精品解析：2023年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考四模数学试题

2023年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学四模试卷 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每题3分，共计30分） 1. 下列四个实数中，最小的是( ) A. B. 4 C. 1 D. 2. 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　） A B. C. D. 3. 在2023年3月5日的一次政府工作报告中，提到国内生产总值增加到121万亿元，五年年均增长．用科学记数法表示万亿元为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 120° D. 140° 6. 在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱，乙带钱，根据题意可列方程组为　　 A. B. C. D. 7. 下面命题正确的是（　　） A. 三角形的内心到三个顶点距离相等 B. 方程的解为 C. 三角形的外角和为 D. 是一个分数 8. 如图，用三角支架固定空调外机，已知，，米，则点O到墙面距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，与y轴交于(0，2)，抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 12. 关于x一元二次方程有一个根为2，则m的值为_____． 13. 在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6．计算这组数据的方差为_________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，在x轴上，反比例函数，与斜边交于点C、D，连接，若，，则k的值为______． 15. 如图，正方形中，， F是的中点，点H在上，,则的长度为________． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18，19，20题各8分，第21题9分，第22题10分，共55分．） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2． 18. 每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图．请你根据图1、图2中所给的信息解答下列问题： （1）该校八年级共有_________名学生，“优秀”所占圆心角的度数为_________． （2）请将图1中条形统计图补充完整． （3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？ （4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率． 19. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 20. 为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本． （1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； （2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 21. 如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：． （1）【问题理解】 定值电阻的阻值为________Ω． （2）【数学活动】 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________； R … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 2 … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来． （3）【数学思考】 观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到． （4）【数学应用】 若关于x方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值． 22. 问题背景 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求证：． 尝试应用 如图2，在▱ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学四模试卷 一、选择题（每小题只有一个选项正确，每题3分，共计30分） 1. 下列四个实数中，最小的是( ) A. B. 4 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小的数是， 故选：D． 2. 下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的有（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对选项逐个判断即可求解． 【详解】A、∵此图形旋转后能与原图形重合， ∴此图形是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故此选项错误； B、∵此图形旋转后不能与原图形重合， ∴此图形不是中心对称图形，但是为轴对称图形，故此选项正确； C、∵此图形旋转后能与原图形重合， ∴此图形是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故此选项错误； D、∵此图形旋转后能与原图形重合， ∴此图形是中心对称图形，同时也是轴对称图形，故此选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 3. 在2023年3月5日的一次政府工作报告中，提到国内生产总值增加到121万亿元，五年年均增长．用科学记数法表示万亿元为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：万亿． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 4. 下列各运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 5. 如图，已知，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 120° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵作图可知垂直平分， ∴， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 6. 在《九章算术》中记载一道这样的题：“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各需带多少钱？设甲需带钱，乙带钱，根据题意可列方程组为　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．得到等量关系，列二元一次方程组即可 【详解】解：设甲需带钱，乙带钱， 根据题意，得：， 答案：D 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，找到等量关系是关键 7. 下面命题正确的是（　　） A. 三角形的内心到三个顶点距离相等 B. 方程的解为 C. 三角形的外角和为 D. 是一个分数 【答案】C 【解析】 【分析】根据内心是三角形三条角平分线交点，而角平分线上的点到角两边的距离相等，即可判断A；利用因式分解法解方程即可判断B；三角形的外角和为即可判断C；根据分数是有限小数和无限循环小数的统称即可判断D． 【详解】解：A、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，则三角形内心到三边的距离相等，故原命题错误，不符合题意； B、方程的解为和，故原命题错误，不符合题意； C、三角形的外角和为，正确，符合题意； D、是一个无理数，不是一个分数，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，解一元二次方程，内心的性质，三角形外角和定理，实数的分类等等，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8. 