专题2.5 幂函数与指、对数函数【九大题型】（讲义）-2025年高考数学二轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.5 幂函数与指、对数函数【九大题型】 【新高考专用】 1、幂函数与指、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函数进行灵活处理. 【知识点1 幂函数及其解题策略】 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点2 指数、对数运算的解题策略】 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】 1．指数函数的常见问题及解题思路 (1)比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. (2)指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. (3)指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 2．对数函数的常见问题及解题思路 (1)对数函数图象的识别及应用 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数幂与对数式的化简、求值】 【例1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【变式1-1】（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【变式2-3】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【题型3 指对幂函数的定义域与值域问题】 【例3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 【变式3-2】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【变式3-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型4 指对幂函数的图象问题】 【例4】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型5 指对幂函数的单调性问题】 【例5】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 指对幂数比较大小】 【例6】（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·四川眉山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）设，，.则（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 解不等式问题】 【例7】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2024·广东肇庆·一模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型8 反函数】 【例8】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【变式8-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【变式8-3】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【变式9-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数是偶函数，其中为实数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【变式9-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 11．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 14．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 15．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为 . 16．（2024·全国·高考真题）已知且，则 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 幂函数与指、对数函数【九大题型】 【新高考专用】 1、幂函数与指、对数函数 幂函数、指数函数与对数函数是高中三类常见的重要函数，在历年的高考中都占据着重要的地位，是高考常考的热点内容.从近几年的高考情况来看，对幂函数、指数函数与对数函数的考查，主要以基本函数的性质为依托，结合指、对数的运算性质，运用幂函数与指、对数函数的图象与性质解决具体的问题，包括比较指对幂的大小、解不等式等题型.在复习过程中要掌握相关知识，能对常见的指数型函数、对数型函数进行灵活处理. 【知识点1 幂函数及其解题策略】 1．幂函数的解析式 幂函数的形式是(∈R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式. 2．幂函数的图象与性质 在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点2 指数、对数运算的解题策略】 1．指数幂运算的一般原则 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加.②运算的先后顺序. (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 2．对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. (3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 【知识点3 指数函数与对数函数的常见问题及解题思路】 1．指数函数的常见问题及解题思路 (1)比较指数式的大小 比较指数式的大小的方法是：①能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； ②不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. (2)指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. (3)指数型函数的解题策略 涉及指数型函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 2．对数函数的常见问题及解题思路 (1)对数函数图象的识别及应用 ①在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. ②一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. (2)对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 【题型1 指数幂与对数式的化简、求值】 【例1】（2024·青海·模拟预测）若，，则（   ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【解题思路】本题考查指数式与对数式的互化、对数的运算法则、换底公式的应用. 