专题08有理数及其运算44道压轴题型专训（11大题型）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升讲练（北师大版2024）

该初中数学讲义围绕有理数及其运算构建系统知识体系，通过思维导图清晰呈现11大核心题型的内在逻辑，用表格对比归纳数轴翻折、绝对值几何意义等重难点的解题策略，并借助典型例题与变式训练强化概念理解与方法迁移，帮助学生建立从基础到综合的知识网络。 讲义的亮点在于“数形结合”“逻辑推理”“模型应用”三大素养的深度融合，如第4题通过折叠数轴探究对称点关系，引导学生从图形直观中抽象出代数规律，培养几何直观与推理能力；第15题以检票口问题为载体，构建“单位时间效率”模型解决实际优化问题，提升应用意识与建模能力。每类题型均配有方法总结和易错警示，既支持学生自主梳理，又助力教师精准定位学情，实现分层教学与高效复习的统一。

专题08有理数及其运算44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 数轴上的翻折问题 题型二 绝对值的几何意义 题型三 绝对值方程 题型四 有理数混合运算的实际应用 题型五 程序流程图 题型六 算 24 点 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数大小比较的实际应用 题型九 有理数乘方的运算 题型十 有理数乘方的逆运算 题型十一 乘方的应用 【经典例题一 数轴上的翻折问题】 1．（24-25七年级下·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上点的位置变化规律，通过分析得出规律每翻转次，点就会落在数轴上，再根据规律计算即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：如图， ， 将长方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转次，点首次落在数轴上的点对应的数为，当点第二次落在数轴上时，其对应的点是，对应的数是，而，以后，每翻转次，点就会落在数轴上， 翻转2018次后，点会第次落在数轴上， 故翻转2018次后，点所对应的数是， 故选：D． 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 【答案】点B 【分析】本题考查了数轴，数字字母规律问题，根据翻转的变化规律确定出每次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每次翻转为一个循环组依次循环，用除以，根据是否整除可知点在数轴上．然后进行计算即可得解． 【详解】解：每次翻转为一个循环组依次循环， ， 翻转次后点在数轴上， 点对应的数是， 数轴上数所对应的点是点 故答案为：点． 4．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3）已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 【答案】（1）或4；（2）①，②表示的数为，表示的数为；（3）， 【分析】本题主要考查列代数式，数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算，熟练掌握数轴上两点距离及数轴上折叠问题、有理数的运算是解题的关键． （1）根据数轴上的两点距离可进行求解． （2）①由点与点重合可知折叠点表示的数为，然后由此可求解问题； ②由①可知折叠点表示的数为，则可知到的距离都为，进而问题可求解． （3）由题意可知表示数的点到两点的距离都为，然后问题即可求解． 【详解】解：（1）∵点表示的数为1，且到点A的距离为， ∴这个数为或， 故答案为：或． （2）①∵点与点重合， ∴折叠点对应的数为：， ∴与点重合的点表示的数是：； ②由①得折叠点对应的数为：， ∴点表示的数为：，F点表示的数为：． （3）∵数轴上两点间的距离为（在左侧），表示数的点到两点的距离相等， ∴表示数的点到两点的距离都为， ∴点表示的数为，点表示的数为； 故答案为：；． 【经典例题二 绝对值的几何意义】 5．（24-25七年级上·海南海口·期中）式子的值取到最小值时，满足（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的最值问题，将原式提取公因式，绝对值的和在x等于加权中位数时取得． 【详解】解：原式 ， 绝对值的和在x等于加权中位数时取得， 零点为，权重分别为：3，5，7，9，11，13， 当累计权重达总权重的一半（24）时，对应区间为， 故选D． 6．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，两点间的距离公式，根据绝对值的意义，把求的最小值转化为求的最小值问题是解题的关键；先求出值最小，的最小值，两个最小值的条件是一致的，再求出答案即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 的最小值是0，且取最小值时x的值为，且当时，最小值是3， 的最小值为， 的最小值是， 故选：． 7．（23-24七年级上·广西桂林·阶段练习）对于数轴上的一切数，式子的最小值是 ． 【答案】11 【分析】分五种情况，，，，，结合绝对值的意义化简求解．本题考查绝对值意义，结合数轴，利用分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，，，，， 则 ； 当时，，，，， 则 ， 在这里； 当时，， ，， 则 ． 综上，式子的最小值是11． 故答案为：11． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【答案】(1)①4；②；③ (2)①6；②5或 (3)9 【分析】本题考查了绝对值的几何意义是数轴上两点之间的距离，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接根据题干中两点之间的距离公式计算即可； （2）①分析出的意义，再结合数轴可得； ②分析出的意义，再根据两点之间的距离为8列式计算即可； （3）分5种情况去绝对值符号，计算各种不同情况的值，最后讨论得出最小值． 