第13章 分式 压轴题-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第13章 分式 压轴题 一、单选题 1．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 2．当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于　　 A．1 B． C．1009 D．0 3．若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 4．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 5．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 6．已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 7．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 8．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 9．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 10．若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 12．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 二、填空题 13．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 14．若，，，则 ． 15．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 16．已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 17．计算： . 18．对于x＞0，规定，例如，那么= 19．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 20．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 21．已知都为正数，，，，，，，则 ． 22．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 23．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 24．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 25．已知，则的值为 ． 26．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 27．已知，则的值为 ． 28．“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 29．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 30．已知，则的值 ． 31．有一组数据：，，，，．记，则 ． 三、解答题 32．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 33．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 34．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 35．甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米． （1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间． （2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地? （3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 36．按要求解答下列问题： 小明和小刚两人两次同时在同一粮店购买粮食，小明每次购买粮食a千克，小刚每次购粮用去a元（其中）. (1)设第一、第二次购粮单价分别为元/千克和元/千克，则小明两次购买粮食共需付粮款 元，小刚两次共购买 千克粮食；（其中，结果用含a、x的代数式表示，并化简） (2)若小明两次购粮的平均单价为每千克元，小刚两次购粮的平均单价为每千克元，请说明与的大小. 37．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 38．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 39．解方程：． 40．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 41．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 42．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 43．阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： ，由，可知． 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 44．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 45．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 46．已知，，，求的值． 47．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 48．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 49．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 50．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 51．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 52．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 53．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 54．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 55．（1）计算： （2）先化简，再求值：，请选择一个你喜欢的数值代入求值． （3）解方程： 56．观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 关键． 57．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 58．已知b＞a＞0． (1)比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)若c＞0，比较与的大小； (3)下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①若n＞m＞0，则； ②若n＞m＞2，则； ③若n＞m＞2，则； ④若n＞m＞2021，则． 59．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 60．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式 压轴题 一、单选题 1．