如图，用三角支架固定空调外机，已知，，米，则点O到墙面距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】利用，即可得出结果． 【详解】解：∵，，米， ∴， ∴米； 故选B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．正确的识图，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 9. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)，与y轴交于(0，2)，抛物线的对称轴为直线x＝1，则下列结论中：①a+c＝b；②方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3；③2a+b＝0；④c﹣a＞2，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x＝1计算2a+b与偶的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点(﹣1，0)， ∴a﹣b+c＝0， ∴a+c＝b，故本选项正确； ②由对称轴为x＝1，一个交点为(﹣1，0)， ∴另一个交点为(3，0)， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和3，故本选项正确； ③由对称轴为x＝1， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a，则2a+b＝0，故本选项正确； ④∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于(0，2)， ∴c＝2， ∵a＜0， ∴c﹣a＞2，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换． 10. 如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据四边形ABCD是矩形，C（-10，8），得出BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°，再由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°，利用勾股定理先求出OE的长，即可得到AE，再利用勾股定理求出DE，利用求解即可. 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，C（-10，8）， ∴BC=AO=10，AC=OB=8，∠A=∠O=∠C=90°， 由折叠的性质可知：CD=DE，BC=BE=10，∠DEB=∠C=90°， 在直角三角形BEO中：， ∴， 设，则 在直角三角形ADE中：， ∴， 解得， ∴， ∵∠DEB=90°， ∴， 故选D. 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：x3﹣4xy2=_____． 【答案】x（x+2y）（x﹣2y） 【解析】 【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）， 故答案为x（x+2y）（x-2y） 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 12. 关于x的一元二次方程有一个根为2，则m的值为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，解题关键是方程的根一定满足方程，代入求解．把方程的根代入方程即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2， ∴， 解得，， 故答案：8． 13. 在射击比赛中，某运动员的6次射击成绩（单位：环）为：7，8，10，8，9，6．计算这组数据的方差为_________． 【答案】 【解析】 【详解】 方差为： 故答案为： 点睛】考点：方差；平均数 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边在y轴上，在x轴上，反比例函数，与斜边交于点C、D，连接，若，，则k的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、反比例函数的几何应用、利用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，正确作辅助线、构造相似三角形是解题关键． 如图：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，作轴于点G，先根据相似三角形的判定与性质得出，设点C的坐标为，从而可得点D的坐标为，再利用待定系数法可求出直线的解析式，从而可得点B的坐标，然后根据的面积即可解答． 【详解】解：如图：过点C作轴于点E，过点D作轴于点F，作轴于点G， ∴， ∴， ， ∵， ，即， 设点C的坐标为，则， ∴， ∴点D的坐标为，， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得：， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 即点B的坐标为，则， ∴，解得：． 故答案为：5． 15. 如图，正方形中，， F是的中点，点H在上，,则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过作交于，连接．把绕B顺时针旋转得到．由，得到，故，由旋转的性质得到，进而得到，，，得到．从而可以证明，得到．设，则，．在中，用勾股定理得到， ，由，得到是梯形的中位线，由梯形中位线定理得到的长．过证明，得到的长．在中，由勾股定理即可得到结论． 【详解】过B作交于G，连接．把绕B顺时针旋转得到． ∵正方形中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，，， ∴， ∴． 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 设，则，． 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴． ∵， ∴是梯形的中位线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 【点睛】本题是四边形综合题．主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，梯形的中位线定理、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形和相似三角形，依据全等三角形和相似三角形的性质进行计算求解． 三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18，19，20题各8分，第21题9分，第22题10分，共55分．） 16. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．先化简各式，再进行加减运算即可．掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值；，其中，x＝+2，y＝﹣2． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x和y的值代入计算即可得解. 【详解】原式＝ ＝ ＝ ， 当x＝+2，y＝﹣2时， 原式 ＝ ＝ ． 【点睛】此题主要考查了分式的混合运算—化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则. 18. 每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如下不完整的统计图．请你根据图1、图2中所给的信息解答下列问题： （1）该校八年级共有_________名学生，“优秀”所占圆心角的度数为_________． （2）请将图1中的条形统计图补充完整． （3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？ （4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率． 【答案】（1）500,108°；（2）见解析；（3）1500名；（4）． 【解析】 【分析】（1）由条形统计图和扇形统计图得到良好的人数及其所对应的百分比，即可得到该校八年级总人数；通过计算优秀人员所占比例，即可得到其所对的圆心角； （2）计算出等级“一般”的学生人数，补充图形即可； （3）用该校八年级成绩及格的比例乘以该市的学生人数即可； （4）画出树状图，根据概率公式求概率即可． 