【详解】（1）解：①在数轴上表示与两点间的距离是； ②在数轴上表示x与4两点间的距离是； ③ 则在数轴上表示x与两点之间的距离为； （2）解：①当表示数x的点在与4之间移动时， 表示数轴上x与的距离和与4的距离之和， 则此时； ②表示数轴上x与的距离和与4的距离之和为8， 则x的值为或； （3）解：表示数轴上x分别与4，2，，的距离之和， 时，原式,此时的最小值是13； 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式， 时，原式，此时的最小值是9； 时，原式，此时的最小值是11， 综上：的最小值为9． 【经典例题三 绝对值方程】 9．（2024七年级·全国·竞赛）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 【答案】D 【分析】分，，三种情况，结合绝对值的意义化简绝对值，看等号是否恒成立，从而得出答案． 本题主要考查了含绝对值符号的等式．解决问题的关键是熟练掌握绝对值的化简，分类讨论． 【详解】当时， ，， 等式化为：， 成立； 当时， ，， 等式化为：， 解得：， 不符合题意； 当时， ，， 等式化为：， 矛盾． 故使成立的条件是：． 故选：D． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，，（，m为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数的变化规律以及绝对值的知识点，综合性较强，难度较大，理解题意，准确计算是关键． 根据其规律，求出其值，再判定结论是否正确即将可． 【详解】解：根据题意有， ①当，时，，， 故①错误； ②当，时，，， 同理：，，，，，，，，…，，， ， 故②正确； ③当，，时，， 则有：， 解得：或， 故③错误； ④当，，（，m为整数）时， ，，，，，，． 故④正确； 综上所述，正确的结论②④观点，共2个． 故选：B． 11．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了含有绝对值的一元一次方程，把含有绝对值的方程化成一般形式的一元一次方程是解题关键．先根据绝对值的非负性判断的取值范围，然后根据绝对值的性质把含有绝对值的方程化成一元一次方程的形式，解方程求出，再根据方程解的情况判断的取值，从而求出方程的解，再求出它们的和即可． 【详解】解：根据题意，， 或或或， 方程有3个解，即有两个相等， 显然，不成立， 若，则，此时方程有两个解，不成立； 若，则，因为，不成立； 若，则，此时方程有三个解，分别为2，18，； 该方程三个解的和为：， 故答案为：6． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【答案】4 【分析】本题考查的是绝对值的相关计算，理解绝对值方程四个解的意义，判断绝对值符号中的每个代数式的正负是解题的关键．由可化简得,在化简的过程中判断的符号，从而化简求值即可． 【详解】解：对于关于的方程有四个解， 可知均不为0，且，， ∴， 将原方程整理可得， ∴，， ∴，，， ∴， ∴． 【经典例题四 有理数混合运算的实际应用】 13．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）甲乙两人分别从，两地同时出发匀速相向而行，出发后小时两人相遇，若两人每小时都多走千米，则出发后小时两人相遇在距离中点千米的地方．已知甲比乙行得快，甲原来每小时行________千米（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意求出，两地的距离，进而求出甲现在的速度，即可求出甲原来的速度，根据题意正确列出算式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，两地相距为千米， ∴甲现在的速度为千米小时， ∴甲原来的速度为千米小时， 故选：． 14．（22-23七年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同， 所以乙所行的路程是甲所行的路程的3倍， ①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在边的中点处； ∵， ∴第2022次相遇在边上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 15．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）2022年2月4日是北京冬奥会开幕的日子，很多观众在检票之前就已经排队等候．设每分钟来的观众一样多，从开始检票到等候检票的队伍全部入园，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟，为了使15分钟内检票队伍全部入园，至少需要开 个检票口． 【答案】14 【分析】本题考查了牛吃草问题，假设每分钟每个检票口检票1人．根据乘法的意义，用即可求出60分钟检票的总人数，用即可求出30分钟检查的总人数，根据除法的意义，用60分钟检票的总人数减去30分钟检查的总人数，除以分钟，即可求出每分钟增加的人数，即6人，再用60分钟检票的总人数分钟×每分钟增加的人数即可求出开始检票前排队的人数；如果15分钟内要检票完，则15分钟×每分钟增加的人数+开始检票前排队的人数即可求出总人数，已知每分钟每个检票口检票1人，则15分钟每个检票口检查15人，用总人数除以15，即可求出检票口的总个数． 【详解】解：假设每分钟每个检票口检票1人， 每分钟增加的人数： （人） 开始检票前排队的人数： （人） （个） 答：至少需要开14个检票口． 故答案为：14． 16．（24-25七年级下·重庆·自主招生）小明、小红同时从A城沿相反方向出发，两人速度相同．上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【答案】火车每秒行米，小明和小红出发时间是：. 【分析】本题考查的是混合运算的应用，先计算小红与火车的速度和为每秒（米），火车与小明的速度差为每秒（米），可得火车的速度为每秒（米），可得小明，小红的速度为每秒米，可得上午9：00时，小明，小红之间的距离为：（米），再进一步求解即可. 