． 【详解】解：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点为直线上一点， ， ． 【典例4】(25-26·山东泰安岱岳区·)如图，是内任一条射线，、分别平分、，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义，推出，即可得出结果. 【详解】解：，分别是，的平分线， ，， ， ， . 【典例5】(24-25七上·山东济南中区·期末)如图，，将一直角三角尺的顶点与重合，，平分，三角尺始终在的内部（可以与，重合）． (1)如图1，当在射线上时，_____； (2)如图2，三角尺在的内部，当平分时，求的度数； (3)如图3，，将三角尺以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，同时射线从处出发以每秒的速度绕点按逆时针方向旋转，当到达处时三角尺和射线都停止旋转．设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)45 (2) (3)的值为或 【分析】本题主要考查了利用一元一次方程解决动角问题以及角平分线的定义和角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． (1)根据角平分线的定义可知，再根据角的和差求解即可； (2) ，则，再由角平分线的定义求出，进而再表示出和，建立方程求解即可； (3)根据点N的运动轨迹求出t的范围，再结合在左侧和右侧讨论，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， 故答案为：45； （2）解：设，则， 平分， ， ， 平分， ， ， ， 解得， 即； （3）解：由题意得，先到达，， ， 出发前，， ， 秒后，， ， 当与重合时， 秒， ①当时，， ， ， 解得； ②当时，， ， ， 解得； 综上所述， 的值为或． 模型拓展 所有双角平分线模型均为动态定值模型，射线任意旋转、位置任意变化，夹角定值不变。 模型常见易错点 1. 易错点：内角、外角平分线结论混淆 错因：死记结论，不理解推导过程。 避坑：用角度和差自行推导，区分“加”还是“减”。 2. 易错点：动态旋转题反复计算，浪费时间 错因：未识别出定值模型，误以为角度随射线变化。 避坑：看到“双平分线+任意射线”直接判定定值。 3. 易错点：n等分线份数判断错误 错因：混淆“等分线数量”与“份数”。 避坑：n等分对应n份，相邻夹角=总角度÷n。 模型小结 1. 核心口诀：内半外半邻补垂，动态旋转值不变； 2. 解题关键：找平分、定内外、用半角、写依据； 3. 角度大题优先模型秒杀，搭配规范步骤书写。 1．将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义、角的运算，根据角平分线的定义以及角的几何运算求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴. 2．(23-24七上·辽宁辽阳·期末)一般地，从一个角的顶点引出的两条射线，把这个角分成三个相等的角，这两条射线称为这个角的三等分线．如图，直角三角板的直角顶点在直线上，过点作射线，使，将三角板绕点在直线上方转动，若转动到是的三等分线时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角三等分线的定义，根据题意分当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，当靠近时在外部，四种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 如图所示，当靠近时，则， ∴， ∵， ∴； 当靠近时，则或 ∴或，此时均不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 3．(23-24七上·湖北武汉东湖高新区·期末)射线为锐角的三等分线，射线平分，此时图中所有锐角度数之和为，则的度数为______°． 【答案】或/57或60 【分析】本题考查角的和差，角的等分线的定义，解题的关键是掌握等分线的定义，根据题意列出方程计算． 【详解】如解：设，则， 又∵为锐角的三等分线， ∴，或， 当时，， ∵射线平分， ， ∴， 解得：， 当时，， ∵射线平分， ， ∴， 解得：， 故答案为：或． 4．(25-26七下·重庆第八中学校·)如图1，含有的直角三角板的边在直线上，如图2，将三角板绕点A以每秒的速度沿顺时针方向旋转t秒，旋转以后的射线记为，旋转以后的线段记为，当落在上时停止转动，在运动的过程中，射线平分，射线平分，当时，则t为______ ． 【答案】 【分析】由，得，，根据旋转的性质，可得，，，，再由角平分线可得，，，代入可得关于t的方程，解方程求 【详解】解：，边在直线上， ， ， ， 当落在上时停止转动，则运动时间为， 如图所示， 由旋转的性质得：，， ， 射线平分，射线平分， ，， ，， ， ， 解得：． 5．在的内部引一条射线，则图中共有三个角，分别是、、．若其中有一个角的度数是另一个角的度数的两倍，则称射线是的“好好线”．若，且射线是的“好好线”，则的度数有下列情况：，其中正确的是______（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查新定义的理解与角的和差运算，解题的关键是运用分类讨论思想，对给出的各个角度逐一验证，结合新定义判断即可. 【详解】解：由题意，在内部引射线，则 三个角分别为，“好好线”要求其中一个角是另一个角的两倍，分情况讨论： ①当时，， ， 符合“好好线”定义； ②当时，， ， 符合“好好线”定义； ③当时，， ， 符合“好好线”定义； ④当时，， 检验：，， ，不存在两倍关系， 不符合定义． 故答案为：①②③． 6．若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 7．(24-25七上·贵州六盘水钟山区·期末)探究学习，寻求真知 (1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点． ①若，则______； ②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由． (2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由． (3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）． 【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19 (2) (3) 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解； （3）根据，可得， 从而得到，再由，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴； 故答案为：21 ②∵， ∴， ∵点和点分别是的中点， ∴， ∴， ∴线段的长度不会发生变化，长度为19； （2）解：∵射线和射线分别平分和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 8．