专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2024）

专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） ：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） ：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） ：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） ：根据这个相等关系列出方程。 （5） ：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） ：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） ：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 1．（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． (3)若出租车到达甲地休息40分钟后，按原速原路返回．出租车能否在到达乙地或到达乙地之前追上客车？若不能，则出租车往返的过程中，至少提速为多少才能在到达乙地或到达乙地之前追上客车？是否超速（高速限速为千米/小时）？为什么？ 【经典例题二 配套问题】 【例2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 5．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 6．（23-24七年级上·山东聊城·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 7．（2024七年级上·全国·专题练习）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成？共耗资多少万元？ 8．（24-25七年级上·湖北咸宁·期中）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 9．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 10．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 11．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）春节期间，“绵阳百盛商店”进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打八折出售． (1)商品A成本是120元，商品A最后应卖多少元？ (2)商品B卖出后，亏损了128元，商品B的成本是多少元？ (3)商品C和D两件商品同时卖出后，结果共亏损了60元．若C的成本是D的2倍，则C、D成本分别是多少元？ 12．（23-24七年级下·山东日照·开学考试）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 13．（21-22七年级上·广西河池·阶段练习）某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 14．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 15．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）长沙市某中学举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环比赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜，每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0或2：1的积分不同），积分均为正整数． 第一组 A B C D E 获胜场数 总积分 A B C D E （注：圈中的“2：1”表示在E队与B队的这场比赛中E队赢两局，输一局，E队以2：1的比分战胜B队．） 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中处应填 ； （2）写出C队总积分的所有可能值为 ． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 16．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 17．（23-24七年级下·甘肃兰州·开学考试）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 18．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 19．（24-25七年级上·上海·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)28是“神秘数”，请将28表示为两个连续偶数的平方差，即 ． (2)2024是神秘数吗？如果是请将2024表示为两个连续偶数的平方差，如果不是，请说明理由． 20．（24-25七年级上·四川内江·期中）观察下面三行数： 2，，，，，，① ，，，，，，② 2、、14、、62、，③ (1)第①行第8个数是 ；第n个数是 ； (2)分别说出第②行第8个数是 ；和第③行第8个数是 ； (3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 22．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是、10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t秒． (1)点P到达点B用时______秒，点Q到达点A用时______秒； (2)当P、Q两点相遇时，求P点表示的数； (3)点B与点Q之间的距离为______，点Q表示的数为______；（用含t的代数式表示） (4)当点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，直接写出t的值． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）[核心素养]已知数轴上点点A、点B对应的数分别为,点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)现在点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，点P以每秒6个单位长度的速度同时从0点（原点）向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数． 24．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（）． (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点C之间的距离，运动之前，的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点C在线段之间，且，求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求出m和的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 25．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若A、B两点间的距离为2，求m的值； (2)点C是数轴上A、B两点间的一点，且B、C两点间的距离是A、C两点间的距离的2倍，点C对应的数字是1，求m的相反数． 26．（22-23七年级上·云南昆明·期末）列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 27．（2024·陕西西安·一模）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 28．（2024七年级上·全国·专题练习）为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 29．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 30．（24-25七年级上·福建厦门·期中）为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（20-21六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 1．（20-21七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 2．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 3．（20-21七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 1．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 1．2020年某天，为锦在家和公园之间行走，好奇的他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到公园用了16分钟，从原路返回用了20分钟，设风的速度是x米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 2．如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 3．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则t的值为（   ）    A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 4．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 5．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 6．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水 吨． 7．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 8．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为米与米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 秒． 9．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 10．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 11．（列方程解应用题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行14千米，乙从地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追甲？ (3)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？ 12．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ； (2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 13．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 14．【问题背景】对2024版七年级上册数学教材105页“活动1月历中的奥秘”进行探索研究． 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 【探究一】图①是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题． （1）带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的______倍． （2）如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的______倍． （3）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得到的结论是：______． （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？你能说明理由吗？ 【探究二】（5）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为b．当“+”形的正中心数比“H”形的正中心数小4时，直接写出a，b的值．（写出一种情况即可）（注：“+”形和“H”形在月历上可以随意移动） 15．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)情境背景：在数轴上有A，B两点如图1所示． ①A点表示的数是__________；之间的距离是__________； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是__________； (2)知识延伸：如图2，点A，B，M，N是数轴上的点，且． ①当点M与点B重合时，点N对应的数为28；当点N与点A重合时，点M对应的数为4，由此可得线段的长为__________； ②图2中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________； (3)知识拓展：在（2）的条件下，点M从点A出发，线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． ①求经过多长时间线段完全离开线段； ②点P是线段上一点，当点N在B点左侧时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：__________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元一次方程的应用重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 行程问题 题型二 配套问题 题型三 工程问题 题型四 销售盈亏问题 题型五 比赛积分问题 题型六 方案选择问题 题型七 数字问题 题型八 几何问题 题型九 和差倍分问题 题型十 电费和水费问题 题型十一 比例分配问题 题型十二 日历问题 题型十三 古代问题 题型十四 其他问题 题型十五 一元一次方程与数轴 题型十六 一元一次方程应用综合 知识点一、用一元一次方程解决问题 1. 