【详解】解：因为上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒； 所以小红与火车的速度和为每秒（米）， 因为上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明， 所以火车与小明的速度差为每秒（米）， 因为小明、小红同时从A城沿相反方向出发，两人速度相同， 所以火车的速度为每秒（米）， 所以小明，小红的速度为每秒米， 所以上午9：00时，小明，小红之间的距离为： （米）， 所以（分钟）， 所以火车每秒行米，小明和小红出发时间是：. 【经典例题五 程序流程图】 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 先根据数据运算程序计算出前8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次：； 第2次：； 第3次：； 第4次：； 第5次：； 第6次：； 第7次：； 第8次：； …… ∴从第2次开始，每6次一个循环周期， ∴， ∴第2024次输出的结果是， 故选：B． 18．（23-24七年级上·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】首先根据题意，应用逆推法，用1乘以2，得到2；用2乘以2，得到4；用4乘以2，得到8；用8乘以2，得到16；然后分类讨论，判断出所有符合条件的a的值为多少即可． 【详解】解：根据分析，可得 则所有符合条件的a的值为：128、21、20、3． 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了探寻数列规律问题，考查了逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律． 19．（2023·甘肃平凉·模拟预测）有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么 ． 【答案】 【分析】由得到当，时，利用，得到，，，，然后根据此规律得到． 【详解】解： (其中，，)， ， (此时，，)， ， (此时，，)， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了有理数加减混合运算：有理数加减法统一成加法，也考查了学生的阅读理解能力．读懂题意找到规律是解题的关键． 20．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律题，有理数的混合运算，理解题意找到规律是解题的关键． （1）根据程序的运算法则计算解题即可； （2）根据题意，分两种情况列方程解应用题即可； （3）根据题目中给的三个性质依次运算解题即可． 【详解】（1）解：输入的值为，输出结果为：， 故答案为：； （2）当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意，舍去； 故答案为：； （3）当输入自然数，输入自然数，则， 根据性质③： ， 根据性质②： ， 根据性质①；， 综上，的值为． 【经典例题六 算 24 点】 21．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 22．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 23．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）你玩过24点游戏吧，请你运用加、减、乘、除运算和括号，写出数5、5、5、1得到24的算式 （每个数只能用一次）． 【答案】5×（5-1÷5）=24 【分析】根据，列出正确算式即可． 【详解】解：5×（5-1÷5）=24， 故答案为：5×（5-1÷5）=24． 【点睛】本题考查了有理数的混合运用，解题关键是恰当的运用运算符号和括号列出准确算式． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．(要写出两种运算式)． 【答案】（1）一个数抽−5，另一个数是−4时，最大值是20；（2）一个数抽−5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是−2.5；（3）(−5)×(−4)+6−2=24，(−4−2)−(−5)×6=24. 【分析】（1）从中抽2张卡片，要使这2张卡片上数字的乘积最大，则两个数必须同号，据此求解即可； （2）从中抽取2张卡片，要使这两张卡片数相除的商最小，则一个是正数，另一个是负数，据此求出最小值是多少即可． （3）用学过的运算方法，构造出两个算式，使结果为24即可． 【详解】（1）(+6)×(+2)=12 (−5)×(−4)=20 因为20>12， 所以其中的一个数抽−5，另一个数是−4时，最大值是20； （2）(−5)÷(+2)=−2.5 所以其中的一个数抽−5，另一个数是+2时，它们相除的最小值是−2.5； （3）从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，运算式子为： (−5)×(−4)+6−2=24，(−4−2)−(−5)×6=24. 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则和运算顺序并且能灵活运用是解题关键. 【经典例题七 绝对值的其他应用】 25．（23-24七年级·全国·假期作业）设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可知，异号，再根据，以及，即可确定，，，，，在数轴上的位置，而表示到，，三点的距离的和，根据数轴即可确定． 【详解】解：∵， ∴a，c异号， ∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵表示到，，三点的距离的和， 当在时距离最小， 即最小，最小值是与之间的距离，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值函数的最值问题，解决的关键是根据条件确定，，，，，之间的大小关系，把求式子的最值的问题转化为距离的问题，有一定难度． 