14.4 中心对称(11大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

14.4 中心对称 知识点一 中心对称图形与中心对称 1.如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心 2.在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. 知识点二 对应点与对应角 1.如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P'是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点0的对称点. 2.三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D，线段AB的对应线段是线段DE，∠BAC的对应角是∠EDF 知识点三 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等; （2）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 题型一、成中心对称 解题技巧提炼 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. 1．下列说法正确的是（     ） A．能够互相重合的两个图形成轴对称 B．图形的平移运动由移动的方向决定 C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形 D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形 【答案】D 【分析】根据图形变换的意义和性质作答． 【详解】解：A、一个图形沿着某条直线翻折后能够与另一个图形重合，则两个图形关于某条直线成轴对称，错误； B、图形的平移运动由移动的方向和距离决定，错误； C、如果一个旋转对称图形，有一个旋转角为120度，那么它也有可能有一个旋转角为180度，所以它有可能是中心对称图形，错误； D、如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180度，那么它一定是中心对称图形，正确； 故选D． 【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握轴对称、平移、中心对称的定义和性质是解答关键． 2．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据“成中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可判断． 【详解】解：与关于点成中心对称， ， ，，与的面积相等， 故①②④正确； 对称点到对称中心的距离相等， ， 故③正确； 综上可知，正确的有4个， 故选D． 3．如图，已知，点A与点关于点O成中心对称，试画出对称中心点O和的对称（此题无需尺规作图，无需写作法，要求精确，需要写结论）．    【答案】见解析 【分析】连接，取中点O即为对称中心，延长至，使得，延长至，使得，则为所求作． 【详解】解：如图，点O和即为所求作．    【点睛】本题考查了作图—旋转变换，解题关键是找出对称中心，掌握对应角都等于旋转角，对应点到对称中心的距离相等． 4．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 题型二、画已知图形关于某点对称的图形 解题技巧提炼 （1）依次连接已知点与对称中心，延长长度，使得对应点到对称中心点的长度相等 （2）再将所作的点依次连接起来. 5．如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了画平移图形，画轴对称图形，画中心对称图形： （1）根据平移方式找到A、B、C对应点的位置，再顺次连接即可； （2）连接，利用网格的特点找到的中点位置即为点O的位置，进而根据点O的位置找到的位置即可； （3）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解；如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，点O和即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 6．如图，在正方形网格中有三角形． (1)将三角形进行平移，使得点的对应点为点（如图所示），画出三角形； (2)画出（1）中三角形关于中点成中心对称的图形，所画图形需用实线画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平移作图、作中心对称图形： （1）根据点A及对应点的位置判断平移方式，找出点B和点C的对应点，顺次连接即可； （2）利用格点作出点关于中点的对称点，即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 7．如图，已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使与关于点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据对称轴垂直平分对应点连线，可找到各点的对称点，顺次连接即可得到； （2）根据中心对称点平分对应点连线，可得各点的对称点，顺次连接可得． 【详解】（1）解：即为所求； ； （2）解：即为所求． 【点睛】本题考查了中心对称作图及轴对称作图的知识，解答本题的关键是掌握轴对称及中心对称的性质． 8．在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】（1）作出各点关于点O的对称点，再连接即可得到； （2）结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由图形可得：重合的面积是中间的小正方形， ∵网格边长为1， 故重合面积为4． 【点睛】本题考查网格作图，解题的关键是掌握中心对称的性质，掌握中心对称图形的作图法． 题型三、画两个图形的对称中心 解题技巧提炼 确定对称中心的方法 (1) 连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点为对称中心 (2)连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 9． 如图， 已知 、直线l及点． (1)请画出与 关于直线l对称的； (2)如果点 与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心 O，并画出与 关于点 O 成中心对称的 ． [不写画法，保留画图痕迹]． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查的是画轴对称与中心对称，掌握轴对称与中心对称的性质是解本题的关键． （1）分别确定A，B，C关于直线的对称点，，，再顺次连接即可； （2）连接，利用三角尺确定的中点，则中点即为旋转中心，再确定，关于旋转中心的对应点，，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所画的三角形， （2）如图，点O即为所画的旋转中心，即为所画的三角形， 10．在如图正方形网格中按要求画出图形：    (1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出； (2)画出点A旋转后的； (3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用点A和点D的位置确定平移方向与距离，然后利用此平移规律画出B、C的对应点E、F，最后顺次连接即可即可； （2）延长到，使，延长到，使，连接即可解答； （3）连接相交于P点，则可判断与于点P成中心对称． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：点P即为所求．    