列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审：弄清题意和题目中的数量关系。 （2） 设：用字母表示题目中的一个未知量。 （3） 找：找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系。 （4） 列：根据这个相等关系列出方程。 （5） 解：解所列的方程，求出未知数的值。 （6） 验：检验方程的解是否符合问题的实际意义。 （7） 答：写出答案。 2．设未知数的三种方法： （1） 直接设未知数：题目求什么就设什么为未知数。 （2） 间接设未知数：对于一些应用题，如果直接设所求的量为未知数，可能不容易列方程，这时可以间接地设一个或几个与所求的量有关系的量作为未知数，进而求出所求的量。 （3） 设辅助未知数：如果前两种方法都行不通，便可设某个量为辅助未知数，辅助未知数仅作为题目中量与量之间关系的一种桥梁，一般情况下，解方程时不需要求出这个量。 一元一次方程应用题的常见类型 类型 内容 题中涉及的数量关系及公式 等量关系 注意事项 和、差、倍、分 问题 增长量=原有量×增长率 现有量=原有量增长量 现有量=原有量－降低量 由题可知 弄清“倍数”关系及“多”“少”关系等 行 程 问 题 相遇问题 路程=速度×时间 时间=路程÷速度 速度=路程÷时间 快车行驶路程+慢车行驶路程=原距离 相向而行，注意出发时间、 地点 追及问题 快车行驶路程-慢车行驶距离=原距离 同向而行，注意出发时间、 地点 调配问题 从调配后的数量关系中找等量关系 调配对象流动的方向和数量 工程问题 工作量=工作效率×工作时间 工作效率=工作量÷工作时间 工作时间=工作量÷工作效率 两个或几个工作效率不同的对象所完成的工作量的和等于总工作量 一般情况下，把总工作量设为1 销售打折问题 商品利润=售价-进价（成本价） 由题可知 打几折就是按售价的十分之几销售 数字问题（包括日历中的数字规律） 设、分别为一个两位数的个位、十位上的数字，则这个两位数可表示为 由题可知 ①对于日历中的数字问题要弄清日历中的数字规律； ②设间接未知数 阶梯付费问题 由题可知 注意付费特点是阶梯式的 方案选择问题 由题可知 方案选择问题一般比较之后选最优的方案。 【经典例题一 行程问题】 【例1】（24-25七年级上·河北衡水·开学考试）一列客车和一列货车分别从，两地同时开出，经过小时后，客车剩余的距离还有全程的，货车已到达超过两地中点的千米处，已知客车比货车每小时多行千米，求，两地之间的距离是多少千米？ 【答案】，两地之间的距离是千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设，两地之间的距离是千米，根据题意列出方程，然后求解即可，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设，两地之间的距离是千米， 根据题意得：， 解得：， 答：，两地之间的距离是千米． 1．（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两列火车的长分别为160米和200米，甲车比乙车每秒多行4米． (1)若两列火车相向行驶，从相遇到全部错开需9秒，问两车速度各是多少？ (2)若两车同向行驶，甲车的车头从乙车的车尾追及到甲车全部超出乙车，需要多长时间？ (3)在（1）的条件下，甲、乙两车车头对齐停在同一车站，若乙车先行100秒后，甲车开始追乙车，经过多长时间甲车车头追上乙车车尾？ 【答案】(1)甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； (2)90秒； (3)400秒 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设甲车的速度为x米/秒，乙车的速度为y米/秒，由题意得等量关系：①甲车速度乙车速度米；②甲车9秒行驶的路程乙车9秒行驶的路程，根据等量关系列出方程组，再解即可； （2）设需要a秒，由题意得：甲车a秒的路程乙车a秒的路程，根据等量关系列出方程，再解即可； （3）设经过b秒甲车车头追上乙车车尾，由题意得等量关系：甲车与乙车速度差乘以b秒的路程乙车100秒的路程乙车车身长，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设甲车的速度为米/秒，乙车的速度为米/秒， 由题意得： 解得：2， ∴乙车的速度为：（米/秒） 答：甲车的速度为22米/秒，乙车的速度为18米/秒； （2）解：设需要a秒， 由题意得：， 解得：， 答：需要90秒； （3）解：设经过b秒甲车车头追上乙车车尾， 由题意得：， 解得：， 答：经过400秒甲车车头追上乙车车尾． 2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14． ∴点B表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇， 则， 解得， 即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇； ②设点P运动t秒 根据题意得： 当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）甲乙两地相距千米，一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，相向而行．已知客车的速度为千米/小时，出租车的速度是千米/小时． (1)多长时间后两车相遇？ (2)若甲乙两地之间有相距的A、B两个加油站，当客车进入A站加油时，出租车恰好进入B站加油，求A加油站到甲地的距离． (3)若出租车到达甲地休息40分钟后，按原速原路返回．出租车能否在到达乙地或到达乙地之前追上客车？若不能，则出租车往返的过程中，至少提速为多少才能在到达乙地或到达乙地之前追上客车？是否超速（高速限速为千米/小时）？为什么？ 【答案】(1)小时 (2)千米或千米 (3)超速，见解析 【分析】本题考查一元一次方程的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）设x小时后两车相遇．根据路程之和为，构建方程即可解决问题； （2）设A加油站到甲地的距离为y千米．构建方程即可解决问题，注意有两种情形； （3）求出出租车的时间，即可判断； 【详解】（1）解：设x小时后两车相遇． 由题意：， 解得， 答：设小时后两车相遇． （2）解：设A加油站到甲地的距离为y千米． 则有：或 解得：或， 答：A加油站到甲地的距离为千米或千米． （3）解：∵8，，， ， ∴出租车不能在到达乙地或到达乙地之前追上客车； 设出租车提速为a千米/小时，正好在乙地追上客车． 由题意：， 解得：， 故需要提速， ∵120， ∴超速． 【经典例题二 配套问题】 【例2】（22-23八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间共有工人68人，若每人每天可以加工A种零件15个或B种零件12个，应怎样安排加工两种零件的人数，才能使每天加工的零件按3个A零件和1个B零件配套． 【答案】安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件 【分析】本题考查是一元一次方程的实际应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，正确找出合适的等量关系，列出方程，继而求解． 设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件，然后列方程计算即可． 【详解】解：设应分配人生产A种零件，则分配人生产B种零件， 根据题意得：， 解得：， ， 答：安排48名工人生产A种零件，20名工人生产B种零件． 4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得： ， 解得， （人． 答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）曾经，家具、家电、服装被称为外贸出口的“老三样”，如今，以电动汽车、锂电池、太阳能电池为代表的“新三样”走俏海外．某太阳能光伏组件车间有名工人，每人每天可以生产个甲零件或个乙零件，个甲零件要配个乙零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲零件和乙零件的工人各多少名？ 【答案】应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设安排x名工人生产甲型零件，根据每天生产的两种型号的零件刚好配套，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设应安排生产甲型零件的工人名；生产乙型零件的工人名， 由题意得：， 解得：， ， 应安排生产甲型零件的工人名,生产乙型零件的工人名． 6．（23-24七年级上·山东聊城·期末）某工厂需要生产一批太空漫步器（如图），每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成；工厂现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板． (1)应如何分配工人才能使每天的生产的架子和脚踏板恰好配套？每天生产多少套太空漫步器？ (2)若每套太空慢步器进价为200元，售价为280元，后又打折销售，所得利润率为，则每套太空慢步器是按原售价的几折销售的？ 【答案】(1)20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器 (2)八折 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板，根据每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板且每套设备由一个架子和两套脚踏板组装而成列出方程求解即可； （2）设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的，根据利润标价折扣进价列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设分配x人生产架子，则分配人生产脚踏板， 由题意得，， 解得， ∴，， 答：分配20人生产支架，25人生产脚踏板，每天生产1200套太空漫步器； （2）解：设每套太空慢步器是按原售价的m折销售的， 由题意得，， 解得， 答：每套太空慢步器是按原售价的八折销售的． 【经典例题三 工程问题】 【例3】9．（24-25七年级上·江苏盐城·开学考试）一项工程单独完成，甲队要30天，乙队要25天．现两队同时开始合做．中途两队都休息了一段时间，这样用了16天才完成任务．已知甲中途休息了4天，乙中途休息了几天？ 【答案】乙中途休息了1天 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、找准等量关系、列出方程成为解题的关键． 设乙中途休息了x天，则乙施工了天，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设乙中途休息了x天， 由题意可得：， 解得：． 答：乙中途休息了1天． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，每周耗资8万元，若由乙工程队单独施工需要6周，每周耗资3万元．若甲、乙两工程队合作施工，需要几周完成？共耗资多少万元？ 【答案】需要2周完成，共耗资22万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，依题意，先设甲、乙两工程队合作施工，需要x周完成，再列式，解出，即可作答． 【详解】解：∵由甲工程队单独施工需要3周，由乙工程队单独施工需要6周， ∴甲工程队的工作效率是，乙工程队的工作效率是； 根据题意，得， 解得， ∴（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工，需要2周完成，共耗资22万元． 8．（24-25七年级上·湖北咸宁·期中）有一些相同的房间需要粉刷，一天3名师傅去粉刷8个房间，结果其中有墙面未来得及刷；同样的时间内5名徒弟粉刷了9个房间的墙面．每名师傅比徒弟一天多刷的墙面．求每个房间需要粉刷的墙面面积； 【答案】每个房间需要粉刷的墙面面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准题目中等量关系正确列方程计算是解题关键． 设每个房间需要粉刷的面积为，然后分别表示出师傅和徒弟每天粉刷的面积，然后根据每名师傅比徒弟一天多刷的墙面列方程解答即可； 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为， 则每名师傅每天粉刷墙壁，每名徒弟每天粉刷墙壁； 由题意得：． 解得：． 即每个房间需要粉刷的墙面面积为． 9．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【答案】3天 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙队各自完成的工作量是解题的关键． 将工程的工作量看作“1”，则工程的工作量为，设甲乙丙三队完成、两项工程用了天，则，求得，设丙队与甲队合做了天，则，解方程求出的值即可． 【详解】解：设甲乙丙三队完成、两项工程用了天， 根据题意得， 解得， 设丙队与甲队合做了天， 根据题意得， 解得， 答：丙队与甲队合做了3天． 