设，为实数，多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为：若，且，均为正整数，则(　　) A．与的最大值相等，与的最小值也相等 B．与的最大值相等，与的最小值不相等 C．与的最大值不相等，与的最小值相等 D．与的最大值不相等，与的最小值也不相等 【答案】A 【分析】先利用多项式乘多项式的法则进行运算，从而可表示出，，再分析即可． 【详解】解： ， ， 多项式展开后的一次项系数为，多项式展开后的一次项系数为， ，， ，且，均为正整数， ， 整理得：． 又，， ，． ，． ． ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值为，的最小值为． ，， ，均为正整数， 的取值为，，，，． 的最大值，的最小值为 与的最大值相等，与的最小值也相等 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 2．当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于　　 A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和． 【详解】解：设，将和代入代数式， ， ∴， 则原式=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为代入代数式后的值． 3．若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( ) A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论． 【详解】解：分式方程的解为x=且x≠1， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴＞0且≠1，即a<6且a≠2 解不等式①得：y＜-2； 解不等式②得：y≤a． ∵关于y的不等式组的解集为, ∴a≥-2． ∴-2≤a＜6且a≠2． ∵a为整数， ∴a=-2、-1、0、1、3、4、5， （-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10． 故符合条件的所有整数a的和是10． 故选A. 【点睛】本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式、一元一次不等式组，根据分式方程的解为正数结合不等式组的解集为y＜-2，找出-2≤a＜6且a≠2是解题的关键． 4．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 5．若关于的方程无解，则的值为（    ） A．或 B．或0 C．或或0 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，正确理解分式方程的无解的含义是解答本题的关键．此分式方程无解的含义包含两种情况，其一是使得分母为零的根，是原方程的增根，在去分母后，将使分母为零的根分别代入，可求得m的值；其二是去分母后的方程无解，即方程左边为零，右边不为零，可求得m的值． 【详解】去分母，得， 整理得， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，，方程无解； 综上所述，满足题意的的值为或或， 故选D． 6．已知，则代数式的值为（    ） A．2021 B．2024 C．2027 D．2030 【答案】D 【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值． 【详解】 ∵ ∴ ∴ 即原式的值为2030． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约分的目的． 7．我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a天用水b吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（    ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】分别求出原来平均每天用水吨数和现在平均每天用水吨数，用原来平均每天用水吨数减去现在平均每天用水吨数，即得． 【详解】原来a天用水b吨，原来平均每天用水吨， 现在这些水可多用4天，现在平均每天用水吨， 现在平均每天比原来少用水，（吨）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是熟练列出用水量相同，用水时间不同的平均每天用水量的计算表达式． 8．如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论I：若n的值为5，则y的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则y的值为4或1． A．I，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．I，Ⅱ均错 【答案】B 【分析】先由题意得到，，然后解方程组得到，当时，，则此时，即可判断I；得，即可判断②；根据1的任何次方为1，的偶次方为1，非零底数的0次方为1，三种情况讨论求解即可判断Ⅲ． 【详解】解：由题意得，，， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵， ∴当时，，则此时，故结论I正确； 得， ∴，故结论Ⅱ正确； 当时，，此时满足； 当时，则，此时， ∴，，此时满足； 当时，则， 此时， ∴，此时满足， 综上所述，若，则y的值为4或3或1，故结论Ⅲ错误， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程的解，零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9．已知两个分式：，：将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第二次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，） 第三次操作：将，相乘，结果记为；相除，结果记为； （即，）…（依此类推） 将每一次操作的结果再相乘，相除，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①；    ②若，则； ③在第2n（n为正整数）次操作的结果中：， ④当时，一定成立（n为正整数）． ⑤在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值； 以上结论正确的个数有（    ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】利用第一次、第二次、第三次操作，据此找到规律，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ …… ， ， 由,即①正确； 由，则，即，故②错误； 由，，故③正确； 由当时，，故④正确； 由，可知不是定值，故⑤错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查的分式乘和除法，掌握分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键． 10．若关于x的不等式组的解集为，关于y的分式方程有整数解，则满足条件的整数a的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出的取值范围，再由分式方程的解求出的范围，得到两个的范围必须同时满足，即求得可得到的整数的值． 【详解】解：解不等式：，得：， 解不等式：，得：， ∵不等式组的解集为， ∴，即：， 解关于的分式方程， 得， ∵分式方程的解为整数解， ∴为整数，且，，即，， ∴所有满足条件的整数的值有：2，，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及应用，解分式方程．