【点睛】本题主要考查了平移作图、旋转变换、确定旋转中心等知识点，掌握通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形是解答本题的关键． 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【分析】本题考查旋转作图，作中心对称图形，作对称中心． （1）根据网格特点即可作出线段，作出点A，D关于点B的对称点E，F，连接即可； （2）①将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作平行四边形，即可得到所求的点G； ②作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则点P为所求的对称中心； ③由图直接得到点P的坐标． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：①如图，点G为所求， 将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则，， 作平行四边形，则，， ∴，且， 即点G为所求． ②如图，点P为所求． 作线段的垂直平分线，作线段的垂直平分线，与交于点P，则，， ∴点P为所求的旋转中心． ③由题可得，点P的坐标为． 故答案为： 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是， (1)画出关于点C成中心对称的； (2)平移：若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】题目主要考查中心对称图形及图形的平移，理解题意，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）根据中心对称图形的作法作图即可； （2）根据题意确定平移方式为：向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度，然后作图即可； （3）连接交点为D，即为对称中心，读出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）根据题意得：，平移后的点的坐标为， ∴平移方式为：向右平移3个单位长度，向下平移6个单位长度， 如图所示：即为所求； （3）如图所示，连接交点为D，即为对称中心， 由图得：， 故答案为： ． 题型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 解题技巧提炼 在求面积的时候要确定三角形的底和高，一般我们需要性质把底边和高进行代换，确定好长度后再求出面积. 13．如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点成中心对称， 点与是一组对称点，，，， ，都不合题意； ∴， ∴ ∴， C不符合题意； 与不是对应角， 不成立， D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 14．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 15．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 题型五、中心对称图形的识别 解题技巧提炼 判断图形是否为轴对称图形或中心对称图形的方法 (1)判断一个图形是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴.除了直接观察判断外,还可采用折叠法判断:看该图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合， (2)判断一个图形是否为中心对称图形的关键是寻找对称中心.除了直接观察判断外，还可采用旋转法:看能否找到一点，使该图形绕这一点旋转 180°后能与自身重合. 17．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 18．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A．图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意； B．图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 19．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，故本选项不符合题意； ．是轴对称图形，故本选项不符合题意； ．是轴对称图形，故本选项不符合题意； ．是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 20．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：B． 21．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； 故选：A． 题型六、判断中心对称图形的对称中心 解题技巧提炼 与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到对称中心． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】本题主要考查了旋转作图和中心对称的性质，解题的关键熟练掌握旋转的性质和中心对称的性质，并结合相关性质正确的作图． （1）将的三顶点绕原点顺时针旋转，然后顺次连接即可得到； （2）将的三顶点绕原点旋转，然后顺次连接即可得到； （3）结合与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）∵与是中心对称图形， 连接，交点为，如图， 观察图像可得交点坐标为，即对称中心的坐标为． 故答案为：． 23．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 24．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 25．已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 【答案】C 【分析】本题考查中心对称，关键是掌握中心对称的性质．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 由图可知与的交点与点Q重合， ∴对称中心为点Q． 故选：C． 题型七、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 解题技巧提炼 （1）关于直线成轴对称：分别作出A，B，C，D关于直线的对称点，然后依次连接即可； （2）关于点成中心对称：分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）画出对称轴或对称中心：连接，作的中垂线，即为所求. 26．如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是对轴对称，中心对称作图的考查，熟练掌握轴对称，中心对称知识是解决本题的关键， （1）分别作出A，B，C，D关于直线MN的对称点，然后依次连接即可； （2）分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）连接，作的中垂线，即为所求； 【详解】（1）解：如下图所示：四边形即为所求； （2）解：如下图所示：四边形即为所求； （3）解：如图所示，四边形与四边形关于成轴对称，即为所求． 27．作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)三角形和三角形关于直线成轴对称 【分析】本题考查了作图—旋转变换：中心对称和轴对称，找到对应点，顺次连接得出旋转和轴对称后的图形． （1）利用网格特点和平移的性质画图； （2）利用网格特点和轴对称的性质、中心对称的性质画图； （3）根据轴对称的性质得到答案． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：如图所示． （3）解：三角形和三角形关于直线成轴对称． 28．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称图形，中心对称图形的性质画出图形即可． （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图①②所示． （2）解：图形如图③所示，点P即为所求作． 【点睛】本题考查利用旋转变换设计图案，正方形的性质，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．如图，在4×4的方格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于点中心对称的； (2)在图2中画出与关于直线轴对称的； (3)在图3中画出绕着点按顺时针方向旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据中心图形的定义，即可求解； （2）根据轴对称图形的定义，即可求解； （3）根据旋转图形的性质，即可求解 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）如图所示： 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键． 题型八、中心对称图形规律问题 解题技巧提炼 规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 30．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 【答案】B 【分析】探究规律后利用规律解决问题即可． 【详解】观察图形可知每4次循环一次，， ∴第2022次旋转后得到的图形应与图②相同， 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称、旋转变换，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 31．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称的性质解答即可． 【详解】解：∵P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）， 由点P关于点O成中心对称的点Q可得：点Q的极坐标为（3，240°），（3，-120°），（3，600°）， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称的问题，关键是根据中心对称的性质解答． 32．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，掌握中心对称的性质是求解本题的关键． 根据中心对称的性质判断即可． 【详解】解：与关于点O成中心对称， ，，，故A，B，C选项正确，，故D选项错误． 故选：D． 33．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了平面直角坐标系中中心对称的性质，以及找规律问题，根据已知得出点P的坐标每6个一循环是解题关键． 根据中心对称及平面直角坐标系中的有关知识，可以求得点关于点A的对称点坐标，以及点关于点B的对称点坐标，点关于点O的对称点，可以看出，点P的坐标每6个一循环，即可解答． 【详解】解：由题意可得：点，，，，，…… ∴可知6个点一个循环，， ∴点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 题型九、求关于原点对称的点的坐标 解题技巧提炼 求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反. 34．点关于原点成中心对称的点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点关于原点成中心对称的点坐标是， 故答案为： 35．在平面直角坐标系中，将点A先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到点B，如果点A和点B关于原点对称，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】先按题目要求对A、B点进行平移，再根据原点对称的特征：横纵坐标互为相反数进行列方程，求解． 【详解】设，向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到 ∵A、B关于原点对称， ∴，， 解得，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查点的平移和原点对称的性质，掌握这些是解题关键． 36．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是 ． 【答案】（2，-4） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点P（-2，4）与点Q关于原点对称，则点Q的坐标（2，-4）， 故答案是：（2，-4）． 【点睛】本题考查了关于原点的对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 37．如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝ ． 【答案】1 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，得出a，b的值，即可得出答案． 【详解】解：∵点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 题型十、已知两点关于原点对称求参数 解题技巧提炼 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数． 38．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】6 【分析】平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数． 【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数， ， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键． 39．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第 象限. 【答案】三 【分析】首先求得点P坐标为（-2，-1），即可求得，由此即可确定点M所在象限． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴点P坐标为（-2，-1）， ∴， 解得：， ∴点M坐标为（-2，-1）， 即：点M在第三象限， 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查的是坐标系中点的转换，熟练掌握坐标系的基本性质是解题的关键． 40．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内关于原点对称两点坐标特征，根据关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数这一特征求解即可． 【详解】解：已知点与点关于原点对称， 则，即 故答案为： 41．已知点和点关于原点对称，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十一、判断两个点是否关于原点对称 解题技巧提炼 两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数. 42．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行于轴的直线的特点，熟练掌握平行于轴的直线的特点是解题的关键． （1）根据平行于轴的直线的特点以及得出坐标； （2）对比A，B，C，D的坐标即可发现之间的关系． 