专题2.6 幂函数与指、对数函数（练习）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.6 幂函数与指、对数函数 【新高考专用】 题型一 指数幂与对数式的化简、求值 1．（2024·天津河西·三模）已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 【解题思路】由指对互换，表示出，代入原式即可. 【解答过程】由， . 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【解题思路】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案. 【解答过程】设，则且， ∴，，， 显然，则，，， 由得，即， 等式两边同除以得，， 其中， 故，. 故选：C． 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，则 ． 【解题思路】先根据指数运算求出的值，根据对数运算的知识求得值，代入求出的值. 【解答过程】因为，所以， 所以 ， 即，所以， 所以． 故答案为：. 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 3 ． 【解题思路】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【解答过程】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 题型二 指对幂函数的定义与解析式 5．（2024高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 【解题思路】利用指数函数的定义，对所给函数逐一判断即可. 【解答过程】①中，的系数是－1，故①不是指数函数； ②中，的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数； ③中，的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有一项，故③是指数函数； ④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数． ⑤中，底数，不是指数函数． 综上，指数函数的个数为1， 故选：B. 6．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用待定系数法求解即可. 【解答过程】设， 由的图象过点， 则，解得， 所以， 故选：A. 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ． 【解题思路】根据对数函数的定义求解即可. 【解答过程】由对数函数的定义可知，解得. 故答案为：. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 【解题思路】利用指数函数定义可求解. 【解答过程】因为函数是指数函数，所以需满足， 解得且.故实数的取值范围为. 故答案为：. 题型三 指对幂函数的定义域与值域问题 9．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用二次函数与对数函数的性质即可得解. 【解答过程】对于，有，解得， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 当时，，当时，， 所以当时，，即， 又在其定义域内单调递增， 所以，则， 则的值域为. 故选：D. 10．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【解题思路】根据题意可得函数在上递增，利用可得的值. 【解答过程】解法1：因为， 所以， 所以关于对称. 因为，函数在区间上的值域为，所以. 解法2：因为在上递增， 所以. 解法3：取，因为在上递增， 所以. 故选D. 11．（2024·上海宝山·一模）函数的定义域是 . 【解题思路】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果. 【解答过程】要使函数有意义，则应满足，即 该不等式等价于，解得. 所以，函数的定义域是. 故答案为：. 12．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 【解题思路】分别计算出分段函数每段函数取值范围后取并集即可得. 【解答过程】当时，， 当时，， 所以的值域为． 故答案为：. 题型四 指对幂函数的图象问题 13．（2024·四川成都·一模）已知函数，则函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】 分析函数的定义域、奇偶性及其在时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为， 因为，即函数为奇函数，排除BD选项， 当时，，则，排除C选项. 故选：A. 14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【解答过程】由题意结合图象可知. 故选：B. 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 【解题思路】运用指数函数图像，和平移对称变换规律作图即可. 【解答过程】（1）将已知图象向右平移一个单位即可， （2）将已知图象向下平移一个单位即可， （3）作已知图象关于x轴对称的图象即可， 16．（2024高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 【解题思路】（1）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象； （2）先作出函数的图象，根据函数图象变换可作出函数的图象． 【解答过程】（1）因为， 所以可以先将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象， 再作所得图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 最后将所得图象向下平移个单位，得函数的图象， 即为函数的图象，如下图所示：    （2）作函数的图象关于轴对称的图象，得函数的图象， 再把所得图象在轴下方的部分翻折到轴上方，可得到函数的图象，如下图所示：    题型五 指对幂函数的单调性问题 17．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数型复合函数的单调性即可得出答案. 【解答过程】令，则， 由复合函数的单调性可知： 的单调递减区间为函数的单调递减区间， 又函数， 即函数为偶函数， 结合图象，如图所示， 可知函数的单调递减区间为和， 即的单调递减区间为和． 故选：C． 18．（2024·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 【解题思路】首先根据幂函数所过的点求解幂函数解析式并判断函数单调性，然后通过自变量大小关系结合函数单调性判断函数值大小关系即可 【解答过程】已知幂函数经过点，可得：，解得：. 