26．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先用绝对值非负性求出a、b的值，代入到所求的代数式中再运用进行简便运算． 【详解】∵和是一对互为相反数 ∴+=0 ∴a=1，b=2 ∴ = = = = = 故选：C． 【点睛】此题考查绝对值的非负性和有理数的简便运算．其关键是要发现并运用对，，等进行裂项，并两俩抵消． 27．（2025·北京朝阳·模拟预测）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为 元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为 元． 【答案】 【分析】本题考查了优化问题．理解配送成本公式是解题的关键．不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，那么只能一次性将所有站点配送完，即从站点1到站点5. 根据配送成本公式计算即可．允许拆分配送时，为了使总成本最小，每次配送2个站点．例如站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小，分别计算再求和即可． 【详解】解：不允许拆分配送时，由于每个站点只能被配送一次且每次配送必须连续站点，有以下3种方案 方案1：配送 成本为元 方案2：配送 成本为元 方案3：配送 成本为元 ∴方案2成本最低为元 允许拆分配送时，为了使总成本最小，需要合理拆分配送站点．站点3位于中间，优先配送，然后每次途经站点3或已配送完的站点，配送费用最小， 站点3，包裹已经交付，则接下来，， 成本为元 故答案为：，22． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 (1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； (2)不等式的解集为______； (3)解不等式； (4)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 【答案】(1)小于； (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义，即可求解， （2）根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解， （3）根据绝对值的几何意义，首先得到或，即可求解， （4）根据绝对值的几何意义，得到，结合是整数，即可求解， 本题考查了，绝对值的几何意义，解题的关键是：熟练掌握绝对值的几何意义． 【详解】（1）解：不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离小于1， 不等式的解集为：， （2）解：表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离大于1， 得到不等式的解集为：或，即或， （3）解：∵， ∴，表示的意义：数轴上，数表示的点与数1表示的点的距离大于2， 得到不等式的解集为：或，即：或， （4）解：∵， ∴，即：， ∵， ∴，即，表示的意义：数轴上，数表示的点与数表示的点的距离小于4， 不等式的解集为：， ∵是整数， ∴的最小值为． 【经典例题八 有理数大小比较的实际应用】 29．（23-24七年级上·全国·课后作业）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【详解】分析：根据题意可知对称集合都是成对出现的，并且这对对应元素的和为2018，然后通过估算即可解答本题． 详解：∵在对称集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2018-a， ∴对称集合中的每一对对应元素的和为：a+2018-a=2018，2018×11=22198，2018×11.5=23207，2018×12=24216， 又∵一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897， ∴该集合总共的元素个数是11.5×2=23． 故选B． 点睛：本题考查有理数、是探究性问题，关键是明确什么是对称集合，集合中的各个数都是元素，明确对称集合中的元素个数，在此还要应用到估算的知识． 30．（23-24七年级上·贵州毕节·课后作业）已知a、b在数轴上对应的点如图1所示，下列结论正确的是(    ) A．a>b B．|a|<|b| C．－a<－b D．a<－b 【答案】D 【详解】如下图，把表示的点表示到数轴上，由图可知：， ∴A、B、C三个选项中的结论都是错的，只有D选项中的结论是正确的. 故选D. 31．（24-25七年级上·重庆开州·期末）对于一个三位正整数，其各个数位上的数字互不相等，若的百位数字与个位数字的平均数等于十位数字，则称为“平均数”．例如：753，因为，所以753是“平均数”；又如469，因为，所以469不是“平均数”，则“平均数”的最大值是 ；若“平均数”的各个数位上的数字之和能被7整除，则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 987 579 【分析】本题考查了新定义、有理数的大小比较、整式加减的应用，正确理解新定义是解答本题的关键．根据高位数字越大，该数字越大即可解答；设的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为，根据的各个数位上的数字之和能被7整除以及数位上的数字大小关系可得，再根据高位数字越小，该数字越小即可解答． 【详解】解：“平均数”有最大值， “平均数”的百位数字、十位数字要尽可能大， 当“平均数”的百位数字为9，十位数字为8，个位数字为7时符合题意， “平均数”的最大值为987； 设的百位数字为a，个位数字为b，则十位数字为， 各个数位上的数字之和为， “平均数”的各个数位上的数字之和能被7整除， 是14的倍数， 又，， ， ， 满足条件的有最小值， 满足条件的百位数字要尽可能小， 最大可取9， 最小可取，此时， 满足条件的的最小值为579． 