【解答过程】由 ， 所以 故选：A. 【变式1-1】（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【解答过程】由，，可知， . 故选：B. 【变式1-2】（2024·陕西西安·模拟预测）设a，b，c都是正数，且，那么（   ）． A． B． C． D． 【解题思路】将指数式化为对数式，根据对数换底公式、对数运算法则逐项验证即可． 【解答过程】依题意设，则，，， 所以， 则，故A，C错误； 则，故B错误； 则，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（2024·辽宁丹东·一模）若，，，则（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据题意，结合指数幂与对数的互化公式，结合对数的换底公式，即可求解. 【解答过程】由，，，可得， 所以，则. 故选：B. 【题型2 指对幂函数的定义与解析式】 【例2】（24-25高一上·全国·课前预习）下列函数是对数函数的是（    ） A．（且） B． C． D．（且） 【解题思路】利用对数函数的定义求解． 【解答过程】根据对数函数的定义且, 分析A,B,C,D函数形式， 函数为对数函数. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，（且），代入点运算求解即可. 【解答过程】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 【变式2-2】（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【解题思路】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【解答过程】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 【变式2-3】（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【解题思路】根据指数函数定义求参. 【解答过程】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 【题型3 指对幂函数的定义域与值域问题】 【例3】（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【解答过程】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 【变式3-1】（2024·内蒙古锡林郭勒盟·模拟预测）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 【解题思路】根据函数的解析式，求出函数的定义域和值域即可判断A、B；利用对数运算法则即可求出，即可判断C；根据复合函数的单调性即可判断D. 【解答过程】由，得，则的定义域为，值域为，故均正确； ，故C正确； 因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是，故D错误． 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（    ） A．是奇函数 B．的定义域是 C．的值域是 D．在定义域上单调递减 【解题思路】由条件求出幂函数的解析式，根据幂函数的性质判断即可. 【解答过程】∵幂函数的图象过点，设， ∴，即，得， ∴，其定义域为，故B错误； ∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误； ∵定义域为，，∴的值域是，故C错误； ∵，∴在定义域上单调递减，故D正确. 故选：D. 【变式3-3】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用对数函数和指数函数的单调性，对进行分类讨论，可得答案. 【解答过程】 的值域为， 当时， 则，为增函数，， 而时，为增函数， 此时，，不符题意； 当时， 则，为减函数，， 而时，为减函数， 此时，， 因为的值域为，当且仅当时，满足题意， 此时，，则，整理得，，解得； 综上，时满足题意. 故选：A. 【题型4 指对幂函数的图象问题】 【例4】（2024·湖北·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据时的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D. 【解答过程】， 因为当时，都为增函数， 所以，在上单调递增，故B，C错误； 又因为， 所以不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误. 故选：A. 【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先判断函数奇偶性排除选项A，再根据函数值正负排除B,C, 即可得出答案. 【解答过程】因为的定义域为，，所以是偶函数，则其图象关于y轴对称，排除A； 当时，，，所以，当时，，，所以，故排除B，C. 故选:D. 【变式4-2】（2024·四川南充·二模）已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据幂函数的性质一一判断即可. 【解答过程】对于A：函数的定义域为，显然不符合题意，故A错误； 对于B：函数的定义域为，显然不符合题意，故B错误； 对于C：函数的定义域为，又为奇函数， 但是在上函数是下凸递增，故不符合题意，故C错误； 对于D：定义域为，又为奇函数， 且在上函数是上凸递增，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（2024·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】结合指数函数的图象与性质即可判断AB选项错误，对C代入判断C错误，则可得到D正确. 【解答过程】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项排除A； 对B选项，因为，则， 则，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B； 根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C. 故选：D. 【题型5 指对幂函数的单调性问题】 【例5】（2024·辽宁·一模）若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用“同增异减”判断复合函数的单调性，从而求参数的取值范围. 【解答过程】设，，则在上单调递增. 因为在区间内单调递减，所以函数在区间内单调递减， 结合二次函数的图象和性质，可得：，解得4. 故选：A. 【变式5-1】（2024·山西晋中·三模）下列函数中既是奇函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据奇函数和单调性的定义，结合基本初等函数的图象逐项判断. 