精品解析：2023年广东省深圳市福田区红岭中学中考数学三模试卷

2023年广东省深圳市福田区红岭中学中考数学三模试卷 一.选择题（共10道题，每道题有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】正数和零大于负数；负数与负数比较大小时，绝对值大的反而越小． 【详解】解：∵正数和零大于负数 ∴ ∵ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查有理数的大小比较．熟记相关结论即可． 2. 下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，根据立体图形左视图和主视图的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】 的左视图和主视图是均为正方形，故选项A不符合题意； 的左视图和主视图均为三角形，故选项C不符合题意； 的左视图和主视图均为圆形，故选项D不符合题意； 主视图为长方形，左视图为圆形，即左视图和主视图不同 故选：B． 【点睛】本题考查了立体图形视图的知识；解题的关键是熟练掌握左视图和主视图的性质，从而完成求解． 3. 已知月球与地球的平均距离约为378000000米，数据378000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根及整式的运算，根据合并同类项，算术平方根的定义，完全平方公式，幂的乘方将各项计算后进行判断即可． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C不符合题意； D、，则D符合题意； 故选：D． 5. 已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据平均数为求出的值，然后根据中位数的概念求解． 【详解】解：∵数据，3，，，的平均数是， ∴， 解得：， 这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，6，，， 则中位数为6． 故选：A． 【点睛】本题考查中位数和平均数知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．掌握中位数和平均数的定义是解题的关键． 6. 若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，分式有意义的条件得出x的取值范围进而得出答案． 【详解】解：根据题意得，且， 解得． 在数轴上表示为 ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，正确理解二次根式的定义是解题的关键． 7. 若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与x轴的交点问题，分与两种情况，当时，该函数为一次函数，与x轴有交点；当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中，由此可解． 【详解】解：当时，函数为，与x轴有交点； 当时，若函数图象与x轴有交点，则对应的一元二次方程中， 即， ∴， ∴且， 综上，函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是． 故选D． 8. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，平行四边形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设城中有x户人家，根据“今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设城中有x户人家， 依题意，得：． 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 10. 如图，点M是矩形内一个动点，，，点N为线段上一点，且，连接和，则的最小值为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上截取，连接，，先求出，的长，进而求出，的长，再证得，将转化为，根据两点之间，线段最短可知当C、M、E在一条直线上时，的值最小，然后根据勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：在上截取，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当C、M、E在一条直线上时，的最小值为的长， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， 即的最小值为， 故选：A． 二.填空题（共5道题，每题3分，共15分．请将正确答案书写至答题卷相应位置） 11. 分解因式______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式 再按照完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是提公因式与完全平方公式分解因式，掌握“利用完全平方公式分解因式及因式分解一定要分解彻底”是解本题的关键． 12. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占，，，则这位同学的综合成绩是______ 分． 【答案】89 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解；该同学的综合成绩是：（分）， 故答案为：89 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键． 13. 如图，点B在反比例函数图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为___． 【答案】18 【解析】 【分析】本题以反比例函数为背景考查了反比例函数系数k的几何意义，过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，根据，的面积为，求出的面积，进而求得和的面积之和．通过证得，得出两三角形面积之比，求出的面积值，根据反比例函数中k的几何意义求出k的值． 【详解】解：过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，则四边形是矩形， ∵，的面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ， ∵点B在反比例函数上， ∴． 故答案为：18． 14. 如图，在中，，边上有一点，使，点是线段延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，设，则， ，由勾股定理得到：，即可求出的长，由等腰直角三角形的性质求出的长，由平行线等分线段定理得到的长，由，得到，代入有关数据即可求出的长． 