故答案为：987；579． 32．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【答案】(1)小时 (2) (3)方案一 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用（行程问题，其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和算式是解题的关键． （1）根据“方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米”列方程求解即可； （2）根据“每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车” 列方程求解即可； （3）先分别求出两种方案的总费用，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时，则用飞机空运到甲地的时间为小时， 由题意得： ， 解得：， 从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间为小时； （2）解：设这批枇杷共有吨， 由题意得： ， 解得：， 故答案为：； （3）解：方案一： （元）， 方案二： （元）， ， 应选方案一， 答：应选用方案一使得总费用较少． 【经典例题九 有理数乘方的逆运算】 33．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律．观察所给图形，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：． 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：． 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：B． 34．（23-24九年级·浙江·自主招生）设表示数的个位数字．则（    ） A．400 B．450 C．500 D．550 【答案】B 【分析】根据表示数的个位数字，先对前面的数字按要求计算得到的数字规律，再利用规律将化简为代值求解即可得到答案． 【详解】解：表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， 表示数的个位数字， … 根据以上数字呈现的规律，表示数的个位数字，每个一循环， ， 故选：B． 【点睛】本题考查数字规律类问题，涉及乘方运算、有理数加法及乘法运算，读懂题意，找寻的数字规律是解决问题的关键． 35．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的乘方及绝对值的性质，能根据有理数的乘方及绝对值的性质得出、、之间的关系式解答此题的关键． 先根据，，均为整数，得出和均为整数，根据有理数乘方的法则得出关于、、的方程组，求出、、之间的关系，用表示出、，代入原式进行计算． 【详解】解：因为，，均为整数，所以和均为整数， 从而由可得或， 若，则， 从而． 若，则， 从而． 因此，． 故答案为：2． 36．（23-24九年级·浙江·自主招生）我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）添加一项1后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （2）提取后，根据题干中的结论计算，即可得到结果； （3）多次使用题干中的结论计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据已知有，当时，成立， ， ， 故答案为：； （2）解：根据题意得： ， 故答案为：； （3）解：根据已知有：当时，成立， ，，，， ， 上式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了观察、类比、数字类律探索的知识；解题关键是熟练掌握观察、类比、数字类规律探索的方法，结合运算法则完成求解． 【经典例题十 有理数乘方的逆运算】 27．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方的逆运算、积的乘方的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据有理数乘方的逆运算可得，再根据积的乘方的逆用计算即可得． 【详解】解： ， 故选：D． 38．（23-24七年级上·江苏泰州·周测）计算(－2)2009+3×(－2)2008的值为(    ) A．－22008 B．22008 C．(－2)2009 D．5×22008 【答案】B 【详解】试题分析：根据有理数的乘方的意义，可知(－2)2009+3×(－2)2008=（-2）×（-2）2008+3×(－2)2008=（-2+3）× (－2)2008=22008. 故选B. 39．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 【答案】 1 【分析】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 40．（23-24七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【答案】(1)1， (2)D (3)12 (4) 【分析】（1）根据规定运算，直接计算即可； （2）根据新定义逐项判断； （3）先把圈n次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可； （4）分，，，，四种情况分别讨论，再合并结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ；； （2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，，故正确； B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，，故正确； C．，， 且， 则，故正确； D．