即，易知在上为单调递减函数. 由于，可得：，即； 又因为，，可得：，即； 综上所述：. 故选：B. 19．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【解题思路】根据复合函数的单调性，结合二次不等式恒成立问题，列不等式组求解即可. 【解答过程】由复合而成. 而单调递增，只需要单调递减. 且在上恒成立.则即可，解得. 故实数a的取值范围是. 故答案为：. 20．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】利用分段函数的单调性，结合指数函数单调性，按单调递减和单调递增分类列式求解. 【解答过程】函数在上单调， 当在上单调递减时，，解得； 当在上单调递增时，，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型六 指对幂数比较大小 21．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【解答过程】由函数是增函数，则，所以， 由函数是增函数，则，所以， 由函数是减函数，则，所以， 由，， 由函数是增函数，则，即， 故选：B. 22．（2024·宁夏银川·二模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为，， ， 所以. 故选：A． 23．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 【解题思路】根据指数函数和对数函数的性质确定出的范围，即可求解. 【解答过程】因为， ，且， ， 故， 故答案为：. 24．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ． 【解题思路】由对数函数及指数函数单调性得到，，，从而得到大小关系. 【解答过程】因为在上单调递减，， 故且，所以， 因为在R上单调递减，， 所以， ， 故. 故答案为：. 题型七 解不等式问题 25．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇偶性定义判断出为偶函数，再根据上的单调性得到参数的取值范围. 【解答过程】由题意可知的定义域为，且，所以为偶函数． 当时，函数，单调递减． 若成立，则，解得或． 又，所以正实数的取值范围是． 故选：A． 26．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数的单调性和奇偶性结合对数函数的单调性解不等式即可. 【解答过程】当时，， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在区间上单调递增，且， 又为R上的偶函数， 则，即，即， 所以，解得，即原不等式的解集为． 故选：C． 27．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【解题思路】根据题意得到幂函数的定义域和单调性，得到不等式的等价不等式组，即可求解. 【解答过程】由幂函数， 可得函数的定义域为，且是递减函数， 因为，可得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 28．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】由，根据奇偶性、单调性定义及复合函数单调性判断性质，再由性质得即可求范围. 【解答过程】由题设，定义域为， ，即为偶函数， 在上，令，且， 则， 由，故，即函数在上递增， 而在定义域上递增，故在上递增， 所以，可得， 故，可得. 故答案为：. 题型八 反函数 29．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解题思路】根据原函数与反函数图象和性质之间的关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案． 【解答过程】当时，，， 此时函数与它的反函数的图像有两个公共点，故①错误； ②若函数有反函数， 则函数一定是一一映射，但它不一定是单调函数；故②错误 ③若函数存在反函数，若x不属于函数的定义域时， 无意义； 当x不属于函数的定义域时，无意义；故③错误； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性，故④正确； 故不正确的命题的个数为3个， 故选：D． 30．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解. 【解答过程】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A. 31．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 【解题思路】根据给定条件，求出的解析式，再代入求值即可. 【解答过程】由函数是函数（）的反函数，得， 又函数的图象经过点，则，因此， 所以. 故答案为：. 32．（24-25高三上·全国·自主招生）函数的反函数，且的图象过点，则函数的图象一定过点 . 【解题思路】由已知，求得，进而可得，即可求得答案. 【解答过程】因为函数的反函数，且的图象过点， 所以，则， 所以当时， ， 所以函数的图象一定过点． 故答案为：． 题型九 指数函数与对数函数的综合应用 33．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数， ，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】计算出，结合，的单调性得到，并求出在区间上的值域为，由题意得到在上的值域包含在上的值域，从而得到不等式，求出 【解答过程】在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，，即在区间上的值域为. ， 令，得，解得或， 画出，的图象如图所示， 若，，使得成立， 则需要在上的值域包含在上的值域， 则，解得，即的取值范围是. 故选：A. 34．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性及复合函数的单调性可得函数为偶函数且在单调递增，进而关于直线对称，且在单调递增，结合条件可得，解不等式即得. 【解答过程】因为的定义域为R，又，故函数为偶函数， 又时， ，单调递增，故由复合函数单调性可得函数在单调递增，函数在定义域上单调递增， 所以在单调递增， 所以 ， 所以关于直线对称，且在单调递增． 所以， 两边平方，化简得，解得． 故选：C． 35．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 【解题思路】（1）解指数不等式，得到解集； （2）变形得到，结合，求出的值域； （3）转化为，求出，故，得到答案. 