解题关键是由条件得到的取值范围． 11．已知（a，b，c互不相等）求（    ） A． B．1 C． D．x无解 【答案】C 【分析】将已知条件变形后可得：，可得并求解即可． 【详解】解：由可得：① 由可得：② 将②代入①可得 整理得： 同理可得： ∴ ∵a、b、c互不相等 ∴，解得：． 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、分式的基本性质等知识点，根据分式的基本性质对分式进行变形是解答本题的关键． 12．已知，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】将，进行变形得到：，，，利用整体思想，将变形为：，再代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ； ∵，当时，，方程不成立， ∴， ∴方程两边同除以得：， ∴， ∴，即：； 故选B． 【点睛】本题考查分式求值．将已知条件进行变形，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 二、填空题 13．如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成（），其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为6，则称数M为“如意数”，并把数M分解成的过程，称为“快乐分解”．例如，因为，22和24的十位数字相同，个位数字之和为6，所以528是“如意数”． （1）最小的“如意数”是 ； （2）把一个“如意数”M进行“快乐分解”，即，A与B的和记为，A与B的差记为，若能被7整除，则M的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据“如意数”的定义进行判断即可得； （2）设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数，从而可得，，再求出，根据，自然数M的个位数字不为0，以及 ，可得为5或者4 ，然后根据能被7整除分别求出、的值，由此即可得． 【详解】（1）∵自然数M的个位数字不为0， ∴根据“如意数”的定义可得最小的“如意数”为：， 故答案为：； （2）由题意，设两位数和的十位数字均为，的个位数字为，则的个位数字为，且m为1至9的自然数， ，， ，， ∵，自然数M的个位数字不为0， ∴为5 、4或者3， ∵， ∴为5或者4 ， ，即的分子时奇数， 当时，，分子是奇数，分母时偶数，则该数不是整数， 不符合题意，舍去； 当时，， 能被7整除，且m为1至9的自然数， 满足条件的整数只有6， ，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式加减的应用等知识点，正确理解“如意数”的定义是解题关键． 14．若，，，则 ． 【答案】 【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 同理可得：，， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求． 15．腊味食品是川渝人民的最爱，去年12月份，某销售商出售腊肠、腊舌、腊肉的数量之比为，腊肠、腊舌、腊肉的单价之比为．今年1月份，该销售商将腊肠单价上调，腊舌、腊肉的单价不变，并加大了宣传力度，预计今年1月份的营业额将会增加，其中腊肉增加的营业额占总增加营业额的，今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的．若腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为，则今年1月份出售腊肠与腊肉的数量之比是 ． 【答案】20：21 【分析】设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z；先求出去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为，从而得到今年1月份的总销售额为，再由今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的，推出，即可求出今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额，则腊肠今年1月份的营业额为，设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b，可以得到，由此求解即可． 【详解】解：设去年12月份腊肠的单价为3x，则去年12月份腊舌，腊肉的单价分别为3x，2x，今年1月份腊肠的单价为3.6x，去年12月份腊肠的销售数量为3y，则腊舌，腊肉的销售数量分别为5y、3y，1月份腊肉增加的营业额为z，则总增加营业额为4z， ∴去年12月份的销售额为，1月份腊肉的销售额为， ∴今年1月份的总销售额为， ∵今年1月份腊肉的营业额将达到今年1月份总营业额的， ∴， ∴（经检验，符合分式方程有意义的条件）， ∴今年1月份的总销售额为，腊肉的销售额 ∵腊舌今年1月份增加的营业额与今年1月份总营业额之比为1：5， ∴腊舌今年1月份增加的营业额为， ∴腊舌今年1月份的营业额为， ∴腊肠今年1月份的营业额为， 设今年1月份出售腊肠与腊肉的数量分别为a和b， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20：21． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键在于能够根据题意设出相应的未知量，然后推导出对应的关系式． 16．已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝ ． 【答案】3或1或﹣1 【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案． 【详解】∵a+1＞a﹣2， ∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1， 则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0， 解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1， 故答案为：3或1或﹣1． 【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键． 17．计算： . 【答案】 【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可. 【详解】∵， …… ∴原式= = =. 【点睛】此题考查分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键. 18．对于x＞0，规定，例如，那么= 【答案】2018 【分析】根据f（x）求出f（），进而得到f（x）+f（）=1，原式结合后，计算即可求出值. 【详解】解：∵x＞0，规定， ∴，即， 则原式=， 故答案为2018. 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键. 19．设a、b、c是互不相等的实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，由可得，同理可得，，由此三式相乘即可解答． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 21．已知都为正数，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，分式求值，代数式求值．运用整体的思想是解题的关键． 将每个等式的左右两边相乘得，，解得，由，解得，同理可得，，，，，，然后代入求解即可． 【详解】解：将每个等式的左右两边相乘得，，即， ∵都为正数， ∴， ∵，解得， 同理可得，，，，，， ∴， 故答案为：． 