【经典例题四 销售盈亏问题】 【例4】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）某网店销售冬奥会吉祥物的两款产品毛绒玩具和摆件，进价和售价如下表所示． 名称 毛线玩具 摆件 进价（元/个） 65 40 售价（元/个） 100 60 (1)若卖出个摆件和个毛线玩具，销售额为Q元，用含代数式表示Q； (2)5月1日，该网店共卖出摆件和毛线玩具50个，店员：“利润为1400元．”店长：“你记错了．”通过计算说明店长的说法是否正确． 【答案】(1) (2)店长说法正确 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的实际应用． （1）根据销售额等于卖出个摆件的销售额加上卖出个毛线玩具的销售额，即可代数式； （2）设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据利润为1400元，列出方程求解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：设卖出x个毛线玩具，则卖出个摆件，根据题意得： ，即， 解得：， 是正整数， （不符合实际）， 店长说法正确． 10．（23-24七年级上·江西赣州·期末）【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第页探究1的部分内容． 探究1 销售中的盈亏 （1）一商店在某一时间以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，这两件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）． 【解决问题】： 七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？ 【答案】（1）48；80；亏损；（2）降价前共售出羽绒服150件 【分析】本题主要考查了有理数除法的实际应用，一元一次方程的实际应用： （1）根据利润售价进价分别求出两件衣服的原本售价即可得到答案； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件，根据利润（单价售价单价进价） 销售量列出方程求解即可． 【详解】解：（1）元，元， ∴盈利的衣服的原本售价为48元，亏损的衣服的原本售价为80元， ∵元， ∴卖这两件衣服总的是亏损了8元， 故答案为：48；80；亏损； （2）设降价前共售出x件，则降价后售出件， 由题意得，， 解得， 答：降价前共售出150件． 11．（23-24九年级下·河南郑州·开学考试）春节期间，“绵阳百盛商店”进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打八折出售． (1)商品A成本是120元，商品A最后应卖多少元？ (2)商品B卖出后，亏损了128元，商品B的成本是多少元？ (3)商品C和D两件商品同时卖出后，结果共亏损了60元．若C的成本是D的2倍，则C、D成本分别是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖115.2元 (2)商品B的成本是元 (3)D的成本是500元，C的成本是1000元 【分析】本题考查了有理数四则运算的实际运用及一元一次方程的实际应用． （1）用商品A的成本乘求出定价，再乘可求出售价； （2）将商品B的成本看作单位“1”，用1减去与的积，可求出128对应的分率，再根据除法的意义可完成解答； （3）设D的成本是x元，则C的成本是元，再利用C的售价D的售价C的进价D的进价列出方程，解方程即可完成解答． 【详解】（1）解：（元） 答：商品A最后应卖115.2元； （2）解：（元） 答：商品B的成本是元； （3）解：设D的成本是x元，则C的成本是元， ， ， ， ，， 答：D的成本是500元，C的成本是1000元． 12．（23-24七年级下·山东日照·开学考试）华联超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价） 甲 乙 进价/（元/件） 20 30 售价/（元/件） 25 40 (1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品打折销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次乙商品是按原价打几折销售？ 【答案】(1)可获利2000元 (2)第二次乙商品是按原价打9折销售 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解是解题的关键． （1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，根据“用7000元购进甲、乙两种商品”列出方程确定购进甲商品150件，购进乙商品100件，然后求利润即可； （2）先得出第二次购进甲商品200件，乙商品300件，设第二次乙商品是按原价打y折销售，根据“第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多800元”列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设购进甲商品x件，则购进乙商品件， ， 解得：， ∴， ∴购进甲商品200件，购进乙商品100件； ∴（元）， 答：可获利2000元； （2）解：第二次购进甲商品200件， 第二次购进乙商品（件）， 设第二次乙商品是按原价打y折销售， ， 解得：， 答：第二次乙商品是按原价打9折销售． 【经典例题五 比赛积分问题】 【例5】（2023七年级上·江苏·专题练习）表为某篮球比赛过程中部分球队的积分榜（篮球比赛过程中没有平局）． 球队 比赛场次 胜场 负场 积分 A 12 10 2 22 B 12 8 4 20 C 12 7 5 19 D 11 5 6 16 E 10 … … 15 (1)观察积分榜，请写出球队胜一场积 　　分，负一场积 　　分． (2)根据积分规则，请求出E队已经进行的10场比赛中，胜、负各是多少场？ (3)若此次篮球比赛每个球队各有16场比赛，D队希望最终积分达到28分，你认为有可能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)E队胜了5场，负了5场 (3)D队的最终积分不可能达到28分，理由见解析 【分析】（1）观察积分榜即可求解； （2）设E队胜x场，则负场，根据等量关系：E队积分是15分列出方程求解即可； （3）设后5场比赛全胜，求出最终积分即可得出答案． 【详解】（1）观察积分榜得，球队胜一场积2分，负一场积1分． 故答案为：2，1； （2）设E队胜x场，则负场， ， 解得， 所以E队负了（场）． 答：E队胜了5场，负了5场； （3）不可能实现． 理由如下： 因为由积分榜可知，D队已经进行了11场比赛， 所以还剩下（场）比赛， 若剩下的5场比赛全胜，则可积10分， 因为（分）， 所以D队的最终积分不会超过26分， 所以D队的最终积分不可能达到28分． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本类题型清楚积分的组成部分及胜负积分的规则及各个量之间的关系，并与一元一次方程相结合即可解该类题型．总积分等于胜场积分与负场的和． 13．（21-22七年级上·广西河池·阶段练习）某次知识竞赛共出25道选择题，评分办法是：答对一道加4分，答错一道倒扣1分，不答记0分，已知小王不答的题比答错的题多1道，他的总分是87分，小王答对了多少道题？ 【答案】小王答对了22道题 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用．设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有道，根据总分是87分列出一元一次方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设小明答错了x道题，则小明不答的题有道，答对的题有：（道）， 根据题意可得：， 解得：， ∴答对的题有：（道）， 答：小王答对了22道题． 14．（2024·浙江嘉兴·二模）将飞镖投向如图所示的靶盘．计分规则如下：每次投中A区得5分，投中B区得3分，脱靶扣2分．小曹玩了两局，每局投10次飞镖，在第一局中，小曹投中A区2次，B区4次，脱靶4次． (1)求小曹第一局的得分， (2)第二局，小曹投中A区k次，B区5次，其余全部脱靶．若小曹第二局得分比第一局得分提高了12分，求k的值． 【答案】(1)分 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出算式和方程是解题的关键． （1）先根据列出得分算式，然后再计算即可； （2）根据“小曹第二局得分比第一局得分提高了12分”列关于k的方程求解即可． 【详解】（1）解：小曹第一局的得分为（分）． 答：小曹第一局的得分14分． （2）解：由题意可得：，解得． 答：k的值为3． 15．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）长沙市某中学举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队，这五个队要进行单循环比赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜，每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分（如2：0或2：1的积分不同），积分均为正整数． 第一组 A B C D E 获胜场数 总积分 A B C D E （注：圈中的“2：1”表示在E队与B队的这场比赛中E队赢两局，输一局，E队以2：1的比分战胜B队．） 根据上表回答问题： （1）当B队的总积分时，上表中处应填 ； （2）写出C队总积分的所有可能值为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键． （1）每场比赛的结果有四种：，，，，设以上四种得分为，，，，且，根据A和D的总分可得关于，，，的等式，化简即可得出，，，的值，设对应的积分为，根据题意得关于的方程，解得的值，则可得答案； （2）分两种情况讨论，分别求出总积分即可． 【详解】解：（1）每场比赛的结果有四种：，，，， 设以上四种得分为，，，，且， 则A的得分为， ∴积分均为正整数， ∴，，， 则D的得分为，即， ∴， 设对应的积分为， 则， 解得：， 即为； 故答案为：． （2）∵C队获胜场， 分两种情况： 当C、B的结果为时，； 当C、B的结果为时，； ∴C队总积分的所有可能值为或． 故答案为：或． 【经典例题六 方案选择问题】 【例6】（23-24七年级上·江苏徐州·期末）徐州宣武批发市场内，某商品的价格按如下优惠：购买不超过300件时，每件3元；超过300件但不超过500件时，每件2.5元；超过500件时，每件2元．某客户欲采购这种商品700件． (1)现有两种购买方案： ①分两次购买，第一次购买100件，第二次购买500件； ②一次性购买600件．按哪种方案购买更省钱？说明理由． (2)若该客户分两次购买该商品共700件（第一次购买不超过300件），共付费1860元，求第一次和第二次分别购买该商品多少件？ 【答案】(1)购买方案②费用较省，理由见解析 (2)第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件 【分析】本题考查一元一次方程的应用．能读懂题意，根据题中的费用计算方式，分情况讨论是解题关键． （1）依据费用计算方式，分别计算两种方案的费用，比较即可； （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． 分当时，当时，两种情况讨论，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：购买方案②费用较省，理由如下： 购买方案①所需费用为（元）， 购买方案②所需费用为（元）． ∵， ∴购买方案②费用较省． （2）设第一次购买该商品x件，则第二次购买该商品件． ①当时，， 解得：， ∵， ∴不合题意，舍去； ②时，， 解得：， ∴． 答：第一次购买该商品220件，第二次购买该商品480件． 16．（23-24七年级下·广西南宁·开学考试）学校打算购买一些乒乓球拍和乒乓球作为校运会的奖品．现有甲、乙两家网店出售同样品牌的乒乓球拍和乒乓球，他们的定价都相同；一副球拍定价为50元，一盒乒乓球定价为20元．但两家网店优惠方案不同：甲店每买一副球拍赠一盒球，乙店全部按定价的8折优惠．已知学校需球拍40副，乒乓球x盒（不少于40盒）． (1)在甲店购买全部球拍和球需付款______元，在乙店购买全部球拍和球需付款_______元（用含x的最简式子表示）； (2)购买乒乓球多少盒时，两家付款一样多； (3)当时，如果全部球拍和球只能在其中一家网店购买，请你通过计算说明在哪家网店购买更划算？如果可同时在两家店选购，你还有更省钱的方案吗？请写出方案，并计算此时所需付的费用． 【答案】(1)， (2)买乒乓球100盒时，两家付款一样多 (3)在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 【分析】本题考查一次方程的应用，有理数乘法的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据两家付款一样多列方程即可得到结论； （3）在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，列式计算即可． 【详解】（1）甲店每买一副球拍赠一盒球， 在甲店购买需付款（元）， 乙店全部按定价的8折优惠， （元） 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得， 答：买乒乓球100盒时，两家付款一样多； （3）购买方案是：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球，此时所需付款为： 甲店付款（元）， 乙店付款（元）， 一共需付款（元）， 答：在甲店购买40副球拍和40盒球，在乙店购买60盒球最省钱，所需付款是2980元． 17．