【解答过程】（1）由，得 整理得 解得， 的解集为 （2） ， ， ， 即的值域为． （3）不等式对任意实数恒成立 ． ， 令，，， 设，， 当时，取得最小值，即， ，即， ，即，解得， 实数的取值范围为． 36．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案. （2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性. （3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案. 【解答过程】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； （2）在和上单调递减，证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； 所以在，上单调递减. （3）函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据函数解析式以及对数运算法则可得函数满足，即可得对称中心为. 【解答过程】易知的定义域为， 所以可得， 因此 ， 即函数满足，因此的对称中心为. 故选：B. 2．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【解题思路】利用对数的运算法则计算即可. 【解答过程】根据题意可得，， 两式相减得，所以， 所以，所以. 故选：C. 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的性质，结合充分条件的定义进行判断即可. 【解答过程】当时，， 因为函数的定义域，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故A错误； 当时，，因为函数的定义域，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，不合题意，故B错误； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为偶函数，符合题意，故C正确； 当时，，定义域为，关于原点对称，且， 所以为奇函数，不合题意，故D错误. 故选：C. 4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】判断与的大小关系，然后计算即可. 【解答过程】由题可知，， 故 故选：A. 5．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断函数的奇偶性，再根据图像趋势即可判断. 【解答过程】函数定义域为，且， 所以图像关于原点对称，排除A、C；当从正向无限趋近于0时， 也正向无限趋近于零；所以排除D； 故选：B. 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解 【解答过程】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减， 所以在上是减函数， ，即， 所以， 所以， 所以，即实数a的取值范围为. 故选：D. 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 【解题思路】先得出，再由基本不等式得出答案. 【解答过程】当时，，即 因为在直线上，所以 当且仅当时，取等号，即的最小值为. 故选：C. 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据曲线在点处的切线方程判断曲线和的交点情况，求方程的根，并根据函数的单调性及零点存在定理判断该根的大致范围，判断的图象与直线，的交点情况 【解答过程】函数的零点个数即方程的根的个数．令，则方程等价于． 求曲线在点处的切线方程，得曲线和的交点情况 对于函数，易知当时，，， 故曲线在点处的切线方程为， 因此曲线和无交点．（技巧：通过研究曲线在点处的切线， 数形结合判断曲线和的交点情况） 求方程的根，并判断该根的大致范围： 将代入，得， 则，令，得或， 故当时，，与无交点， 作出函数和的大致图象如图所示，结合图象可知， 方程有且仅有1个解，且此解就是方程的解． 易知函数是增函数，且，（点拨：因为，所以，故）因此方程的解． 又当时，，所以无解，显然有2个解， 所以函数有2个零点， 故选：B． 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由解析式直接判断函数的奇偶性与单调性即可得解. 【解答过程】对于A，是奇函数，在其定义域上单调递减，故A正确； 对于B，是在其定义域上单调递增的指数函数，故B错误； 对于C，，故在其定义域上不单调递减，故C错误； 对于D，是奇函数，在其定义域上单调递减，故D错误. 故选：AD. 10．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先由题意得，对于A，结合对数函数单调性即可得解；对于B，结合A得即可得解；对于C，举一反例，如，时即可判断；对于D，由A结合对勾函数单调性即可得解. 【解答过程】因为，所以， 当时，为减函数，； 当时，为增函数，解得，故选项A错误； 对于B，由A得，即，故选项B正确； 对于C，当，时，，故选项C错误； 对于D，在上单调递减，在上单调递增， 所以由A得，选项D正确. 故选：BD. 11．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．函数有两个零点 【解题思路】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D. 【解答过程】函数定义域为，又， 令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又为单调递增函数， 所以在上单调递增，在上单调递减，故选项A正确； 因为函数的对称轴为，则函数关于直线对称，故选项B错误，选项C正确； 因为，所以函数， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上为增函数， 则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示： 故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确. 故选：ACD． 三、填空题 12．（2024·河南·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则 6 . 【解题思路】根据幂函数定义可得，代入点，即可得，即可得结果. 【解答过程】因为为幂函数， 则，可得，即， 又因为的图象经过点，则，可得， 所以. 故答案为：6. 13．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 2 . 【解题思路】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【解答过程】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 14．