22．已知a，b，c是非零有理数，且满足，则等于 ． 【答案】 【分析】先在等式的两边同时乘非零数，得到，变形为，，再将三个等式代入所求代数式化简即可得出答案． 【详解】 ，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，将已知等式变形是解题的关键． 23．已知数列，，……，，……，设，则与最接近的整数为 ． 【答案】4 【分析】先求出，则，进而得出，则，把代入进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ， 当时，， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则． 24．已知三个数x，y，z满足，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】由给定的三个等式可得其倒数，，，再将三个分式的分子拆分后相加可得的值，因所求式子的倒数为，所以求得的倒数即可解答； 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴ ， ，， ①+②+③，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，当分式的分子较简单，分母中的各项与分子存在一定的倍数关系时，可利用取倒数的方法（即将分式的分子和分母的位置颠倒），将繁杂的分式化成简单的式子，使问题化难为易，从而降低解题难度． 25．已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 26．对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示 ，当能被20整除时，k的所有取值之积为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，，求得，，，由，，可知，根据能被20整除，可得，可得，，当，6，7，8时：，，，，即可求出k的所有取值之积． 【详解】解：∵若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵能被20整除， ∴，则，即： ∴，， ∵各个数位上的数字都不为零且互不相同， ∴， ∴当，6，7，8时：，，，， ∴k的所有取值之积为：， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，阅读理解题目是本题的关键． 27．已知，则的值为 ． 【答案】5 【分析】将方程同除以，得到，进而求出，将进行化简，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式求值，完全平方公式．熟练掌握完全平方公式，以及利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 28．“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ． 【答案】 【分析】设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为列出方程求出，，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出，然后代值计算即可得到答案． 【详解】解：设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵 ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴红锦村需要晚熟香桃树棵； 设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元， ∴预算总费用为 ， 实际购买晚熟香桃树的费用为 ， 实际购买高山脆李的费用为 实际总费用为， ∴， ∴，即 ∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． 29．已知正整数x，y满足，则符合条件的x，y的值有 组． 【答案】2 【分析】根据x，y均为正整数，可知、，据此建立不等式并求解可知，结合，可确定可知符合条件的x的值，然后根据确定与之对应的y的值，即可确定符合条件的x，y的值的组数． 【详解】解：∵x，y均为正整数， ∴，， ∴， ∴，解得， 结合，可知符合条件的x的值为：1、2、3、4、5、6、7、8、9， 对应的y的值为：9、、、、、、、、， ∴符合条件的x、y的值为，， ∴符合条件的x，y的值有2组． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了使分式值为整数时未知数的整数值以及一元一次不等式的应用，根据题意建立不等式并求解是解题关键． 30．已知，则的值 ． 【答案】为-1或3 【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3． 【详解】∵， ∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0， ∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am， ∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)， ∴(a+b+c+d）(m-3)=0， 当a+b+c+d=0时， a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a， ∴m=-1； 当a+b+c+d≠0时， m-3=0，m=3， 综上，m=-1或m=3． 故答案为：为-1或3． 【点睛】本题主要考查了分式的值，解决问题的关键是熟练掌握分式有意义的条件，等式的基本性质，分式值的意义及满足条件． 31．有一组数据：，，，，．记，则 ． 【答案】 【分析】通过探索数字变化的规律进行分析计算． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键． 三、解答题 32．已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 33．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“完美分式”，常数称为“完美值”，如分式，，，则与互为“完美分式”，“完美值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“完美分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“完美值”； (2)已知分式，，若与互为“完美分式”，且“完美值”，其中为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值． 【答案】(1)A与B是“完美分式”，且“完美值”； (2)①；②． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得m的值； （2）①由“完美分式”及“完美值”的定义可得，再整理即可求出所代表的代数式；②由，可确定，再根据为正整数，分式的值为正整数，即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴A与B是“完美分式”，且“完美值”； （2）解：①∵与互为“完美分式”， ∴， ， ， ∴； ②∵， ∴． ∵为正整数，分式的值为正整数， ∴． 【点睛】本题考查的是新定义运算，分式的加减运算．读懂题意，理解“完美分式”和“完美值”的定义是解题关键． 34．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______＋______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． (3)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同．