【详解】（1）解：轴，，， 点B，D的纵坐标分别是1，． ， ． （2）解：，的横、纵坐标互为相反数， 关于原点对称． 同理，关于原点对称． 43．把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点 ，再向左平移6个单位长度可以得到对应点 ，则点与点A关于 对称，点与点A关于 对称，点与点关于 对称． 【答案】 x轴 原点 y轴 【分析】根据点的坐标平移特点：左减右加，上加下减，以及关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征进行求解即可． 【详解】解：把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点(3，2-4)即(3，-2)； 再向左平移6个单位长度可以得到对应点(3-6，-2)即(-3，-2)；则点与点A关于x轴对称；点与点A关于原点对称；点与点关于y轴对称， 故答案为：(3，-2)；(-3，-2)；x轴；原点；y轴． 【点睛】本题主要考查了点的坐标平移，关于x轴，关于y轴对称和关于原点点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 44．直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （　　） A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对 【答案】C 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案； 【详解】解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数； 45．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中心对称与坐标变化，做本题时需注意①关于x轴对称的图形，横坐标不变纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的图形，纵坐标不变横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，根据把各点的横、纵坐标都乘得到关于原点对称，即可解题． 【详解】解：把各点的横、纵坐标都乘后，即各点关于原点对称， 得到的图形是关于原点对称的图形， 故选：C． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.4 中心对称 知识点一 中心对称图形与中心对称 1.如果一个图形上的所有点绕着所在平面上的一个定点旋转180后，能与原图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个定点叫作对称中心 2.在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. 知识点二 对应点与对应角 1.如果两个图形关于点O成中心对称，那么对于一个图形中的一点P绕点O旋转180后，就与另一个图形中的一点P'重合.这时，点P与点P'是这两个成中心对称的图形的对应点，也叫作关于点0的对称点. 2.三角形ABC与三角形DEF关于点O成中心对称，点A的对称点是点D，线段AB的对应线段是线段DE，∠BAC的对应角是∠EDF 知识点三 中心对称的性质 （1）成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等; （2）连接每组对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分. 题型一、成中心对称 解题技巧提炼 在平面上，一个图形绕着一个定点旋转180后，能与另一个图形重合这两个图形称为关于这个定点对称，也称这两个图形成中心对称，这个定点称为对称中心. 1．下列说法正确的是（     ） A．能够互相重合的两个图形成轴对称 B．图形的平移运动由移动的方向决定 C．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为120°，那么它不是中心对称图形 D．如果一个旋转对称图形有一个旋转角为180°，那么它是中心对称图形 2．如图，与关于点成中心对称，下列说法： ①；②；③；④与的面积相等，其中正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，已知，点A与点关于点O成中心对称，试画出对称中心点O和的对称（此题无需尺规作图，无需写作法，要求精确，需要写结论）．    4．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 题型二、画已知图形关于某点对称的图形 解题技巧提炼 （1）依次连接已知点与对称中心，延长长度，使得对应点到对称中心点的长度相等 （2）再将所作的点依次连接起来. 5．如图： (1)画出向右平移5格，再向下平移3格后的图形； (2)如果点与点A关于某点成中心对称，请标出这个对称中心O，并画出关于点O成中心对称的图形； (3)画出关于直线成轴对称的图形． 6．如图，在正方形网格中有三角形． (1)将三角形进行平移，使得点的对应点为点（如图所示），画出三角形； (2)画出（1）中三角形关于中点成中心对称的图形，所画图形需用实线画出． 7．如图，已知和直线，点在直线上． (1)画出，使与关于直线成轴对称； (2)画出，使与关于点成中心对称． 8．在边长为1的正方形网格中： (1)画出关于点的中心对称图形． (2)与的重叠部分的面积为 题型三、画两个图形的对称中心 解题技巧提炼 确定对称中心的方法 (1) 连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点为对称中心 (2)连接任意两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心. 9． 如图， 已知 、直线l及点． (1)请画出与 关于直线l对称的； (2)如果点 与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心 O，并画出与 关于点 O 成中心对称的 ． [不写画法，保留画图痕迹]． 10．在如图正方形网格中按要求画出图形：    (1)将平移，使得点A平移到图中点D的位置，点B、C的对应点分别为点E、F，请画出； (2)画出点A旋转后的； (3)已知与于点P成中心对称，请在图中画出点P． 11．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，A、B两点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）． (1)在图1中，为格点． ①先将线段绕点逆时针旋转得到线段； ②再画线段，使线段与线段关于点成中心对称（其中点对应点，点对应点）； (2)在图2中，以格点为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点坐标为． ①先画格点，使，且； ②已知线段绕平面内的点旋转一个特定的度数可与线段重合，请在图中画出旋转中心； ③请直接写出点的坐标为_____________． 12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是， (1)画出关于点C成中心对称的； (2)平移：若点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的； (3)和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______． 题型四、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 解题技巧提炼 在求面积的时候要确定三角形的底和高，一般我们需要性质把底边和高进行代换，确定好长度后再求出面积. 13．如图， 与 关于点 成中心对称，则下列结论不成立的是（   ）    A．点与点是对称点 B． C． D． 14．如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 （填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 15．如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 16．如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 题型五、中心对称图形的识别 解题技巧提炼 判断图形是否为轴对称图形或中心对称图形的方法 (1)判断一个图形是否为轴对称图形的关键是寻找对称轴.除了直接观察判断外,还可采用折叠法判断:看该图形沿某条直线折叠后直线两旁的部分能否重合， (2)判断一个图形是否为中心对称图形的关键是寻找对称中心.除了直接观察判断外，还可采用旋转法:看能否找到一点，使该图形绕这一点旋转 180°后能与自身重合. 17．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 18．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 19．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　　） A． B． C． D． 20．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 21．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型六、判断中心对称图形的对称中心 解题技巧提炼 与是中心对称图形，连接对应点并确定交点位置，即可得到对称中心． 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)将绕原点顺时针旋转得到，请画出旋转后的； (2)画出绕原点旋转后得到的； (3)若与是中心对称图形，则对称中心的坐标为________． 23．如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 24．如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 25．已知与成中心对称，则对称中心为（　　） A．点O B．点P C．点Q D．点T 题型七、在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 解题技巧提炼 （1）关于直线成轴对称：分别作出A，B，C，D关于直线的对称点，然后依次连接即可； （2）关于点成中心对称：分别作出A，B，C，D关于点O中心对称的对称点，然后依次连接即可； （3）画出对称轴或对称中心：连接，作的中垂线，即为所求. 26．如图所示，在四边形中， (1)画出四边形，使四边形与四边形关于直线成轴对称； (2)画出四边形，使四边形与四边形关于点成中心对称； (3)四边形与四边形是否对称，若对称请在图中画出对称轴或对称中心． 27．作图题（保留作图痕迹，不必写出画法） (1)将点向右平移3个单位可到达点，再将点向上平移2个单位可到达点，标出点、点，并连接和． (2)在方格图中分别画出三角形和三角形，使三角形和三角形关于直线成轴对称：三角形和三角形关于点成中心对称． (3)三角形和三角形有没有对称关系？如果有，成怎样的对称关系？ 28．正方形绿化场地拟种植两种不同颜色（用阴影部分和非阴影部分表示）的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分． (1)请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴； (2)把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P． 29．如图，在4×4的方格中，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出与关于点中心对称的； (2)在图2中画出与关于直线轴对称的； (3)在图3中画出绕着点按顺时针方向旋转后的． 题型八、中心对称图形规律问题 解题技巧提炼 规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律利用规律解决问题． 30．如图是两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心按逆时针方向进行旋转，第一次旋转后得到图①，第二次旋转后得到图②，…，则第次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（    ） A．图① B．图② C．图③ D．图④ 31．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径．点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，-300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（ ） A． B． C． D． 32．如图，与关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A． B． C． D． 33．如果将点P绕定点M旋转后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心，此时，M是线段的中点．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B，O的坐标分别为，，，点，，，…中的相邻两点都关于的一个顶点对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称，点与点关于点A对称，点与点关于点B对称，点与点关于点O对称……且这些对称中心依次循环．已知点的坐标是，则点的坐标为 ． 题型九、求关于原点对称的点的坐标 解题技巧提炼 求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反. 34．点关于原点成中心对称的点坐标是 ． 35．在平面直角坐标系中，将点A先向右平移4个单位，再向下平移6个单位得到点B，如果点A和点B关于原点对称，那么点A的坐标是 ． 36．已知点P(﹣2，4)与点Q关于原点对称，那么点Q的坐标是 ． 37．如果点P（a，b）与点Q（2，﹣3）关于原点对称，那么a+b＝ ． 题型十、已知两点关于原点对称求参数 解题技巧提炼 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数． 38．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 39．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在第 象限. 40．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则 ． 41．已知点和点关于原点对称，则的值为 题型十一、判断两个点是否关于原点对称 解题技巧提炼 两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数. 42．如图，轴，且，点A的坐标为，点C的坐标为． (1)写出点B，D的坐标； (2)你发现点A，B，C，D的坐标之间有何特征？ 43．把点向下平移4个单位长度，可以得到对应点 ，再向左平移6个单位长度可以得到对应点 ，则点与点A关于 对称，点与点A关于 对称，点与点关于 对称． 44．直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （　　） A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对 45．把各点的横、纵坐标都乘后，得到的图形是（    ） A．B．C． D． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$