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【解题思路】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【解答过程】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为：. 四、解答题 15．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 【解题思路】（1）根据在区间上是严格减函数可得，解不等式可得整数的值，检验是否符合奇函数即可； （2）对任意实数，不等式恒成立，而在上为减函数，由此可得解． 【解答过程】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数， 可得，解得， 由于,故，1，2， 当和时，，此时为奇函数，符合要求， 当时，，此时为偶函数，不符合要求， ； （2）不等式，即， 又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数， 所以，则， 所以实数的取值范围为 ． 16．（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 【解题思路】（1）将给定数据代入函数模型，求出常数及对应的函数关系. （2）由（1）中关系式，求出时的值. 【解答过程】（1）依题意，，且当，时，， 则，，解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 整理得，解得， 王大爷要等待约分钟. 17．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）根据函数是偶函数及即可求解； （2）根据函数的单调性，将问题转化为方程有两个不相等的正根，再利用根与系数的关系即可求解. 【解答过程】（1）因为函数是定义在上的偶函数， 当时，，且， 所以，解得， 所以当时，， 当时，，所以， 所以函数的解析式为. （2）假设存在正实数满足题意. 因为当时，， 所以函数在上是增函数， 所以，即， 所以是方程的两个不相等的正根， 所以，且， 所以,所以, 所以存在正实数，使得当时，函数的值域为. 18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 【解题思路】（1）求出函数式，结合指数函数、二次函数值域求解即得. （2）变形给定不等式，按分段讨论求出的范围. （3）利用函数的单调性求出给定区间上的值域，结合已知转化为一元二次方程有两个不等的正实根求解即得. 【解答过程】（1）依题意，， 由，得，则， 当，即时，；当，即时，， 所以函数在时的值域为. （2）不等式， 当时，； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此； 当时，，则恒成立， 又在上递减，在上的值域为，因此， 所以实数的取值范围为. （3）当时，在上单调递增， 又当时，值域为， 因此，即， 则是关于的方程，即的两个不相等的正根， 则，解得， 所以正数的取值范围为. 19．（2024·广东湛江·一模）已知函数是偶函数，是自然对数的底数， (1)求的最小值 (2)当时， （i）令，，求的值域 （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值． 【解题思路】（1）由函数是偶函数，得到，再代入所求式子，表示为的二次函数求最值； （2）（ⅰ）由条件可知，，求函数d的解析式，并判断函数的单调性，即可求解函数的值域； （ⅱ）利用反证法进行证明. 【解答过程】（1）函数的定义域为，根据偶函数的定义： ，，即， 即：上式对任意恒成立，这等价于． ，等号成立当且仅当，． 所以的最小值为． （2）（ⅰ）由（1）可得：，由于，为偶函数，故只需考虑时，的值域， ， ， 令，，， ∴，单调递增，∴在上单调递增， 的值域为，，． 故的值域为． （ⅱ）对于常数，令，为偶函数． 下面先证明一个结论：在上单调递增． 证明： ． 由(2)可得：为偶函数，在上单调递增，∴在上单调递增， 证毕． 对于，，且， 先证明：当取最大值时，，，，中最多只有一个，其余的数要么等于，要么等于． 用反证法，假如当取最大值时，，，，中存在两个数，，不妨设， 记，则，且，． 记，则，根据的单调性可知 ， 在中，将，分别替换成，， 其余的数不变的情况下，得到了更大的值，这与取最大值相矛盾 ∴：，，，中最多只有一个． ，，，中没有数字在区间时，，，，中的每一个数，要么等于，要么等于， 记，，，中等于的元素个数为，，，这与为整数矛盾 ，，，中只有一个数字在区间时，不妨记为，记等于的数字个数为， 则等于的数字个数为，则． 即：，由于，， 又∵，∴，， ∴这1000个数为，其中有333个，个2． ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 幂函数与指、对数函数 【新高考专用】 题型一 指数幂与对数式的化简、求值 1．（2024·天津河西·三模）已知，，则（    ） A． B． C．25 D．5 2．（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知，则 ． 4．（2024·湖南湘西·模拟预测）已知实数x，y满足，则 ． 题型二 指对幂函数的定义与解析式 5．（2024高一·江苏·专题练习）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是对数函数，则 ． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数是指数函数，则实数a的取值范围为 . 题型三 指对幂函数的定义域与值域问题 9．（2024·甘肃庆阳·一模）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知函数在区间上的值域为.若，则的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．（2024·上海宝山·一模）函数的定义域是 . 12．（2024·全国·模拟预测）函数的值域为 ． 题型四 指对幂函数的图象问题 13．（2024·四川成都·一模）已知函数，则函数的图象的可能是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 16．（2024高一·全国·专题练习）作出下列函数的图象： (1)； (2)． 题型五 指对幂函数的单调性问题 17．（2024·江西·模拟预测）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·四川泸州·一模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则a，b，c的大小关系为（　　） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b 19．（2024·江苏宿迁·一模）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 20．