【详解】解：过作交于， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，关键是由勾股定理求出CD的长；通过作辅助线构造相似三角形． 三.解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 15. 计算：． 【答案】9 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简法则计算即可． 【详解】 = =9． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 16. 先化简，然后从2，0，三个数中选一个你喜欢且使原式有意义的数代入求值． 【答案】当或时，原分式无意义；当时，原式． 【解析】 【分析】经计算后发现当或时，原分式中的分母为0，故原分式无意义，故只能选择代入，按照先化简再求值的步骤，即可解题． 【详解】原式， ， ， ， 或0时，原分式无意义， ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． 17. 在深圳市“禁毒知识进校园”活动中，某学校进行了禁毒知识竞赛，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩分为达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了　　　名学生，圆心角　　　度； （2）补全条形统计图； （3）已知学校共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ 【答案】（1），； （2）见解析； （3）名． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识点，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）根据成绩为良好等级的学生人数的扇形统计图和条形统计图的信息即可得，再利用乘以成绩为优异等级的学生人数所占百分比即可得的度数； （2）根据（1）的结果，求出成绩为优秀等级的学生人数，据此补全条形统计图即可； （3）利用乘以成绩为优异等级的学生人数所占百分比即可得． 【小问1详解】 解：总人数：(名)， 圆心角的度数为， 答：在这次调查中，一共抽取了名学生，圆心角的度数为． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：成绩为优秀等级的学生人数为(人)， 补全条形统计图如下： ； 【小问3详解】 解：400(名)， 答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为名． 18. 如图，为的直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）连接，由得到，再由和得到，即，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段，则． 【小问1详解】 证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， 在中，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理． 19. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 【答案】（1）5元、8元；（2）当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元 【解析】 【分析】（1）根据每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同，可以列出相应的分式方程，从而可以求得每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元； （2）根据（1）中的结果和题意，可以得到利润和甲种文具数量的关系，再根据购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍，可以求得甲种文具数量的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可得到该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是多少元． 【详解】解：（1）设每个乙文具的进价为x元，则每个甲文具的进价为（x﹣3）元， 由题意可得： 方程两边同乘以x（x﹣3），得 200x＝320（x﹣3）， 解得x＝8， 经检验，x＝8是原分式方程的解， ∴x﹣3＝5， 答：每个甲文具和每个乙文具的进价分别是5元、8元； （2）设购进甲文具a个，则购进乙文具（90﹣a）个，利润为w元， w＝（8﹣5）a+（12﹣8）×（90﹣a）＝﹣a+360， ∴w随a的增大而减小， ∵购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍， ∴a≥3（90﹣a）， 解得a≥67.5， ∴当a＝68时，w取得最大值，此时w＝﹣68+360＝292，90﹣a＝22， 答：当该商场应购进甲种文具68个、乙种文具22个时，才能使销售完这批文具时利润最大，最大利润是292元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解计算. 20. “Water Slide”（水滑梯）是广泛深受人们欢迎的娱乐项目．如图所示，该设备电脑系统会根据游客的身体各项指标喷出适量的水流，以满足游客（看成一个点）在空中和水中的运动轨迹能形成如图所示的两段抛物线，以确保安全． 如图所示：游客在高速水流和重力的作用下，从C点脱离滑道，做抛物线运动，经过最高点D后，在点E处入水，入水后的运动轨迹仍然是抛物线，且与入水前的抛物线关于点E成中心对称，经过最低点F后在H处游出水面．已知米，轴，米，米，轴，为节约用水，水池底部做成斜坡，坡度，米，解答下列问题： （1）求入水后抛物线的解析式（即E点右侧的抛物线），不必写出自变量的取值范围． （2）当游客与水池底部斜坡的竖直距离超过0.7米时，不会发生危险．问：游客在此次入水的过程中是否会发生危险？请说明理由. 【答案】（1） （2）不会发生危险，见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意得：，求出入水前的解析式，据此求出点E的坐标，由此得到点P的坐标，即可得到入水后的函数解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，求出游客与斜坡的竖直距离，进而可以判断是否有危险． 【小问1详解】 解：由题意得： 设入水前的解析式为：，将点C的坐标代入， 得， 代入得：， ∴， ， 得 ∴， ∵点E右侧的抛物线与入水前的抛物线关于点E成中心对称， ∴， ∴ ∴点E右侧抛物线为： ∴入水后的解析式为； 【小问2详解】 解：∵坡度， ∴设，则， 设直线的解析式为： 把代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为； 当时，， ∵， ∴不会发生危险． 