若这个三位数的平方能被这个两位数整除，求满足条件的两位数n． 【答案】(1)①真；②， (2)，或或或 (3)36 【分析】（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数的值； （3）设三位数的百位数字为，十位数字为，然后表示出，的表达式，再计算，然后利用材料中的方法变形，进行讨论即可． 【详解】（1）解：①的分子的次数小于分母的次数， ∴分式是真分式， 故答案为：真； ②， 故答案为：，； （2）解： 若这个分式的值为整数， 则或或或， ∴或或或； （3）解：设三位数的百位数字为，十位数字为， 则个位数字为，，， ， ， ， ， ， 当时， 为正整数， ， 当时，且为正整数， 不可能为整数， ． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 35．甲､乙两人同时从A地出发到B地，距离为100千米． （1）若甲从A地出发，先以20千米/小时的速度到达中点，再以25千米/小时的速度到达B地，求走完全程所用的时间． （2）若甲从A地出发，先以千米/小时的速度到达中点，再以千米/小时的速度到达B地．乙从A地出发到B地的速度始终保持V千米/小时不变，请问甲､乙谁先到达B地? （3）若甲以a千米/时的速度行走x小时，乙以b千米/时的速度行走x小时，此时甲距离终点为千米，乙距离终点为千米．分式对一切有意义的x值都有相同的值，请探索a，b应满足的条件． 【答案】（1）小时；（2）乙先到；（3）a，b应满足的条件是． 【分析】（1）根据“时间路程速度”分别求出两段路程的时间，再求和即可得； （2）根据“时间路程速度”分别求出甲、乙走完全程所用的时间，再比较大小即可得； （3）设，从而可得，再根据无关型问题求解即可得． 【详解】（1）由题意得：， ， （小时）， 答：走完全程所用的时间为小时； （2）甲走完全程所用的时间为， 乙走完全程所用的时间为， 因为， 所以乙先到； （3）设，则， 整理得：， ∵分式对一切有意义的值都有相同的值， ∴k的值与x的取值无关， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 故a，b应满足的条件是． 【点睛】本题考查了分式加减的应用等知识点，依据题意，正确列出各运算式子是解题关键． 36．按要求解答下列问题： 小明和小刚两人两次同时在同一粮店购买粮食，小明每次购买粮食a千克，小刚每次购粮用去a元（其中）. (1)设第一、第二次购粮单价分别为元/千克和元/千克，则小明两次购买粮食共需付粮款 元，小刚两次共购买 千克粮食；（其中，结果用含a、x的代数式表示，并化简） (2)若小明两次购粮的平均单价为每千克元，小刚两次购粮的平均单价为每千克元，请说明与的大小. 【答案】(1)，； (2)当时，；当时， 【分析】本题考查列代数式、分式的混合运算，理解题意，正确列出代数式及关系式是解答的关键． （1）小明每次购买粮食所需付粮款为单价×购买粮食重量；小刚两次共购买粮食数为两次购买数量的和； （2）用含x的式子表示出，然后相减，利用分式的加减运算法则化简求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，小明每次购买粮食所需付粮款为元； 小刚两次共购买粮食数为（千克）， 故答案为：，； （2）解：小明两次购粮的平均单价（元）； 小刚两次购粮的平均单价. 所以 ， 所以当时，当时，． 37．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币，小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍．”小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍．”其中n为正整数．求n的可能值的个数． 【答案】n的可能值有4个 【分析】本题考查了二元一次不定方程的运用，难度较大，解题关键是理解题意，根据题意求方程组，注意消元思想和分类讨论思想的运用． 设小倩同学有x元，小玲同学有y元，根据题意可得方程组：，消去x，可整理得：，由n为正整数分析，即可求得结果． 【详解】解：设小倩同学有x元，小玲同学有y元，x，y均为非负整数， 由题意可得方程组：， 将代入②中得，消去x得： 即： ∵为正整数 ∴的值分别为1，3，5，15， ∴y的值只能为4，5，6，11， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上可得：n的值分别为8，3，2，1； 即n的可能值有4个． 38．若 (1)化简A； (2)若 ，且 ，求A的最小值； (3)若a， b为正整数， 且 ，当A，B均为正整数时，求的值． 【答案】(1) (2)A的最小值为； (3) 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （2）把代入A，得到，再根据得到，然后即可求解； （3）由题意可得，根据A，B均为正整数，可得a，b的值，再根据A，B均为正整数即可求解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：由（1）得： 把代入得： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴A的最小值为； （3）∵A，B均为正整数 ∴ 当时， ，解得： 当时 或，解得：或 经检验，是原方程的解 ∵a， b为正整数， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程；本题不是直接去分母，而是先“裂项”，把方程左边化简，再去分母解分式方程；首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．解本题的关键在于充分利用运算规律计算． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 检验：是原分式方程的解， ∴原方程的解为． 40．【阅读】把等式的两边同时乘以得，移项得，两边平方得，所以． 【思考】若等式成立，求下列各式的值： (1) ， ． (2)先计算 ，把计算结果作为公式，求的值． 【答案】(1)14；194 (2)；52 【分析】本题考查了分式的运算，完全平方公式，多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）方程两边同时除以x，移项后即可求得的值；对两边平方即可求出的值，然后再平方即可求出的值； （2）根据多项式乘多项式计算法则进行计算，求出，根据得出的公式，整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴． 故答案为：14；194． （2）解： ， 即， ∴ ． 41．定义：若分式A与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式A的“可存异分式”．如与．因为，．所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”；） (2)分式的“可存异分式”是________； (3)已知分式是分式A的“可存异分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数使得分式A的值是正整数，直接写出分式A的值； (4)若关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①；②分式A的值是1，3，5； (4)520 【分析】（1）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； （2）设的“可存异分式”为，根据定义得出，利用分式混合运算法则求出N即可； （3）①根据“可存异分式”的定义列式计算即可； ②根据整除的定义进行求解即可； （4）设关于的分式的“可存异分式”为M，求出，根据关于的分式是关于的分式的“可存异分式”，得出，求出，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式不是分式的“可存异分式”； 故答案为：不是． （2）解：设的“可存异分式”为，则， ∴， ∴ ． 