（23-24七年级下·甘肃兰州·开学考试）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为；乙种商品每件进价40元，售价60元． (1)甲种商品每件进价为_______元，每件乙种商品利润率为_______； (2)在“春节”前夕，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于等于560元 不优惠 超过560元，但不超过700元 按售价打九折 超过700元 其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠 按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？ 【答案】(1)， (2)小贺在该商场购买甲种商品10或11件 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意列出方程求解即可； （2）根据题意进行分类讨论即可． 【详解】（1）解:设甲种商品的进价为元， 则 解得， 即甲种商品每件进价为50元， ， 即每件乙种商品利润率为， 故答案是：，； （2）解:设小贺在该商场购买甲种商品b件, ①当购物金额超过560元，但不超过700元时， 解得：； ②当购物金额超过700元时， 解得：． 答:小贺在该商场购买甲种商品10或11件． 18．（22-23八年级上·贵州六盘水·期末）某景点门票价格如下表： 购票人数/人 100以上 每人门票价/元 12 10 8 某校八年级（1）、（2）两个班共102人去游览该景点，其中（1）班人数较少，不到50人，（2）班人数较多，有50多人．如果两班都以班级为单位分别购票，则一共应付1118元； (1)两班各有多少名学生？（要求用二元一次方程组解答） (2)（1）班单独购票如何更省钱？能省多少钱？ 【答案】(1)1班有49人，2班有53人． (2)1班按51人购票能省元 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，正确列出等量关系是解题的关键． （1）设八年级（1）班有x名学生，八年级（2）班有y名学生，根据八年级（1）班学生人数加八年级（2）班学生人数等于102人；八年级（1）班总门票价加八年级（2）班总门票价等于1118元，列二元一次方程即可解答； （2）对照表格，计算两个班联合起来后的总门票价格，即可解答． 【详解】（1）解：设1班有x人，2班有y人， 依题意得 ， 解得 ， ∴1班有49人，2班有53人． （2）解∶ 1班按49人购票应付款：（元）， 1班按51人购票应付款：（元）， ∴1班按51人购票能省：（元）， ∴1班按51人购票能省78元． 【经典例题七 数字问题】 【例7】（2024·河北唐山·三模）已知算式“”． (1)请你计算上式结果； (2)嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数； (3)淇淇把运算符号“”错看成了“”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？ 【答案】(1) (2)嘉嘉把“8”错写成了3 (3)淇淇的计算结果比原题的正确结果大10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程或算式，准确计算． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）设嘉嘉把“8”错写成了x，列出关于x的方程，解方程即可； （3）根据题意求出淇淇的计算结果，然后再列式求出结果即可． 【详解】（1）解： （2）解：设嘉嘉把“8”错写成了x， 根据题意，得：， 解得， 即嘉嘉把“8”错写成了3； （3）解：淇淇的结果为：， ， 淇淇的计算结果比原题的正确结果大10． 19．（24-25七年级上·上海·期中）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：，，，因此4，12，20都是“神秘数”． (1)28是“神秘数”，请将28表示为两个连续偶数的平方差，即 ． (2)2024是神秘数吗？如果是请将2024表示为两个连续偶数的平方差，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)不是，见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题干中提供的信息，列出方程． （1）将28用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）令，判断k是否是整数即可． 【详解】（1）解：∵， 解得，， ∴； （2）解：设两个连续的偶数为，， 则， 解得， ∵k不是整数， ∴假设不成立，2024不是“神秘数”． 20．（24-25七年级上·四川内江·期中）观察下面三行数： 2，，，，，，① ，，，，，，② 2、、14、、62、，③ (1)第①行第8个数是 ；第n个数是 ； (2)分别说出第②行第8个数是 ；和第③行第8个数是 ； (3)第1列的3个数之和为4，第二列3个数之和为，是否存在一列数3数之和为1020？若存在，说明是哪三个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在这样一列，分别是256，254，510． 【分析】本题考查的是数字的变化类，根据题意找出各行之间数的变化规律是解答此题的关键． （1）根据第①行每个数都是2的乘方得到，偶数个数的系数为负，据此即可求解； （2）利用第②③行与第①行的大小关系即可得出答案； （3）利用已知规律得出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第①行：第n个数是， 第8个数是； 故答案为：；； （2）解：观察数据， 第②行第n个数是第①行第n个数减2； 第③行第n个数是第①行与第②行第n个数的和； ∴第②行第8个数是；第③行第8个数是； 故答案为：；； （3）解：存在， 由题意得，同一列的数字符号相同， ∴这三个数都是正数， ∴这一列三个数的和为， 整理得， 解得， ∴存在这样一列，分别是256，254，510． 21．（24-25七年级上·广东深圳·期中）【理解概念】 若将一个自然数各位上的数字按照从高位数字到低位数字排成一列后，后一个数减去前一个数的差是一个常数，则这个数叫作“幸福数”．如：四位数2468排成一列后为：2，4，6，8．因为，且差为2是常数，故2468是一个差为2的四位“幸福数”．又如，9876，6666等也是“幸福数”． 若一个自然数从左到右各数位上的数字和另一个自然数从右到左各数位上的数字完全相同，则称这两个数为“三生三世数”．例如：3579与9753，8765与5678，…，都是“三生三世数”． 规定：把高位数字为x，差为2的三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和与222的商记为． 【运用概念】 例如：当时，三位“幸福数”为135，它的“三生三世数”为531，三位“幸福数”与它的“三生三世数”的和为，，所以． （1）计算：，； 【拓展创新】（2）已知，求x的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据题意可得“幸福数”与“三生三世数”，然后按所规定的运算顺序进行计算即可得； （2）设三位数的最高位为，根据定义表示出“幸福数”与“三生三世数”，然后按规定的运算顺序列出方程，解方程即可得． 本题主要考查阅读类题型的理解能力和数据的整理能力，用含的式子正确表示是解此题的关键． 【详解】解：（1）由题可知， 当时，“幸福数”：246；“三生三世数”：642， ； 同理可得，当时，“幸福数”：579；“三生三世数”：975， ； （2）设三位数的最高位为x，则“幸福数”：；“三生三世数”： 又∵， ∴， 解得，． 【经典例题八 几何问题】 【例8】（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）图①所示的是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题： (1)将下表填写完整； 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 (2)在第个图形中有______个三角形；（用含的式子表示） (3)按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出；如果不能，请简述理由． 【答案】(1)填空表见解析 (2) (3)能得到个三角形，此时 【分析】本题考查图形的变化规律，一元一次方程的应用， （1）结合题意，总结可知，每个图中三角形个数比图形的编号的倍少个三角形由此可计算出答案； （2）根据（1）中的规律可直接写出答案； （3）根据（2）的结论得到关于的一元一次方程，求解即可； 解题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的运算规律解决问题． 【详解】（1）解：填表如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ 三角形个数 （2）由（1）知： 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， 第个图形的三角形个数为：（个）， …… ∴第个图形的三角形个数为（个）， 故答案为：； （3）依题意，得：， 解得：， ∴按照上述方法，能得到个三角形，此时． 22．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点A、B在数轴上表示的数分别是、10，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，动点Q同时从点B出发，以每秒3个单位长度的速度向终点A运动．设点P的运动时间为t秒． (1)点P到达点B用时______秒，点Q到达点A用时______秒； (2)当P、Q两点相遇时，求P点表示的数； (3)点B与点Q之间的距离为______，点Q表示的数为______；（用含t的代数式表示） (4)当点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，直接写出t的值． 【答案】(1)9，6 (2) (3)， (4)或 【分析】本题考查可数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用． （1）先求出的长，再利用时间等于路程除以速度即可得到答案； （2）根据二者相遇时，所走的路程之和为的长求出运动时间，进而求出点P表示的数即可； （3）由已知直接可得点B与点Q之间的距离，进而可求出点Q表示的数； （4）P表示的数为，点Q表示的数为，再分点P与点Q相遇之前，点P与点Q相遇之后，两种情况建立方程求解即可；． 【详解】（1）解：∵点A，B在数轴上表示的数分别是，， ， ∴点P到达点B用时（秒），点Q到达点A用时（秒）， 故答案为：9，6； （2）解：由题意得，点P与点Q从出发到相遇的时间为秒， ∴当P、Q两点相遇时，P点表示的数为； （3）解：由已知得：点B与点Q之间的距离为，点Q表示的数为， 故答案为：，； （4）解：由已知得，P表示的数为，点Q表示的数为， ①点P与点Q相遇之前，点P与点Q之间的距离为15个单位长度时，， ∴； ②点P与点Q相遇之后，点P与点Q之间的距离为15个单位长度时 ∵Q运动到A需要的时间为6秒，当Q到达A时，P运动的距离为， ∴时，点P与点Q之间的距离为12， ∴P再运动3个单位，即再用秒，点P与点Q之间的距离为15， ∴， 综上所述，t的值为或． 23．（2024七年级上·全国·专题练习）[核心素养]已知数轴上点点A、点B对应的数分别为,点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为8？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由； (3)现在点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右运动，点P以每秒6个单位长度的速度同时从0点（原点）向左运动．当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数． 【答案】(1)点P对应的数是1 (2)存在；x的值为或5 (3)点P所对应的数是或 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，掌握数轴上两点之间距离的表示方法，及一元一次方程的求解方法是解题的关键； （1）根据题意，点P在点A和点B之间，用数轴上较大的数减去较小的数，即可根据距离相等列出等式，利用一元一次方程的求解方法即可求得结果； （2）根据题意，可表示出点P到两点得距离，列出等式，即可求解； （3）根据题意，可先设出运动时间，进而表示出点A和点B的距离，根据数轴上两点之间的位置可分类讨论，进而求得点P所对应的数． 【详解】（1）解：因为点P到点A、点B的距离相等，所以点P在点A和点B之间， 又点A、点B对应的数分别为， 所以，即， 所以， 所以点P对应的数是1． （2）存在； 因为，所以点P不能在点A和点B之间，需分两种情况讨论： ①当点P在点A的左边时， 点P到点A、点B的距离之和为，即， 解得； ②当点P在点B的右边时， 点P到点A、点B的距离之和为，即， 解得． 综上所述，x的值为或5． （3）设运动时间为t秒时，点A与点B之间的距离为3个单位长度． ①当点A在点B的左边，且两点相距3个单位长度时， 依题意得，即， 解得， 又点P以每秒6个单位长度的速度同时从0点（原点）向左运动， 所以， 所以点P所对应的数为； ②当点A在点B的右边，且两点相距3个单位长度时， 依题意得，即， 解得， 因为点P以每秒6个单位长度的速度同时从0点（原点）向左运动， 所以， 所以点P所对应的数为． 综上所述，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是或． 24．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（）． (1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：表示点A到点C之间的距离，运动之前，的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点C在线段之间，且，求t值； (3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使的值为定值？