(24-25七上·福建福州连江县·期末)阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或 (2)是三等分线， 理由如下： ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴是的三等分线； (3) 【分析】本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． ()根据“外邻余线”的定义得，考虑到的不同位置分两种情况讨论即可求解； ()根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； ()由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”， ∴， 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，得， ∴． 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，解得， 综上的度数为或． （2）略 （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25·山东淄博张店区十八中新元校区·月考)（1）数学活动课上，李老师让同学们准备一副三角尺，并利用它们作出一些角，例如，，，．①小明利用三角尺作出了一个的角；②小乐利用三角尺作出了一个的角；除上述提到的这些度数之外，你还能用三角尺作出___________度的角（写出一种即可）． （2）如图1所示，李老师将两个三角尺放置在一起，于是产生了新的数学问题，，，，在， ）内作射线，，且，，则_____度； （3）如图2，小亮忘记了带三角尺，用纸片制作了任意两个三角形，其中，，他把这两个三角形的顶点及边，重合在一起，三角形固定，将三角形绕点顺时针旋转，当边与重合时，停止运动．在此过程中，在，内作射线，，使，．这时，小明说“的度数可以用，表示出来”；小乐说“的度数无法用，表示出来”．请你判定一下谁的说法正确，并说明理由． 【答案】（1）75； （2）； （3）小明的说法正确，理由如下： ，，， ， ， ． 【分析】本题考查了角的和差倍分运算，三角板中角度的计算； （1）根据三角板的角度，可作出，，，，即可得解； （2）先求得，根据已知条件得出，根据，即可求解； （3）先得出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 当一个角，另一个角，利用三角尺作出， 故答案为：75、105、135、150（任意一个即可）； （2）解：， ， ， ∵， ， ， 故答案为：； （3） 略 10．如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 11．在深圳坪山无人机表演编程中，控制飞行路径（线段）和灯光射束（角）有相似的数学原理．请根据下表的对比，迁移研究线段的思路来研究角． 研究主题 飞行路径（线段） 灯光射束（角） 【中点问题】 若无人机的飞行轨迹线段的中点为，则 （1）若无人机射束的最大开角的角平分线为，则___________． 【三等分点问题】 若线段中有一组点，将分为相等的三条线段，则称这组点为的三等分点． 若中有一组射线，将分为相等的三个角，则称这组射线为的三等分线． 【三等分点问题】 （2）①如图所示，若线段点是上最靠近点的一个三等分点，取的中点和的中点，则___________ ②如图所示，若，是最靠近的一条三等分线，作的角平分线和的角平分线，则___________ 【动态变化问题】 （3）①在线段上，若无人机从点出发，全程匀速移动到点再返回至点，则无人机会经过线段的三等分点4次． ②根据①的提示，若，无人机动态激光从出发，绕点以每分钟的速度匀速旋转至OB再返回，激光过多少分钟会经过的三等分线？ 【等分点问题】 （4）①若在线段上，点是最靠近点的一个等分点，，取的中点和的中点，则___________（用含的代数式表示） ②若是最靠近的一条等分线，，作的角平分线和的角平分线，则___________（用含的代数式表示） 【答案】（1） （2）①7；②         （3）4分钟、8分钟、16分钟、20分钟     （4）①；②   【分析】本题考查线段的中点，角的平分线，线段的三等分点，角的三等分线，线段的n等分点，角的n等分线的性质； （1）根据角平分线的性质即可解答； （2）①根据线段的中点，线段的三等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的三等分线的性质即可解答； （3）根据角的三等分线的性质求出经过时扫过的角度即可解答； （4）①根据线段的中点，线段的n等分点的性质即可解答；②根据角的平分线，角的n等分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴； （2）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是上最靠近点的一个三等分点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条三等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：∵， 在到过程中， 当时，需要（分钟）； 当时，需要（分钟）； 在到过程中， 当共扫过时，需要（分钟）； 当共扫过时，需要（分钟）； ∴激光过4分钟，8分钟，16分钟，20分钟时经过的三等分线； （4）解：①∵点是的中点，， ∴， ∵点是最靠近点的一个等分点， ∴， ∵点是的中点， ， ∴； 解：②∵是的角平分线，， ∴， ∵是最靠近的一条等分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 12．(25-26七上·陕西渭南富平县实验中学·)如图，三角尺的直角顶点B在直线上，点A，C在直线的同侧． (1)如图1，，若，求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，可得，求出x，根据计算即可； （2）由题意可得，，利用，得，再利用即可求解．解答即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 根据题意得． 13．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．(25-26·山东淄博张店区第七中学·)完成以下探究： (1)【特例感知】如图，已知线段，，点和点分别是，的中点，若，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样，如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和： 若，，求的度数； 请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)；． 