故答案为：． （3）①∵分式是分式A的“可存异分式”， ∴， ∴， ∴ ； ②∵整数使得分式A的值是正整数，， ∴时，， 时，， 时，， ∴分式A的值是1，3，5； （4）解：设关于的分式的“可存异分式”为M，则： ， ∴ ， ∵关于的分式是关于的分式的“可存异分式”， ∴， 整理得：， 解得：， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． 42．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则． 阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． 根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______． (2)求分式的取值范围； (3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3)27 【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式． （1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可； （2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可； （3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可． 掌握分式的变形方法，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵的值为非负整数， ∴， ∴； 故答案为：或或； （2）， ∵， ∴， ∴，即：； （3）∵， 又， ∴，， ∴， ∴， ∴ ； ∵， ∴； ∴的最小值为． 43．阅读理解： 我们通常学习的数都是十进制数，使用的数码共有10个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，表示具体数时采用“逢十进一”的原则，比如：，（这里我们规定：a≠0时，），又如：．而现代的计算机和依赖计算机的设备都使用二进制数，用到的数码只有两个：0和1，表示具体数时“逢二进一”．二进制数和十进制数可以互相转化，二进制数的运算也和十进制数的运算类似． ①我们可以把十进制整数转化成二进制整数．比如：，所以103用二进制数码表示是1100111，记为； ②也可以把十进制分数或者小数转化为二进制小数，比如：，所以可以表示成二进制小数，记为． 这里还可以把分子1和分母8都转化为二进制数，在二进制下用分了除以分母得到的二进制小数表示： 由于，，所以，而可以类比十进制数一样做除法，只是商和余数都只能是0或1：，所以； ③与十进制数类似，二进制也有循环小数，比如： ，由，可知． 问题解决： (1)将十进制数35化成二进制数为：（______）．二进制小数化为十进制分数是______． (2)将十进制分数化成二进制小数：；． (3)在十进制中，循环小数都可以化为分数，比如：将化为分数形式． 设（A）　　则（B）． 得：即，于是得到． 同样，二进制中的循环小数也可以用类似的方法化为十进制分数． 请二进制循环小数化成十进制分数，保留计算过程． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】（1）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （2）根据十进制与二进制间的关系求解即可； （3），进而得，根据二进制与十进制间的关系解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：设，则 ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了乘方，二进制与十进制间的转化，一元一次方程的应用，有理数的混合运算，熟练掌握二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 44．请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：　 　． (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)1；5 【分析】（1）将“”看成一个整体，模仿例1求解； （2）令，，将原式变形，即可求解； （3）将中的1用替代，即可求解；将代入将原式变形为，再将代入，进一步将原式变形为，由此可解． 【详解】（1）解：令， ； （2）解：令，， 则原式 ， 故答案为：； （3）解：， ； ， ． 【点睛】本题考查整体思想，因式分解，完全平方公式，整式的运算，分式的运算，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 45．根据以下素材，探索完成任务 设计购买欲兑换方案 素材1 小明在同学家尝到米鸭蛋（松花粉馅的青团）非常好吃，特意打听它的价格，同学妈妈说：“具体价格我忘记了，只记得米鸭蛋的单价是咸青团单价的2倍，当时我买了米鸭蛋和咸青团两种，我用40元买米鸭蛋的数量比30元买咸青团的数量少了4个．” 素材2 小明妈妈准备花200元购买两种青团给小明和亲友吃，这两种青团的数量都不少于20个，且咸青团的数量是10的倍数． 素材3 小明妈妈按素材2中方案支付200元买青团时，获赠五一促销活动的兑换券（）张，兑换后，米鸭蛋数量与咸青团数量相同    问题解决 任务1： 探求两种青团的单价 请求出米鸭蛋和咸青团的单价 任务2： 探究购买方案 探究小明妈妈购买两种青团的所有方案 任务3 确定兑换方式 运用数学知识，确定的值，并说明小明妈妈的兑换方式 【答案】任务1：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个；任务2：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个；任务三：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋 【分析】任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个，列分式方程，解方程即可求解； 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个，根提素材2可列方程：，再结合，都不少于20，且是10的倍数，即可作答； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张，设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋，即：，根据任务二中的购买方案，结合兑换后，米鸭蛋与咸青团个数相等，可以列出二元一次方程，再结合，，，，m、t均为正整数，即可作答． 【详解】解：任务1：设咸青团的单价为元/个，则米鸭蛋的单价为元个， 根据素材1可列方程；，解得 经检验，是原方程的解， ∴（元/个） 答：米鸭蛋的单价为5元/个，咸青团的单价为2.5元/个． 任务2：设小明妈妈准备买咸青团个，米鸭蛋个， 根提素材2可列方程：， ∴， ∵，都不少于20，且是10的倍数， ∴，，． 