若存在，求出m和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10， (2) (3)当时的值为定值 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题． （1）根据数轴上两点间距离等于两数之差的绝对值直接求解即可得到答案； （2）表示出，，三点所表示的数，得当点在线段之间时，，，根据题意列出方程； （3）表示出，根据值为定值得到的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵运动前点表示数，点表示数8， ∴， ∵点以每秒2个单位长度速度运动， ∴点表示的数为：， 故答案为：10，； （2）点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点表示的数为：，点表示的数字为：，点表示的数字为：， ∵， ∴点在点左侧， 则当点在线段之间时，，， ∵， ∴， 解得：； （3）存在，当时的值为定值，理由如下， ∵点在点右侧， ∴，， 则， 当时，即：，， ∴当时的值为定值． 【经典例题九 和差倍分问题】 【例9】（24-25七年级上·江苏南京·开学考试）中国2019年国际专利申请量居全世界第一．其中，国内企业高度重视高新技术的研发．在单独的企业申请专利排行榜中，我国的华为以4411份申请排在了全球第一位，比美国的高通申请专利数量的2倍多157份．美国的高通申请专利数是多少份？ (1)把上边的线段图补画完整； (2)列式或方程解答． 【答案】(1)见详解 (2)美国的高通申请专利数是2127份 【分析】该题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式． （1）根据题意画图即可； （2）设美国申请份，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：设美国申请份， ， 解得：(份) ． 答：美国的高通申请专利数是2127份． 25．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）如图，点A，B均在数轴上，点B在点A的右侧，点A对应的数字是，点B对应的数字是m． (1)若A、B两点间的距离为2，求m的值； (2)点C是数轴上A、B两点间的一点，且B、C两点间的距离是A、C两点间的距离的2倍，点C对应的数字是1，求m的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，相反数，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． （1）根据可列方程，再通过解该方程即可； （2）由题意可列方程，再通过解该方程求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴m的值是； （2）解：由题意得：， 解得：， ∴m的相反数． 26．（22-23七年级上·云南昆明·期末）列方程解应用题： 数学家的故事 古希腊数学家丢番图（约公元250年左右），被人们称为代数学之父．对于他的生平事迹，人们知道得很少，但在一本《希腊诗文选》（公元500年前后的遗物）中，收录了他的墓志铭． 希腊数学家丢番图（公元3−4世纪）的墓碑上记载着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出： (1)丢番图的寿命； (2)丢番图开始当爸爸时的年龄； (3)儿子死时丢番图的年龄． 【答案】(1)丢番图的寿命为84岁 (2)丢番图开始当爸爸的年龄为38岁 (3)儿子死时丢番图的年龄为80岁 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解． （1）设丢番图的寿命为岁，则根据题中的描述他的年龄的童年生命的年儿子的年龄年，可列出方程，即可求解； （2）根据计算即可求解； （3）根据“儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了”计算即可求解． 【详解】（1）解：设丢番图的寿命为岁， 由题意得：， 解得：， 答：丢番图的寿命为84岁； （2）解：，即他38岁时有了儿子． 答：丢番图开始当爸爸的年龄为38岁； （3）解：岁． 答：儿子死时丢番图的年龄是80岁． 27．（2024·陕西西安·一模）2024年3月3日是第11个“世界野生动植物日”，某中学组织毕业班的同学参加“全民爱鸟行动”的志愿者活动，志愿者们制作了印有爱鸟护鸟图案的A，B两款精美的钥匙扣进行售卖．已知每个A款钥匙扣的售价比每个B款钥匙扣的售价便宜7元．若某外地游客购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元，求A，B款钥匙扣每个的价格．（列一元一次方程解） 【答案】A款钥匙扣每个的价格为2元，B款钥匙扣每个的价格为15元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． 设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元，然后根据等量关系“购买5个A款钥匙扣和3个B款钥匙扣共付款85元”列方程求解即可． 【详解】解：设A款钥匙扣每个的价格为x元，则B款钥匙扣每个的价格为元， 由题意得：， 解得：， ∴． 答：A款钥匙扣每个的价格为2元，B款钥匙扣每个的价格为15元． 【经典例题十 电费和水费问题】 【例10】（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 28．（2024七年级上·全国·专题练习）为鼓励节约用水，高港区自来水公司推行阶梯式水价计费制，标准如下表： 用水吨数 水费缴纳标准 每月用水不超过10吨 每吨元收费 每月用水超过10吨 超过部分每吨2元收费 已知王奶奶家今年5月份用了8吨水，共缴纳水费12元． (1)请求出的值； (2)若小明家今年8月份共缴纳水费37元，请求出8月份小明家的用水量． 【答案】(1)的值是； (2)8月份小明家的用水量是21吨． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）用水8吨，根据“用水不超过10吨”收费标准解答； （2）要求8月份用水量多少，就要先设出未知数，先把未知数定出区间，再通过理解题意可知本题的等量关系． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得， 则的值是； （2）解：因为每月用水不超过10吨时，水费是每吨元， 又因为8月份共缴纳水费37元， 所以8月份小明家的用水量一定超过10吨． 设8月份小明家的用水量是吨，根据题意，得 ， 解得． 答：8月份小明家的用水量是21吨． 29．（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算） (1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ； (2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ； (3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？ 【答案】(1)元 (2)元 (3) 【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键． （1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案 （2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可 （3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答． 【详解】（1）， ； 故答案为：元 （2）解： ， 故答案为：元． （3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得； 元， ， ， ， ， ， 答：共行驶了6公里． 30．（24-25七年级上·福建厦门·期中）为了鼓励居民节约用电，我省实行阶梯电价政策采取分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，每两个月用电量与电费的单价如下表： 档次 电量范围 电费单价 第一档电费 340度及以下 元 第二档电费 341度至520度 元 第三档电费 520度以上 元 比如，若某户两个月用电200度，应缴电费元；若某户两个月用电400度，应缴电费元；若某户两个月用电600度，应缴电费元． (1)小明家1、2月份共用电550度，则小明家这两个月应缴电费多少元？ (2)某用户两个月用电量为度，用式子表示： 当两个月用电量不超过340度时，应收电费 元；当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费 元；当两个月用电量超过520度时，应缴电费 元． (3)小丽家1、2月份应缴电费元，问小丽家这两个月共用电多少度？ 【答案】(1)小明家这两个月应缴电费280.35元 (2)；；； (3)用电640度 【分析】（1）利用小明家这两个月应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可求出结论； （2）利用应缴电费用电单价用电数量，结合分段计费的电费单价及用电量范围，即可用含的代数式表示出应缴电费； （3）设小丽家这两个月共用电度，由（2）的结论结合小丽家1和2月份应缴电费元，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论． 本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出应缴电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）． 答：小明家这两个月应缴电费280.35元； （2）解：根据题意得：当两个月用电量不超过340度时，应收电费元； 当两个月用电量超过340度但不足520度时，应收电费元； 当两个月用电量超过520度时，应缴电费元． 故答案为：；；； （3）解：设小丽家这两个月共用电度， ， ． 根据题意得：， 解得：． 答：小丽家这两个月共用电640度． 【经典例题十一 比例分配问题】 【例11】（20-21六年级下·上海·期中）六年级和七年级分别有192人和133人，现在需要从两个年级选出133人参加“读书节”活动，并且要使六年级，七年级剩余学生数之比为2：1，问应从六年级，七年级各选出多少人？ 【答案】从六年级抽出64人，从七年级抽出69 【分析】总人数不变，抽出的人数加上为抽出的人数等于总人数，设未知数，由题意列出一元一次方程即可． 【详解】解：设从六年级抽出x人，则应从七年级抽出（133-x）， 由题意得：（192-x）：[133-（133-x）]=2：1， 即（192-x）：x=2：1， 解得：x=64， ∴133-64=69（人）． 答；应从六年级抽出64人，从七年级抽出69人． 【点睛】本题是一元一次方程的应用，考查的是人员调配问题，关键知道调配后的数量关系从而可列方程求解． 1．（20-21七年级上·湖南永州·期末）新冠疫情期间，甲、乙、丙三家公司为抗击疫情捐款，他们共捐款216万元，所捐款数的比为3：4：5，问甲、乙、丙三家公司各捐款多少万元？ 【答案】甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元 【分析】设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意列出一元一次方程求解即可； 【详解】解：设甲公司捐款3x万元，则乙公司捐款4x万元，丙公司捐款5x万元，根据题意得， 3x+4x+5x=216， 解得，x=18． 所以3x=54，4x=72，5x=90； 答：甲公司捐款54万元，乙公司捐款72万元，丙公司捐款90万元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 2．（20-21七年级上·江苏镇江·期末）下面是某校七年级数学课外活动小组的两位同学对话，根据对话内容求这个课外活动小组现在的人数． 甲：我们女生人数占现在全组人数的一半 乙：还有6位男生将加入我们小组，他们全部加入后男生人数将占全组人数的． 【答案】12人 【分析】设现在全组人数为x人，则现在男生有人，然后根据再增加6名男生，那么男生人数将占全组人数的列方程，再解方程即可． 【详解】设现在全组人数为x人，则现在男生有人， 根据题意得：， 解得：人． 答：这个课外活动小组现在的人数为12人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知数为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 3．（20-21七年级上·山东济宁·期末）甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了万元，乙投资了万元，丙投资了万元，年终时，共赚得利润万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？ 【答案】万元；万元；万元 【分析】根据题意，设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元，列出方程求解． 【详解】解:， 设甲可以获得万元，乙可以获得万元，丙可以获得万元， 解得， ， 答:甲可以分得万元，乙可以分得万元，丙可以分得万元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据比例关系列出方程进行求解． 【经典例题十二 日历问题】 【例12】（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 1．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图是年月份的月历，现用十字框任意框出个数，如： (1)十字框框出的个数与十字框中间的数有什么关系？ (2)如果十字框框出的个数之和为，那么十字框中间的数是多少？ (3)十字框框出的个数之和可以是吗？ 【答案】(1)十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍 (2)十字框中间的数是 (3)十字框框出的个数之和可以是 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据题意列式计算，即可找出相应关系； （2）根据“十字框框出的个数之和为”列方程求解即可； （3）根据“十字框框出的个数之和是”列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 答：十字框框出的个数的和等于十字框中间的数的倍； （2）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 答：十字框中间的数是； （3）解：设十字框中间的数是， 则依据题意有：， 解得：， 且， 十字框框出的个数之和可以是， 答：十字框框出的个数之和可以是． 3．（24-25七年级上·江苏·假期作业）（1）吉姆同学在某月的日历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么第一个数是 ； （2）玛丽也在上面的日历上圈出个数，斜框内的四个数的和是，则它们分别是 ； （3）莉莉也在日历上圈出个数，呈十字框形，它们的和是，则中间的数是 ； （4）某月有个星期日的和是，则这个月中最后一个星期日是 号； （5）若干个偶数按每行个数排成下图： ①图中方框内的个数的和与中间的数有什么关系 ； ②汤姆所画的斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ； ③托马斯也画了一个斜框，斜框内个数的和为，则斜框的中间一个数是 ． 【答案】（1）；（2），，，；（3）；（4）；（5）①和是中间的数的9倍；②；③ 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握日历或数表上的相邻数间的关键是解题的关键． （1）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （2）设第一个数是，则其他的数为，，，列式求解即可； （3）设中间的数是，其他的数为，，，，列式求解即可； （4）设最后一个星期日是，，，，，列式求解即可； （5）①先根据日历上的数据规律把所要求的数用代数式表示，求和可得和是中间的数的9倍； ②利用和是中间的数的9倍列式求解即可； ③利用和是中间的数的9倍列式求解即可． 【详解】解：（1）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， 故答案为：； （2）设第一个数是， 则其他的数为，，， 则， 解得：， ，， 故答案：，，，； （3）设中间的数是， 则其他的数为，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （4）设最后一个星期日是，，，，， 则， 解得：， 故答案为：； （5）①设中间的数是，其他的数为，，，，，，，， 则和为， 故答案为：和是中间的数的9倍； ②根据规律可知，和是中间的数的9倍， 设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：； ③设中间的数是， 则， 解得：， 故答案为：． 【经典例题十三 古代问题】 【例13】（23-24九年级下·福建厦门·阶段练习）我国古代数学著作《增删算法统宗》中记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托；折回索子去量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．问竿和绳索的长分别是多少尺？ 【答案】绳索长为20尺，竿长15尺． 【分析】设绳索长尺，则竿长为尺，根据将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列方程求解即可． 【详解】解∶设绳索长尺，则竿长为尺． 根据题意可得， 解得 （尺）， 答：绳索长为20尺，竿长15尺． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，解设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题的关键． 1．（23-24·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【分析】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【详解】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 2．（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）解：设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 3．（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 【详解】解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【经典例题十四 其他问题】 【例14】（24-25七年级上·全国·期末）某文艺团体开展文艺演出，为“乡村振兴工程”募捐，已知成人票每张40元，学生票每张25元． (1)某场演出共售出1000张票，筹得票款34750元．问：成人票与学生票各售出多少张？ (2)已知某单位按（1）中成人及学生数购票，与演出组织单位达成票价打折的优惠方案，共少付票款6975元．若成人票打九折，则学生票打几折？ 【答案】(1)售出成人票650张，学生票350张； (2)学生票打5折． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用： （1）设售出成人票x张，则售出学生票张，根据一共筹得票款34750元列出方程求解即可； （2）设学生票打a折，分别计算出打折后学生票和成人票的票款，然后根据总票款为元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设售出成人票x张，则售出学生票张． 根据题意，得， 解得． ∴． 答：售出成人票650张，学生票350张； （2）解：设学生票打a折， 根据题意，得． 解得． 答：学生票打5折． 1．（24-25七年级上·全国·期中）小华坐公交车要投两元钱，他发现刷学生卡可以省钱，于是在公交总站办理了学生卡，充值了元，如果小华乘车的次数用表示，则记录他每次乘车后的余额（元）如下表： 次数（次） 余额（元） … … (1)写出用乘车的次数表示余额的式子． (2)利用上式计算乘了次车后，余额为多少？ (3)小华最多能乘几次车？ 【答案】(1) (2)元 (3)次 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，一元一次方程的应用， （1）由表格可知：每乘一次车，就用去元，进一步利用总金额减去乘车消费的钱数即可； （2）把代入（1）中的代数式得出答案即可； （3）由（1）中的代数式，令余额为，建立方程求得即可； 根据题意，得出余额的表示方法是解题的关键． 【详解】（1）解：用乘车的次数表示余额的式子为； （2）解：当时，（元）， ∴余额为元； （3）解：依题意得：， 解得：， ∵乘车的次数是非负整数， ∴小华最多乘坐次． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在萧红中学的社团活动中，同学们利用天平和常见的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有一架天平，和5克的砝码，如何称出一张卡片和一根吸管的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备：重量相同的卡片若干和重量相同的吸管若干 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4张卡个砝码 16根吸管 平衡 记录2 8张卡根吸管 5根吸管个5克砝 平衡 (1)设一张卡片重x克，则一根吸管重______克． (2)分别求一张卡片和一根吸管的重量各是多少？ (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出这样的一个假设：在天平左边放上一个的砝码，再把若干卡片和若干吸管分别放在天平的两侧使天平处于平衡状态，此时吸管的数量是卡片的4倍．请用方程的知识进行判断，若假设不成立，请说明理由；若假设成立，请求出卡片的数量． 【答案】(1)或； (2)一张卡片克，一根吸管克； (3)成立，卡片4张． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，列代数式表达式： （1）根据记录1和2，天平平衡，则天平左右两边的重量相同，据此列式求解即可； （2）由（1）得一根吸管重克或克，列式进行计算，即可作答． （3）先设卡片的数量是张，则吸管的数量是根，由（2）得出一张卡片克，一根吸管克，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由记录1得4张卡个砝码等于16根吸管，且设一张卡片重x克， ∴根吸管， ∴一根吸管重克； 由记录2得8张卡根吸管等于5根吸管个砝码， ∴根吸管根吸管， ∴一根吸管重克； 则一根吸管重克或克； （2）解：由（1）得一根吸管重克或克， ∴， 解得， 把代入， 得（克） ∴一张卡片克，一根吸管克； （3）解：成立，过程如下： 设卡片的数量是张，则吸管的数量是根， 由（2）得出一张卡片克，一根吸管克； ∴卡片重克，吸管重（克）， ∵为正整数， ∴， ∴把卡片与砝码一同放入天平左边，吸管放入天平右边， ∴， 解得， ∴假设成立，卡片4张． 【经典例题十五 一元一次方程与数轴】 【例15】（24-25七年级上·四川绵阳·阶段练习）在数轴上若点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离．，线段AB的中点表示的数为． 如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，且a、b满足，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． (1)填空：______，______，线段AB的中点表示的数为______； (2)求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P，Q在运动过程中，线段的长度是否可以等于的两倍？若可以，求出t的值． 【答案】(1)，，； (2)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； (3)当或秒时，线段的长度等于的两倍． 【分析】本题考查非负性的应用，解一元一次方程的应用、数轴上的动点问题的求解等知识与方法，解题的关键是弄清点的运动方向、速度，并且用代数式表示运动的距离． （1）由，得到，，则点表示的数是，点表示的数是，由两点对应的数的平均数直接求出、的中点表示的数； （2）根据点的运动速度和方向，直接表示出点、所表示的数，再根据、相遇时所表示的数相等列出方程求解即可； （3）先利用中点坐标公式求出，的坐标，再用两点间的距离公式列出绝对值方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴点表示的数是，点表示的数是， ∴线段的中点表示的数为：， 故答案为：，，； （2）解：秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，则、表示的数相等， 解得： ∴当时，、相遇， 此时，， ∴相遇点表示的数为， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为； （3）解：∵秒后，点表示的数，点表示的数为 ， ∵点表示的数为，点表示的数为， ， 依题意得，， 或， 解得：或， ∴当或秒时，线段的长度等于的两倍． 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”． （1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数． 【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．     【答案】（1）是； （2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0． （3），，，，， 【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”； （2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可． （3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可． 【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍， ∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”． 故答案为：是． （2）设C点表示的数为x， ①若C为中点，即， 则， 解得． ②若， 则， 解得， ③若， 则， 解得． 综上，C点表示的数为10或20或0． （3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为． P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即时， ， 解得． ③， ， 解得， P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况： ①， ， 解得． ②，即， ， 解得． ③， ， 解得． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键． 2．（24-25六年级上·山东淄博·阶段练习）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是________；数轴上表示和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．