第16讲 轴对称（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第16讲 轴对称（2024）（2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 题型强化 题型一．生活中的轴对称现象 1．（2011•岳阳）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是　　 A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成 C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜 2．（2023秋•雁塔区校级期中）将一张纸对折压实会得到一条折痕，数学中的解释为 　　． 3．（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 题型二．轴对称图形 4．（2020秋•浦东新区期末）下列四个汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 5．（2021秋•普陀区期末）圆是轴对称图形，有　　条对称轴． 6．（2023秋•浦东新区期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点，使、、、四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点． 题型三、轴对称图形的识别 7．（23-24七年级上·上海·期末）下列图形中，不是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级上·上海崇明·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 9．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 10．（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，中，直线是边的对称轴，交于，交于，如果BC=6，的周长为，那么边的长是 ． 11．（2024七年级上·上海·专题练习）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 分层练习 一、单选题 1．点关于y轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 2．下列手机功能标志图中，不是轴对称图形是（    ） A．   B．   C．   D．   3．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．下列图案中，轴对称图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（    ） A．国家体育场 B．国家游泳中心 C．国家大剧院 D．天安门 6．我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．点关于y轴对称的点的坐标是 ． 8．已知点关于轴的对称点的坐标是，则点的坐标是 ． 9．若一个点的坐标是，则这个点关于轴的对称点的坐标为 ． 10．若点与点关于y轴对称，则的值为 ． 11．点关于轴的对称点是点，则点的坐标是 ． 12．已知点M（－3，b）与点N（a，2）关于y轴对称，那么 ． 13．在镜子里看见的时间是，实际时间是 ． 14．在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有 (填序号)． 15．如图，内有一点，且，作点关于直线，的对称点，，再作射线，，则 ． 16．如图，中，，，将沿折痕折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若的周长为7，则的长为 ． 17．如图，的周长为，点D，E分别是，边上的点，沿直线折叠，使点A落在外的点处，则图中阴影部分的周长为 ．    18．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 ． 三、解答题 19．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）若A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ； （2）计算ABC的面积． 20．操作探究：在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线l经过点，并且与x轴平行， 与关于线l对称． (1)画出，并写出三个顶点的坐标； 、、 (2)观查图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线l的对称点的坐标． 21．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示． (1)请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）； (2)写出点B关于x轴的对称点的坐标． 22．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 23．综合与实践： 【问题情境】（1）数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践发现】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则． （想一想为什么）， ． 请证明为什么有； 【实践探究】（2）如图2，在中，如果，能否证明？同学小南提供了一种方法：将折叠，使点落在点上，折线交于点，交于点，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明； 【实践拓展】（3）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点作的平行线交于点，若，求的度数． 24．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 25．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识_______________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 轴对称 （2个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 知识点2．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 题型强化 题型一．生活中的轴对称现象 1．（2011•岳阳）下列四句话中的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是　　 A．上海自来水来自海上 B．有志者事竟成 C．清水池里池水清 D．蜜蜂酿蜂蜜 【分析】根据四个选项的特点，分析出与其它三个不同的即为正确选项． 【解答】解：、上海自来水来自海上，可将“水”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误； 、有志者事竟成，五字均不相同，所以不对称，故本选项正确； 、清水池里池水清，可将“里”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误； 、蜜蜂酿蜂蜜，可将“酿”理解为对称轴，对折后重合的字相同，故本选项错误． 故选：． 【点评】此题考查了生活中的轴对称现象，题目新颖，妙趣横生，找到对称轴是解题的关键． 2．（2023秋•雁塔区校级期中）将一张纸对折压实会得到一条折痕，数学中的解释为 　　． 