答：小明妈妈购买两种青团的方案有三种：A方案咸青团20个，米鸭㿿30个；B方案咸青团30个，米鸭蛋25个；C方案咸青团40个，米鸭蛋20个； 任务3：根据1张兑换券可兑换1个米鸭蛋或2个咸青团，有兑换券（）张， 设用其中的t张兑换个咸青团，余下的张兑换个米鸭蛋， 即：， 结合任务2可知， 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即：， ∵，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换10个咸青团，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即， ∵，，，，m、t均为正整数， ∴当时，，即用5张兑换券换5个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 当时，，，即用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋，可得咸青团与米鸭蛋个数相等； 对于方案，当米鸭蛋与咸青团个数相等时， 可列方程：， 即，不符合题意舍去； 综上：小明妈妈的兑换方式有四种：当总计有5张兑换券时即，用5张兑换券㛟10个咸青团或5个米鸭蛋；当总计有8张兑换券时即，用6张兑换券换12个咸青团，用2张兑换券换2个米鸭蛋，或者用1张兑换券换2个咸青团，用7张兑换券换7个米鸭蛋． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用等知识，明确题意，正确列式，是解答本题的关键. 46．已知，，，求的值． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式得到，进一步推出，由得到，进而推出，同理可得， ，由此代入所求式子中并化简得到，由此即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值问题，完全平方公式，因式分解的应用，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简． 47．定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”． (1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）； (2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由； (3)当整数取多少时，的值为整数？ 【答案】(1)①③ (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得到答案； （2）将式子化简变形即可得到答案； （3）将式子化简，根据值为整数及分式的分子是分母的整数倍得到相关数值，再根据分式有意义取舍即可得到答案； 【详解】（1）解：∵①，是“和谐分式”； ②不能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，所以不是“和谐分式”； ③，是“和谐分式”， 故答案为①③； （2）解：是“和谐分式”，理由如下， ∵， ∴是和谐分式； （3）解： 当，，0，1时，的值为整数． 由于当，0，1时，原分式没有意义， 所以当时，该分式的值为整数． 【点睛】本题考查分式化简，新定义的理解及分式有意义条件，解题的关键是读懂题干新定义． 48．已知：，． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设时，若是正整数，求的正整数值． 【答案】(1)当时， (2)若是正整数，的正整数值是12或15． 【分析】（1）先求出的值，再根据当时，，，即可得出； （2）先求出的值，再根据和都是正整数，得出的取值，进一步得到的取值，然后分类讨论，即可得到的正整数值． 【详解】（1）当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ∴，， ∴ （2）∵，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵和都是正整数， ∴是正整数， ∴可取4，8， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述：当是正整数，的正整数值是12或15． 【点睛】本题考查了分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则，求出的值和的正整数值是解题的关键． 49．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”， “和整值”； (2)①；② (3)的值为：或． 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”， “和整值”； （2）①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）由题意可得：， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 解得：， 当，方程有增根， ∴， 解得：， 综上：的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 50．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）（2）527 【分析】（1）先逆用同底数幂的乘法将原式化为，再逆用积的乘方结合分式的运算即可求解； （2）方程两边同时除以x得，再利用完全平方公式得到，再次利用完全平方公式即可求解． 【详解】解：（1） ； （2）方程两边同时除以x得:， 即， ∴， 即， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方的逆运算，完全平方公式，分式的计算求值等知识，熟知相关知识，结合已知条件和所求式子灵活变形是解题关键． 51．阅读理解： 材料1：为了研究分式与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据： … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，若无限增大，则无限接近于0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如： 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值 (增大或减小)；当时，随着的增大，的值 （增大或减小）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； (3)当时，直接写出代数式值的取值范围是 ． 【答案】(1)减小，减小 (2)当时，无限接近于2 (3) 【分析】（1）根据的变化情况，判断、值得变化情况即可； （2）根据材料由即可求解； （3）由，配合即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大，的值随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小； ∵当时，随着的增大，的值也随之减小， ∴随着的增大，的值随之减小， 故答案为：减小；减小； （2）解：∵ ∵当时，的值无限接近于0， ∴当时，无限接近于2； （3）解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即 ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解题的关键． 52．阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：活用倒数，∵． ∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设，则． ∵对于任意上述等式成立， ∴解得 ∴． 根据材料，解答下面问题： (1)已知，则分式的值为 ． (2)已知，求分式的值． (3)已知，则分式的值为 ． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）根据材料1，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （3）根据材料1和材料2，原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 故答案为：； （2）∵ ∴，即：， ∴ 则： ∴ 故答案为：； （3） 由分母，可设， 则： 对于任意上述等式成立， ∴，解得，， ∴ 又∵，即： ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 53．