【点睛】此题是二次函数的实际应用题，待定系数法求函数的解析式，二次函数的轴对称问题，正确理解题意求出函数解析式是解题的关键． 21. 【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是　　　，与的位置关系是　　　； （2）如图，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点， 【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：； 【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为　　　． 【答案】（1），；（2）①见解析；② 【解析】 【分析】此题是四边形综合题，考查正方形的性质和矩形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值． （1）通过证明和全等，得到，进而利用全等三角形的性质和垂直的定义解答； （2）①通过证明得到，所以，，延长、相交于点H，因为矩形，所以，所以，，所以，所以； ②设，则，根据，再根据二次函数的最值求解即可． 【详解】解：（1）结论：，． 理由：延长交的延长线于H， ∵正方形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）①证明：如图2中，延长、相交于点H． ∵四边形、四边形都是矩形，，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②解：②设，则， ， ∵， ∴ ， 当时，面积最小，最小面积是， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年广东省深圳市福田区红岭中学中考数学三模试卷 一.选择题（共10道题，每道题有一个正确选项，每题3分，共30分） 1. 下列实数中，比小的数是（ ） A B. 3 C. D. 0 2. 下列立体图形如图放置，其中同一几何体的左视图与主视图不同的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知月球与地球的平均距离约为378000000米，数据378000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知一组数据：6，3，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 7 6. 若有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. 且 B. C. 且 D. 8. 如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为（　　） A B. C. D. 9. 《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽．问：城中家几何？大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完．设城中有户人家，可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，点M是矩形内一个动点，，，点N为线段上一点，且，连接和，则的最小值为（　　） A. B. 5 C. D. 二.填空题（共5道题，每题3分，共15分．请将正确答案书写至答题卷相应位置） 11. 分解因式______． 12. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面得分分别是90，85，90，综合成绩中唱功、表情、动作分别占，，，则这位同学的综合成绩是______ 分． 13. 如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为___． 14. 如图，在中，，边上有一点，使，点是线段的延长线上的一点，连接，，且，若，，则的长为___． 三.解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分） 15. 计算：． 16. 先化简，然后从2，0，三个数中选一个你喜欢且使原式有意义数代入求值． 17. 在深圳市“禁毒知识进校园”活动中，某学校进行了禁毒知识竞赛，随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩分为达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了　　　名学生，圆心角　　　度； （2）补全条形统计图； （3）已知学校共有名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？ 18. 如图，为直径，C为延长线上一点，D为上一点，连接，作于点E，交于点F，若． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 19. 某商场准备购进甲、乙两种文具，若每个甲文具的进价比每个乙文具的进价少3元，且用200元购进甲文具的数量与用320元购进乙文具的数量相同． （1）求每个甲文具和每个乙文具的进价分别是多少元？ （2）该商场购进甲、乙两种文具共90个，且购进甲文具的数量不低于乙文具的数量的3倍．若每个甲文具的售价为8元，每个乙文具的售价为12元，问该商场应怎样购进甲、乙两种文具才能使销售完这批文具时利润最大？最大利润是多少元？（利润＝售价﹣进价） 20. “Water Slide”（水滑梯）是广泛深受人们欢迎的娱乐项目．如图所示，该设备电脑系统会根据游客的身体各项指标喷出适量的水流，以满足游客（看成一个点）在空中和水中的运动轨迹能形成如图所示的两段抛物线，以确保安全． 如图所示：游客在高速水流和重力的作用下，从C点脱离滑道，做抛物线运动，经过最高点D后，在点E处入水，入水后的运动轨迹仍然是抛物线，且与入水前的抛物线关于点E成中心对称，经过最低点F后在H处游出水面．已知米，轴，米，米，轴，为节约用水，水池底部做成斜坡，坡度，米，解答下列问题： （1）求入水后抛物线的解析式（即E点右侧的抛物线），不必写出自变量的取值范围． （2）当游客与水池底部斜坡的竖直距离超过0.7米时，不会发生危险．问：游客在此次入水的过程中是否会发生危险？请说明理由. 21. 【问题】（1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是　　　，与的位置关系是　　　； （2）如图，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点， 【探究】①如图2，以为边在的右侧作矩形，且，连接、，求证：； 【拓展】②如图3，以为边在的右侧作正方形，连接、，则面积的最小值为　　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$