【详解】（1）由条形统计图知：等级“良好”的人数为：200名 由扇形统计图知：等级“良好”的所占的比例为：40% 则该校八年级总人数为：（名） 由条形统计图知：等级“优秀”的人数为：150名 其站该校八年级总人数的比例为： 所以其所对的圆心角为： 故答案为：500，108° （2）等级“一般”的人数为：（名） 补充图形如图所示： （3）该校八年级中不合格人数所占的比例为： 故该市15000名学生中不合格的人数为：（名） （4）从甲，乙，丙，丁四名学生中任取选出两人，所得基本事件有： 共计12种， 其中必有甲同学参加的有6种， 必有甲同学参加的概率为：． 【点睛】本题考查了统计与概率的综合，熟知以上知识是解题的关键． 19. 如图1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，以的边为直径作，交于点P，是的切线，且，垂足为点D． （1）求证：； （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】（1）连接，如图2，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接，如图2，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【小问1详解】 解：证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 连接，如图2， 在中，， ， 为直径， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 20. 为落实“双减政策”某学校购进“红色教育”和“传统文化”两种经典读本，花费分别是12000元和5000元，已知“红色教育”经典读本的订购单价是“传统文化”经典读本的订购单价的1.2倍，并且订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本． （1）求该学校订购的两种经典读本的单价分别是多少元； （2）该学校拟计划再订购这两种经典读本共1000本，其中“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，求该学校订购这两种读本的最低总费用． 【答案】（1）“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元 （2）11200元 【解析】 【分析】（1）设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元，由题意：订购的“红色教育”经典读本的数量比“传统文化”经典读本的数量多500本．列出分式方程，解方程即可； （2）设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本，由题意：“红色教育”经典读本订购数量不低于600本且总费用不超过11500元，列出一元一次不等式组，解得，再设订购两种读本的总费用为w元，由题意得出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：设“传统文化”经典读本的单价是x元，则“红色教育”经典读本的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴ 答：“红色教育”的订购单价是12元，“传统文化”经典读本的单价是10元； 【小问2详解】 解：设订购“红色教育”经典读本a本，则订购“传统文化”经典读本本， 由题意得：， 解得：， 设订购两种读本的总费用为w元， 由题意得：， ， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w有最小值为， 此时，，符合题意， 答：订购这两种经典读本的总费用最低为11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②找出数量关系，正确列出一元一次不等式组和一次函数关系式． 21. 如图，在并联电路中，电源电压为，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：．已知为定值电阻，当R变时，路电流也会发生变化，且干路电流与R之间满足如下关系：． （1）问题理解】 定值电阻的阻值为________Ω． （2）【数学活动】 根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数来探究函数的图象与性质． ①列表：下表列出与R的几组对应值，请写出m的值：________； R … 3 4 5 6 … … 2 1.5 1.2 1 … … 3 m 2.2 2 … ②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来． （3）【数学思考】 观察图象发现：函数的图象是由的图象向________平移________个单位而得到． （4）【数学应用】 若关于x的方程在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值． 【答案】（1） （2）①；②见解析 （3）上；1 （4）0或或 【解析】 【分析】（1）由题意中和代入求值即可． （2）①观察图表，利用计算即可；②根据图表的数据，利用描点法画图即可． （3）利用函数解析式的变化规律与函数图像的平移规律解答即可． （4）利用函数与方程的关系，结合图像分析根的情况，最后利用一元二次方程根的判别式计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 ①解：当时， ∴， ∴ ②先描出点，，，，再顺次连接这些点即可画出所求函数图象 【小问3详解】 解：当，， 当时，， 当时，， 结合图像，所以函数的图象是由的图象向上平移1个单位． 【小问4详解】 解：由函数与方程的关系可知， 当时，的函数图像在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解； ∴ 化简得： ∴ 当时，的函数图像在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解； ∴ 化简得： ∴ 当时，的图像恰好有两个交点． ∴或或． 【点睛】本题主要考查函数图像的平移，利用函数与方程的关系解方程，掌握描点法画图以及函数与方程的关系，根的判别式是解决本题的关键． 22. 问题背景 如图1，点E在BC上，AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC，求证：． 尝试应用 如图2，在▱ABCD中，点F在DC边上，将△ADF沿AF折叠得到△AEF，且点E恰好为BC边的中点，求的值． 拓展创新 如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在BC，DC边上，∠AFE＝∠D，AE⊥FE，FC＝2．EC＝6．请直接写出cos∠AFE的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）cos∠AFE=． 【解析】 【分析】(1) 根据相似三角形的判定定理证△ABE∽△ECD即可； (2) 在AB边取点G，使GE=BE，则∠B=∠BGE，证△AGE∽△ECF，列比例式即可； (3) 作FM=FD，FN⊥AD，同（2）构造△AMF∽△FCE，证△AEF∽△FHD，求出AM长即可． 【详解】解：（1）∵ AB⊥BC，AE⊥ED，DC⊥DC ∴∠B=∠C=90° ，∠BAE+∠AEB =90°，∠CED+∠AEB =90°， ∴∠BAE=∠CED， ∴△ABE∽△ECD ∴． （2）在AB边取点G，使GE=BE，则∠B=∠BGE 又∵∠B+∠C=180° ，∠BGE+∠AGE=180° ∴∠AGE=∠C ∵∠B=∠D=∠AEF 又∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠FEC ∴∠BAE=∠FEC， ∴△AGE∽△ECF ∴，即 ∵EF=FD， ∴ ∵GE=BE，AE=BC=2BE， ∴ （3）cos∠AFE= 如图：作FM=FD，FN⊥AD， 由（2）同理可证△AMF∽△FCE， ∴ 设AM=，FM=FD=，则AD=CD=，MD=，ND= ∵∠AEF=∠FND=90°，∠AFE＝∠D， ∴△AEF∽△FND， ∴，即， ∵， ∴， 解得，，经检验，是原方程的解； ∴ cos∠AFE=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形，解题关键是依据已知条件构造相似三角形，列比例式解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$