【解答过程】对于A：函数的定义域为R， 又，所以是偶函数，故A错误； 对于B：由幂函数的图象可知，在上单调递增，故B错误； 对于C：函数的定义域为， 又，所以是奇函数， 又幂函数都在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C正确； 对于D：因为对数函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式5-2】（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】运用幂函数奇偶性和单调性可解 【解答过程】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 【变式5-3】（2024·海南·模拟预测）已知且，若函数与在上的单调性相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可. 【解答过程】由题意知在上只能是单调递增， 所以在上单调递增，所以 得. 又单调递增，所以. 综上得. 故选：C. 【题型6 指对幂数比较大小】 【例6】（2024·宁夏吴忠·一模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】借助指数函数与对数函数的单调性借助中间量比较即可得. 【解答过程】，，， 故，故. 故选：C. 【变式6-1】（2024·四川眉山·一模）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】结合指数函数和对数的运算性质易得，，，进而分析比较与的大小，进而比较与的大小，进而判断即可. 【解答过程】，， ， 则，，下面比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小， 即比较与的大小，而， 则，所以. 故选：B. 【变式6-2】（2024·贵州遵义·模拟预测）设，，.则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指对互化，结合对数函数的单调性可比较大小，根据对数函数的单调性，结合对数的运算即可比较的大小，从而得结论. 【解答过程】因为，所以， 又因为函数在上递增，所以，即， 因为函数在上递增， 所以， 则，即，即， 综上可得：. 故选：D. 【变式6-3】（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【解答过程】因为在上单调递增，又，所以，即， 因为，所以，即， 因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，即， 所以． 故选：D． 【题型7 解不等式问题】 【例7】（2024·全国·模拟预测）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，即可判断为奇函数，又，可得图象的对称中心为，则，再判断的单调性，不等式，即，结合单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【解答过程】设，，则，所以为奇函数． 又， 则的图象是由的图象向右平移个单位长度得到的， 所以图象的对称中心为，所以． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 因为， 所以，所以，解得， 故满足的的取值范围为． 故选：B. 【变式7-1】（2024·广东肇庆·一模）已知定义在上的函数，其中是奇函数且在上单调递减，的解集为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由是奇函数且在上单调递减，函数也是奇函数且在上单调递减，得在上单调递减，利用单调性解不等式. 【解答过程】定义在上的函数， 因为是奇函数，也是奇函数，所以是奇函数. 由 . 因为是增函数，所以是减函数. 又因为是减函数，所以在上单调递减. 因为，所以，解得. 故选：B. 【变式7-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】分和两种情况进行求解即可得答案. 【解答过程】当时，则，解得； 当时，则，解得． 综上，的取值范围是． 故选：A． 【变式7-3】（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先应用奇函数化简再结合不等式得出对数不等式，最后结合对数的单调性解不等式. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数， 所以是偶函数，， 所以可化为： ，又在区间上单调递减，所以在上递增， 所以，即或， 即或． 故选：D． 【题型8 反函数】 【例8】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知函数与互为反函数．若的反函数为，则（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据题意，得到，代入，即可求解. 【解答过程】由函数与互为反函数， 若的反函数为，则. 故选：C. 【变式8-1】（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数在定义域上满足，，函数的反函数为，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【解题思路】根据反函数及指数函数的性质，可令，进而有，根据指对数的定义域和单调性判断定义域和单调性，利用单调性求最小值. 【解答过程】由题意，令，满足上且， 此时且定义域为， 所以定义域为，且单调递增， 所以. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高二下·浙江宁波·期末）已知函数，且的图象过点是的反函数，则函数（    ） A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．既是偶函数又是减函数 D．既是偶函数又是增函数 【解题思路】首先代入点的坐标求出，即可求出的解析式，从而求出的解析式，再根据奇偶性的定义及对数型复合函数的单调性判断即可. 【解答过程】因为函数，且的图象过点，所以，解得（负值已舍去）， 所以，又是的反函数，所以， 则，令，解得， 所以的定义域为，令， 则，所以为奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：B. 【变式8-3】（23-24高一下·安徽·阶段练习）已知函数的反函数为，那么在上的最大值与最小值之和为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【解题思路】首先得到的单调性和奇偶性，从而得到其反函数的奇偶性和单调性，最后根据的单调性和对称性即可得到答案. 【解答过程】因为， 且函数的定义域为，则为奇函数， 因为均为上的单调增函数，则也为上的增函数， 根据函数与反函数关于直线对称， 则函数的反函数也为定义域上的奇函数、增函数， 故在上单调递增，且的关于点对称， 因为，则， 即其最大值与最小值之和为. 故选：A. 【题型9 指数函数与对数函数的综合应用】 【例9】（23-24高一下·广东汕头·期中）已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性（不用证明）； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【解题思路】（1）考虑和两种情况，根据奇函数性质计算得到答案. （2）确定定义域，设，且，计算，得到单调性. （3）根据单调性确定时的值域，设，换元得到二次函数，计算最大值和最小值，根据值域的包含关系得到答案. 