1和的圈n次方都等于它本身，，或1，故错误； 故选D； （3） ； （4）， 1、当时， ， 当时，， 最小值为； 2、当时， ； 3、当时， ， ； 4、当时， ， 当时，， 最小值为； 综上：的最小值为，的取值范围是． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，化简绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【经典例题十一 乘方的应用】 41．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，由的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，，结合已知条件和，，，，可得出一共有5种情况，则5种． 【详解】解：的因数有1，2，3，5，9，10，15，18，25，，125，225，， ∵为互不相等的正整数，且，，，，且， ∴当取1时， y取3，则， y取5，则， y取15，则， 当取5时， y取3，则， y取1，则， 综上，一共有5种情况，则5种， 故选：A． 42．（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设6种商品最初的价格为，则天后商品的价格为，然后分别表示出6中商品的价格，然后根据题意列式计算． 【详解】解：设6种商品最初的价格为，过了n天后，这n天中假设有m天是降价的，剩余的（n－m）天是涨价的，（其中m为自然数，且0≤m≤n）， 则天后商品的价格为， ∴6种商品的价格可以表示为： ①，②，③，④，⑤，⑥，其中m为不超过n的自然数， 设最高价格和最低价格的比值为， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查有理数乘方的应用，理解题意能够列出六种商品的价格是解题关键． 43．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 【答案】 【分析】根据翻折变换表示出所得图形的面积，再根据各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积进行计算即可得解. 【详解】解：由题意可知，S1=，S2=，S3=，…，S2022=， 剩下部分的面积= S2022=， ∴S1+S2+S3+…+S2022=1－， 故答案为：1－. 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现各部分图形的面积之和等于正方形的面积减去剩下部分的面积是解题关键． 44．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08有理数及其运算44道压轴题型专训（11大题型） 题型一 数轴上的翻折问题 题型二 绝对值的几何意义 题型三 绝对值方程 题型四 有理数混合运算的实际应用 题型五 程序流程图 题型六 算 24 点 题型七 绝对值的其他应用 题型八 有理数大小比较的实际应用 题型九 有理数乘方的运算 题型十 有理数乘方的逆运算 题型十一 乘方的应用 【经典例题一 数轴上的翻折问题】 1．（24-25七年级下·河南开封·期末）一个长方形在数轴上的位置如图所示，，，若此长方形绕着顶点按照顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为1，求翻转2018次后，点所对应的数（　　） A．5040 B．5042 C．5043 D．5044 2．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．（24-25七年级上·河北保定·期中）正方形在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，第次翻转后，点所对应的数为；则翻转次后，数轴上数所对应的点是 ． 4．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是1，，，请结合数轴，解答下面的问题： 【发现问题】 （1）数轴上，与点的距离为3的点表示的数是________． 【探究问题】 （2）①若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是________； ②在①的情况下，若此数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），且当点与点重合时，点与点也恰好重合，求，两点表示的数． 【拓展延伸】 （3） 已知数轴上，两点间的距离为（点在点的左侧），表示数的点到，两点的距离相等，若将数轴折叠，使得点与点重合，则，两点表示的数分别是________，________．（用含，的代数式表示） 【经典例题二 绝对值的几何意义】 5．（24-25七年级上·海南海口·期中）式子的值取到最小值时，满足（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级上·江苏徐州·阶段练习）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级上·广西桂林·阶段练习）对于数轴上的一切数，式子的最小值是 ． 8．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下面材料： 在数轴上点A、B分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离，例如，当，． 回答下列问题： (1)①在数轴上表示与两点间的距离是 ， ②在数轴上表示x与4两点间的距离是 ； ③在数轴上表示x与________两点之间的距离为． (2)下面对式子进行探究： ①当表示数x的点在与4之间移动时，的值总是一个固定的值为：___________． ②要使，数轴上表示的数___________________． (3)求的最小值． 【经典例题三 绝对值方程】 9．（2024七年级·全国·竞赛）使成立的条件是（    ）． A．为任意数 B． C． D． 10．（24-25九年级上·重庆·期中）有一组非负整数：，，…，．