如数轴上数x与5两点之间的距离等于． (2)如果表示数a和的两点之间的距离是3，求a的值； (3)若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值； 【答案】(1)3，5 (2)1或 (3)6 【分析】此题考查数轴上两点之间的距离的算法：数轴上两点之间的距离等于相应两数差的绝对值及一元一次方程的应用． （1）根据数轴，观察两点之间的距离即可解答； （2）利用两点间距离公式列出关于a的方程，即可求解； （3）根据表示数a到点与2两点的距离的和即可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是； 表示和2两点之间的距离是； （2）解：根据题意得：， 则， 或， 的值为或； （3）解：若数轴上表示数a的点位于与2之间， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）在数轴上，若点C到点A的距离恰好是3，则称点C为点A的“幸福点”， 若点C到点A，B的距离之和为6，则称点C为点A，B的“幸福中心”． (1)如图1，点A表示的数是，则点A的“幸福点”C表示的数是______． (2)如图2，点A表示的数是，点B表示的数是4，点P表示的数是8，点Q从点P出发，以2单位/s的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点Q是点A，B的“幸福中心”？ 【答案】(1)或2 (2)当经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心” 【分析】（1）根据定义，得到点C表示的数为或，解答即可． （2）设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为，分类思考如下： 当点Q在点B的右侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，，根据定义，得到，求解一次． 本题考查了数轴表示数，数轴上两点的距离，分类思想，熟练掌握定义，正确分类是解题的关键． 【详解】（1）解：根据定义，得点C表示的数为或即或， 故答案为：或2． （2）解：设运动，则运动的路程为个单位长度，则点Q表示的数为， 当点Q在点B的右侧时，此时，， 根据定义，得到：， 解得； 当点Q在点A，点B之间时，此时，不成立； 当点Q在点A的左侧时，此时，， 根据定义，得到， 解得． 故经过秒或秒时，点Q是点A和点B的“幸福中心”． 【经典例题十六 一元一次方程应用综合】 【例16】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知甲地到乙地的单程汽车票价为75元/人，春运期间，为了给国庆出游的旅客提供优惠，汽车客运站给出了如下优惠方案： 乘客 优惠方案 学生 凭学生证票价一律打六折； 非学生 10人以下（含 10人）没有优惠： 团购：超过10人，其中 10人按原价售票，超出部分每张票打八折． (1)若有6名学生乘客买票，则总票款为 元； (2)若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为 元； (3)一辆汽车共有50名乘客，其中非学生乘客若达到团购人数并按团购方式买票，已知该车乘客总票款为3000元，问：车上有学生乘客、非学生乘客各多少人？ 【答案】(1)270 (2)1050 (3)10人；40人 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，一元一次方程的实际应用．理解题意，正确列出算式或等式是解题关键． （1）根据题意，列出算式计算即可； （2）根据题意，列出算式计算即可； （3）设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人．分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数和②非学生乘客若未达到团购人数，分别列出关于x的方程，求解即可． 【详解】（1）解：元． 答：若有6名学生乘客买票，则总票款为270元； （2）解：元． 答：若15名非学生乘客采用团购方式买票，则总票款为1050元； （3）解：设车上有非学生乘客x人，则有学生乘客人． 分类讨论：①非学生乘客若达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，符合题意， 人 所以此时车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． ②非学生乘客若未达到团购人数，即， 则可列方程为：， 解得：，不符合题意舍去． 综上可知车上有学生乘客10人，有非学生乘客40人． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨某食品加工厂，加工一种食品，销往大庆市和齐齐哈尔市，有新旧两种加工工艺． (1)如用旧工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量还多：如用新工艺加工，则一天的废水排量要比环保限制的最大量少．新、旧工艺的废水排量之比为，两种工艺的一天废水排量各是多少？ (2)若用新工艺，每天加工的食品总量比旧工艺每天加工的食品总量多，已知旧工艺每天加工的食品总量是新工艺每天加工的食品总量的；求：若用新工艺加工一个月的食品总量是多少吨？（每个月按天计） (3)在（1）（2）的条件下，已知厂家将（2）中新工艺加工一个月的食品以每吨元的价格销往大庆市和齐齐哈尔市，已知这些加工食品的原材料费共为万元，选择铁路运输，在送货的过程中，列车先到大庆卸完一部分货后，再前往齐齐哈尔送货，送货列车的到达时间表如下所示：卸货的时间忽略不计；已知：哈尔滨与齐齐哈尔的距离为，哈尔滨到大庆的平均时速比大庆到齐齐哈尔的平均时速快，已知铁路运输的收费标准是：每吨每千米收费元；已知每吨污水的处理费是3元，这批食品全部售完后，仍可获利万，则销往大庆多少吨食品？ 地点 哈尔滨 大庆 齐齐哈尔 时间 【答案】(1)新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为 (2)用新工艺加工一个月的食品总量是 (3)销往大庆 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． （1）设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为，依题意得，，可求，根据用新工艺加工一个月的食品总量是，计算求解即可； （3）设哈尔滨到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为，依题意得，，可求，进而可求哈尔滨到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为，设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品，根据获利总价材料费污水处理费运费（销往大庆和销往齐齐哈尔），列方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设新工艺的废水排量为，则旧工艺的废水排量为， 依题意得，， 解得，， ∴新工艺一天的废水排量为，旧工艺一天的废水排量为； （2）解：设新工艺加工一天的食品量为，则旧工艺加工一天的食品量为， 依题意得，， 解得，， ∵， ∴用新工艺加工一个月的食品总量是； （3）解：设大庆到齐齐哈尔的平均时速为，则哈尔滨到大庆的平均时速为， 依题意得，， 解得，， ∴大庆到齐齐哈尔的路程为，哈尔滨到大庆的路程为， 设销往大庆吨食品，则销往齐齐哈尔吨食品， 依题意得，， 解得，， ∴销往大庆吨食品． 2．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）希玥服装店销售一批服装，按照标价进行销售，在销售时发现服装标签被污渍遮盖了，销售员发现打95折比打8折多盈利15元钱； (1)每件服装标价多少元？ (2)该服装店打算在年前用30000购进同样服装进行售卖，服装厂原售价为80元一件，年前甲乙两服装厂同时搞促销活动，销售方案如下图所示，请问该服装店在甲乙哪个服装厂购进服装利润最高？ 甲服装厂 乙服装厂 订购超过100件，服装全部打95折，再赠一张50元的代金券，本次购物可抵现金使用．同时每100件，免费配赠35件同样价格的服装． 订购超过100件，服装全部打八折后再减4元，同时超过出300件服装，每件服装返款0.12元包装费． (3)在（2）的条件下，该服装店购进服装后打算在进价的基础上每件服装加价，进行销售，由于接近年底，销售可能滞销，因此预计全部进行销售的服装，会有需要降价以5折出售，该服装店要想获得利润14949元，需再次按活动价格购进该厂家服装，请计算出该服装店想获得预期利润，需要准备再次购进服装多少件？ 【答案】(1)每件服装标价为100元 (2)该服装店在乙服装厂购进服装利润最高 (3)需要在购进件服装 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用． （1）设每件服装标价x元，根据打95折比打8折多盈利15元钱，列出方程求解即可； （2）根据题意先求出每个厂在优惠条件下30000元能购进的服装数量，再求出利润比较即可； （3）设需在购进y件服装，根据利润为14949元列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件服装标价x元，根据题意得： 解得：， 答：每件服装标价为100元； （2）解：， 根据题意： 甲厂： （件）， 购进服装数量为正整数， 在甲厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为： （元）； 乙厂： （件） 在乙厂可购进500件服装， 在甲厂可购进500件服装的费用为（元）， 则服装店在乙服装厂购进服装利润为：（元）； ， 该服装店在乙服装厂购进服装利润最高； （3）解：设需在购进y件服装，根据题意： 由（2）知，进价为：（元）， 现标价为：（元）， 按进价的基础上每件服装加价销售的服装有：（件）， 按5折出售的服装有：（件）， 售价为：（元）， 则， ，即， 解得：， 答：需要在购进件服装． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点，在数轴上分别位于原点的左右两边，点表示的数是，点表示的数是，且，满足．点、、是线段的四等分点，分别以线段、、为边向数轴的上方作正方形，正方形，正方形． (1)直接写出，的值： ， ； (2)如图1，若动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设点的运动时间为，求线段时的值； (3)如图2，若动点从点出发以每秒4个单位长度的速度向数轴的正方向运动，当点到达点时立即以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，点到达点的同时动点从点出发以每秒2个单位长度的速度向数轴的负方向运动，当点首次到达点后立即以每秒3个单位长度的速度在点和点之间往返运动，过动点作直线垂直，在运动过程中，直线与线段的交点为．当点第二次到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为，直接写出线段时的值． 【答案】(1)，8 (2)或 (3)，，或6 【分析】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，弄清点运动的方向、速度和时间是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得解； （2）根据相遇前和相遇后，列方程求解即可； （3）根据点到达点前和返回后，点在的左右两侧，根据找出等量关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，且，， ，， ，， 故答案为：，8； （2）解：，． 表示的数是，表示的数是8， ， 点、、是线段的四等分点， ， 又四边形，，是正方形， ， 若，相遇前，则有，， 解得，； 若，相遇后，则有， 解得，， 综上，线段时，或， （3）解：点从到运动时间为（秒， 点从点运动到点所需时间为：（秒，从点到点所需时间为（秒， 则点第二次到达点所需时间为（秒， 故点运动总时间为（秒， ①当点向运动时，点在左侧时，则有． 解得，； ②当点向运动时，点在右侧时，则有， 解得，； ③当点从向运动时，点在右侧时，则有， 解得，， ④当点从向运动时，点在左侧时，则有， 解得，， 综上，线段时的值为，，或6． 1．2020年某天，为锦在家和公园之间行走，好奇的他测了一下在无风时的速度是50米/分，从家到公园用了16分钟，从原路返回用了20分钟，设风的速度是x米/分，则所列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次方程，准确找出等量关系是解题的关键．根据题意列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：， 故选C． 2．如图，是2024年1月的月历，任意选取“十”字型中的五个数（比如图中阴影部分），若移动“十”字型后所得五个数之和为，那么该“十”字型中正中间的号数为（   ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．设中心数为x，根据5个数之和等于115，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设中心数为x，根据题意得： ， 解得：， ∴该“十”字型中正中间的号数为23， 故选：D． 3．如图，在长方形中，，，点是上的一点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则t的值为（   ）    A．或 B．或或 C．或6 D．或6或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的运用，三角形面积公式的运用，梯形面积公式的运用，动点问题，分类讨论等；解答时要运用分类讨论思想求解，避免漏解． 