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；② 【分析】（1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可； ②根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是找出关联分式中分子、分母的规律，得出． 54．探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题： (1)计算：若n为正整数，猜想=___________ (2) (3)若，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （2）根据已知等式得到拆项规律，写出即可 （3）根据绝对值的性质，分别计算即可 【详解】（1） （2） （3）∵， ∴，， ∴，， ∴ 【点睛】本题主要考查了数字类题目，分式的运算，解决问题的关键是掌握数字的变化规律 55．（1）计算： （2）先化简，再求值：，请选择一个你喜欢的数值代入求值． （3）解方程： 【答案】（1）；（2），当时，；（3）方程无解 【分析】（1）根据二次根式、绝对值、零指数幂和乘方性质计算，即可得到答案； （2）根据乘法公式、分式混合运算性质化简，从而完成求解； （3）先对左边的分式进行通分计算，对右边的分母进行因式分解，对分式进行化简求值，再将方程的解进行验证，即可完成求解． 【详解】（1） ； （2） ， 当时， 原式=； （3） ∴通分得：， ∴， ∴去分母得：， ∴移项合并同类项得：， 检验：当时，， ∴原方程无解. 【点睛】本题考查二次根式、零指数幂、分式混合运算、分式方程的知识；解题的关键是熟练掌握分式混合运算、分式方程的性质，从而完成求解. 56．观察下列各式： ， (1)从上面的算式及计算结果，根据你发现的规律直接写下面的空格：________； (2)用数学的整体思想方法，设，分解因式：，； (3)已知，a、b、c、d都是正整数，且，化简求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)， 【分析】（1）根据所给的三个等式归纳规律解答即可； （2）利用得出的规律，运用平方差公式进行分解因式； （3）根据（2）中的规律，当m=2时，得出a，b，c，d的值，再进行化简求值． 【详解】（1）解：根据题意，由所给的三个等式，可归纳出： ； 故答案为：； （2）解：由（1）可知， ∴， 设（）， ∴ ∵， ∴； （3）解：由（2）可知， 当时，则 ， ∵， ∴， ∵a、b、c、d都是正整数，且a＞b＞c＞d； ∴a=17，b=5，c=3，d=1； ∵ ， 当a=17，b=5，c=3，d=1； ∴原式； 【点睛】本题考查了用平方差公式进行因式分解，分式的化简，根据所给的等式归纳出规律是解答本题的关键． 57．阅读下列材料： 材料1：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（式）的和（差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效． 例：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：设x+2＝t，则x＝t﹣2． ∴原式＝ ∴ 这样，分式就拆分成一个整式（x﹣5）与一个分式的和的形式． 材料2：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解．它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：当a＞0，b＞0时，∵ ∴当，即a＝b时，有最小值2． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)参照以上资料，试将分式拆分成整式的真分式的和的形式； (2)已知分式的值为整数，求整数x的值； (3)当﹣1＜x＜1时，求代数式的最大值 　 　． 【答案】(1) (2)0或1 (3)-1 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）先仿照题意求出，再根据分式的值为整数进行求解即可； （3）设，则，仿照题意得到原分式，据此仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴ ， ∴； （2）解：设，则， ∴ ， ∴， ∵的值为整数， ∴的值为±4或±2或±1， 又∵x为整数， ∴x的值为0或1； （3）解：设，则， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即时，的最小值为2， ∴原分式的最大值为， 故答案为：-1． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． 58．已知b＞a＞0． (1)比较大小： （填“＞”、“＜”或“＝”）； (2)若c＞0，比较与的大小； (3)下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号）． ①若n＞m＞0，则； ②若n＞m＞2，则； ③若n＞m＞2，则； ④若n＞m＞2021，则． 【答案】(1)＜ (2) (3)②④ 【分析】（1）利用作差法判断大小即可． （2）利用作差法比较大小即可． （3）利用作差法逐项进行比较判断即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， 即． 故答案为：． （2）， ，， ，， ， 即； （3）①， ， ，， ， 则，故①错误； ②， ， ，， ， 则，故②正确； ③， ， ，， ， 则，故③错误； ④ ， ， ，， ， 则，故④正确． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握作差法以及分式混合运算的运算法则是解答本题的关键． 59．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得：． 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． (1)猜想并写出：＝______． (2)规律应用：计算：； (3)拓展提高：计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用分式的减法法则计算即可． （2）根据（1）的特点,裂项后求和，注意其中的规律，清楚被销项和保留项，计算即可． （3）把分母的各数中各提取2，转化成（2）式问题计算即可． 【详解】（1）∵=， 故答案为：． （2） = = =． （3） = = = = =． 【点睛】本题考查了分式的加减混合运算，正确找到规律，灵活运用规律是解题的关键． 60．知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式 解：将“”看成一个整体，令 原式 例2：已知，求的值． 解： 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)计算：______ (3)①已知，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)①1，②5． 【分析】（1）将看成一个整体，令，代入计算即可； （2）将看成一个整体，令，将看成一个整体，令，代入计算即可； （3）①将代入求解即可；②将，代入中得到原式，再将代入，进一步得到原式，计算即可． 【详解】（1）解：将看成一个整体，令， 则原式． （2）解：将看成一个整体，令，将看成一个整体，令， 则原式 ． （3）解：①∵， ∴ ． ②∵， ∴ ． 【点睛】本题考查整体思想，完全平方公式，整式的运算，分式运算法则，解题的关键是掌握整体思想，看懂例题． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$