从开始，满足，，，…，，某数学小组研究了上述数组，得出以下结论： ①当，时，； ②当，时，； ③当，，时，； ④当，，（，m为整数）时，． 其中正确的结论个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25七年级上·浙江金华·期末）若关于的方程有三个解，则该方程三个解的和为 ． 12．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于的方程有四个解，化简． 【经典例题四 有理数混合运算的实际应用】 13．（2024七年级下·浙江杭州·竞赛）甲乙两人分别从，两地同时出发匀速相向而行，出发后小时两人相遇，若两人每小时都多走千米，则出发后小时两人相遇在距离中点千米的地方．已知甲比乙行得快，甲原来每小时行________千米（   ） A． B． C． D． 14．（22-23七年级上·浙江·单元测试）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形的顶点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边（    ）上． A． B． C． D． 15．（25-26七年级上·四川成都·开学考试）2022年2月4日是北京冬奥会开幕的日子，很多观众在检票之前就已经排队等候．设每分钟来的观众一样多，从开始检票到等候检票的队伍全部入园，若同时开8个检票口需60分钟；同时开10个检票口需30分钟，为了使15分钟内检票队伍全部入园，至少需要开 个检票口． 16．（24-25七年级下·重庆·自主招生）小明、小红同时从A城沿相反方向出发，两人速度相同．上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【经典例题五 程序流程图】 17．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是，…，则第2024次输出的结果是（   ） A． B． C． D． 18．（23-24七年级上·山西·期中）小明在计算机上设置了一个运算程序：任意输入一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2．通过对输出结果的观察，他发现了一个有意思的现象：无论输入的自然数是多少，按此规则经过若干次运算后可得到1．例如：如图所示，输入自然数5，最少经过5次运算后可得到1．如果一个自然数a恰好经过7次运算后得到1，则所有符合条件的a的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 19．（2023·甘肃平凉·模拟预测）有一个运算程序，可以使：（为常数）时，得，，现在已知，那么 ． 20．（23-24七年级上·陕西西安·期中）计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机， (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为________    (2)如图，同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0，则输入的________    (3)同学也设置了一个计算装置示意图，、是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由，分别输入自然数和，经过计算后的自然数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：    ①若、分别输入1，则输出结果1，记； ②若输入1，输入自然数增大1，则输出结果为原来的2倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大1，则输出结果比原来增大2，记； 问：当输入自然数7，输入自然数6时，的值是多少？ 【经典例题六 算 24 点】 21．（23-24七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 22．（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 23．（23-24七年级上·福建漳州·阶段练习）你玩过24点游戏吧，请你运用加、减、乘、除运算和括号，写出数5、5、5、1得到24的算式 （每个数只能用一次）． 24．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列问题： (1)从中2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取，最大值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这两张卡片数相除的商最小，如何抽取，最小值是多少？ (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子．(要写出两种运算式)． 【经典例题七 绝对值的其他应用】 25．（23-24七年级·全国·假期作业）设有理数a、b、c满足，且，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24七年级上·广东东莞·期中）已知和是一对互为相反数，的值是（   ） A． B． C． D． 27．（2025·北京朝阳·模拟预测）某快递公司配送包裹至n个站点，站点按顺序编号为1至n，从站点i到站点j的配送成本为，其中表示站点i的包裹大小．已知包裹大小序列为：，，，，．若每次配送必须连续站点（如从站点2到站点4），且每个站点只能被配送一次，则完成所有站点配送的最小总成本为 元；若允许拆分配送（每个站点可被多次访问，但包裹只交付一次），最小总成本为 元． 28．（23-24七年级下·吉林长春·期末）对于绝对值不等式，甲同学根据绝对值的几何意义给出求解方法，表示的意义：数轴上，数x表示的点与原点的距离大于1． 观察数轴，得到不等式的解集为：或 (1)根据甲同学提供的方法，不等式表示的意义：数轴上，数表示的点与原点的距离______1（填“大于”或“小于”），观察数轴，得到不等式的解集为______； (2)不等式的解集为______； (3)解不等式； (4)已知关于的二元一次方程组的解满足，若是整数，求的最小值． 