【解答过程】（1）由已知函数需满足，当时，函数的定义域为， 函数为奇函数，所以， 即在上恒成立，即，（舍）， 当时，，函数的定义域为， 又函数为奇函数，所以， 此时，函数定义域为， ，函数为奇函数，满足， 综上所述：； （2）在和上单调递减，证明如下： ，定义域为， 设，且， 则 因为，且，所以， 所以，所以在上单调递减， 同理可证，所以在上单调递减； 所以在，上单调递减. （3）函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 时，，所以当时的值域， 又， 设，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立， 即，所以，解得，即. 【变式9-1】（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知函数是偶函数，其中为实数. (1)求的值； (2)若函数，是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【解题思路】（1）根据偶函数性质得到恒等式，求参数值即可； （2）由题设有，应用换元法，令且，结合二次函数性质，讨论对称轴与区间的位置研究最小值，即可得参数值. 【解答过程】（1）因函数（）是偶函数， 故 ， 因且不恒为0，故，得. （2）由（1），得， 则， 设，因，则，，其对称轴为， ①当时，在区间上单调递减，则，解得，不符题意，舍去； ②当时，在区间上先减后增，故，解得，故； ③当时，在区间上单调递增，则，解得，不符题意，舍去. 故存在，使得的最小值为0. 【变式9-2】（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)当时，解不等式； (2)若函数的最大值是，求的值. 【解题思路】（1）根据复合型对数函数的单调性解不等式求解集； （2）令，问题化为在上最大值为，利用二次函数性质研究最值并列方程求参数. 【解答过程】（1）由题意，则，可得，即； （2）令，而在定义域内单调性递增， 所以，最大值是，则只需，令， 所以在上最大值为， 根据二次函数性质有，则函数的图象开口向下，对称轴为， 所以，则， 整理得，可得或（舍）. 【变式9-3】（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知非常数函数是定义域为的奇函数． (1)求实数的值； (2)判断并证明函数的单调性； (3)已知，且，求的取值范围． 【解题思路】（1）根据给定条件，利用奇函数的性质求出. （2）由（1）求出函数，结合对数函数单调性及单调函数的定义判断推理即可. （3）根据给定条件，将不等式转化为，再结合函数的单调性求出最值即可. 【解答过程】（1）函数为上的奇函数，则，且， 即，整理得， 即，于是，解得，， 当，时，，此时，函数无意义； 当，时，，函数无意义； 当，时，，函数为常数函数，不符合要求； 当，时，，定义域为，符合题意， 所以，. （2）由（1）知，，函数在上单调递增， 而函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， ，则，， 于是，而函数在上单调递增， 因此，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增，则，， 由，，，得， 因此，， 当时，，，， 当且仅当时取等号，于是， 所以的取值范围是. 1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【解答过程】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【解答过程】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 3．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【解题思路】根据偶函数的定义运算求解. 【解答过程】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【解答过程】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D. 5．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【解答过程】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 6．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解答过程】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 7．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意分析可得，消去即可求解. 【解答过程】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 8．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D. 9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【解答过程】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 10．（2024·全国·高考真题）设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值. 【解答过程】解法一：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 若，当时，可知，此时； 当时，可知，此时； 可知若，符合题意； 若，当时，可知， 此时，不合题意； 综上所述：，即， 则，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为； 解法二：由题意可知：的定义域为， 令解得；令解得； 则当时，，故，所以； 时，，故，所以； 故， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 11．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 12．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【解答过程】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 1 ． 【解题思路】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解答过程】函数，所以. 故答案为：1. 14．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【解答过程】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 15．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为 . 【解题思路】由对数函数性质即可得. 【解答过程】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 16．（2024·全国·高考真题）已知且，则 64 ． 【解题思路】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解答过程】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$