【分析】将一张纸对折压实会得到一条折痕，折痕两边的图形能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条折痕对称，这条折痕叫做对称轴． 【解答】解：将一张纸对折压实会得到一条折痕，折痕两边的图形能够完全重合，那么就说这两个图形关于这条折痕对称，这条折痕叫做对称轴． 故答案为：对称轴． 【点评】本题考查的是轴对称现象的有关内容，属于基础题． 3．（2022秋•栖霞市期末）已知：如图，是一个长方形的台球面，有、两球分别位于图中所在位置，试问怎样撞击球，才能使先碰到台边反弹后再击中球？在图中画出球的运动线路． 【分析】首先作出点关于的对称点，再连接，然后可得球的运动路线． 【解答】解：如图所示：运动路线：． 【点评】此题主要考查了生活中的轴对称现象，关键是掌握轴对称的性质． 题型二．轴对称图形 4．（2020秋•浦东新区期末）下列四个汉字是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 5．（2021秋•普陀区期末）圆是轴对称图形，有　　条对称轴． 【分析】圆是轴对称图形，所有经过圆心的直线都是它的对称轴，故有无数条对称轴． 【解答】解：圆是轴对称图形，有无数条对称轴． 【点评】圆是最特殊的轴对称图形，有无数条对称轴，要熟记． 6．（2023秋•浦东新区期末）如图，小方格表示边长为一个单位的正方形，网格线的交点称之为格点．格点上有一点，使、、、四点联结成一个轴对称图形．请找出所有符合条件的点． 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 题型三、轴对称图形的识别 7．（23-24七年级上·上海·期末）下列图形中，不是轴对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 8．（23-24七年级上·上海崇明·期末）春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： （1）任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．  B． C．   D． （2）任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴在图1画出风筝骨架的另一半． （3）任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图2所示的风筝骨架，已知该图形是轴对称图形，所在的直线是该图形的对称轴，，则竹条的长为________． 任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． （4）项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识______________． 【答案】（1）C；（2）见解析；（3）60；（4）对应点的连线被对称轴垂直平分 【知识点】轴对称图形的识别、根据成轴对称图形的特征进行求解、设计轴对称图案 【分析】本题考查利用轴对称设计图案： （1）根据轴对称图形的性质即可进行判断； （2）根据轴对称图形的性质即可完成作图； （3）根据轴对称图形的性质即可解决问题； （4）结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：（1）A、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； B、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； C、不是轴对称图形的风筝图案，符合题意； D、是轴对称图形的风筝图案，不符合题意； 故选：C （2）如图，即为所求； （3）∵所在的直线是该图形的对称轴，， ∴竹条； 故答案为：60 （4）在项目实施的过程中用到的数学知识为对应点的连线被对称轴垂直平分． 故答案为：对应点的连线被对称轴垂直平分 题型四、根据成轴对称图形的特征进行求解 9．（21-22七年级上·上海奉贤·期末）图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是（    ） A．形状不变，大小可能改变 B．大小不变，形状可能改变 C．形状和大小都不变 D．形状和大小都可能改变 【答案】C 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、旋转的性质及辨析、利用平移的性质求解 【分析】根据平移、旋转及翻折的性质可进行求解． 【详解】解：图形经过平移、旋转或翻折运动后所具有的共同性质是形状和大小都不变； 故选C． 【点睛】本题主要考查平移、旋转及翻折的性质，熟练掌握平移、旋转及翻折的性质是解题的关键． 10．（20-21七年级上·上海宝山·期末）如图，中，直线是边的对称轴，交于，交于，如果BC=6，的周长为，那么边的长是 ． 【答案】11 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】根据轴对称的性质可得AD=BD，然后根据三角形的周长公式和等量代换即可求出结论． 【详解】解：∵直线是边的对称轴， ∴AD=BD ∵的周长为， ∴CD＋BD＋BC=17 ∴CD＋AD＋6=17 ∴AC＋6=17 ∴AC=11 故答案为：11． 【点睛】此题考查的是轴对称的性质和三角形的周长公式，掌握轴对称的性质是解题关键． 11．（2024七年级上·上海·专题练习）阅读下面一代文字，结合文字完成问题． 数学家华罗庚说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”“数”与“形”反映了事物的两方面．数形结合就是把抽象的数量关系与直观的几何图形结合起来，使复杂问题简单化．抽象问题具体化． (1)观察下面拼图过程，计算图形面积写出相应等式______． (2)如图1，和均为等腰直角三角形，点B，C，D在同一直线上，，翻折，得到如图2，点B，D，C在同一直线上，此时，计算梯形的面积S．（S用含a，b的代数式表示） 【答案】(1) (2)梯形的面积 【知识点】整式的加减运算、单项式乘多项式的应用、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查整式的运算与图形的面积： （1）用二种方式表示出图形面积即可得出结论； （2）由折叠的性质求出的长，从而得出的长，再根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，， （2）解：由折叠得，， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形，且 ∴， ∴． 分层练习 一、单选题 1．点关于y轴的对称点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数来求解． 【详解】解：由点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：A． 【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是掌握关于y轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 2．下列手机功能标志图中，不是轴对称图形是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 选项B不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，进行判断即可． 【详解】解：A、B、C找不到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故不是轴对称图形，D能够找到一条直线使图形沿直线对折后，直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形； 故选D． 【点睛】本题考查轴对称图形的识别，掌握概念，是解题的关键． 