【经典例题八 有理数大小比较的实际应用】 29．（23-24七年级上·全国·课后作业）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2018﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，2016}就是一个对称集合，若一个对称集合所有元素之和为整数M，且23117＜M＜23897，则该集合总共的元素个数是（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 30．（23-24七年级上·贵州毕节·课后作业）已知a、b在数轴上对应的点如图1所示，下列结论正确的是(    ) A．a>b B．|a|<|b| C．－a<－b D．a<－b 31．（24-25七年级上·重庆开州·期末）对于一个三位正整数，其各个数位上的数字互不相等，若的百位数字与个位数字的平均数等于十位数字，则称为“平均数”．例如：753，因为，所以753是“平均数”；又如469，因为，所以469不是“平均数”，则“平均数”的最大值是 ；若“平均数”的各个数位上的数字之和能被7整除，则满足条件的的最小值是 ． 32．（24-25七年级上·福建福州·期末）枇杷是福清市一都镇传统特产，具有皮薄，汁多，味清甜，吃后沁心润喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：某批发市场计划准备从福清市一都镇运输一批枇杷到甲地出售，为保证枇杷新鲜需用带冷柜的货车运输或空运．货车运输的平均速度为80千米/时，飞机的平均速度为800千米/时， 方案一：从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地； 方案二：从福清市一都镇先用带冷柜的货车运输到机场用时1小时后用飞机空运到甲地； 方案二比方案一少用11小时，且路程少160千米． 材料二：已知有一批枇杷用带冷柜的货车每辆运8吨，则刚好运完，若每辆运7吨，则还剩2吨枇杷没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，运这批枇杷从福清市一都镇到甲地 陆运单价 冷柜车 空运单价 7000元/吨 400元/（小时·辆） 10000元/吨 注意：如选方案二空运，则陆运时间段只收冷柜使用费，且在飞行途中不收冷柜使用费． 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费． 请同学们根据材料一、材料二提供的信息完成3个任务： (1)请求出从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地的时间； (2)这批枇杷共有_______吨． (3)本次从福清市一都镇直接用带冷柜的货车运输一批枇杷到甲地，冷柜车一次运8吨，应选用那种方案使得总费用较少？ 【经典例题九 有理数乘方的逆运算】 33．（23-24七年级上·四川泸州·期末）根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B． C．510 D．512 34．（23-24九年级·浙江·自主招生）设表示数的个位数字．则（    ） A．400 B．450 C．500 D．550 35．（22-23九年级下·重庆渝中·自主招生）若a、b、c均为整数，且满足，则 ． 36．（23-24九年级·浙江·自主招生）我们已知道：， 事实上：（为正整数）成立， 故有：当时，成立． 由以上结论填写下列代数式结果： (1)__________； (2)___________； (3)____． 【经典例题十 有理数乘方的逆运算】 27．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 38．（23-24七年级上·江苏泰州·周测）计算(－2)2009+3×(－2)2008的值为(    ) A．－22008 B．22008 C．(－2)2009 D．5×22008 39．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么 ； （2）如果，，那么 ． 40．（23-24七年级上·福建泉州·期中）【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们写作，读作“的圈4次方”，一般地把（）写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 (1)直接写出计算结果：______；______； (2)下列关于除方说法中，不正确的是（    ）． A．任何非零数的圈2次方都等于1；        B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； C．                        D．1和的圈n次方都等于它本身． (3)算一算： (4)当取得最小值时，写出x的取值范围． 【经典例题十一 乘方的应用】 41．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若为互不相等的正整数，且，则（　　） A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 42．（23-24七年级下·浙江金华·期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或涨价10％，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为（      ） A． B． C． D． 43．（23-24七年级上·辽宁抚顺·期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S1+S2+S3+…+S2022＝ ． 44．（24-25七年级上·广东深圳·期中）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 学科网（北京）股份有限公司 $