分下列三种情况讨论，如图1，当点在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点在上，即时，由建立方程求出其解即可；如图3，当点在上，即时，由建立方程求出其解即可． 【详解】解：如图1，当点在上，即时，   四边形是长方形， ，． ， ， ； 如图2，当点在上，即时，   ， ． ，． ， 解得：； 如图3，当点在上，即时，   ． ， 解得：（舍去）． 综上所述，当或6时的面积会等于18． 故选：C． 4．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（　　） A．5 B．5或7 C．3或5 D．3或7 【答案】B 【分析】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故选：B． 5．2024年春节期间，某商场打出促销广告，如表所示． 优惠 条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠 办法 没有优惠 全部按九折优惠 其中500元仍按九折优惠，超过500元部分按八折优惠 春节的某一天，小雅妈妈在该商场购买了一些商品，经过商场打折优惠后支付了522元，则小雅妈妈比原价节省了（    ）元 A．58元 B．68元 C．130.5元 D．78元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题知可推出小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元，设小雅妈妈原价为元，根据“经过商场打折优惠后支付了522元”建立等式求解得到原价，再利用原价减去打折优惠后的价格，即可解题． 【详解】解：（元）， ， 小雅妈妈在该商场一次性购物超过500元， 设小雅妈妈原价为元， ， 解得， （元）， 故选：B． 6．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过吨，按每吨1元收费；若超过吨，则超过部分按每吨2元收费．如果某户居民五月份缴纳水费元，那么该居民这个月实际用水 吨． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 设该居民这个月实际用水吨，由题意可列方程，计算求解即可． 【详解】解：设该居民这个月实际用水吨， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 7．体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 8．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为米与米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是 秒． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，确定其中的等量关系是解题的关键． 先设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是秒，路程为静止的人看到的车长；据此可得的一次方程，解方程即可． 【详解】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是秒，则 ， 解得． 故答案为： 9．某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 10．如图，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，点与点之间的距离记作，已知，比大16，则： （1）的值是 ． （2）若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒3个单位的速度从点出发，沿数轴向左运动，设运动时间是秒，当点与点之间的距离是8时，则的值为 ． 【答案】 16 6或2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、解绝对值方程，理解数轴上的两点间的距离是解答的关键． （1）根据题意直接求解即可； （2）先求得点B表示的数，再用t表示出点M、N运动t秒后表示的数，再根据两点间的距离公式列方程，然后根据绝对值的意义解方程求解即可． 【详解】解：（1）∵比大16， ∴， 故答案为：16； （2）根据题意，点B表示的数为，运动t秒后，点M表示的数为，点N表示的数为， ∵点与点之间的距离是8， ∴， ∴或， 解得或， 答：当点与点之间的距离是8时，t的值为6或2， 故答案为：6或2． 11．（列方程解应用题）两地相距64千米，甲从地出发，每小时行14千米，乙从地出发，每小时行18千米． (1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追甲？ (3)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距16千米？ 【答案】(1)2小时 (2)16小时 (3)小时或小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设经过小时两人相遇，根据“甲乙两人速度和时间两地距离”列出方程并求解即可； （2）设经过小时后乙追上甲，根据“甲乙两人速度差时间两地距离”列出方程并求解即可； （3）设经过小时两人相距16千米，分两人相遇前相距16千米和两人相遇后相距16千米两种情况，根据“甲乙两人速度和时间两地距离16千米”列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设经过小时两人相遇， 根据题意可得 ， 解得（小时）， 答：若两人同时出发相向而行，则经过2小时两人相遇； （2）设经过小时后乙追上甲， 根据题意可得 ， 解得（小时）， 答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则16小时后乙追甲； （3）设经过小时两人相距16千米， 当两人相遇前相距16千米时，可有 ，解得（小时）， 当两人相遇后相距16千米时，可有 ，解得（小时）， 综上所述，若两人同时出发相向而行，则经过小时或小时两人相距16千米． 12．如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为c．其中b是最大的负整数，且a，c满足．点P从点B出发以每秒3个单位长度的速度向左运动，到达点A后立刻返回运动到点C，到达点C后再返回运动到点B并停止．    (1) ， ， ； (2)在点P运动的过程中，当点P运动x秒时，，求x的值． 【答案】(1)，，9 (2)或1或或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用，分类你是解（2）的关键． （1）根据非负数的性质，求出a、c的值，根据负整数求得b的值； （2）分四种情况：当点P的运动状态是从B到A时，当点P的运动状态是从A到B时，当点P的运动状态是从B到C时，当点P的运动状态是从C到B时，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， ∵b是最大的负整数， ∴． 故答案为：，，9； （2）当点P在线段上时，． 因为， 所以． 又因为， 所以． 当点P的运动状态是从B到A时，如图所示，    因为，所以，所以； 当点P的运动状态是从A到B时，如图所示，      因为，所以， 所以； 当点P在线段上时，． 因为， 所以． 又因为， 所以． 当点P的运动状态是从B到C时，如图所示，    因为， 所以，所以； 当点P的运动状态是从C到B时，如图所示，    因为， 所以， 所以． 综上所述，x的值为或1或或． 13．在数学课上，老师展示了下列问题，请同学们分组讨论解决的方法． 问题：我国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行．问：人和车各有多少？ (1)甲小组的分析过程如下（请帮他们补全）： 第一步，设共有辆车； 第二步，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第三步，由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为________人；（用含的代数式表示） 第四步，根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为________________； (2)乙小组设共有人，请你直接列出方程． 【答案】(1) ，， (2) 【分析】本题考查了列代数式，解一元一次方程．熟练掌握列代数式，解一元一次方程是解题的关键． （1）根据人数，车数的关系列代数式和方程即可； （2）由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得车数为辆；由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得车数为辆；然后根据车辆数量相等列方程即可． 【详解】（1）解：由题意知，由“若每3人乘一辆车，则余2辆空车”，可得人数为人； 由“若每2人乘一辆车，则余9人需步行”，可得人数为人； 根据两种乘车方式的人数相等，列出方程为； 故答案为：； （2）解：设乙小组共有人， 依题意得，． 14．【问题背景】对2024版七年级上册数学教材105页“活动1月历中的奥秘”进行探索研究． 同学们，大家一定很熟悉月历吧！你们知道吗？月历中有很多奥秘，下面就让我们一起探索吧！ 【探究一】图①是某月的月历，请仔细观察并思考下列问题． （1）带阴影的方框中9个数的和为方框正中心的数的______倍． （2）如果将带阴影的方框移至图②的位置，9个数的和为方框正中心的数的______倍． （3）不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得到的结论是：______． （4）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？你能说明理由吗？ 【探究二】（5）仿照上述探究的方法，设图③的“+”形的5个数的和为a，图④中的“H”形的7个数的和为b．当“+”形的正中心数比“H”形的正中心数小4时，直接写出a，b的值．（写出一种情况即可）（注：“+”形和“H”形在月历上可以随意移动） 【答案】（1）；（2）；（3）（1）中的结论仍然成立，答案见解析；（4）都成立；（5） 【分析】本题主要考查一元一次方程日历问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）将所有数加起来和正中心数比较即可； （2）将所有数加起来和正中心数比较即可； （3）设正中心的数为，将其余的数加上验证结论即可； （4）根据日历的性质进行讨论即可； （5）设“+”形的正中心数为，故“H”形的正中心数为，将“+”形和“H”形的各个数表示出来进行计算即可． 【详解】解：（1）个数的和为 是正中心数的倍， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． （3）（1）中的结论仍然成立， 设正中心的数为，则其余的数为， ， 结论成立； （4）这个结论对每个结论都成立， 因为日历是连续的，故这个结论对于任何一个月的月历都成立； （5））设“+”形的正中心数为，故“H”形的正中心数为， 故“+”形的各个数为：， 故， “H”形的各个数为：， 故， 故令， 故． 15．根据所学数轴知识，解答下面的问题： (1)情境背景：在数轴上有A，B两点如图1所示． ①A点表示的数是__________；之间的距离是__________； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是__________； (2)知识延伸：如图2，点A，B，M，N是数轴上的点，且． ①当点M与点B重合时，点N对应的数为28；当点N与点A重合时，点M对应的数为4，由此可得线段的长为__________； ②图2中点A所表示的数是__________，点B所表示的数是__________； (3)知识拓展：在（2）的条件下，点M从点A出发，线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度也向右匀速运动． ①求经过多长时间线段完全离开线段； ②点P是线段上一点，当点N在B点左侧时，若关系式成立，请直接写出此时线段的长：__________． 【答案】(1)①，5；    ② (2)①6；②10，22 (3)①经过6秒线段完全离开线段；②10 【分析】题目主要考查利用数轴表示有理数及两点之间的距离，动点问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①直接根据数轴确定A点表示的数是，B点表示的数是3，即可得出两点间的距离；②根据数轴上点平移的性质求解即可； （2）①根据题意得出，即点B到28的距离即为的距离，4到A的距离即为的距离，得出，求解即可；②根据①中结果求解即可； （3）①根据题意设运动时间为t秒，点M表示的数为，点N表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为，然后得出当点M表示的数等于点B表示的数时，完全离开，建立方程求解即可；②根据题意得出时，在之间，设P表示的数为x，得出，，，然后利用线段之间的关系求解即可． 【详解】（1）解：①由数轴得：A点表示的数是，B点表示的数是3， ∴之间的距离是， 故答案为：；5； ②将点B向右平移t个单位，此时该点表示的数是， 故答案为：； （2）①∵，点M与点B重合时，点N对应的数为28， ∴，即点B到28的距离即为的距离， 当点N与点A重合时，点M对应的数为4，即4到A的距离即为的距离， ∴4到28的距离为：， ∴，即， 故答案为：6； ②∵4到A的距离即为的距离， ∴点A所表示的数是，点B所表示的数是， 故答案为：10；22； （3）①设运动时间为t秒， ∴点M表示的数为，点N表示的数为，点A表示的数为，点B表示的数为， 当点M表示的数等于点B表示的数时，完全离开， 即， 解得：， ∴经过6秒线段完全离开线段； ②∵点N在B左侧时， ∴，即时， ∴时，在之间， 设P表示的数为x， ∴，，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：10． 学科网（北京）股份有限公司 $$