4．下列图案中，轴对称图形的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．即可判断出选项． 【详解】根据轴对称的定义， 可得：第一个图形是轴对称图形， 第二个图形不是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形是轴对称图形． 故共有3个轴对称图形． 故选：C 【点睛】本题考查了轴对称图形，解本题的关键在熟练掌握轴对称图形的定义． 5．北京2022年冬奥会的举办，再次点亮了北京这座千年古都．在下列北京建筑的简笔画图案中，是轴对称图形的是（    ） A．国家体育场 B．国家游泳中心 C．国家大剧院 D．天安门 【答案】D 【分析】利用轴对称图形的定义分析各选项即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义可知： A. 国家体育场，不是轴对称图形，故不符合题意； B. 国家游泳中心，不是轴对称图形，故不符合题意； C. 国家大剧院，不是轴对称图形，故不符合题意； D. 天安门，是轴对称图形，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴，找出对称轴． 6．我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故是轴对称图形，符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．点关于y轴对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征．“若两点关于y轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变”，据此解答即可． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． 故答案为： 8．已知点关于轴的对称点的坐标是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标是，则点的坐标为， 故答案为： 【点睛】此题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握关于轴对称的点的坐标特征． 9．若一个点的坐标是，则这个点关于轴的对称点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，根据平面直角坐标系中任意一点，关于x轴的对称点的坐标是即可求解． 【详解】解：若一个点的坐标是，则这个点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：． 10．若点与点关于y轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标关于轴对称规律，根据规律可得，，求出、的值，代入计算即可求解；掌握“关于轴对称点坐标为．”是解题的关键． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ，， 解得：，， 则． 故答案为：． 11．点关于轴的对称点是点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 直接根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】点关于轴的对称点坐标是 点的坐标是 故答案为：． 12．已知点M（－3，b）与点N（a，2）关于y轴对称，那么 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，直接利用关于y轴对称点的性质，得出a，b的值即可 【详解】解：∵点M(﹣3，b)与点N(a，2)关于y轴对称， ∴a=3，b=2， 则a+b=3+2=5. 故答案为5 ． 【点睛】本题考查轴对称性质，本题的关键是掌握横纵坐标互为相反数关系 13．在镜子里看见的时间是，实际时间是 ． 【答案】 【分析】根据镜面对称的特征进行作答即可． 【详解】 解：在镜子里看见的时间是，实际时间是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等， 14．在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有 (填序号)． 【答案】②③④ 【分析】根据轴对称图形的定义分析判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 【详解】解：在①平行四边形；②等腰三角形；③等腰梯形；④圆四个图形中，一定是轴对称图形的有②，③，④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 15．如图，内有一点，且，作点关于直线，的对称点，，再作射线，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，根据轴对称的性质可得，然后得出，即可求解． 【详解】如图，连接， ∵点P关于的对称点，点P关于的对称点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 16．如图，中，，，将沿折痕折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若的周长为7，则的长为 ． 【答案】8 【分析】利用折叠的性质，得到，，利用的周长为7，得到，从而求出，进而利用求出的长． 【详解】解：∵将沿折痕折叠，使点B恰好落在边上的点E处， ∴，， ∵的周长为7， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质．熟练掌握折叠后对应边相等，是解题的关键． 17．如图，的周长为，点D，E分别是，边上的点，沿直线折叠，使点A落在外的点处，则图中阴影部分的周长为 ．    【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出，，根据周长的求法，即可解答． 【详解】解：∵将沿直线折叠，点A落在点处， ∴，． 又的周长为， ∴图中阴影部分的周长 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称两部分对应边相等． 18．轴对称图形的性质： （1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ． （2）类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的 ． 【答案】 垂直平分线 垂直平分线 【解析】略 三、解答题 19．如图，ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）． （1）若A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，则A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1 ，B1 ，C1 ； （2）计算ABC的面积． 【答案】（1）(﹣1，1)，(﹣4，2)，(﹣3，4)；（2）3.5 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到A1B1C1三个顶点坐标； （2）依据割补法进行计算，即可得到ABC的面积． 【详解】解：（1）∵A1B1C1与ABC关于y轴成轴对称，且A（1，1），B（4，2），C（3，4）， ∴A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1（﹣1，1），B1（﹣4，2），C1（﹣3，4）； 故答案为：(﹣1，1)；(﹣4，2)；(﹣3，4)； （2）ABC的面积为3×3﹣﹣﹣ ＝9﹣1.5﹣1﹣3 ＝3.5． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特征，关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 20．操作探究：在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，，，直线l经过点，并且与x轴平行， 与关于线l对称． (1)画出，并写出三个顶点的坐标； 、、 (2)观查图中对应点坐标之间的关系，写出点关于直线l的对称点的坐标． 【答案】(1)图像见详解， 、、； (2)． 【分析】（1）分别作出A、B、C的对应点即可得到答案； （2）探究规律，根据规律即可得到答案． 【详解】（1）解：根据对称的性质作图如图所示， 如图所示 坐标分别为、、； （2）解：由（1）可得关于直线l对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标之和为2， ∴点 关于直线l的对称点的坐标为． 【点睛】本题主要考查作图及轴对称变化点坐标变化，解题关键是熟练掌握知识，学会探究规律并利用规律解决问题． 21．在平面直角坐标系中，已知的位置如图所示． (1)请作出向右平移5个单位后得到的（其中点，，分别是点A，B，C的对应点，不写画法）； (2)写出点B关于x轴的对称点的坐标． 【答案】(1)图见详解； (2)； 【分析】（1）本题考查画平移图形，根据平移的方向及单位长度直接画即可得到答案； （2）本题考查求关于坐标轴对称点的坐标，根据关于轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， 如图所示， （2）解：由图像可得，， ∵点是点B关于x轴的对称的点， ∴． 22．如图甲，笔直的公路上，两点相距20，，为两村庄，于点，于点，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产品收购站． (1)若规划，两村到收购站的距离相等，则收购站应建在离点多远处？ (2)若规划，两村到收购站的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站的位置，计算得到距离的和最短值为 ． 【答案】(1) (2)图见解析，25 【分析】本题考查了作图—应用设计作图、勾股定理、轴对称—最短路线问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程，求出的值即可求解； （2）作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值，过点作交的延长线于点，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：（1）设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站应建在离点处； （2）如图，作点关于的对称点，连接交于点，则点即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点， 则． 故答案为：25． 23．综合与实践： 【问题情境】（1）数学课上，老师带领同学们一起探究三角形中边与角之间的不等关系． 【实践发现】如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点落在上的点，折线交于点，则． （想一想为什么）， ． 请证明为什么有； 【实践探究】（2）如图2，在中，如果，能否证明？同学小南提供了一种方法：将折叠，使点落在点上，折线交于点，交于点，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小南的方法完成证明； 【实践拓展】（3）如图3，在中，，按照图1的方式进行折叠，得到折痕，过点作的平行线交于点，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）利用三角形的外角的性质，即可得出结论； （2）先由折叠得出，再利用三角形外角的性质，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ； （2）证明：由折叠知，， 在中，， ， ； （3）解：由折叠知，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，判断出是解本题的关键． 24．综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2） 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明． ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴ ， ， 请完整地写出小亮的证明过程． 【解决问题】 如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．） 【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题： （1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论； （2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， ∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方； 解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求． 易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 25．春天正值放风筝的美好时节，为了丰富同学们的校园生活，某校七年级开展了“万物‘筝’春·逐梦远方”的风筝节比赛，要求同学们自制风筝积极参赛．如何设计与制作风筝呢？请同学们阅读“勤学小组”的项目实施过程，帮助他们解决项目实施过程中遇到的问题． 项目主题：设计与制作风筝． 项目实施： 任务一：了解风筝 “勤学小组”的同学查阅了有关风筝的历史，种类，结构，制作等方面的资料，同时还收集到如下图的风筝图案，请你帮助他们从中选出不是轴对称图形的风筝图案________． A．     B．     C．     D．   任务二：设计风筝 设计风筝时主要进行风筝面与风筝骨架的设计．“勤学小组”的同学设计好了风筝面，接下来在正方形网格中进行风筝骨架的设计，请你帮助他们以直线为对称轴画出风筝骨架的另一半．   任务三：制作风筝 传统风筝的技艺概括起来四个字：扎、糊、绘、放，简称“四艺”．“勤学小组”的同学准备用竹条扎制如图所示的风筝骨架，已知于点，，，则竹条的长为________．   任务四：放飞风筝 同学们拿着自己设计与制作的风筝进行了试飞，并根据试飞结果对风筝进行了修改完善． 项目反思： 同学们对项目学习的整个过程进行反思，并编写了“简易风筝制作说明书”．请你写出一条在项目实施的过程中用到的数学知识________________． 【答案】任务一：C；任务二：见解析；任务三：60；项目反思：见解析 【分析】任务一：根据轴对称图形的性质即可进行判断； 任务二：根据轴对称图形的性质即可完成作图； 任务三：根据线段垂直平分线的性质即可解决问题； 项目反思：结合以上任务即可解决问题． 【详解】解：任务一：不是轴对称图形的风筝图案是C， 故答案为：C； 任务二：如图所示，即为所求；    任务三：，， ， 竹条的长为， 故答案为：60； 项目反思：在项目实施的过程中用到的数学知识：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等或对应点的连线被对称轴垂直平分，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查利用轴对称设计图案，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$