（2024·山东·一模）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 题型六 指对幂数比较大小 21．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 22．（2024·宁夏银川·二模）若，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·北京通州·三模）已知，，，则三者大小关系为 （按从小到大顺序） 24．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为 ． 题型七 解不等式问题 25．（2024·全国·模拟预测）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·全国·模拟预测）已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·全国·课后作业）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 28．（2024·湖北武汉·二模）已知函数，若，则实数的取值范围为 ． 题型八 反函数 29．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中，不正确命题的个数为（    ）． ①函数与它的反函数的图像没有公共点； ②若函数有反函数，则它一定是单调函数； ③若函数存在反函数，则必有成立； ④函数与它的反函数在相应区间上有相同的单调性． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 30．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 31．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）若函数是函数（）的反函数，且的图象经过点，则 ． 32．（24-25高三上·全国·自主招生）函数的反函数，且的图象过点，则函数的图象一定过点 . 题型九 指数函数与对数函数的综合应用 33．（2024·山西·模拟预测）记表示，二者中较大的一个，函数， ，若，，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·湖北·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 35．（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数． (1)求不等式的解集； (2)求函数的值域； (3)若不等式对任意实数恒成立，试求实数的取值范围． 36．（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 一、单选题 1．（2024·河南·模拟预测）函数图象的对称中心是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东广州·模拟预测）大西洋鲑鱼每年都要逆游而上游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数.若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，游速为时耗氧量的单位数为，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．（2024·四川南充·模拟预测）已知幂函数，下列能成为“是R上的偶函数”的充分条件的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·海南海口·模拟预测）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新疆·模拟预测）函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数（，且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为（    ） A．13 B． C． D．8 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数（），函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（2024·全国·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·全国·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（2024·陕西宝鸡·二模）已知函数，则（    ） A．在单调递增 B．的图象关于点对称 C．的图象关于直线对称 D．函数有两个零点 三、填空题 12．（2024·河南·模拟预测）已知幂函数的图象经过点，则 . 13．（2024·上海普陀·模拟预测）函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 14．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数. (1)求函数的表达式； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围. 16．（2024·广东湛江·一模）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位：，可由公式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式计算结果四舍五入精确到； (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至时再饮用，根据（1）的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到分钟． 参考数据：，，是自然对数的底数， 17．（2024·山东·模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求函数的解析式； (2)是否存在正实数m，n，使得当时，函数的值域为．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由． 18．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数． (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)当时，函数的值域为，求正数的取值范围． 19．（2024·广东湛江·一模）已知函数是偶函数，是自然对数的底数， (1)求的最小值 (2)当时， （i）令，，求的值域 （ii）记，已知，，且，当取最大值时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$