理由见解析 【分析】（1）欲求，需求，已知，需求，由中点的性质可知，， 已知，从而求解即可，由即可得解； （2）欲求，需求，已知，需求，由角平分线的性质可知，， 即可得解；与同理可证． 【详解】（1）解：∵，，， ， 点和点分别是，的中点， ，， ， ； （2）解：射线和射线分别平分和： ，， ， ， ， ． 理由如下： 射线和射线分别平分和， ， ． 15．(25-26·山东泰安东平县·期中)综合与实践 【问题情境】 某校数学学习小组在课后综合实践活动中，进行“玩转三角板”的探究活动． 【问题实践】 为直线上一点，过点在直线上方作射线，将一块三角板的直角顶点与点重合，射线和三角板均可以围绕点旋转（旋转时始终在直线上方）． 【解决问题】你来试试吧！ (1)如图，若，当三角板的直角边与重合，________，________； (2)如图，若将三角板绕点逆时针旋转一定角度得到图，此时恰好是的平分线，试说明也是的平分线； 【深入探究】 (3)未来可期小组受到启发进行了进一步动态探究： 如图，旋转射线和三角板，始终满足平分，当时，求的度数，并根据结果直接写出旋转过程中与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2)平分， ， ， ，， ， 是的平分线， (3)， 【分析】（1）由邻补角和余角的定义求解即可； （2）由角平分线的定义可得，再根据，利用平角的定义可得、，进而得到即可说明； （3）根据、，求出，，再根据平分，得到，即可求出此时的度数；猜想，根据角平分线的定义，余角，补角的定义得到，即． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴，，． （2）略 （3）解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴； 猜想：， ∵平分， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 16．已知点O是直线上的一点，，，是三条射线，，是的平分线． (1)当时， ①若射线，，在直线的同侧（图1），，求的度数； ②根据①中的结果，猜想和的数量关系是______； ③当与，在直线两旁时（如图2），设，请通过计算，用含x的代数式表示，说明②中的关系是否仍然成立； (2)当，与，在直线两旁时（如图3），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照③中的方法说明理由；若不成立，请直接写出和此时具备的数量关系． 【答案】(1)①；②；③成立，理由见解析 (2)不成立， 【分析】（1）①根据已知角的度数求出，，再根据平角定义求出的度数即可； ②由①中求出的结果即可求解； ③根据已知角的度数表示出，，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （2）依据前面③的方法表示出，，表示出，可得和的数量关系． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； ②由①中的结果可得， 故答案为：； ③②中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 17．(25-26·山东烟台海阳·期中)已知，，平分，平分． (1)如图1，当射线与射线重合时，求的值； (2)如图2，当从图1开始，绕点以每秒的速度顺时针旋转秒时（），在旋转过程中，的值是否会因的变化而变化？若无变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； (3)在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值不变， (3)5 【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，，，由角平分线的定义可得 ， ，即可解答； （3）根据题意可得 ，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分，射线与射线重合，，， ∴ ， ， ∴； （2）解：的值不变，， 由题意，得， ∴，， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：由（2）知， ， ， 解得，即的值为5． 18．综合与实践． (1)【特例感知】如图①，线段，C，D分别是的中点，则 ． (2)【知识迁移】我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和． （i）若，求的度数． （ii）请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)22 (2)（i）；（ii），理由见解析 【分析】（1）根据题意求出，再由中点的定义可得，即可求解； （2）（i）先求出，再由角平分线的定义可得；（ii）结合角平分线的定义可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵C，D分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：(i) ， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； (ii)猜想∶ 理由： 平分，平分， ， ， ， ． 19．直线与相交于点分别是的角平分线． (1)若，求和的度数； (2)试问射线与之间有什么特殊的位置关系？为什么？ 【答案】(1) (2)射线与互相垂直，理由见解析 【分析】根据平角的定义，得到，利用等量代换与角平分线的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是平角，， ∴， ∵分别是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：射线与垂直，理由如下： ∵分别是的角平分线， ∴， ∵是平角， ∴， 即， ∴， ∴射线与互相垂直． 20．(25-26·山东烟台龙口（五四制）·期中)如图①，已知点C、D是线段上两点，D是的中点，若，． (1)求线段的长； (2)如图②，若M，N分别为，的中点，求线段的长； (3)类比以上探究，解决以下问题：如图③，射线，分别为和的平分线，，，求的大小． 【答案】(1)10 (2)6.5 (3) 【分析】（1）根据已知条件求出的长，因为D是的中点，所以，求出即可； （2）根据，分别为，的中点，求出，的长，再求出的长即可； （3）由射线，分别为和的平分线，可以得，，即可求出的大小． 【详解】（1）解：，， ． 是的中点， ． ． （2）解：由（1）知， ，分别为，的中点， ，． ． （3）解：，， ． 射线，分别为和的平分线， ，． ． ． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $