14.3 轴对称(19大题型提分练)-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

14.3 轴对称 1.若将一个图形沿着某一条直线翻折过来,直线两边的部分能够相互重合,这个图形叫作轴对称图形,这条直线是它的对称轴,也称这个图形关于这条直线对称. 2.把一个图形沿某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫作对称轴,翻折后能够重合的点叫作对称点. 3.两个成轴对称的图形,对应线段的长度相等,对应角的大小相等,这两个图形形状相同,大小相等 4.两个成轴对称的图形,连接对称点的线段和对称轴垂直,并且被对称轴平分 题型一、轴对称图形的识别 解题技巧提炼 利用图形特征识别轴对称图形 在识别轴对称图形时，仅从表象来判断容易造成不必要的错误.因此,在解决这类问题时，要根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形. 1．下列图形中，不是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 3．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）60；（4）对应点的连线被对称轴垂直平分 【分析】本题考查利用轴对称设计图案： （1）根据轴对称图形的性质即可进行判断； （2）根据轴对称图形的性质即可完成作图； （3）根据轴对称图形的性质即可解决问题； （4）结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：（1）A、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； B、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； C、不是轴对称图形的风筝图案，符合题意； D、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； 故选：C （2）如图，即为所求； （3）∵所在的直线是该图形的对称轴，， ∴竹条； 故答案为：60 （4）在项目实施的过程中用到的数学知识为对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：对应点的连线被对称轴垂直平分 4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 解题技巧提炼 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 5．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，故此选项不合题意； C、不是轴对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念． 6．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 8．一位交警在执勤过程中，从汽车的后视镜中看见某车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，即可进行解答． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称不改变物体大小和形状． 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 解题技巧提炼 轴对称图形是对一个平面图形来说的.因此，对称轴两旁的部分是同一个图形的两部分，并且这两部分能够完全重合. 9．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 【答案】D 【分析】该题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质解答即可； 【详解】解：∵与关于直线对称，P为上任意一点， ∴是等腰三角形，垂直平分，这两个三角形的面积相等，A、B、C选项正确； 直线关于直线对称，因此交点一定在上．D错误； 故选：D． 10．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 11．如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 12．如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 【答案】72 【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，然后根据平角的概念求解即可． 【详解】解：把沿直线翻折后得到， ， ， ． 故答案为：72． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 解题技巧提炼 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;反过来，成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分. 13．已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（    ）    A．4 B．8 C．16 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，证得，，求出，直接利用面积公式计算即可． 【详解】解：如图，    ∵点与点P关于对称，点与点P关于对称， ∴，， ∵， ∴， ∴以、O、三点为顶点的三角形面积是， 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称的性质：对应点与对称中心所连线段相等，对应点与对称中心连线的夹角被对称轴平分，熟记轴对称的性质是解题的关键． 14．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 15．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字3的格子内． 【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合， ∴根据题意，阴影应该涂在标有数字3的格子内； 故答案为：3． 16．如图，中，直线是边的对称轴，交于，交于，如果BC=6，的周长为，那么边的长是 ． 【答案】11 【分析】根据轴对称的性质可得AD=BD，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论． 【详解】解：∵直线是边的对称轴， ∴AD=BD ∵的周长为， ∴CD＋BD＋BC=17 ∴CD＋AD＋6=17 ∴AC＋6=17 ∴AC=11 故答案为：11． 【点睛】此题考查的是轴对称的性质和三角形的周长公式，掌握轴对称的性质是解题关键． 题型五、台球桌面上的轴对称问题 解题技巧提炼 台球问题要作垂线，按照轴对称的性质解题. 17．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是正确画出图形. 18．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论． 【详解】解：连接，如图， ∵是P关于直线l的对称点， ∴直线l是的垂直平分线， ∴ ∵是P关于直线m的对称点， ∴直线m是的垂直平分线， ∴ 当不在同一条直线上时， 即 当在同一条直线上时， 故选：B 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键 19．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 【答案】（3，0） 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2023除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3）， ∵2023÷6=337…1， 当点P第2023次碰到矩形的边时为第338个循环组的第1次反弹，点P的坐标为（3，0）， 故答案为：（3，0）． 【点睛】本题考查了台球桌面上的对称、点的坐标的规律；作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 20．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 【答案】见解析． 【分析】直接利用轴对称求最短路线方法得出天然气站的位置． 【详解】如图所示：首先作出A点关于汾河边L的对称点A′，再连接A′B，A′B与汾河边L的交点处就是P处，即天然气站位置． ． 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，在直线L上的同侧有两个点A，B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 题型六、轴对称中的光线反射问题 解题技巧提炼 根据光的反射规律.反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称. 21．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 【答案】B 【分析】根据光反射定律可知，反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称，由此推断出结果． 【详解】连接EF，延长入射光线交EF于一点N，过点N作EF的垂线NM，如图所示： 由图可得MN是法线，为入射角 因为入射角等于反射角，且关于MN对称 由此可得反射角为 所以光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是B 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称中光线反射的问题，根据反射角等于入射角，在图中找出反射角是解题的关键． 22．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 23．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】本题意思是在上找一点D，在上找一点E，使的周长最小．如果设点C关于的对称点是M，关于的对称点是N，当点D、E在上时，的周长为，此时周长最小． 【详解】.解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E． 则C→D→E→C为所求的行走路线． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，灵活运用对称性的基本性质是解题关键． 24．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    【答案】号袋 【分析】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【详解】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 25．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，解题的关键是熟练掌握光在入射时，入射角等于反射角；两条入射光线的交点处是点光源所在处．作出和的入射光线，相交处即为点S所在位置． 【详解】解：如图所示： 题型七、折叠问题 解题技巧提炼 折叠前后的图形关于翻折线段所在的直线对称. 26．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握折叠的性质，根据折叠的性质求解即可． 【详解】解：由折叠可得：，，，， 是边的中点， ，， 的面积恰好是面积的， ， ， 根据已知条件无法证明 故①、②皆错误， 故选：D． 27．如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，分当点在延长线上时，当点在上时，两种情况用含x的代数式表示出的长，再根据建立方程求解即可． 【详解】解：当点在延长线上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，x的值为4或 故答案为：4或． 28．如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 【答案】逆时针旋转（答案不唯一） 【分析】本题考查了旋转和翻折的性质； 画出图形，根据求出，根据旋转和翻折的性质可得，求出，然后可得旋转的方向和角度． 【详解】解：如图，∵，， ∴， 由旋转和翻折得：， ∴， ∴旋转方向和旋转角度数可以是逆时针旋转， 故答案为：逆时针旋转（答案不唯一）． 29．如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换折叠问题，平移的性质，根据折叠的性质得到，由平移的性质得到，，对进行等量代换即可得到结论． 【详解】解：将沿直线折叠，使点落在点处， ， 向右平移若干单位长度后恰好能与边重合， ，， 阴影部分的周长为， 则， 故答案为：． 30．如图，在中，，.如果将沿直线翻折后，点落在点处，那么的周长为 . 【答案】 【分析】此题考查的是折叠的性质，据折叠的性质可得是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴的周长为． 故答案为：． 题型八、画对称轴 解题技巧提炼 对称轴的画法 画成轴对称的两个图形的对称轴，只需过两个图形中任意一对对应点所连线段的中点画垂线即可. 31．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．    (1)画出直线； (2)直线与相交于点，试探究与直线，所夹锐角的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了轴对称作图及性质，解答此题要明确轴对称的性质：1．对称轴是一条直线．2．垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线，或中垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．3．在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等．4．在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．5．如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （1）如答图，连接，画出线段的垂直平分线EF，则直线EF即为所求． （2）根据对称找到相等的角，然后进行推理． 【详解】（1）解：如图，连接，画出线段的垂直平分线，则直线即为所求．    （2）解：如图，连接，，    因为和关于直线对称， 所以 因为和关于直线对称， 所以， 所以， 即 32．已知在同一平面内的两条相等线段，通过一次或两次轴对称变化就可以重合．如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点都在格点上，请分别在下面两个图中画出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合；若需两次轴对称的，则要画出第一次轴对称后的对称线段．    【答案】见解析 【分析】根据轴对称图形的定义进行求解即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】    【点睛】本题主要考查了画轴对称图形的对称轴和画轴对称图形，熟知轴对称图形的相关知识是解题的关键． 33．如图，图1是一个轴对称图形，图2是一个轴对称图形的一半．    (1)画出图1的对称轴，并标出点A的对应点． (2)请以虚线为对称轴，画出图2的另一半． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】根据轴对称图形的定义进行作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求．    【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，画对称轴和找轴对称图形的对应点，熟知轴对称图形的定义是解题的关键：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 34．请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于直线PQ的对称点，，，再顺次连接即可； （2）连接AD，CF利用网格特点，作出AD和CF的中点M，N，过点M，N作直线l即可． 【详解】（1）如图，与△ABC关于直线PQ成轴对称； （2）如图，直线l就是△ABC与△DEF的对称轴． 【点睛】本题考查了作图——轴对称变换：在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 题型九、求对称轴条数 解题技巧提炼 正n边形的对称轴(1)奇数边正多边形对称轴是过顶点和对边中点的直线.(2)偶数边正多边形对称轴是过对边中点或过相对顶点的直线. 35．下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可． 【详解】解：A． 圆有无数条对称轴，故此选项不符合题意； B． 正方形有4条对称轴，故此选项不符合题意； C． 梯形中的等腰梯形是轴对称图形，只有1条对称轴，故此选项不符合题意； D．等边三角形有3条对称轴，故此选项符合题意． 故选：D． 36．下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，这条直线是对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，有2条对称轴，符合题意； B、是轴对称图形，有1条对称轴，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，有8条对称轴，不符合题意； 故选：A． 37．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答． 【详解】解：五角星是轴对称图形，它只有5条对称轴； 故答案为：5． 38．在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ． 【答案】正方形 【分析】本题考查了求对称轴条数，分别写出各个图形的对称轴的条数，比较即可得出答案． 【详解】解：等腰直角三角形有条对称轴； 等边三角形有条对称轴； 半圆由条对称轴； 正方形有条对称轴； ∴对称轴最多的是正方形， 故答案为：正方形． 题型十、车牌号码的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 39．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     【答案】D 【分析】此题主要考查了镜面对称，正确把握镜面对称的定义是解题关键．直接利用镜面对称的定义得出答案． 【详解】解：由镜面对称的性质，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即可得出只有D与原图形成镜面对称． 故选：D． 40．新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 【答案】20231425 【分析】本题考查了镜面对称的性质； 根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，可得答案． 【详解】解：他的学号为20231425， 故答案为：20231425． 41．小明照镜子的时候，发现血上的英文单词在镜子中呈现图“  ”的样子，请你判断这个英文单词是 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，平面镜中的成像与现实中的事物恰好左右颠倒，并关于镜面对称，由此可得题中图形在现实中的样子． 【详解】解：根据镜面对称的性质可得，题中图形在现实中的图形为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面镜成像的特征，可以看成是数学里图形沿一条直线翻折后的变化． 42．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 【答案】E6395 【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成镜面对称，则该车牌照的部分号码为E6395． 故答案为：E6395． 【点睛】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 题型十一、钟表的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 43．小杰从镜子中看到电子钟的示数如图所示，那么此时实际时间是 ． 【答案】21：05 【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称，在镜子出现的2实际应是5，在镜子出现的5，实际应是2． 【详解】解：此时实际时间是21：05． 故答案为：21：05． 【点睛】关于镜面对称，也可以看成是关于数字右边某条垂直的直线对称． 44．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 45．如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    【答案】 【分析】根据镜面对称的特征，可得出镜中数字是1，2，5，8，0时真正的数字是几，进而解决问题． 【详解】解：根据镜面对称的特征可知， 1和1对称，2和5对称，0和0对称，8和8对称， 且“+”和“=”的对称图形仍然是本身． 所以真正的火柴算式是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面对称，熟知数字0，1，2，5，8及“+”和“=”的对称图形是解题的关键． 46．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是 ．    【答案】 【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，由此可解． 【详解】解：题中所给的“”与“”成轴对称，这时的时间应是． 故答案为：． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质，解题的关键是掌握轴对称的性质． 题型十二、电子钟示数的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 47．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 【答案】C 【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51． 故选：C． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧． 48．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    【答案】3265 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此分析并作答． 【详解】解：根据镜面对称的性质，关于镜面对称，又在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，则这个号码是3265， 故答案为：3265． 【点睛】此题考查了镜面对称，正确理解对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同． 49．如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由题意可知，实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 由轴对称的性质得：实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的有关性质． 50．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 【答案】12：01 【分析】根据镜面对称原理，左右颠倒，上下不变即可解题． 【详解】据镜面对称原理物体的像与物体本身上下不变，左右颠倒可知， 10:51对称之后为12:01， 故答案为12:01．　 【点睛】本题考查了镜面对称，属于简单题，熟悉镜面对称的原理是解题关键． 题型十三、画轴对称图形 解题技巧提炼 作一个图形关于某直线对称的图形的“三字诀” 利用轴对称作一个图形关于某直线对称的图形时，一般的作法如下 (1)找:找出该图形的特殊点 (2)作:作各特殊点关于对称轴的对应点. (3)连:顺次连接各对应点 51．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 【答案】见解析 【分析】本题考查设计轴对称图形，选择的三边垂直平分线或三边所在的直线为对称轴寻找点D即可． 【详解】解：根据题意可知点D有如下情况：(长虚线是对称轴) 共有四个符合条件的点，点即为所求作的点． 52．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．    (1)在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） (2)说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ (3)画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 【答案】(1)② (2)先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转中心的概念求解即可； （2）根据平移的性质求解即可； （3）根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）由题意可得，旋转中心是②， 故答案为：②； （2）由题意可得，三角形是由三角形先向右平移14个单位，然后向下平移2个单位得到的； （3）如图所示，即为所求．    【点睛】本题考查图形变换的应用，熟练掌握平移、轴对称、旋转的概念和特征是解题关键． 53．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特点直接作图即可． 【详解】作图如下： 四边形即为所求． 【点睛】此题主要考查轴对称图形的作法，根据已知分别作出A，B，C、D的关于l对称点是解决问题的关键． 54．在如图所示的方格中 (1)作出关于直线对称的图形； (2)写出是由经过怎样的平移得到的？（左右平移或上下平移） (3)在图上标出平移的方向并测出平移的距离．（精确到0.1厘米） 【答案】(1)见解析； (2)先向右平移6个单位，再向下平移2个单位得到； (3)作图见解析，平移的距离为2.7厘米 【分析】（1）作点A、B、C关于的对称点、、，即可得到； （2）根据图象解答即可； （3）连接，即为平移方向，再测量的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由图可得，先向右平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到， （3）如图所示， 即为平移方向，测量厘米． 【点睛】本题考查轴对称和平移，解题的关键是掌握轴对称图形的画法． 55．画出四边形关于直线的轴对称图形．     【答案】见解析． 【分析】找到对称轴，画出对应点，然后连接即可． 【详解】解：找对各点关于l的对称点，然后依次连接． 【点睛】本题考查作图—画轴对称图形，熟悉作法是解题关键． 题型十四、设计轴对称图案 解题技巧提炼 设计轴对称图形图案，要按照题目要求作图，注意轴对称，轴对称图形对称轴两边的部分能够完全重合. 56．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）即可得． 【详解】解：由轴对称图形的定义可知，这个格子内标有的数字是3， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形，熟记定义是解题关键． 57．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 【答案】5 【分析】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案． 【详解】解：如图所示：都是符合题意的图形． ． 故答案为：5． 58．如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    【答案】5 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，熟记定义是解题关键．根据轴对称图形的定义求解即可得． 【详解】解：如图，共有以下5种选取涂黑方法：    故答案为：5． 59．如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴． 【答案】见详解 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据画出的三角形与已知的三角形关于某条直线成轴对称，分别作图，即可作答． 【详解】解：如图所示： 题型十五、（拓展内容）坐标与图形变化--轴对称 解题技巧提炼 (1)横坐标、纵坐标的顺序一定不要颠倒.(2)由两点对称可得坐标间的关系，由坐标间的关系也可得两点的对称关系. 60．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了坐标与图形变化—对称，根据轴对称性可得，即可求出结果． 【详解】解：点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上， ， ， 故答案为：3． 61．点关于轴对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为 故答案为：． 62．若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称点的坐标特点，解题的关键是掌握关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可得答案． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴它关于轴对称点的坐标为． 故答案为：． 63．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点关于轴对称，根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，熟记关于轴对称的点的坐标是解题的关键． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴该对称点的坐标是， 故答案为：． 64．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标为 ． 【答案】 【详解】此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．直接利用关于轴对称点的性质得出答案． 【点睛】解：点关于轴对称点的坐标为：． 故答案为：． 65．点关于x轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化轴对称；根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是． 故答案为：． 题型十六、线段问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 利用轴对称求角的度数或线段长度的方法 先根据轴对称的特征确定两个图形的对应角对应线段，再利用成轴对称的两个图形的对应角相等、对应线段相等,把要求的角和线段与已知的角和线段建立联系，从而求出待求的角的度数或线段的长度. 66．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，线段沿着射线折叠得到，可得，求解，当共线时，，此时周长最短；再进一步解答即可； 【详解】解：如图， ∵线段沿着射线折叠得到， ∴， ∵， ∴， 当共线时， ，此时周长最短； ∴， ∴； 故选C 67．如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 【答案】16 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键 根据轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．可得，，根据三角形周长的定义即可解答． 【详解】点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M， ，， ∵的周长， ， ， 故答案为：16． 68．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)24 【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线l于点P，则点P即为所求； （3）利用梯形的面积公式计算即可； 【详解】（1）如图，直线和 即为所求； ， （2）如图，连接，交直线l于点P，连接 此时，为最小值， 最小， 即的周长最小，则点P即为所求； ， （3）四边形的面积为： ． 69．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出，，的坐标（直接写出答案），________；________；________． (3)若点是轴上的一个动点，当值最小时，求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了轴对称的性质，作轴对称图形，确定点坐标，勾股定理，最短路径问题； （1）根据轴对称的性质得到点，顺次连线即可； （2）根据（1）直接得到答案； （3）取点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为点P，此时的值最小，即为线段的长度，利用勾股定理计算出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）， 故答案为：． （3）取点A关于x轴的对称点，连接，与x轴交点即为点P，如图， 此时的值最小，即为线段的长度， ， ∴最小值为． ． 题型十七、面积问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 网格中，利用割补法求图形的面积，一般将三角形的面积转化成四边形减去其他三角形的面积，也称为间接法. 70．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】(1)见解析； (2). 【分析】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【详解】（1）如图所示:即为所画； （2） . ∴的面积为6． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的作法，及网格中利用割补法求图形的面积．准确的做出图形是解题的关键． 71．如图所示．    (1)作出关于轴对称的图形； (2)在轴上确定一点，使得最小； (3)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）过轴作点的对称点，连接，与轴交于点，此时点即为所求； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 作法：1．关于轴的对称点分别为， 2．顺次连接， 故即为所求．    （2）解：如（1）中图，点P即为所求． 作法：1．作点关于轴的对称点， 2．连接交轴于点， 故点P即为所求． （3）解： ∴的面积为． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 72．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）连接CD，与直线l交于点P； （3）用割补法进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：直线l即为所求， （2）如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求． （3）． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 73．如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）先分别作出三个顶点关于直线的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）连接，线段与直线的交点即为所求； （3）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如下图所示，△即为所求； （2）解：如下图所示，点即为所求； （3）解：△的面积为． 【点睛】本题主要考查了作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质及正确作出图形，结合图形求解． 题型十八、角度问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 利用轴对称求角的度数或线段长度的方法 先根据轴对称的特征确定两个图形的对应角对应线段，再利用成轴对称的两个图形的对应角相等、对应线段相等,把要求的角和线段与已知的角和线段建立联系，从而求出待求的角的度数或线段的长度. 74．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 【答案】(1)作图见解析； (2)或． 【分析】（）根据题意，确定，，的位置，然后顺次连接即可； （）根据网格及等腰直角三角形的性质作图即可； 此题考查了轴对称图形的作法及等腰三角形的定义，理解题意，结合图形求解是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，确定，，，的位置如图所示，然后顺次连接， ∴即为所求； （2）取，连接，， ∵为小正方形的对角线， ∴； 取，连接，， 由图得，， ∴， ∴点的坐标为或． 75．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称的性质，掌握对称的性质是解答本题的关键． 76．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 【答案】84 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【详解】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 77．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 【答案】60°/60度 【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝30°+ （180°﹣β）， ∴180°﹣α＝60°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝60°， 故答案为：60． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用轴对称知识作出辅助线解决问题． 题型十九、其他问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 两个成轴对称的图形,对应线段的长度相等,对应角的大小相等,这两个图形形状相同,大小相等. 78．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求； （3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，即为所求； 【点睛】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，灵活运用所学知识解决问题． 79．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）先画出点C关于直线的对称点，再连接，与l相交于点P． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）如图所示，可以作3个． （3）如图，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 80．如图，已知的顶点分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)若点是内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________． (3)在x轴上找一点P，使得最小（画出图形，找到点P的位置）． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为； (2)； (3)见解析． 【分析】（1）分别找出A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接点即可； （2）利用“关于谁对称谁不变，不关谁对称谁全变”可求出P的对称点坐标； （3）过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小． 【详解】（1）解：先找出点A，B，C关于x轴对称的点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1． 如图所示，即为所求： 的坐标为． （2）解：∵P关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标变成原来的相反数， ∴点P关于y轴对称的点的坐标是． （3）解：过x轴作点A的对称点为A1，连接A1C交于x轴的点即为点P，使得最小．点P如图所示： 【点睛】本题考查作轴对称图形，找关于坐标轴对称的点的坐标，以及动点问题．关键是掌握画轴对称图形的方法：先找对称点，再连线；熟记关于坐标轴对称的点的坐标变化特征；利用对称性解决动点问题． 81．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是： ． 【答案】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【详解】解：如图，点C，点D即为所求． 故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.3 轴对称 1.若将一个图形沿着某一条直线翻折过来,直线两边的部分能够相互重合,这个图形叫作轴对称图形,这条直线是它的对称轴,也称这个图形关于这条直线对称. 2.把一个图形沿某一条直线翻折,如果它能够与另一个图形重合,那么就称这两个图形关于这条直线成轴对称,这条直线叫作对称轴,翻折后能够重合的点叫作对称点. 3.两个成轴对称的图形,对应线段的长度相等,对应角的大小相等,这两个图形形状相同,大小相等 4.两个成轴对称的图形,连接对称点的线段和对称轴垂直,并且被对称轴平分 题型一、轴对称图形的识别 解题技巧提炼 利用图形特征识别轴对称图形 在识别轴对称图形时，仅从表象来判断容易造成不必要的错误.因此,在解决这类问题时，要根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿这条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形. 1．下列图形中，不是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 4．下列四个图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 题型二、成轴对称的两个图形的识别 解题技巧提炼 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 5．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．某校学生为校运动会设计会标，在以下四个标志中，不是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D． 7．“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．一位交警在执勤过程中，从汽车的后视镜中看见某车牌的后5位号码是，该车牌的后5位号码实际是 题型三、根据成轴对称图形的特征进行判断 解题技巧提炼 轴对称图形是对一个平面图形来说的.因此，对称轴两旁的部分是同一个图形的两部分，并且这两部分能够完全重合. 9．如图，与关于直线对称，P为上任一点（P不与共线），下列结论中错误的是（　　） A．是等腰三角形 B．垂直平分 C．与的面积相等 D．直线的交点不一定在上 10．端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 11．如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 12．如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 解题技巧提炼 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;反过来，成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分. 13．已知：如图，，点P在的内部，，点与点P关于对称，点与点P关于对称，那么以、O、三点为顶点的三角形面积是（    ）    A．4 B．8 C．16 D．无法确定 14．图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 15．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数字 的格子内． 16．如图，中，直线是边的对称轴，交于，交于，如果BC=6，的周长为，那么边的长是 ． 题型五、台球桌面上的轴对称问题 解题技巧提炼 台球问题要作垂线，按照轴对称的性质解题. 17．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 18．如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（    ） A．0 B．5 C．6 D．7 19．如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为，第2次碰到矩形的边时的点为，…，第次碰到矩形的边时的点为，则点的坐标是 ． 20．如图，汾河岸边有A，B两个住宅小区，恒富然气公司想在汾河边L上修建一个天然气站，问天然气站位置选在什么地方时，才能使管道铺设用材最少？（写出画法，并保留痕迹） 题型六、轴对称中的光线反射问题 解题技巧提炼 根据光的反射规律.反射光线、入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角并且关于法线对称. 21．图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是(   ) A．A点 B．B点 C．C点 D．D点 22．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 23．茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的，），桌面上摆满了桔子，桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 24．如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的 ．    25．如图，、是平面镜前同一发光点S发出的经平面镜反射后的反射光线，请通过画图确定发光点S的位置，并将光路图补充完整． 题型七、折叠问题 解题技巧提炼 折叠前后的图形关于翻折线段所在的直线对称. 26．如图，在中，是边的中点，将沿翻折，点落在点处，交于点，的面积恰好是面积的．小丽在研究这个图形时得到以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（    ） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 27．如图，已知长方形纸片，，，．先将长方形纸片折叠，使点D落在边上，记作点，折痕为，再将沿向右翻折，使点A落在射线上，记作点．若翻折后的图形中，线段，则x的值为 ． 28．如图，在三角形中，．如果将三角形绕点旋转后得到三角形，再将三角形沿直线翻折得到三角形，如果点落在内部，且，那么三角形绕点旋转得到三角形的旋转方向和旋转角度数可以是 ． 29．如图，在中，点分别在边上，将沿所在的直线折叠，使点落在点处，将线段沿着向左平移若干单位长度后，恰好能与边重合，连接．如果阴影部分的周长为，那么 ． 30．如图，在中，，.如果将沿直线翻折后，点落在点处，那么的周长为 . 题型八、画对称轴 解题技巧提炼 对称轴的画法 画成轴对称的两个图形的对称轴，只需过两个图形中任意一对对应点所连线段的中点画垂线即可. 31．如图，和关于直线对称，和关于直线对称．    (1)画出直线； (2)直线与相交于点，试探究与直线，所夹锐角的数量关系． 32．已知在同一平面内的两条相等线段，通过一次或两次轴对称变化就可以重合．如图方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点都在格点上，请分别在下面两个图中画出对称轴，使得线段通过轴对称变化与线段重合；若需两次轴对称的，则要画出第一次轴对称后的对称线段．    33．如图，图1是一个轴对称图形，图2是一个轴对称图形的一半．    (1)画出图1的对称轴，并标出点A的对应点． (2)请以虚线为对称轴，画出图2的另一半． 34．请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 题型九、求对称轴条数 解题技巧提炼 正n边形的对称轴(1)奇数边正多边形对称轴是过顶点和对边中点的直线.(2)偶数边正多边形对称轴是过对边中点或过相对顶点的直线. 35．下列图形中，是轴对称图形，并且只有3条对称轴的是（    ） A．圆 B．正方形 C．梯形 D．等边三角形 36．下列图形中是轴对称图形，且对称轴只有两条的是（    ） A． B． C． D． 37．如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．    38．在等腰直角三角形、等边三角形、半圆、正方形这四种常见的轴对称图形中，对称轴最多的是 ． 题型十、车牌号码的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 39．小明同学照镜子，如图所示镜子里哪个是他的像？(    )    A．   B．   C．   D．     40．新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号为 ． 41．小明照镜子的时候，发现血上的英文单词在镜子中呈现图“  ”的样子，请你判断这个英文单词是 ． 42．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为 ． 题型十一、钟表的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 43．小杰从镜子中看到电子钟的示数如图所示，那么此时实际时间是 ． 44．在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是 ． 45．如图所示，梳妆台上有一面垂直镜子，在镜中反射出来的火柴组成的算式显然是正确的，那么真正的火柴算式是 ．    46．在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示,这时的时间应是 ．    题型十二、电子钟示数的镜面对称 解题技巧提炼 解决镜面影像问题的方法 已知镜面中的影像求实际影像时，可以将镜面中的影像写到纸上，将纸向左(或向右)折叠，从背面看到的影像即为实际影像,还可以用一面镜子照一下得到实际影像 47．电子钟镜子里的像如图所示，实际时间是（    ） A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01 48．如图是从镜子里看到的号码，则实际号码应是 ．    49．如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是 ． 50．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ． 题型十三、画轴对称图形 解题技巧提炼 作一个图形关于某直线对称的图形的“三字诀” 利用轴对称作一个图形关于某直线对称的图形时，一般的作法如下 (1)找:找出该图形的特殊点 (2)作:作各特殊点关于对称轴的对应点. (3)连:顺次连接各对应点 51．如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点D，使A、B、C、D四点连接成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点D． 52．如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．    (1)在方格纸中，格点三角形经过旋转后得到格点三角形，则旋转中心是______（填序号） (2)说明三角形是由三角形经过每样的平移得到的？ (3)画出三角形关于直线成轴对称的三角形． 53．画出四边形关于直线的轴对称的图形． 54．在如图所示的方格中 (1)作出关于直线对称的图形； (2)写出是由经过怎样的平移得到的？（左右平移或上下平移） (3)在图上标出平移的方向并测出平移的距离．（精确到0.1厘米） 55．画出四边形关于直线的轴对称图形．     题型十四、设计轴对称图案 解题技巧提炼 设计轴对称图形图案，要按照题目要求作图，注意轴对称，轴对称图形对称轴两边的部分能够完全重合. 56．如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形．则这个格子内标有的数字是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 57．如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有 个． 58．如图，在的正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形，可供选择的白色小正方形有 个．    59．如图，三角形的三个顶点都在正方形网格的格点上，请在图①②③④中分别画出另一个三角形，使它与已知的三角形关于某条直线成轴对称，并画出对称轴． 题型十五、（拓展内容）坐标与图形变化--轴对称 解题技巧提炼 (1)横坐标、纵坐标的顺序一定不要颠倒.(2)由两点对称可得坐标间的关系，由坐标间的关系也可得两点的对称关系. 60．在平面直角坐标系内，点，如果点A关于直线的对称点B落在y轴上，则 ． 61．点关于轴对称的点的坐标为 ． 62．若点的坐标为，则它关于轴对称点的坐标为 ． 63．平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ． 64．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标为 ． 65．点关于x轴的对称点的坐标是 ． 题型十六、线段问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 利用轴对称求角的度数或线段长度的方法 先根据轴对称的特征确定两个图形的对应角对应线段，再利用成轴对称的两个图形的对应角相等、对应线段相等,把要求的角和线段与已知的角和线段建立联系，从而求出待求的角的度数或线段的长度. 66．如图，将线段沿着射线折叠得到，延长到E，连接，点F是射线上的一个动点，连接，，若，，的周长的最小值为22，则长为（    ） A．18 B．16 C．14 D．12 67．如图，点P关于、的对称点分别为C、D，连结，交于M，交于N，若线段的长为16厘米，则的周长 ． 68．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形 (顶点是网格线交点的三角形) 关于直线对称的图形为 ，其中 是A的对称点． (1)请作出对称轴直线及 关于直线l对称的； (2)在直线l上画出点P，使得的周长最小； (3)直接写出四边形的面积为 ． 69．如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)在图中作出关于轴对称的． (2)写出，，的坐标（直接写出答案），________；________；________． (3)若点是轴上的一个动点，当值最小时，求出的最小值． 题型十七、面积问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 网格中，利用割补法求图形的面积，一般将三角形的面积转化成四边形减去其他三角形的面积，也称为间接法. 70．如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 71．如图所示．    (1)作出关于轴对称的图形； (2)在轴上确定一点，使得最小； (3)求出的面积． 72．如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 73．如图，在正方形网格中，是格点三角形． (1)画出，使得和关于直线对称； (2)请在直线上找一点（即画出点），使点到点和点的距离之和最小； (3)求的面积． 题型十八、角度问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 利用轴对称求角的度数或线段长度的方法 先根据轴对称的特征确定两个图形的对应角对应线段，再利用成轴对称的两个图形的对应角相等、对应线段相等,把要求的角和线段与已知的角和线段建立联系，从而求出待求的角的度数或线段的长度. 74．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在小正方形网格的格点上． (1)画出关于轴的对称图形（点、、的对应点分别为，，）； (2)画，点在第二象限内的格点上，且，画出所有符合条件的图形，并写出点的坐标． 75．如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则 ． 76．如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为 度． 77．已知，如图，，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记，，当最小时，则 ． 题型十九、其他问题（轴对称综合题） 解题技巧提炼 两个成轴对称的图形,对应线段的长度相等,对应角的大小相等,这两个图形形状相同,大小相等. 78．如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 79．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 80．如图，已知的顶点分别为，，． (1)作出关于x轴对称的图形，并写出点的坐标； (2)若点是内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是________． (3)在x轴上找一点P，使得最小（画出图形，找到点P的位置）． 81．如图，有一条笔直的河流，两岸EFGH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是： ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$